BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

--------------

ĐINH TRỌNG HIẾU

NÂNG CAO HIỆU QUẢ DẠY HỌC CÁC BÀI TOÁN
TÍNH THỂ TÍCH KHỐI CHÓP (HÌNH HỌC 12)

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

HÀ NỘI – 2012


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
--------------

ĐINH TRỌNG HIẾU

NÂNG CAO HIỆU QUẢ DẠY HỌC CÁC BÀI TOÁN
TÍNH THỂ TÍCH KHỐI CHÓP (HÌNH HỌC 12)

Chuyên ngành: Lí luận và Phương pháp dạy học bộ môn Toán
Mã số: 60.14.01.11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC
Người hướng dẫn khoa học: TS. BÙI DUY HƯNG

HÀ NỘI – 2012

HHKG
HS
PP
PPDH
SGK
THPT
TN
Tr

Viết đầy đủ
Đối chứng
Giáo viên
Hình học không gian
Học sinh
Phương pháp
Phương pháp dạy học
Sách giáo khoa
Trung học phổ thông
Thực nghiệm
Trang


MỤC LỤC
TÀI LIỆU THAM KHẢO
PHỤ LỤC


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài.
Theo luật giáo dục Việt Nam năm 2005, PP giáo dục phổ thông phải

cao hiệu quả dạy học Hình học 12 THPT.
Từ mục đích đó, nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài là:
- Nghiên cứu hệ thống lí luận về PPDH giải bài toán và mục tiêu dạy
học môn Toán.
- Nghiên cứu thực tế dạy học các bài toán tính thể tích khối chóp.
- Nghiên cứu các dạng toán về tính thể tích khối chóp và các PP tính
cho mỗi dạng.
- Đề xuất các biện pháp nâng cao hiệu quả dạy học các bài toán tính thể
tích khối chóp.
- Đề xuất hệ thống bài toán nhằm củng cố kiến thức và rèn luyện kĩ
năng tính thể tích khối chóp.
- Thực nghiệm sư phạm nhằm kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả
của đề tài.
3. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu tìm hiểu và phân tích các
sách báo, tài liệu và các công trình nghiên cứu khoa học có liên quan đến đề tài.
- Phương pháp điều tra, quan sát: Quan sát tiến trình dạy học và điều
tra về thực trạng dạy học các bài toán tính thể tích khối chóp (Hình học 12).
- Thực nghiệm sư phạm.
4. Giả thuyết khoa học
Nếu đề xuất các biện pháp nâng cao hiệu quả dạy học và xây dựng hệ
thống các bài toán tính thể tích khối chóp thích hợp thì có thể góp phần nâng
cao chất lượng dạy học Hình học 12 THPT.

2


5. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Quá trình dạy học các bài toán tính thể tích khối chóp (Hình học 12).
6. Cấu trúc luận văn

1.1.1.2. Đặc điểm và vị trí môn Toán:
Về đặc điểm môn Toán, thứ nhất, môn Toán có tính trừu tượng cao độ và
tính thực tiễn phổ dụng; thứ hai, Toán học có tính lôgic và tính thực nghiệm.
Trong nhà trường phổ thông, môn Toán giữ một vị trí hết sức quan
trọng, bởi vì:
- Môn Toán là môn học công cụ do Toán học có tính thực tiễn phổ
4


dụng, trang bị cho HS tri thức, rèn luyện cho HS những kĩ năng Toán học,
hình thành và phát triển những PP, phương thức tư duy và hoạt động như
Toán học hóa tình huống thực tế, thực hiện và xây dựng thuật giải, phát hiện
và giải quyết vấn đề…
- Toán học góp phần phát triển nhân cách: môn Toán góp phần phát
triển năng lực trí tuệ chung như phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát
hóa…, rèn luyện những đức tính, phẩm chất của người lao động mới như tính
cẩn thận, chính xác, tính kỉ luật, tính phê phán, tính sáng tạo, tính thẩm mĩ.
1.1.2. Xác định và phân tích các mục tiêu:
Xuất phát từ mục tiêu của nhà trường Việt Nam, từ đặc điểm và vị trí
môn Toán, việc dạy học môn này nhằm đạt các mục tiêu sau:
1.1.2.1. Truyền thụ tri thức, kĩ năng Toán học và kĩ năng vận dụng Toán
học vào thực tiễn.
HS kiến tạo tri thức, rèn luyện kĩ năng là cơ sở để thực hiện các mục tiêu
về các phương diện khác. Việc thực hiện mục tiêu này được cụ thể hóa như sau:
- Cần tạo điều kiện cho HS kiến tạo những dạng tri thức khác nhau.
- Cần rèn luyện cho HS kĩ năng vận dụng tri thức trong nội bộ môn
Toán, kĩ năng vận dụng tri thức Toán vào những môn học khác và kĩ năng
vận dụng Toán học vào đời sống xã hội.
- Cần có ý thức để HS phối hợp giữa chiếm lĩnh tri thức và rèn luyện kĩ
năng thể hiện ở 6 chức năng trí tuệ từ thấp lên cao: biết, thông hiểu, vận dụng,

