ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
ĐÀO THỊ TUYẾT
PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH LIÊN TỤC CHO PHƯƠNG
TRÌNH TOÁN TỬ KHÔNG CHỈNH LOẠI HAMMERSTEIN
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Thái Nguyên - Năm 2012
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
ĐÀO THỊ TUYẾT
PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH LIÊN TỤC CHO PHƯƠNG
TRÌNH TOÁN TỬ KHÔNG CHỈNH LOẠI HAMMERSTEIN
Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG
Mã số : 60.46.36
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
GS.TS. NGUYỄN BƯỜNG
Thái Nguyên - Năm 2012
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
i
Mục lục
Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i
Lời cảm ơn 1
Lời nói đầu 2
Một số ký hiệu và chữ viết tắt 3
1 Một số khái niệm cơ bản 5
1.1 Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Toán tử đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Bài toán đặt không chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4 Phương trình toán tử loại Hammerstein . . . . . . . . . . . 16

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
2
LỜI NÓI ĐẦU
Cho H là một không gian Hilbert với chuẩn và tích vô hướng được ký
hiệu tương ứng bởi . và x
∗
, x. Cho F
i
, i = 1, 2, là các toán tử phi tuyến
đơn điệu và liên tục trên H.
Nội dung chủ yếu ở đây là nghiên cứu phương pháp ổn định để tìm
nghiệm xấp xỉ cho phương trình toán tử Hammerstein có dạng:
x + F
2
F
1
(x) = f, f ∈ R(I + F
2
F
1
), (1.1)
dựa trên việc xây dựng một hệ phương trình vi phân bậc một, ở đây I là
toán tử đơn vị và R(A) ký hiệu là ảnh của A. Sau đó, phương pháp này
được xét liên kết với quá trình xấp xỉ hữu hạn chiều của H. Lưu ý rằng
tập nghiệm của (1.1), ký hiệu bởi S
0
, là một tập đóng và lồi (xem [7]).
Thông thường, thay cho F
i
, i = 1, 2, và f ta chỉ biết được các xấp xỉ F

ở đây g(t) là một hàm thực không âm, không giảm và giới nội (đưa một
tập giới nội lên một tập giới nội). Nếu không có thêm điều kiện bổ xung
lên F
i
như là tính đơn điệu mạnh, phương trình (1.1) là bài toán đặt không
chỉnh.
Thật vậy, xét bài toán sau với H = E
2
, không gian Ơcơlit, và
F
1
=

1 −1
1 0

, F
2
=

0 −1
1 1

, x = (x
1
, x
2
) .
Dễ dàng kiểm tra được F
1

2
) với f
2
bất kỳ. Khi f
δ
= (f
δ
1
, f
2
) với f
δ
1
= 0
phương trình không có nghiệm. Vì vậy, (1.1) là một bài toán đặt không
chỉnh.
Để giải (1.1) ta phải dùng phương pháp ổn định. Một trong các phương
pháp ổn định là dựa trên việc giải phương trình
x + F
h
2,α
F
h
1,α
(x) = f
δ
(1.2)
(xem[7], [11]), ở đây F
h
i,α

1
(x)
2

, x
∗
0
= F
1
(x
0
), (1.3)
khi (h + δ)/α, α → 0. Hơn thế nữa, nghiệm x
h,δ
α
này, với mỗi α > 0 cố
định, phụ thuộc liên tục vào F
h
i
, i = 1, 2 và f
δ
. Mới đây, việc sử dụng
phương trình vi phân để hiệu chỉnh bài toán không chỉnh được nghiên
cứu rộng rãi (xem [1], [18] và các tài liệu dẫn), vì khi rời rạc phương
trình vi phân ta thu được nhiều phương pháp lặp khác nhau. Tư tưởng
đó được áp dụng trong phương pháp này để tìm nghiệm cho phương trình
toán tử loại Hammerstein (1.1). Chúng ta tìm một hàm khả vi mạnh
u(t) : [t
0
, +∞) → H, t

