ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
PHÍ THỊ BÍCH HÀ
VẤN ĐỀ CHỌN THAM SỐ
TRONG PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH
TÌM NGHIỆM CHUNG CHO MỘT HỆ
HỮU HẠN PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG CHỈNH
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Thái Nguyên - Năm 2014
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
PHÍ THỊ BÍCH HÀ
VẤN ĐỀ CHỌN THAM SỐ
TRONG PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH
TÌM NGHIỆM CHUNG CHO MỘT HỆ
HỮU HẠN PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG CHỈNH
Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG
Mã số: 60.46.01.12
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học
GS.TS. NGUYỄN BƯỜNG
Thái Nguyên - Năm 2014
i
Mục lục
Mở đầu 1
1 Một số khái niệm cơ bản 6
1.1 Không gian Banach - Toán tử đơn điệu và J-đơn điệu . . . 6
1.1.1 Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.2 Toán tử đơn điệu và J- đơn điệu . . . . . . . . . . 8
1.2 Bài toán đặt không chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.1 Khái niệm về bài toán đặt không chỉnh . . . . . . . 11

1. Phương trình (1) có nghiệm x
0
với mọi y ∈ Y ;
2. Nghiệm x
0
được xác định một cách duy nhất;
3. Nghiệm x
0
phụ thuộc liên tục vào f.
Một thời gian dài người ta nghĩ rằng mọi bài toán đặt ra đều thỏa mãn
cả ba điều kiện trên. Nhưng thực tế chỉ ra rằng ý niệm đó sai lầm. Nhất
là khi máy tính điện tử ra đời, trong tính toán các bài toán thực tế bằng
máy tính luôn xảy ra trong quá trình làm tròn số. Chính sự làm tròn đó
dẫn đến những sai lệch đáng kể.
Nếu ít nhất một trong ba điều kiện trên không được thỏa mãn thì bài
toán (1) được gọi là bài toán đặt không chỉnh. Do lớp bài toán đặt không
2
chỉnh có tầm quan trọng trong ứng dụng thực tế, nên nó đã thu hút sự
quan tâm của nhiều nhà toán học nổi tiếng trên thế giới. Một số nhà toán
học Việt Nam cũng đi sâu nghiên cứu và có nhiều đóng góp cho lý thuyết
các bài toán đặt không chỉnh như: Phạm Kỳ Anh, Nguyễn Bường, Đinh
Nho Hào, Đặng Đức Trọng. . .
Để giải số bài toán đặt không chỉnh, bước đầu tiên Tikhonov đã đưa về
bài toán đặt chỉnh bằng cách giả thiết là nghiệm cần tìm nằm vào trong
một tập compact lồi M và ảnh A (M) = N sao cho khi f xấp xỉ bởi f
δ
∈ N
ta vẫn có nghiệm x
δ
thỏa mãn Ax

ở đây ψ là phiếm hàm ổn định trên không gian metric X, α là tham số
hiệu chỉnh phụ thuộc δ, α = α (δ) được chọn sao cho khi δ → 0, ta có
α (δ) → 0 và điểm cực tiểu x
δ
α
của phiếm hàm (2) hội tụ đến nghiệm của
bài toán (1).
Đối với bài toán (1), khi A : H → H (H là không gian Hilbert), là một
toán tử liên tục và đóng yếu, H. W. Engl đã xét dạng cụ thể của (2) là
M
α
[x, f
δ
] = Ax − f
δ

2
+ α x
2
(3)
và chứng minh được bài toán (3) có nghiệm phụ thuộc liên tục vào f
δ
và
hội tụ về nghiệm của (1) khi f
δ
→ f.
Trong trường hợp A là toán tử đơn điệu và hemi liên tục từ không gian
3
Banach X vào X
∗

i
(x
0
) = f
i
, i = 1, 2, , N, (5)
ở đây, A
i
: X → Y
i
, X và Y
i
là các không gian Hilbert. Hệ phương trình
(5) có thể đưa về một phương trình (1), với A : X → Y được xác định
bởi A (x) = (A
1
(x) , A
2
(x) , . . . , A
N
(x)) , Y := Y
1
× Y
2
× . . . × Y
N
và
f = (f
1
, f