- Rèn luyện những hoạt động trí tuệ cơ bản. Môn Toán đòi hỏi HS phải
thường xuyên thực hiện những hoạt động trí tuệ cơ bản như: phân tích, tổng
hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa,… và các phép tương tự hóa, so sánh,…
do đó có tác dụng rèn luyện cho HS những hoạt động này.
Ví dụ 1: Tính thể tích của khối tám mặt đều có cạnh bằng a.
Đầu tiên, hoạt động phân tích chia khối tám mặt đều ABCDEF thành 2
6


khối chóp tứ giác đều A.BCDE và F.BCDE. Sự phân tích này diễn ra trên cơ

sở tổng hợp, liên hệ với công thức tính thể
1
tích khối chóp V = B.h . Việc khớp với
3
trường hợp riêng tính thể tích khối chóp tứ
giác đều vào công thức tính thể tích khối
chóp tổng quát là một sự khái quát hóa;
việc này được thực hiện nhờ trừu tượng
hóa, nêu bật bản chất “khối chóp” và tách

Hình 1

ra khỏi đặc điểm riêng “đều”. Tiếp theo
1
khái quát hóa là đặc biệt hóa công thức V = B.h cho trường hợp
3

a3 sin2α .tan β a3 cosα tan β
=

a3

2
3

Phân tích
Thể tích khối chóp
tứ giác đều cạnh a

V1 =

Khái quát hóa

1 2 a 2
a .
3
2

Đặc biệt hóa

V =

Thể tích khối chóp

1
B .h
3

Hình 2
- Hình thành những phẩm chất trí tuệ quan trọng như: tính linh hoạt,

+ Phân hóa trong: bao gồm những biện pháp chỉ đạo cá biệt hoặc tiến
hành những pha phân hóa trong dạy học đồng loạt.
+ Phân hóa ngoài: được thực hiện bằng cách giúp đỡ tách riêng những
nhóm HS yếu kém, bồi dưỡng tách riêng những nhóm HS giỏi, mở những
chuyên đề tự chọn, những lớp chuyên ở trình độ thích hợp, phân ban…
1.1.3. Yêu cầu đặc biệt đối với cấp THPT:
Do đặc điểm cấp học và đặc điểm đối tượng, việc dạy học môn Toán
trong trường THPT có những yêu cầu đặc biệt sau đây:
Về kiến thức và kĩ năng, cần chú ý những tri thức PP, đặc biệt những PP
không có tính chất thuật giải và những kĩ năng tương ứng như kĩ năng giải bài
toán bằng cách lập phương trình, kĩ năng chứng minh, kĩ năng tư duy hàm…
Về năng lực trí tuệ cần có yêu cầu cao về một số phẩm chất trí tuệ như
tính độc lập, tính tự giác…
Về chính trị, tư tưởng, cần nhấn mạnh những yếu tố hình thành thế giới quan.
Ngoài ra, cần yêu cầu tăng cường bồi dưỡng HS có năng khiếu, tăng
cường phân hóa trong dạy học vì HS tốt nghiệp THPT sẽ đi theo những con
9