trong chương này.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
4
MỘT SỐ KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT
Không gian Hilbert thực ký hiệu là H
Không gian Banach thực ký hiệu là X
Không gian liên hợp của X ký hiệu là X
∗
Tập rỗng ký hiệu là φ
Với mọi x ký hiệu là ∀x
infimum của tập {F (x) : x ∈ X} ký hiệu là inf
x∈X
F (x)
Ánh xạ đơn vị ký hiệu là I
Tập các số thực ký hiệu là R
Miền xác định của toán tử A ký hiệu là D(A)
Ma trận chuyển vị của ma trận A ký hiệu là A
T
Toán tử liên hợp của A ký hiệu là A
∗
Dãy {x
n
} hội tụ mạnh tới x ký hiệu là x
n
→ x
x := y tức là x được định nghĩa bằng y
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
5
Chương 1
Một số khái niệm cơ bản

[a,b]
sao cho
b

a
f
2
(x) dx < +∞ là một không gian Hilbert với tích
vô hướng
f, g =
b

a
f (x) g (x) dx
và chuẩn
f
L
2
[a,b]
=


b

a
f
2
(x)dx



∈ A (x) , y
∗
∈ A (y)
Tập Gr (A) được gọi là đơn điệu nếu nó thỏa mãn bất đẳng thức trên.
Nếu Gr (A) không chứa thực sự được trong một tập đơn điệu nào khác
trong X × X
∗
thì toán tử A được gọi là toán tử đơn điệu cực đại.
Toán tử A được gọi là nửa đơn điệu, nếu tồn tại một toán tử compact C
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
7
sao cho A + C là một toán tử đơn điệu.
Toán tử A được gọi là toán tử bức nếu
lim
x→+∞
A (x) , x / x = +∞
Một trong những ví dụ về toán tử đơn điệu là ánh xạ đối ngẫu U
s
, s  2.
Ánh xạ này tồn tại trong mọi không gian Banach X. Khi s = 2 thì U
s
thông thường được viết là U và được gọi là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của
không gian X. Đối với không gian l
p
, 1 < p < +∞, U (x) = x
2−p
l
p
z, ở
đây x = (x

L
p
(Ω)
, 1 < p < +∞, ánh xạ U có dạng
U (ϕ) = ϕ
2−p
L
p
(Ω)
|ϕ (t)|
p−2
ϕ (t) , t ∈ Ω.
Ánh xạ đối ngẫu chính là toán tử đơn vị I trong không gian H.
U
s
hoặc U là một toán tử đơn điệu chặt và có tính chất bức. Trong một
số trường hợp không gian L
p
(Ω), U
s
còn có tính chất đơn điệu đều và liên
tục theo Holder, vì
U
s
(x) − U
s
(y) , x − y  m
U
x − y
s

e
p
L
p−1
,
e = max {2
p
, 2p} , 1 < L < 3.18, ϑ = p − 1;
2 < p : s = p, m
U
= 2
2−p
/p, c (p) = 2
p
p
p−2
{p [p − 1 + max {p, L}]}
−1
, ϑ = 1
Phiếm hàm ϕ (x) với x ∈ X được gọi là lồi, nếu
ϕ

x + y
2


1
2
[ϕ (x) + ϕ (y)] , x, y ∈ X.
Phiếm hàm ϕ (x) với x ∈ X được gọi là lồi đều, nếu một hàm δ (t) với tính

ϕ (λx + (1 − λ) y) ≤ λϕ (x) + (1 − λ) ϕ (y) −
1
2
λ (1 − λ) τ x − y
2
Định nghĩa 1.6. Miền hữu hiệu của hàm ϕ kí hiệu là domϕ và được định
nghĩa như sau:
domϕ = {x ∈ D : ϕ (x) < +∞} .
Định nghĩa 1.7. Hàm ϕ được gọi là chính thường nếu domϕ = φ và
ϕ (x) > −∞, ∀x ∈ D.
Định nghĩa 1.8. Hàm chính thường ϕ : X → R được gọi là khả vi Fréchet
(khả vi mạnh) ∀x ∈ X, nếu tồn tại toán tử tuyến tính A : X → X
∗
sao
cho
ϕ (x + y) − ϕ (x) = A (x) , y + ω (x, y)
và
lim
y→0
ω (x, y)
y
= 0,
trong đó x, y ∈ X. Khi đó A (x) , y được gọi là vi phân Fréchet và
A (x) = ϕ