0
) −

J

(x
0
) , x
δ
− x
0

Hein đã đưa ra các kết quả về tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh x
δ
về nghiệm x
0
của hệ khi bổ sung điều kiện nguồn lên tất cả các toán tử
A
i
, i = 1, 2, , N.
Trong trường hợp A
i
là các dưới vi phân của các phiếm hàm lồi trên
không gian Banach, Nguyễn Bường đã xây dựng phương pháp hiệu chỉnh
dựa vào việc giải phương trình
N

i=1
α
µ

− β
k

N

i=1
α
i
k
A
i

x
(k)

+ α
N+1
k

x
(k)
− x
∗


, (8)
ở đây, xấp xỉ đầu x
(0)
và x
∗

δ
i

+ α (x − x
∗
) = f
δ
0
(9)
và đưa ra cách chọn tham số α = α (δ), ở đây µ ∈ (0, 1) là hằng số cố
định. Theo phương pháp này, tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh được
đánh giá mà chỉ cần dựa vào điều kiện đặt lên một toán tử A
0
.
Các kết quả đạt được trong luận văn này là kết quả trong quá trình học
tập và nghiên cứu tại Đại học Khoa Học - Đại học Thái Nguyên. Ngoài
phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn được chia thành
hai chương:
Chương 1. Một số khái niệm cơ bản.
Trong chương này ta trình bài các khái niệm cơ bản về không gian
5
Banach và bài toán đặt không chỉnh, thuật toán hiệu chỉnh Tikhonov. Từ
đó giới thiệu phương pháp hiệu chỉnh cho hệ phương trình với toán tử đơn
điệu. Trên cơ sở hiệu chỉnh cho phương trình, chương này còn giới thiệu
bài toán dẫn đến hệ phương trình toán tử đặt không chỉnh và các phương
pháp hiệu chỉnh.
Chương 2. Hiệu chỉnh cho hệ phương trình có toán tử J- đơn điệu.
Trong chương này ta trình bày phương pháp hiệu chỉnh cho hệ phương
trình đối với toán tử J- đơn điệu và liên tục Lipschitz trên không gian
Banach phản xạ và lồi chặt có chuẩn khả vi Gâteaux đều.

1) x > 0, ∀x = 0, x = 0 ⇔ x = 0;
2) αx = |α| . x , ∀x ∈ X, α ∈ R;
3) x + y ≤ x + y , ∀x, y ∈ X, (bất đẳng thức tam giác).
Một không gian định chuẩn đầy đủ là không gian Banach.
+) Sự hội tụ trong không gian Banach:
Dãy các phần tử x
n
không gian Banach X được gọi là hội tụ đến phần
tử x
0
∈ X khi n → ∞, nếu khi n → ∞, ký hiệu là x
n
→ x
0
. Sự hội tụ đó
được gọi là hội tụ mạnh.
Dãy {x
n
} ⊂ X được gọi là hội tụ yếu đến x
0
∈ X, ký hiệu là x
n
7
hội tụ yếu tới x
0
, nếu với ∀f ∈ X
∗
là không gian liên hợp của X, ta có
f (x
n

của X và gọi X
∗∗
= L (X
∗
) là không gian liên hợp thứ hai của X. Ta cho
tương ứng với mỗi x ∈ X một phiếm hàm tuyến tính liên tục x
∗∗
trên X
∗∗
nhờ hệ thức
x
∗∗
, f  = f, x , ∀f ∈ X
∗∗
ở đây f, x là kí hiệu giá trị phiếm hàm tuyến tính liên tục f ∈ X
∗
tại
x ∈ X. Ta có x = x
∗∗
. Đặt h (x) = x
∗∗
, nếu h : X → X
∗∗
là toàn
ánh thì không gian X được gọi là không gian phản xạ.
Ví dụ 1.1. Không gian L
p
[a, b] với 1 ≤ p < ∞ là không gian Banach với
chuẩn
φ =

