ĐẠI HỌC THÁI NGUN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN THỊ HUẾ

PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH
TÌM NGHIỆM CHUNG CHO MỘT HỌ PHƯƠNG TRÌNH
TỐN TỬ TUYẾN TÍNH GIỚI NỘI

Chun Ngành: TỐN ỨNG DỤNG
Mã ngành: 60460112

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Người hướng dẫn : GS.TS. NGUYỄN BƯỜNG

Thái Ngun - 2013

Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>

1

Mục lục

Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


1.2.1. Tốn tử hiệu chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.2.2. Phương pháp hiệu chỉnh . . . . . . . . . . . . . .

12

1.2.3. Sự tồn tại của tốn tử hiệu chỉnh . . . . . . . . .

12

1.2.4. Hiệu chỉnh hệ phương trình đại số tuyến tính điều
kiện xấu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.2.5. Cực tiểu của phiếm hàm Tikhonov . . . . . . . .

17

Chương 2. Phương pháp hiệu chỉnh tìm nghiệm chung cho
một hệ các phương trình với tốn tử tuyến tính giới nội 20
2.1. Bài tốn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.2. Thuật tốn cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


fδ − f ≤ δ.
Bài tốn đặt ra là dựa vào thơng tin về (A, fδ ) và sai số δ, tìm một
phần tử xấp xỉ nghiệm đúng x0 . Rõ ràng khơng thể xây dựng phần tử
xấp xỉ xδ theo quy tắc xδ = A−1 fδ do A−1 có thể khơng xác định hoặc
A−1 tồn tại nhưng khơng liên tục, nên A−1 fδ khơng cho ta xấp xỉ nghiệm
đúng x0 .
Tham số δ chỉ cho ta mức độ sai số của vế phải của phương trình
(1.1). Vì vậy một điều nảy sinh là liệu có thể xây dựng một phần tử xấp
xỉ phụ thuộc vào một tham số nào đó và tham số này được chọn tương
thích với δ sao cho khi δ → 0 thì phần tử xấp xỉ này hội tụ đến nghiệm
đúng x0 . Ta cũng có thể thấy rằng nếu được thì từ f0 ∈ Y ta có phần tử
xấp xỉ tương ứng thuộc X. Tức là tồn tại một tốn tử nào đó tác động
từ khơng gian Y vào khơng gian X.
Năm 2011 GS. TS. Nguyễn Bường và nghiên cứu sinh Nguyễn Đình
Dũng đã đưa ra phương pháp chung để giải quyết một hệ phương trình
tốn tử tuyến tính giới nội.
Mục đích của luận văn này là trình bày phương pháp hiệu chỉnh tìm
nghiệm chung cho một hệ phương trình tốn tử tuyến tính giới nội và
đưa ra một số ví dụ minh họa cho phương pháp hiệu chỉnh đã trình bày.

Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>

3

Ngồi phần mở đầu, phần kết luận, luận văn gồm 2 chương.
Chương 1. Giới thiệu về phương pháp hiệu chỉnh và một số khái niệm
liên quan
Chương 2. Trình bày phương pháp hiệu chỉnh tìm nghiệm chung cho

chỉnh và một số khái niệm liên quan
Các kiến thức trong chương này có tham khảo tài liệu [1].
1.1.

Một số kiến thức cơ bản của giải tích hàm

1.1.1.

Một số khái niệm về các khơng gian

Định nghĩa 1.1. Khơng gian định chuẩn thực là một khơng gian tuyến
tính thực X trong đó ứng với mỗi phần tử x ∈ X ta có một số

x

gọi

là chuẩn của x, thoả mãn các điều kiện:
1.

x > 0, ∀x = 0,

2.

αx = |α| .