(x) được gọi là đạo hàm Fréchet của hàm ϕ tại x.
Định nghĩa 1.9. Giả sử A : X → Y là một toán tử từ không gian Banach
X vào không gian Banach Y. Toán tử A được gọi là khả vi Fréchet tại
x ∈ X nếu tồn tại một toán tử tuyến tính liên tục T : X → Y sao cho
A (x + h) = A (x) + T, h + O (h) , h → 0

F : X → R
F (x + h) − F(x) =
1
3
A(x + h), x + h −
1
3
Ax, x
=
1
3
Ah, h +
1
3
Ax, h +
1
3
Ah, x
=
1
3
Ax, h +
1
3
h, Ax +
1
3
Ah, h
=
2

quan chặt chẽ giữa tính lồi đều của một phiếm hàm và tính đơn điệu đều
của dưới vi phân của nó như sau:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
10
Nếu ϕ là một phiếm hàm lồi đều xác định trên không gian Banach phản
xạ X thì ∂ϕ là một toán tử đơn điệu đều, nếu D (ϕ) ≡ X thì ∂ϕ còn là
một toán tử h - liên tục tại mọi điểm x ∈ X tức là
lim
t→0
∂ϕ (x + ty) = ∂ϕ (x) , ∀x, y ∈ X.
Đây cũng là khái niệm về tính h- liên tục cho một toán tử A bất kỳ.
Định nghĩa 1.11. Phiếm hàm ϕ (x) xác định trên X được gọi là nửa liên
tục dưới yếu tại điểm x
0
, nếu ∀ {x
n
} : x
n
hội tụ yếu đến x
0
⇒ ϕ (x
0
) 
lim inf ϕ (x
n
). Phiếm hàm ϕ (x) được gọi là nửa liên tục dưới yếu, nếu nó
nửa liên tục dưới yếu tại mọi điểm trong miền xác định.
Trong không gian Hilbert H chuẩn của H cũng được kí hiệu là ., phiếm
hàm ϕ (x) = x
p

. Khi
đó, ∂f (x) là một toán tử đơn điệu đều.
Cho không gian Sobolev
W
1
p
(Ω) = {v ∈ L
p
(Ω) : D
α
v ∈ L
p
(Ω) , 0  |α  1|}
với chuẩn được xác định bởi
v
1,p=



Ω

|v|
2
+ |D
α
v|
2

p/2
dΩ

1
p
(Ω)

∗

là đơn điệu đều, ở đây
H

(v) = L
∗
F

(Lv) , L
∗
= −Div
với δ (r) =

2
2−β
/

p
β/p

r
β
, β  p  2.
Một dạng khá quan trọng của toán tử đơn điệu đều là toán tử tuyến tính
đơn điệu mạnh được dùng trong việc hiệu chỉnh phương trình với toán tử

.
Định lý 1.2. Nếu A là toán tử đơn điệu cực đại và bức từ D (A) ⊆ X vào
X
∗
, thì R(A) = X
∗
.
Chú ý 1.1. Trong trường hợp A là toán tử tuyến tính thì tính đơn điệu
tương đương với tính không âm của toán tử.
Ví dụ 1.3. Toán tử tuyến tính A : R
M
→ R
M
được xác định bởi A = B
T
B
với B là một ma trận vuông cấp M, là một toán tử đơn điệu.
Định nghĩa 1.12. Toán tử A được gọi là
1. h-liên tục (hemicontinuous) trên X nếu A(x + ty) hội tụ yếu đến Ax
khi t → 0, ∀x, y ∈ X;
2. d-liên tục(demicontinuous) trên X nếu từ x
n
→ x suy ra Ax
n
hội tụ
yếu đến Ax khi n → ∞
3. liên tục Lipschitz nếu :
∃C > 0 : A (x) − A (y) ≤ C x − y , ∀x, y ∈ X,
liên tục mạnh nếu x
n