k
→ x ∈ X;
3) Hình cầu đơn vị đóng trong X là compact yếu;
4) Mỗi tập bị chặn đóng yếu trong X là compact yếu;
5) Mỗi tập lồi đóng bị chặn trong X là compact yếu.
+) Đạo hàm Fréchet:
Cho X, Y là hai không gian Banach. Toán tử A : X → Y được gọi là
khả vi Fréchet tại điểm x ∈ X, nếu tồn tại toán tử tuyến tính liên tục
T : X → Y , sao cho
lim
h→0
A (x + h) − A (x) − T (h)
h
= 0,
T được gọi là đạo hàm Fréchet của A tại x và kí hiệu là A

(x).
1.1.2 Toán tử đơn điệu và J- đơn điệu
Định nghĩa 1.3. Toán tử A được gọi là đơn điệu nếu
x
∗
− y
∗
, x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ X, x
∗
∈ A (x) , y
∗
∈ A (y) .
Tập Gr (A) được gọi là đơn điệu nếu nó thỏa mãn bất đẳng thức trên. Nếu
Gr (A) không được chứa thực sự trong một tập đơn điệu nào khác trong

với c
A
là một hằng số dương thì toán tử A được gọi là
đơn điệu mạnh.
Chú ý: Trong trường hợp A là toán tử tuyến tính thì tính đơn điệu
tương đương với tính không âm của toán tử.
Định nghĩa 1.6. Toán tử A được gọi là
1) h –liên tục (hemicontinous) trên X nếu A (x + ty) → Ax khi t → 0 với
mọi x, y ∈ X
2) d – liên tục (demicontinous) trên X từ x
n
→ x suy ra Ax
n
→ Ax khi
n → ∞
Định nghĩa 1.7. Toán tử A được gọi là toán tử bức (coercive) nếu
lim
x→+∞
Ax, x
x
= +∞, ∀x ∈ X.
Định nghĩa 1.8. Ánh xạ U
S
: X → X
∗
(nói chung đa trị) xác định bởi
U
S
(x) =


} ta có x
n
hội tụ yếu
đến x thì
lim inf
n→∞
F (y) ≥ F (x) , ∀x ∈ X
Định nghĩa 1.10. Cho X là không gian Banach thực phản xạ, F : X → R
là một phiếm hàm lồi, chính thường trên X. Ta định nghĩa ∂F (x) bởi
∂F (x) = {x
∗
: F (y) − F (x) ≥ x
∗
, y − x} , ∀y ∈ X
Phần tử x
∗
∈ X
∗
được gọi là dưới Gradient của hàm F tại x và ∂F (x)
được gọi là dưới vi phân của F tại x.
Định lý 1.11. Cho X là không gian Banach thực phản xạ, X
∗
là không
gian liên hợp của X. Nếu F : X → R là hàm lồi chính thường, nửa liên
tục dưới trên X, thì ánh xạ dưới vi phân ∂F là một toán tử đơn điệu cực
đại từ X vào X
∗
.
Định nghĩa 1.12. Toán tử A : X → X được gọi là
1) J-đơn điệu trên X nếu tồn tại j (x − y) ∈ J (x − y) sao cho

1
, x
2
) và ρ
Y
(f
1
, f
2
) , x
1
, x
2
∈ X, f
1
, f
2
∈ Y .
Giả sử đã có một khái niệm thế nào là nghiệm của một bài toán. Khi
đó, bài toán tìm nghiệm x = R (f) được gọi là ổn định trên cặp không
gian (X, Y ), nếu mỗi số ε > 0 có thể tìm được một số δ (ε) > 0, sao cho
từ ρ
Y
(f
1
, f
2
) ≤ δ (ε) ta có ρ
X
(x

