ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
BÀI THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC
CÁC PHẦN THI BẮT BUỘC
PHẦN 1: TƯ DUY ĐỊNH LƯỢNG (80 PHÚT)
Câu 1. Cho số phức z = (2 + i)(1 − i) + 1 + 3i . Môđun của z là:
2 5
(A)
(B)

13

(C)

4 2

(D)

2 2

Câu 2. Cho
thoả mãn (1 + i)z + (2 - i) z = 4 -i .
Tìm phần thực của z.
Câu 3. Phương trình sin3x + sinx = cos3x + cosx có nghiệm là:


(A)
 x  2  k

 x    k

4

m  0
1  m  2


(C)

 1  m  1
m  2


>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

1


(D)

0  m  1
m  2


Câu 5. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông cân cạnh AB = AC = 2a. Thể tích lăng trụ
h
bằng 2 2a3 . Gọi h là khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (A’BC). Tìm tỷ số .
a

CâuCho
6. Cho số phức z thỏa mãn đẳng thức z + (1 + i) z = 5 + 2i .
Môđun của z là:
2 2

Câu 8. Phương trình log2(3x - 2) = 3 có nghiệm là:
x=2
(A)
10
(B)
x
3
11
(C)
x
3
x=3
(D)
Câu 9. Tìm điều kiện xác định của phương trình sau rồi suy ra tập nghiệm của nó :
A. vô nghiệm

B.

C.

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

2


D.

Câu 10.

Tìm giới hạn: lim


Mặt phẳng (P) đi qua điểm A(1;2;0) và vuông góc với đường thẳng d:

x 1 y z 1
 
có phương
2
1
1

trình là:
2x + y + z – 4= 0
x + 2y – z + 4= 0
2x – y – z + 4= 0
2x + y – z – 4= 0
Tính tích phân

I=
Câu 15. Tìm diện tích của hình phẳng được giới hạn bởi hai đồ thị hàm số có phương trình:

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

3


y = -x2 + 2x +1
y = 2x2 - 4x +1

Câu 16. Phương trình x3-3x=m2+m có 3 nghiệm phân biệt khi:
−2 < m < 1


 y    1  x  1

4
 4
y  0

 y   1  x  1

4
4

Câu 18. Hàm số y=x3-5x2+3x+1 đạt cực trị khi:
x  0
(A)

 x  10
3

x  0
(B)

 x   10
3

x  3
(C)

x  1
3

2
Câu 20. Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x3 - 3x2 + mx tại điểm có hoành độ bằng −1 song song với
đường thẳng d : y = 7x + 100.
(B)

Câu 21. Hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình chữ nhật cạnh AB = 4a, AD = 3a; các cạnh bên đều có
độ dài bằng 5a. Thể tích hình chóp S.ABCD bằng:
10a3
(A)
(B)

10a3 3

(C)

9a 3

9a 3 3
(D)
Câu 22. Khoảng cách từ điểm M (1;2;−3) đến mặt phẳng (P) : 3x + 4y + 4 = 0 bằng:
1
(A)
1/3
(B)
3
(C)
11/3
(D)
Câu 23. Cho bốn điểm A (1;0;1), B (2;2;2), C (5;2;1), D (4;3; −2). Tìm thể tích tứ diện ABCD.



Câu 27. Cho phương trình log4(3.2x - 8) = x - 1 có hai nghiệm x1 và x2. Tìm tổng x1 + x2.

Câu 28.

(A)

 x  my  1
Hệ phương trình 
có nghiệm duy nhất khi:
mx  y  m
1
-1

(B)
(C)
(D)
Câu 29.

(A)
(B)
(C)
(D)
Câu 30.