(1.6) được gọi là bài toán đặt không chỉnh (ill-posed).
Định nghĩa 1.14. Cho A là một toán tử từ không gian X vào không gian
Y. Bài toán (1.6) được gọi là bài toán đặt không chỉnh nếu nghiệm của nó
không phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu.
Chú ý 1.2. Bài toán tìm nghiệm x phụ thuộc vào dữ kiện ban đầu f, có
là x = (f), được gọi là ổn định trên cặp không gian (X, Y) nếu với mỗi
ε > 0, ∃δ (ε) > 0 sao cho từ ρ
Y
(f
1
, f
2
)  δ (ε) cho ta ρ
X
(x
1
, x
2
)  ε, ở
đây
x
i
=  (f
i
) , x
i
∈ X, f
i
∈ Y, i = 1, 2.
Chú ý 1.3. Một bài toán có thể đặt chỉnh trên không gian này nhưng lại

δ
nói chung không hội tụ đến x.
Ví dụ 1.5. Nếu A là toán tử liên tục mạnh thì bài toán (1.6) (vô hạn
chiều) nói chung là bài toán đặt không chỉnh. Thật vậy, giả sử dãy {x
n
}
chỉ hội tụ yếu, không hội tụ mạnh đến x và y
n
= A(x
n
), y = A(x). Khi đó,
do tính liên tục mạnh của A suy ra y
n
→ y và nghiệm của phương trình
A(x) = f không phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu.
Tuy nhiên, cũng có một vài trường hợp đặc biệt cho phương trình toán
tử với toán tử liên tục mạnh. Chẳng hạn, nếu miền xác định D(A) của
toán tử A là hữu hạn chiều thì mọi dãy hội tụ yếu đều hội tụ mạnh, do đó
chứng minh trên không áp dụng được. Và nếu ta xét một toán tử tuyến
tính compact với miền ảnh (A) hữu hạn chiều thì toán tử ngược A
−1
nói
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
13
chung là liên tục và khi đó bài toán giải phương trình A(x) = f là bài
toán đặt chỉnh.
Ví dụ 1.6. Xét phương trình tích phân Fredholm loại I
b

a

2
[a, b] được cho
bởi
ρ
L
2
[a,b]
(f
0
, f
1
) =


b

a
|f
0
(x) − f
1
(x)|
2
dx


1
2
Giả sử phương trình (1.7) có nghiệm là ϕ
0

, f
1
) = |N|



b

a


b

a
K (x, s) sin (ωs) ds


2
dx



1
2
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
14
có thể làm nhỏ tùy ý. Thật vậy, đặt
K
max
= max

|N|K
max
c
0
ω
ở đây c
0
là một hằng số dương. Ta chọn N và ω đủ lớn tùy ý nhưng
N/ω lại nhỏ. Trong khi đó
ρ
C[a,b]
(ϕ
0
, ϕ
1
) = max
x∈[a,b]
|ϕ
0
(x) − ϕ
1
(x)| = |N|
có thể lớn bất kì.
• Trường hợp 2
A : L
2
[a, b] → L
2
[a, b]
ϕ (x) → f

(x) − ϕ
1
(x)|
2
dx


1
2
= |N|


b

a
sin
2
(ωx) dx


1
2
= |N|

b − a
2
−
1
2ω
sin (ω (b − a)) cos (ω (b + a))

0
= 0 và thay cho λ
0
ta có
λ
δ
: |λ
δ
− λ
0
| < δ. Ta xét các trường hợp:
• Trường hợp 1: λ
δ
> 0. Ta có λ
δ
= λ
1
= λ
0
+
δ
2
. Trong trường hợp này,
thay cho đường thẳng y = y
0
ta có đường thẳng d
1
: y = λ
1
x + y