3.

x+y ≤ x


Ví dụ 1.2. Khơng gian Lp [a, b] , p > 1 là khơng gian phản xạ. Mọi khơng

Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>

5

gian định chuẩn hữu hạn chiều đều là phản xạ.
Định nghĩa 1.4. Cho X là một khơng gian tuyến tính trên R. Một tích
vơ hướng trong X là một ánh xạ ., . : X × X → R thoả mãn các điều
kiện sau:
i) x, x > 0, ∀x = 0; x, x = 0 ⇔ x = 0;
ii) x, y = y, x , ∀x, y ∈ X;
iii) αx, y = α x, y , ∀x, y ∈ X, α ∈ R;
iv) x + y, z = x, z + y, z , ∀x, y, z ∈ X.
Khơng gian tuyến tính X cùng tích vơ hướng ., . được gọi là khơng
gian tiền Hilbert. Khơng gian tiền Hilbert đầy đủ được gọi là khơng gian
Hilbert.
Ví dụ 1.3. Các khơng gian Rn , L2 [a, b] là các khơng gian Hilbert với
tích vơ hướng được xác định tương ứng là:
n

ξi ηi , x = (ξ1 , ξ2 , ..., ξn ) , y = (η1 , η2 , ..., ηn ) ∈ R,

x, y =
i=1
b

ϕ (x)ψ (x) dx, ϕ, ψ ∈ L2 [a, b] .

D(A) = domA = {x ∈ X/Ax = ∅}
và miền giá trị là
R(A) = {f ∈ Y /f ∈ Ax, x ∈ D(A)} .
Tốn tử A gọi là tốn tử tuyến tính nếu
1)A(x1 + x2 ) = Ax1 + Ax2 với mọi x1, x2 ∈ X;
2)A (αx) = αAx với mọi x ∈ X, α ∈ R.
Nếu Y ≡ R thì ta có phiếm hàm tuyến tính f với miền xác định của
hàm f là
domf = {x ∈ X/f (x) = ∅} .

Định nghĩa 1.8. Tốn tử A được gọi là tốn tử tuyến tính liên tục nếu
nó là tốn tử tuyến tính, đồng thời là tốn tử liên tục giữa hai khơng
gian X và Y .
Ví dụ 1.6. Cho X = Rk , Y = Rm , tốn tử A được xác định bởi
A(x1 , x2 , ..., xk ) = (y1 , y2 , ..., ym )
với

k

yi =

aij xj , i = 1, ..., m,
j=1

trong đó aij là các hằng số. Ma trận (aij )k×m gọi là ma trận của tốn tử
tuyến tính A và đó là dạng tổng qt của mọi tốn tử tuyến tính từ Rk
vào Rm . Một tốn tử tuyến tính từ Rk vào Rm bao giờ cũng liên tục.
Định nghĩa 1.9. Tốn tử A được gọi là
1) h-liên tục (hemicontinuous) trên X nếu A(x + ty)


a

trong đó K(x, s) là một hàm hai biến có bình phương khả tích, nghĩa là
b

b

K 2 (x, s)dxds = N 2 < ∞.
a

a

Khi đó, A là một tốn tử tuyến tính liên tục. Tốn tử này gọi là tốn tử
tích phân Fredholm sinh bởi hạch K(x, s).
Định nghĩa 1.11. Cho A : X → Y là một tốn tử tuyến tính liên tục.
Khi đó số
inf {K, K > 0 : Ax ≤ K. x , ∀x ∈ X}
được gọi là chuẩn của tốn tử A, kí hiệu là A .
Nhận xét 1.1.
1) Ba chuẩn thường dùng trong Rn là
n

x

1

|xi |

=
i=1

8

của ma trận A là:
n

A
A

1

|aij |

= max

1≤j≤n

i=1
1

2

= { max λi AT A } 2
1≤i≤n

n

A

∞


Ví dụ 1.8. Tốn tử tuyến tính A : RM → RM được xác định bởi
A = BT B

Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>

9

với B là một ma trận vng cấp M , là một tốn tử đơn điệu.
Định nghĩa 1.14. Ánh xạ U s : X → X ∗ (nói chung là đa trị ) xác định
bởi
U s (x) = x∗ ∈ X ∗ : x∗ , x = x∗ . x ; x∗ = x

s−1

,s ≥ 2

được gọi là ánh xạ đối ngẫu tổng qt của khơng gian X. Khi s = 2 thì
U s thường được viết là U và được gọi là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của
X.
Nhận xét 1.2.
i) Trong khơng gian Hilbert H, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc chính là
tốn tử đơn vị I trong H.
ii) Ánh xạ đối ngẫu là một trong những ví dụ về tốn tử đơn điệu,
nó tồn tại trong mọi khơng gian Banach.
Ví dụ 1.9. Với X = Lp (Ω), 1 < p < ∞ và Ω là một tập đo được của
khơng gian Rn thì ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc có dạng
(U x) (t) = x
1.1.3.