Nếu ít nhất một trong ba điều kiện trên không thỏa mãn, bài toán tìm
nghiệm được gọi là bài toán không chỉnh. Đôi khi người ta gọi là bài toán
đặt không chính quy hoặc bài toán thiết lập không đúng đắn.
Cũng cần lưu ý rằng một bài toán có thể thiết lập không đúng đắn trên
cặp không gian Metric này, nhưng lại thiết lập đúng đắn trên cặp không
gian Metric khác.
Đối với bài toán tìm nghiệm xấp xỉ của phương trình (1) dữ kiện ban
12
đầu ở đây chính là toán tử A và vế phải f.
Giả sử rằng toán tử A cho trước một cách chính xác, còn vế phải f cho
bởi f
δ
với sai số ρ
1
(f
δ
, f ) ≤ δ. Như vậy, với (f
δ
, f ) ta phải tìm một phần
tử x
δ
∈ X hội tụ đến nghiệm chính xác của (1) khi δ → 0. Phần tử x
δ
có
tính chất như vậy gọi là nghiệm xấp xỉ của bài toán không chỉnh trên.
Nếu ta ký hiệu
Q
δ
= {x ∈ X : ρ
Y

),
y = A (x). Khi đó, do tính liên tục mạnh của A suy ra y
n
→ y là nghiệm
của phương trình A (x) = f không phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban
đầu.
Tuy nhiên, cũng có một vài trường hợp đặc biệt cho phương trình toán
tử với toán tử liên tục mạnh. Chẳng hạn, nếu miền xác định D (A) của
toán tử A là hữu hạn chiều thì mọi dãy hội tụ yếu đều hội tụ mạnh, do đó
chứng minh trên không áp dụng được. Và nếu ta xét một toán tử tuyến
tính compact với miền ảnh R (A) hữu hạn chiều thì toán tử ngược A
−1
nói chung là liên tục và khi đó bài toán giải phương trình A (x) = f là bài
toán đặt chỉnh.
13
Ví dụ 1.4. Xét phương trình tích phân Fredholm loại I
b

a
K (x, s)φ (s) ds = f
0
(x) , x ∈ [a, b] (10)
ở đây nghiệm là một hàm φ (x), vế phải f
0
(x) là một hàm cho trước,
K (x, s) là hạch của tích phân. Giả thiết hạch K (x, s) cùng với
∂K(x,s)
∂x
liên tục trên hình vuông [a, b] × [a, b]. Ta xét hai trường hợp sau:
• Trường hợp 1



b

a
|f
0
(x) − f
1
(x)|
2
dx


1
2
.
Giả sử phương trình (12) có nghiệm là φ
0
(x). Khi đó với vế phải
f
1
(x) = f
0
(x) + N
b

a
K (x, s) sin (ωs) ds
Thì phương trình này có nghiệm

K (x, s) sin (ωs) ds


2
dx



1
2
Có thể làm nhỏ tùy ý. Thật vậy, đặt
K
max
= max
x∈[a,b],s∈[a,b]
|K (x, s)| ,
14
Ta tính được
ρ
L
2
[a,b]
(f
0
, f
1
) = |N|


b

(φ
0
, φ
1
) = max
x∈[a,b]
|φ
0
(x) − φ
1
(x)| = |N|
Có thể lớn bất kì.
• Trường hợp 2
A : L
2
[a, b] → L
2
[a, b]
φ (x) → f
0
(x) =
b

a
K (x, s) φ (s) ds.
Tương tự, ta cũng chỉ ra khoảng cách giữa hai nghiệm φ
0
và φ
1
trong

a
sin
2
(ωx) dx

1
2
= |N|

b−a
2
−
1
2ω
sin (ω (b − a)) cos (ω (b + a)).
Dễ dàng nhận thấy rằng hai số N và ω có thể chọn sao cho ρ
L
2
[a,b]
(f
0
, f
1
)
rất nhỏ nhưng ρ
L
2
[a,b]
(φ
0