2
x + y
0
. Do
λ
δ
< 0 cho nên đường thẳng d
2
cắt trục 0x tại một điểm x
2
(δ) nào đó.
Giá trị cực tiểu của phiếm hàm ϕ (y) trên một phần của d
2
nằm trong
vùng {x  0, y  0} đạt được tại điểm x
2
(δ), 0 tức là tại x = x
2
(δ) ta
có ϕ (x
2
(δ)) = 0.
Như vậy với |λ
1
− λ
2
| < δ ta có




1 1.0001 1 1 1
1 1 1.0001 1 1
1 1 1 1.0001 1
1 1 1 1 1.0001







và vế phải
f =

5 5.0001 5.0001 5.0001 5.0001

T
∈ R
5
.
Khi đó phương trình có duy nhất nghiệm
x =

1 1 1 1 1

T
∈ R
5
.
Nếu

5
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
16
thì phương trình có vô số nghiệm.
Nếu
A = A
h
2
=







1 1 1 1 1
1 1.0001 1 1 1
1 1 1.0001 1 1
1 1 1 1.0001 1
1 1 1 1 1







và

∗
 : A (x) = f} .
Bằng cách chọn x
∗
, ta có thể có được nghiệm mà ta muốn xấp xỉ.
1.4 Phương trình toán tử loại Hammerstein
Xét bài toán kỹ thuật dẫn đến phương trình:
x + F
2
F
1
(x) = f. (1.1)
Bài toán. Xét một hệ thống phi tuyến có mối quan hệ ngược được mô tả
bởi hình vẽ sau
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
17
ở đây u
i
là dữ liệu vào, y
i
là dữ liệu ra còn A
i
là các toán tử, nói chung, là
phi tuyến (có thể đa trị) trong không gian Hilbert H (xem [19]). Một hệ
thống có mối quan hệ ngược như vậy thường được xác định bởi một cặp
toán tử A
i
, i = 1, 2. Cho nên ta thường gọi hệ thống có quan hệ ngược
[A
1

2
, e
2
= u
2
+ y
1
.
Hệ thống có mối quan hệ thường được gọi là
• giải được, nếu với mỗi cặp (u
1
, u
2
) ∈ H
2
= H × H tồn tại ít nhất một
cặp (e
1
, e
2
) ∈ H
2
ứng với (u
1
, u
2
),
• không đa nghĩa, nếu mỗi nghiệm được xác định một cách duy nhất,
• một hệ thống chuẩn, nếu [A
1

a + A
1
(x), thì theo định lý trên, hệ giải được khi và chỉ khi ảnh của toán
tử Hammerstein  (I + F
2
F
a
1
) = H với mỗi a ∈ H. Nếu A
2
là một toán tử
tuyến tính, thì với mỗi cặp (u
1
, u
2
) ∈ H
2
nghiệm (e
1
, e
2
) ∈ H
2
được xác
định bởi
(e
1
, e
2
) =


.
Rõ ràng, để tìm nghiệm (e
1
, e
2
) ta phải giải phương trình
(I + A
2
A
1
) (e
1
) = u
1
− A
2
u
2
,
để tìm e
1
. Khi đó,
e
2
= u
2
+ A
1
(I + A

Phương pháp hiệu chỉnh liên tục
cho phương trình toán tử loại
Hammerstein
Trong chương này chúng tôi trình bày hai vấn đề: Hiệu chỉnh liên tục
cho phương trình với toán tử đơn điệu [12] và cho phương trình toán tử
loại Hammerstein trong không gian Hilbert [6].
2.1 Hiệu chỉnh liên tục cho bài toán không chỉnh với toán tử
đơn điệu
Xét thuật toán hiệu chỉnh liên tục cho bài toán
B (u) − f = 0, f ∈ H (2.1)
A) B là toán tử đơn điệu, phi tuyến, C
2
loc
trong không gian Hilbert thực
H, có nghĩa là sup
u∈B(u
0
,r)