Mặt khác, do A là h-liên tục nên với t khá nhỏ ta có
A(x0 ) − f, z >

| A(x0 − tz) − A(x0 ), z | ≤

1
z
3

A(x0 ) − f .

(1.1)

Nhưng từ điều kiện của bổ đề này ta có thể viết
A(x0 − tz) − f, (x0 − tz) − x0 ≥ 0,
hay
A(x0 − tz) − A(x0 ), −tz + A(x0 ) − f, −tz ≥ 0,
hoặc
A(x0 − tz) − A(x0 ), −z ≥ A(x0 ) − f, z .
Do đó,
| A(x0 − tz) − A(x0 ), z | >

1
z
2

A(x0 ) − f > 0

Bất đẳng thức cuối cùng này trái với (1.1).
Bổ đề được chứng minh.

(1.2)

Định nghĩa 1.15. Cho A là một tốn tử từ khơng gian Banach X vào
khơng gian Banach Y , f là phần tử thuộc Y . Bài tốn tìm x ∈ X theo
dữ kiện f ∈ Y được gọi là bài tốn chỉnh trên cặp khơng gian Banach
(X, Y ), nếu có:
1) Với mỗi f ∈ Y tồn tại nghiệm x ∈ X;
2) Nghiệm x đó được xác định một cách duy nhất;
3) Bài tốn này ổn định trên cặp khơng gian (X, Y ).
Định nghĩa 1.16. Cho A là một tốn tử từ khơng gian X vào khơng
gian Y . Bài tốn (1.2) được gọi là bài tốn đặt khơng chỉnh nếu ít nhất
một trong ba điều kiện trên khơng thỏa mãn.
Chú ý 1.2. Một bài tốn có thể đặt chỉnh trên cặp khơng gian này
nhưng lại đặt khơng chỉnh trên cặp khơng gian khác.
1.2.1.

Tốn tử hiệu chỉnh

Định nghĩa 1.17. Tốn tử R(f, α) đa trị, phụ thuộc tham số α, tác
động từ Y vào X được gọi là một tốn tử hiệu chỉnh cho phương trình
A(x) = f0 , nếu:

Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>

12

1. Tồn tại hai số dương δ1 và α1 sao cho tốn tử R(f, α) xác định với
mọi α ∈ (0, α1 ) và với mọi f ∈ Y : ρY (f, f0 ) ≤ δ, δ ∈ (0, δ1 );

Qα = {z ∈ X : ρY (Az, fδ ) ≤ δ} .

Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>

13

Do x0 ∈ Qδ , ta cũng khơng thể lấy xδ là phần tử bất kì nào đó của Qδ ,
với mỗi δ cố định, vì nếu lấy bất kì thì chưa chắc chúng ta đã có xδ → x0
khi δ → 0.
Tuy nhiên, ta có thể chỉ ra ngun lí chọn phần tử xδ thỏa mãn u cầu
trên. Ngun tắc này dựa trên quy tắc cực tiểu phiếm hàm đặc biệt,
được gọi là phiếm hàm ổn định.
Định nghĩa 1.18. Phiếm hàm Ωx ≥ 0 xác định trên X1 ⊆ X được gọi
là phiếm hàm ổn định của hệ Ax = f0 đối với nghiệm x0 nếu
a) x0 ∈ D (Ω), miền xác định của Ω
b)∀d0 > 0, X1d0 = {z ∈ X1 :Ω(x) ≤ d0 } là một tập compact.
Lưu ý là ở đây tập rỗng cũng được coi là tập compact.
Khi đã có một phiếm hàm như vậy ta có thể tiến hành tìm nghiệm
xấp xỉ zδ dựa vào việc giải bài tốn sau:
Ω (zδ ) = inf1 Ω (z) , Q1δ = Qδ ∩ X1 .
z∈Qδ