+
ε
n
, n ≥ 1, c
0
= 0.
15
• Trường hợp 1: Y = C [0, 1] .
Ta có chuỗi Fourier tương ứng
f
1
(t) =
∞

n=0
c
n
cos (nt).
với hệ số (c
0
, c
1
, , c
n
, ) ∈ l
2
. Khoảng cách giữa hai hệ số
(a
0
, a

∞

n=0
1
n
2

1
2
= ε

π
2
6
.
Do đó, khoảng cách này có thể làm nhỏ tùy ý. Trong khi đó
ρ
C[0,1]
(f
0
, f
1
) = max
0≤t≤1





ε

không ổn định khi hệ số của chuỗi có sự thay đổi nhỏ.
• Trường hợp 2: Y = L
2
[0, π] .
Trong trường hợp này bài toán ổn định. Thật vậy
ρ
L
2
[0,π]
(f
1
, f
0
) =

π

0
|f
1
(t) − f
0
(t)|
2

1
2
=

π

(c
n
− a
n
)
2

1
2
= ε
1

π
2
.
1.2.2 Thuật toán hiệu chỉnh Tikhonov
Giả sử A
−1
không liên tục và thay cho f ta chỉ biết f
δ
thỏa mãn
f
δ
− f ≤ δ.
Định nghĩa 1.13. Cho A : X → Y là một toán tử từ không gian Banach
X vào không gian Banach Y . Toán tử T (f, α) phụ thuộc vào tham số α,
16
tác động từ Y vào X được gọi là toán tử hiệu chỉnh cho phương trình (1)
nếu:
1) Tồn tại hai số dương δ

α
− x
0


≤ ε, ở đây x
0
là nghiệm có x
∗
− chuẩn nhỏ nhất cỉa bài
toán (1) và
x
δ
α
∈ T (f
δ
, α (δ, f
δ
)) .
Toán tử hiệu chỉnh T (f, α) trong định nghĩa này nói chung là đa trị.
Phần tử xấp xỉ x
δ
α
∈ T (f
δ
, α (δ, f
δ
)) được gọi là nghiệm hiệu chỉnh của
phương trình (1), còn α = α (δ, f
δ

n
 → x cho ta {x
n
} hội tụ mạnh đến phần tử x.
17
Nếu không có tính đơn điệu đều, thì bài toán (1) nói chung là một bài
toán không chỉnh.
Giả sử (1) có nghiệm. Ta kí hiệu S
0
là tập nghiệm của hệ phương trình
đó. Khi đó, S
0
là một tập đóng và lồi trong X.
Xét phương trình
A (x) + αJ
s

x − x
0

= f
δ
, f
δ
− f ≤ δ, (11)
ở đây J
s
: X → X
∗
là một ánh xạ đối ngẫu tổng quát của X. tức là J

∈ S
0
thỏa mãn


x
0
− x
0


= min
x∈S
0


x − x
0


. (12)
Chứng minh. Do X
∗
là lồi chặt, nên U
s
là một ánh xạ h- liên tục. Vì
vậy A + αU
s
cũng là một toán tử đơn điệu và h- liên tục từ X vào X
∗