B
(j)
(u)


 M
j
(r) := M
j
, j = 0, 1, 2, ở đây r > 0

Phương pháp hiệu chỉnh liên tục giải bài toán (2.1) thay bằng giải bài
toán (2.2) và chứng minh với u
0
bất kỳ ta có
∃u (t) , ∀t > 0, ∃V
ε
:= u (∞) := lim
t→∞
u (t) , B (V
ε
) + εV
ε
− f = 0, (2.3)
và
lim
ε→0
V
ε
− y = 0. (2.4)
Ta có định lý sau:
Định lý 2.1. Nếu A) thỏa mãn thì (2.3), (2.4) và
lim
ε→0
u
ε
(t
ε
) − y = 0, (2.5)
là đúng (với t
ε

0
e
−t
, ở đây g
0
:= g (0). Điều này và (2.2)
suy ra  ˙u  g
0
ε
−1
e
−t
, bởi vì


A
−1
ε


 ε
−1
. Như vậy ∃u (∞) := V
ε
theo
nguyên lý Cauchy ta có:
u (t) − V
ε
  g
0

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
21
Suy ra V
ε
  y và V
ε
hội tụ yếu đến υ khi ε → 0, ở đây υ là một thành
phần nào đó. Vì mọi toán tử h-liên và ω là đóng yếu, cho nên V
ε
hội tụ
yếu đến và B (V
ε
) + εV
ε
→ f suy ra B (υ) + ευ = f, và vì bất đẳng thức
V
ε
  y suy ra υ  lim
ε→0
inf V
ε
  y, ta kết luận được rằng υ là
nghiệm của (2.1) có chuẩn nhỏ nhất, như vậy υ = y. Để chứng ming rằng
V
ε
→ y, ở đây ký hiệu → là sự hội tụ mạnh trong H, sử dụng (3.1) ta được
(V
ε
− y, V
ε

−t
, ω
δ
(t
ε
) − W
δ
  g
0
(δ) ε, (2.12)
ở đây g
0
(δ) := B (u
0
) + εu
0
− f
δ
, và W
δ
:= W
δε
:= ω
δ
(∞) = lim
t→∞
ω
δ
(t).
Trong trường hợp tổng quát, f

δ
, h
δ
  δ, nhận phương trình vừa thu được theo ψ
δ
, và sử
dụng tính đơn điệu của B ta nhận được ε (ψ
δ
, ψ
δ
)  δ ψ
δ
, do đó
W
δ
− V
ε
  δε
−1
. (2.14)
Bây giờ giả thiết rằng:
lim
δ→0
δε
−1
= 0, lim
δ→0
ε (δ) = 0. (2.15)
Chẳng hạn, lấy ε = δ
b

∗
(t)
dt
+ γ(t)

F
h(t)
2
(u
∗
(t)) + α(t)u
∗
(t) + u(t) − f(t)

= θ,
u(t
0
) = u
0
, u
∗
(t
0
) = u
∗
0
, t ≥ t
0
≥ 0,
(2.17)

α(t)γ
2
(t)
= 0.
(2.18)
Để chứng minh lim
t→+∞
u(t) = x
0
, chúng ta nghiên cứu hệ phương trình
vi phân sau:
dy(t, τ)
dt
+ γ(t)

F
1
(y(t, τ)) + α(τ)y(t, τ) − y
∗
(t, τ)

= θ,
dy
∗
(t, τ)
dt
+ γ(t)

F
2

, +∞) với mỗi u
0
, u
∗
0
∈ H và u(t), u
∗
(t) ≤
d
1
, d
1
> 0, t ≥ t
0
.
(ii) các hàm α(t), h(t) và γ(t) thỏa mãn các điều kiện nêu ở trên. Khi đó,
lim
τ→+∞
u(τ) = x
0
.
Chứng minh. Đặt
˜r (t, τ) = ˜r
1
(t, τ) + ˜r
2
(t, τ) ,
˜r
1
(t, τ) = y (t, τ ) − x