Phần tử zδ nếu tồn tại, có thể coi như là kết quả của một sự tác động
˜ nào đó phụ thuộc vào tham số δ, có nghĩa
lên fδ ∈ Y bởi một tốn tử R
là
˜ δ , δ).
zδ = R(f

trình tích phân, phương trình vi phân thường cũng như phương trình
đạo hàm riêng. Do đó thay cho dữ kiện chính xác {A, f0 } ta có những
giá trị xấp xỉ {Ah , fδ }. Như vậy ta có một họ các bài tốn (1.3) với ma
trận Ah và vế phải fδ . Bởi có thể với giá trị nào đó của Ah và fδ thì hệ
trên có nghiệm, vơ nghiệm hoặc vơ định. Bài tốn đặt ra là phải hiểu
thế nào là nghiệm cho tất cả các trường hợp. Tiếp theo là phải xây dựng
một thuật tốn để giải hệ đại số tuyến tính cho tất cả các trường hợp
đó.
Định nghĩa 1.19. Phần tử x˜ ∈ Rn được gọi là giả nghiệm của hệ
phương trình đại số tuyến tính (1.3), nếu
A˜
x − f0 = infn Ax − f0 ,
x∈R

ở đây
1
2

n

x2i

x =

.

i=1

Phần tử x0 ∈ S = {x : Ax − f0 ≤ A˜
x − f0 } có chuẩn nhỏ nhất

Như vậy, |µ − µδ | ≤ δ. Do đó, phần tử xấp xỉ xδ nên chọn từ tập
˜ δ = {x : Ax − fδ ≤ µδ + 2δ} .
Q
Nếu có thơng tin hệ phương trình (1.3) giải được thì µ = 0 và
˜ δ = {x : Ax − fδ ≤ δ}.
Q
Vì nghiệm chuẩn tắc là một giả nghiệm có chuẩn nhỏ nhất, cho nên một
˜ δ mà có chuẩn nhỏ
điều tự nhiên là phần tử xấp xỉ cho x0 , nên lấy từ Q
nhất. Tức là để tìm nghiệm xấp xỉ cho bài tốn
Ω (zδ ) = inf1 Ω (z) , Q1δ = Qδ ∩ X1 với X1 ⊆ X
z∈Qδ

Ta giải bài tốn: tìm phần tử x˜δ làm cực tiểu phiếm hàm Ω(x) = x
˜ δ . Ta có định lý sau:
trên tập Q

2

Định lý 1.2. Phần tử cực tiểu x˜δ được xác định một cách duy nhất với
mọi fδ ∈ Rn và δ > 0. Khi δ → 0 dãy x˜δ → x0 .
Chứng minh: Do Ω(x) ≥ 0, cho nên tồn tại
Ω0 = inf Ω(x)
˜δ
x∈Q

Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>


Lấy một dãy {δk } bất kì sao cho fδk − f0 ≤ δk → 0, khi k → ∞.
Ta có tương tự một dãy {˜
xδk }:
Ω(˜
xδk ) = inf Ω(x)
˜δ
x∈Q
k

và µδk = infn Ax − fδk → µ, khi k → ∞.
x∈R

Theo định lý Bolsano - Weierstrass tồn tại một dãy con
˜δ
x˜δks → x˜. Vì x˜δks ∈ Q
ks

x˜δks

:

cho nên
A˜
xδks − fδks ≤ µks + 2δks
khi s → ∞ , ta được |µks − µ| → 0. Do đó A˜
x − f0 ≤ µ. Đối với mọi
x ∈ Rn thì Ax − f0 ≥ µ, suy ra A˜
x − f0 ≥ µ. Như vậy phải có
A˜
x − f0 = µ. Mặt khác, từ x˜ ≤ x0 , suy ra x˜ = x0 , do nghiệm


≤ β2 (δ) , β2 (0) = 0.