đường khác nhau như vào đại học, học nghề, tham gia lao động sản xuất…
Tóm lại, các mục đích dạy học môn Toán cùng với những yêu cầu đặc
biệt của cấp THPT chi phối nội dung và PPDH ở cấp THPT. Cần nhấn mạnh
rằng các mục tiêu dạy học không tách rời nhau mà quan hệ mật thiết với nhau,
hỗ trợ, bổ sung cho nhau nhằm hình thành ở HS năng lực nhận thức, năng lực
hành động, những cơ sở của nhân cách con người Việt Nam mới.
1.2. DẠY HỌC GIẢI BÀI TẬP TOÁN
1.2.1. Vị trí, vai trò của bài tập Toán ở trường phổ thông
Theo GS.Nguyễn Bá Kim, bài tập Toán học có vai trò quan trọng trong
môn Toán. Bài tập có vai trò giá mang hoạt động của HS. Thông qua giải bài
tập, HS phải thực hiện các hoạt động như: Nhận dạng và thể hiện định nghĩa,

- Trình bày rõ ràng, đảm bảo mỹ thuật: Yêu cầu này đặt ra đối với cả lời văn,
chữ viết, hình vẽ, cách sắp xếp các yếu tố (chữ, số, hình, kí hiệu…) trong lời giải.
- Tìm ra nhiều cách giải, chọn cách giải ngắn gọn, hợp lí nhất: Với một
bài toán cần khuyến khích HS tìm ra nhiều cách giải, phân tích so sánh những
cách giải khác nhau để tìm ra lời giải ngắn gọn, hợp lí nhất trong số các lời
giải đã tìm được.
- Nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề.
1.2.3. Phương pháp chung tìm lời giải bài toán:
Không có một thuật giải tổng quát để giải mọi bài toán. Tuy nhiên,
trang bị những hướng dẫn chung, gợi ý cách suy nghĩ tìm tòi, phát hiện cách
giải bài toán lại là có thể và cần thiết. Trong quá trình dạy học PP chung giải
toán cần có những gợi ý để thầy hỗ trợ cho HS và để HS tự định hướng suy
nghĩ tìm ra lời giải. Dựa trên những tư tưởng tổng quát cùng với bản gợi ý của
Polya về cách thức giải bài toán, PP chung để giải bài toán như sau:
Bước 1: Hiểu rõ bài toán.

11


Để hiểu rõ bài toán chúng ta đi trả lời các câu hỏi như: Cái gì chưa
biết? Cái gì đã cho? Điều kiện của bài toán là gì?… Nếu là bài toán hình học,
chúng ta tiến hành vẽ hình, viết giả thiết, kết luận…
Bước 2: Xây dựng chương trình giải.
Để giúp HS xây dựng được chương trình giải, GV thường gợi ý HS
bằng các câu hỏi như: Em đã gặp bài toán này lần nào chưa? Em có biết bài
toán nào gần giống bài toán này không? Em có biết bài toán nào có liên quan
mà dễ hơn không? Em đã sử dụng mọi dữ kiện chưa?
Bước 3: Thực hiện chương trình.
Khi thực hiện chương trình GV cần chú ý HS kiểm tra lại từng bước
thông qua các câu hỏi như: Em đã thấy rõ ràng là mỗi bước đều đúng chưa?

B1: Vẽ đáy là tam giác ABC.
B2: Xác định H là tâm đường tròn ngoại
tiếp ∆ABC.
B3: Vẽ đường thẳng đi qua H và vuông
góc với đáy (ABC).
B4: Trên đường thẳng vừa vẽ, lấy điểm D.
B5: Nối D với các đỉnh A, B, C.

3

Hình 3

Bước 2: Xây dựng chương trình giải..

- Muốn tính thể tích khối chóp em sử dụng công thức nào? (V =

1
Bh )
3

- Trong công thức ấy, muốn tính V em phải tính những đại lượng nào?
(Diện tích đáy B và chiều cao h)
- Trong bài toán đã cho, đâu là đáy B? đâu là chiều cao h?
(Đáy B là ∆ABC, chiều cao h là DH, với H là trọng tâm của ∆ABC)
- Tính diện tích ∆ABC? (?)
+ ∆ABC có gì đặc biệt? (∆ABC cân tại C có CA = CB = a, AB = x)
+ Biết ba cạnh của ∆ABC, tính diện tích bằng công thức nào? (Công thức
Hêrông S = p ( p - a )( p - b)( p - c ) , với p là nửa chu vi)
+ Tính diện tích ∆ABC theo công thức đó?
(p=a+

ç
è2 ø
2
2

+ Suy ra CH? ( CH =

2

2

4a 2 - x 2
)
3

- Suy ra DH?( DH = DC 2 - CH 2 = a 2 -

4a 2 - x 2
5a 2 + x 2
=
9
3

- Từ đó tính thể tích khối chóp ABCD?
(VABCD =

1
1 x 4a 2 − x 2 5a 2 + x 2 x 4a 2 − x 2 5a 2 + x 2
)
S ABC .DH = .