(A)
(B)
(C)

m 0

31
(B)
33
4
(C)
11
8
(D)
15
Câu 32. Cho mặt cầu (S) : (x - 1)2 + (y+1)2 + (z + 2)2 = 15 và mặt phẳng (P) : x + y + 2z – 2 = 0 . Tìm bán kính
đường tròn giao tuyến của mặt cầu (S) với mặt phẳng (P)

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

6


Câu 33. Phương trình 4x2  x  2x2  x 1  3 có nghiệm là:
x  0
(A)
x  1

(B)
(C)

x  1
x  2

x  0
x  2

(–1;0;1)

Câu 36. Đường tròn tâm I (3;−1), cắt đường thẳng d : 2x + y + 5 = 0 theo dây cung AB = 8 có phương trình
là:
(x - 3)2 + (y + 1)2 = 36
(A)
(x - 3)2 + (y + 1)2 = 4
(B)
(x + 3)2 + (y -1 )2 = 4
(C)
(x - 3)2 + (y + 1)2 = 20
(D)
Câu 37. Hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a; SA ⊥ (ABCD); góc giữa hai mặt phẳng
(SBD) và (ABCD) bằng 600. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB,SC. Thể tích của hình
chóp S.ADNM bằng:
6 3
(A)
a
8
(B)

3

3
2a 3
8

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

7

(D)
Câu 40.

Bất phương trình

x 1 4x  2

x 1
2

1
3  x 1

x  2
1

0  x  3

1  x  2
x  0
1  x  2

1
x2
3
a

Tìm a>0 sao cho I =

x

9
Câu 42. Lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có góc giữa hai mặt phẳng (A’BC) và (ABC) bằng 600;
(B)

8 ln2 -

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

8


(A)
(B)
(C)

cạnh AB = a. Thể tích khối đa diện ABCC’B’ bằng:
3 3
a
4
3 3
a
4
3a3

3 3
a
4
Câu 43. Đồ thị hàm số y = x3 -3x2 + ax +b có điểm cực tiểu A (2;−2). Tìm tổng (a + b).

(D)

Tìm giá trị nhỏ nhất của m sao cho hàm số y  x3  m.x 2  m đồng biến trên R.
3

Câu 46. Tập hợp các số phức z thoả mãn đẳng thức |z + 2 + i| = | z - 3i|có phương trình là:
y=x-1
(A)
y=-x+1
(B)
y=x+1
(C)
y = -x - 1
(D)
Câu 47. Cho Δ ABC có A (1;2), B (3;0), C (−1;−2) có trọng tâm G. Khoảng cách từ G đến đường
thẳng AB bằng:
4
(A)
2
(B)
2
(C)
2 2
(D)
Câu 48. Hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD với AB = 2a, BC = a 3 . Biết rằng ΔSAB
cân đỉnh S, (SAB) ⊥ (ABCD), góc giữa SC với mặt phẳng đáy bằng 60o. Gọi thể tích hình chóp
V
S.ABCD là V. Tìm tỷ số 3 .
a

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!


a2
b  1

1  i  a  bi    2  i  a  bi   4  i   3a  2b   bi  4  i  
Câu 3: Có
sin 3x  sin x  cos 3 x  cos x  2sin 2 x cos x  2 cos 2 x cos x



cos x  0
x   k

cos x  0

2

  cos 2 x  0  
sin 2 x  cos 2 x
x    k 
 
 tan 2 x  1

8
2
Câu 4: Có

x  0
y '  4  m  1 x3  2  m2  2m  x; y '  0  2 x 2  m  1 x 2  m2  2m   0  
2
2

h


 h  a  1
2
2
2
h
AA '
AM
a

Câu 6: Gọi z  a  bi  z  a  bi . Có

 2a  b  5
 z  2i  z  5 .
a  2

 a  bi   1  i  a  bi   5  2i   2a  b   ai  5  2i  
Câu 7: y ' 