Khi đó, với một hàm bất kì α (δ) và dương trên (0, δ2 ] và
δ
β1 (δ)

≤ α (δ) ≤ β2 [δ] ,

phần tử x˜α(δ) làm cực tiểu phiếm hàm
M α [x, fδ ] = Ax − fδ

2

+ α x 2 , α > 0,

hội tụ đến x0 khi δ → 0.
Chứng minh: Phiếm hàm Ω (x) ở đây thỏa mãn hai điều kiện của phiếm
hàm ổn định, do khơng gian X = Rn . Vì vậy, sự tồn tại duy nhất phần
tử cực tiểu x˜α(δ) của phiếm hàm trên là hiển nhiên. Còn lại ta phải đi
chứng minh x˜α(δ) , kí hiệu là x˜α , hội tụ đến x0 . Dễ dàng nhận thấy.
µ2δ + α x˜α

2

≤ M α [˜
xα , fδ ]
≤ M α [x0 , fδ ]
≤ Ax0 − fδ



Do µ ≤ µδ + δ, cho nên
2

x˜α

δ
≤ 4 (µδ + δ) + x0 2 .
α

Từ đây và điều kiện của định lý suy ra
x˜α

2

≤ β1 (δ) 4 (µδ + δ) + x0

2

≤ 4β1 (δ) (µ + 2δ) + x0

2

,

hay
2

x˜α


≤

( Ax0 − f0 + δks )2 + αks x0

≤

(µ + δks )2 + αks x0

2

2

+ δks − µ

+ δks − µ.

Vì αks ≤ β2 (δks ), cho nên
0 ≤ A˜
xαks − f0 − µ ≤

Số hóa bởi trung tâm học liệu

(µ + δks )2 + β2 (δks ) x0 + δks − µ → 0,

/>

19

khi δks → 0. Từ bất đẳng thức cuối cùng suy ra A˜
x − f0 = µ. Điều đó


Cho Aj , j = 1, ..., N, là

N ánh xạ tuyến tính bị chặn từ X tới Yj .
Vấn đề đặt ra là: tìm giá trị x˜ ∈ X sao cho
Aj x˜ = fj ,

∀j = 1, ..., N,

(2.1)

ở đây fj là một phần tử cho trước trong Yj . Đặt
N

Sj = {x ∈ X : Aj x = fj }, j = 1, ..., N, S =

Sj .
j=1

Giả sử rằng S = ∅. Từ tính chất của Aj ta dễ dàng suy ra rằng mỗi Sj
là một tập lồi đóng trong X. Do đó, S cũng là một tập lồi đóng trong
X.
Xét trường hợp khi dữ liệu đầu vào fj là khơng biết chính xác, tức là
δ

chúng ta chỉ có giá trị xấp xỉ fj j của fj thỏa mãn :
δ

fj − fj j


2
X,

(2.3)

trong đó x∗ là một phần tử bất kì trong X \ Sj , α = α(δ1 , · · ·δN ) > 0 là
tham số hiệu chỉnh. Theo kết quả trong [10] đã chỉ ra rằng, mỗi bài tốn
αδ

(2.3) cho phương trình thứ j trong hệ (2.1) có duy nhất nghiệm xj j , và
αδ

nếu δj2 /α, α → 0 thì {xj j } hội tụ đến x˜j thỏa mãn
x˜j − x∗

X

= min x − x∗
x∈Sj

X,

j = 1, ..., N.
δ

δ

Trong luận văn này, ta đi xét bài tốn tìm xαj sao cho xαj → x˜ khi
δj , α → 0, đồng thời chọn tham số hiệu chỉnh α = α(δ1 , · · ·δN ) sao
δ

Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>

22

nghiên cứu phương pháp Landweber-Kaczmarz để giải phương trình
(2.4) với điều kiện nón tiếp tuyến địa phương trên mỗi ánh xạ tuyến
tính Aj . Phương trình (2.4) có thể được xem là trường hợp đặc biệt của
phương trình (2.1) khi N = 1. Tuy nhiên, một trong những lợi thế của
phương trình (2.1) so với (2.4) là nó phản ánh rõ hơn, các thơng tin
quan trọng về (f1 , ..., fN ) khi so sánh với phương trình (2.4) chỉ chứa
thành phần f . Trong [6], để tìm khơng điểm chung của một họ hữu hạn
các ánh xạ đơn điệu và h-liên tục từ khơng gian Banach phản xạ E vào
khơng gian đối ngẫu E ∗ , tác giả Nguyễn Bường đã đề xuất một phương
pháp hiệu chỉnh thơng qua việc giải phương trình hiệu chỉnh sau.
N

αµj Aj (x) + αU (x) = θ,

(2.5)

j=0

µ0 = 0 < µj < µj+1 < 1, j = 1, 2, ..., N − 1,
trong đó U là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của E và ước lượng tốc độ hội
tụ của nghiệm hiệu chỉnh với điều kiện trơn chỉ đặt lên tốn tử A1 , tức
là: A1 (˜
x)∗ z = U (x0 ), với z ∈ E. Trong chương này, để tìm nghiệm của
bài tốn (2.1), ta xét một phương pháp hiệu chỉnh mới dựa trên cơ sở

Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>

23

Các kí hiệu

và → lần lượt chỉ sự hội tụ yếu và hội tụ mạnh, và

a ∼ b có nghĩa là a = O(b) và b = O(a).
2.2.

Thuật tốn cơ bản

Với các giả thiết đặt lên tốn tử Aj ta dễ dàng chỉ ra rằng bài tốn
(2.6) có nghiệm duy nhất. Ta có hai câu hỏi cần trả lời trong phần này.
Một là,bài tốn (2.6) có ổn định nghĩa nghiệm phụ thuộc liên tục vào
δ

dữ kiện ban đầu fj j hay khơng? Hai là, nghiệm của (2.6) có hội tụ tới
nghiệm của (2.1) khi α, δj → 0. hay khơng? Trong [9], sự ổn định đã
được chứng minh đối với trường hợp N = 1. Để thuận tiện cho người
đọc và trả lời hai câu hỏi đó ta đi chứng minh trong trường hợp N tùy
ý với N ≥ 1.
δ

δ

Định lý 2.1. Cho α > 0, fj jk → fj j với δj ≥ 0, khi k → ∞, và xk là


δ

trong đó A∗j là ánh xạ liên hợp của Aj . Vì fj jk → fj j nên suy ra
N

f˜δk

N
δ k
A∗j fj j

=

δ

→ f˜δ =

j=1

A∗j fj j
j=1

khi k → ∞. Gọi xδk
α là nghiệm của phương trình
N

Bx + α(x − x∗ ) = f˜δk ,

δ k

Hơn nữa, khơng mất tính tổng qt, giả định rằng δj = δ, δ → 0.
Định lý 2.2. Cho α(δ) là tham số hiệu chỉnh sao cho α(δ) →
0, δ/α(δ) → 0 khi δ → 0, ở đây δ → 0, α = α(δ). Khi đó dãy {xδα },
hội tụ tới nghiệm x˜ có x∗ - chuẩn nhỏ nhất của (2.1) ở đây xδα là một
nghiệm của (2.6),
Chứng minh. Với mỗi y ∈ S, ta có
N

By = f˜,

f˜ =

A∗j fj .

(2.9)

j=1

Bởi vậy, từ (2.7) và (2.9), ta thu được
Bxδα − By, xδα − y + α xδα − x∗ , xδα − y = f˜δ − f˜, xδα − y .
Kết hợp với tính chất đơn điệu của B ta suy ra
N

xδα

−y

X

≤ x∗ − y

flδk 2Yl

Aj xk − fjδk

≤

2
Yj

j=1
N

Aj y − fjδk

≤

Yj

+ α(δk ) y − x∗

2
X

j=1

≤ N δk2 + α(δk ) y − x∗

Số hóa bởi trung tâm học liệu

2