=
4
2
2

2

2

2
4a2 − x 2
⇒ CH = CM =
3
3
Xét ∆CDH vuông tại H có DH = CD 2 − CH 2 = a2 −

4a2 − x 2
5a 2 + x 2
=
9
3

Vậy thể tích khối tứ diện ABCD là:
VABCD

1
x 4 a 2 − x 2 5 a2 + x 2 .
= S ABC .DH =
3
36


3a2 − x 2
.
4a2 − x 2

1
x 4a2 − x 2 .
= AB. AC.sin A =
2
4

1
1
Thể tích khối tứ diện ABCD là: VABCD = DH .S ABC = ax 3a 2 − x 2 .
3
12
- Nếu ngay từ khi bắt đầu vẽ hình để giải bài toán, HS không định hướng đây
là hình chóp đỉnh D mà vẫn vẽ hình chóp đỉnh A, ta có thể hướng dẫn HS giải
bài toán theo cách sau đây:
Cách 3:
Từ A kẻ AE ⊥ CD, E ∈ CD . Vì ∆ACD đều
cạnh a nên E là trung điểm của CD. Lại do
∆BCD

đều

nên

BE ⊥ CD .


12
- Đặc biệt cho x = a, ta có bài toán sau :
Bài toán 2a : Cho tứ diện ABCD có các cạnh bằng a. Tính theo a thể tích
khối tứ diện ABCD.
Theo công thức trên ta tính được thể tích khối tứ diện ABCD là :
VABCD

1 2
a3 2
2
2
= a 3a − a =
12
12

- Nếu coi a là một hằng số thì thể tích khối tứ diện ABCD là một hàm số theo
biến x : f ( x ) =

1
ax 3a 2 − x 2 (x∈ (0; a 3 ). Lấy đạo hàm f’(x) và lập bảng
12

a3
biến thiên của f(x) ta thấy f(x) đạt giá trị lớn nhất là max f ( x ) =
khi
8
x=

a 6
. Từ đó ta đưa ra bài toán sau:

12 3a − x
2

2

; f ' ( x ) = 0 ⇔ 3a 2 − 2 x 2 = 0 ⇔ x =

a 6
.
2

Ta có bảng biến thiên của hàm số f ( x ) :
x
f '( x )

a 6
2

0

+

0

-

a 3

a3
8

4

17


a 6
1
9 a 4 a3
.
a
= , đạt được khi x =
2
12
4
8
Cách 2: Sử dụng bất đẳng thức:
Áp dụng bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân cho hai số
dương, ta có: x 3a2 − x 2 ≤
Suy ra VABCD

x 2 + 3a2 − x 2 3a 2
.
=
2
2

1 3a 2 a 3
a 6
.
≤ a.

Áp dụng bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân cho ba số
3

 5a 2 + x 2 
dương, ta có: (2a )(2 x )(3a − x ) ≤ 
÷
3


2

2

2

2

3

1  5a2 + x 2 
Suy ra VABCD ≤

÷ . Dấu đẳng thức xảy ra khi a = x.
24 
3

Vậy ta có bài toán sau:
Bài toán 2d: Cho tứ diện ABCD có AB = x , các cạnh còn lại có độ dài bằng
3


toán tính thể tích khối chóp (Hình học 12) vào tháng 02 năm 2012 ở các
trường THPT trên địa bàn tỉnh Hòa Bình.
STT
1
2
3

Số lượng điều tra

Trường THPT

GV
07
07
07

Đoàn Kết
Tân Lạc
Mường Bi

HS
237
45
43

- Đối với GV: Chúng tôi đã xây dựng mẫu phiếu điều tra để nắm bắt
những ý kiến, đánh giá của GV Toán THPT về các vấn đề xoay quanh SGK,
hệ thống bài tập, việc dạy và học bài toán thể tích khối chóp; cụ thể về mức
độ khó của các bài toán tính thể tích khối chóp trong chương trình, mức độ kĩ
19