δ
α
− x

+α

J
s

x
δ
α
− x
0

− J
s

x − x
0

, x
δ
α
− x

= α

J
s

U


x
δ
α
− x


s
≤
δ
α


x
δ
α
− x


+

U
s

x − x
0

, x − x


x
δ
α

+ αU
s

x
δ
α
− x
0

− f
δ
, x − x
δ
α

= 0, ∀x ∈ X.
Do A + αU
s
là một toán tử đơn điệu, đẳng thức trên cho ta

A (x) + αU
s

x − x
0

δ
α

hội tụ mạnh tới x − 1 = x
0
. Định lý được chứng minh.
19
KẾT LUẬN CHƯƠNG 1
Trong chương này, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm cơ bản về giải
tích hàm trong không gian Banach và giới thiệu một số nét cơ bản về bài
toán đặt không chỉnh, thuật toán hiệu chỉnh Tikhonov và phương pháp
hiệu chỉnh cho hệ phương trình với toán tử đơn điệu. Cụ thể trong chương
2, chúng tôi trình bày phương pháp hiệu chỉnh cho phương trình phi tuyến
đối với toán tử J- đơn điệu và liên tục Lipschitz trên không gian Banach
phản xạ và lồi chặt có chuẩn khả vi Gâteaux đều.
20
Chương 2
Hiệu chỉnh cho hệ phương trình có
toán tử J- đơn điệu
Chương này chúng tôi sẽ trình bày vấn đề chọn tham số trong phương
pháp hiệu chỉnh tìm nghiệm chung cho một hệ hữu hạn phương trình không
chỉnh với toán tử Lipschitz và J- đơn điệu. Kiến thức trong chương này
được viết trên cơ sở bài báo [6] và một số tài liệu trích dẫn trong đó.
2.1 Phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov cho phương
trình toán tử J-đơn điệu
Trong mục này, các kết quả hiệu chỉnh cho phương trình (1) được trình
bày trong trường hợp toán tử A : X → Y là J- đơn điệu trên không gian
Banach phản xạ và lồi chặt với chuẩn khả vi Gâteaux đều. Giả thiết f
được xấp xỉ bởi f
δ

của (1) khi
bổ sung thêm hai điều kiện sau:
A (y) − A (x
0
) − QA

(x
0
)
∗
J (y − x
0
) ≤ ˜τ A (y) − A (x
0
) , (15)
ở đây, y ∈ X, ˜τ > 0, Q là toán tử đối ngẫu chuẩn tắc của X
∗
, và tồn tại
phần tử ω ∈ X sao cho
x
∗
− x
0
= A

(x
0
) ω. (16)
Khi toán tử J không có tính chất liên tục yếu theo dãy và điều kiện
(15), (16) không thỏa mãn, thì cũng chỉ ra sự hội tụ mạnh của nghiệm

− x
∗
, j (x
0
) − z ≤ 0, ∀z ∈ S
0
;
• với mỗi hằng số dương α
i
, δ
i
, i = 1, 2, ta có


x
δ
1
α
1
− x
δ
2
α
2


≤ M
1
|α
1

Nếu tồn tại hằng số α sao cho
A (x) − A (y) , j (x − y) ≥ α x − y
2
, ∀x, y ∈ X,
khi đó A được gọi là α−mạnh. Khi α = 0 thì A được gọi là J− đơn điệu.
Xét hệ phương trình toán tử
A
i
(x) = f
i
, f
i
∈ X, i = 1, , N (17)
Các kết quả hiệu chỉnh cho hệ phương trình (17) được đưa ra trong
trường hợp A
i
là J− đơn điệu và ngược J− đơn điệu mạnh trên không
gian Banach phản xạ lồi chặt với chuẩn khả vị Gâteaux đều. Để tìm nghiệm
của bài toán (17), ta xét phương pháp hiệu chỉnh dựa trên cơ sở tìm nghiệm
của bài toán (9)
A
0
(x) + α
µ
N

i=1

A
i

(.) = A (.) − f, (18)
ở đây x ∈ X. Vì A
f
cũng là một ánh xạ m − J− đơn điệu, cho nên việc
tồn tại T
f
là hiển nhiên. Dễ dàng kiểm tra được T
f
có các tính chất sau:
(i) D (T
f
) = X ;
(ii) T
f
là không giãn, tức là T
f
x − T
f
y ≤ x − y;
(iii) F ix (T
f
) =
˜
S, ở đây F ix (T
f
) = {x ∈ X : x = T
f
(x)}.
Bây giờ ta đi chứng minh định lý cơ bản sau