3

 x  1

2

 y '  0   3

Câu 8: log 2  3x  2   3  3x  2  8  x 



4x  5  3
4

  3

Câu 11: y '  3x2  2; y '  1  1; M  1;1   C ' . Phương trình tiếp tuyến

y  1.  x  1  1  y  x  2 .
3

3

3

3

2

2

2

2
Câu 12: I   ln  2  x  x  3  dx   ln  x  1  x  2   dx   2ln  x  1 dx   ln  x  2  dx


2



2

I 2   ln  x  2  dx . Đặt
3

3

3

xdx
I 2  x ln  x  2   
  x ln  x  2   x  2ln  x  2  
x2 
2
2

3

 5ln 5  4ln 4  1 . Suy ra
2

I  I1  I 2  5ln 5  4ln 2  3
Câu 13: (P) qua A(1;2;0) nhận (2;1;–1) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình
2(x – 1) + (y – 2) – z = 0 ⇔ 2x + y – z – 4 = 0
Câu 14: Đặt u  x  1  du  dx; dv  sin 2 xdx  v  


1
I    x  1 cos 2 x


Câu 15: Tìm giao điểm 2 đường:  x2  2 x  1  2 x2  4 x  1  3x 2  6 x  0  x  0, x  2
Diện tích cần tính là:

2

2

2

0

0

0

2
2
2
2
3
   x  2 x  1   2 x  4 x  1 dx    6 x  3x  dx   3x  x 

4

Câu 16: Xét f  x   x3  3x  m2  m; f '  x   3x 2  3; f '  x   0  x  1 . Phương trình đã cho
có 3 nghiệm

 f 1 . f  1  0   2  m2  m 2  m2  m  0  2  m2  m  2  1  m  2



 x  1  2 x  1  0  k   4  d  : y    4  x  4

x  3
Câu 18: y  x  5 x  3x  1; y '  3x  10 x  3; y '  0  
x  1
3

3

2

2

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

12


1
Câu 19: I   x.e2 x dx . Đặt u  x  du  dx; dv  e2 x  v  e2 x . Suy ra
2

I

xe2 x
e2 x dx xe2 x e2 x
1 
1


3

Câu 23: AB  1; 2;1 , AC   4; 2;0  , AD   3;3; 3  VABCD 
4

1
 AB; AC  . AD  4 (đvtt)

6

k

4
4
4k  1 
1 

Câu 24:  x7  4    C4k  x 7   4    C4k x 2811k . Hệ số của x6 ứng với 28 – 11k = 6 ⇔
x  k 0

x 
k 0

k = 2. Hệ số đó là C42  6
Câu 25: Mặt phẳng (MNK) cắt cạnh BB’ và DD’ tại P, Q thì thiết diện là ngũ giác MPNKQ
Câu 26: y '  3x2  6 x  m; y '  2   0  m  0
Câu 27: log 4  3.2  8  x  1  3.2  8  4
x

x


b

c

0
n
.
n

0


 P Q
Phương trình (P): x – 2y –1 = 0

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

13


u3  2u1  7 3u1  2d  7
u  1

 1
 u10  u1  9d  19
Câu 30: 
u2  u4  10 2u1  4d  10 d  2
Câu 31: Xác suất để 4 viên lấy ra chỉ toàn màu xanh và toàn màu đỏ lần lượt là
Xác suất để 4 viên lấy ra có cả 2 màu là 1 

2

x

x 2  x 1



3 2

x2  x



2x  x  1
x  0
3  0   2
 x2  x  0  
 2 x  x  3  L 
x  1
2

2

 2.2

x2  x

 0,09  x2  x  2   x  2  x  1  0  2  x  1


2

2

Câu 37: Gọi H là tâm hình vuông ABCD. Góc giữa (SBD) và (ABCD) là SHA  60 .

AH 
VS . AMN
VS . ABC

AB a 2
a 6
1
a3 6

; SH  AH .tan 60 
;VS . ABC  VS . ADC  SH . AB.BC 
2
2
6
12
2
 a3 6   1 1  a3 6
SM SN 1 VS . ANC SN 1

.
 ;

  VS . AMND  
 .    

Câu 40:
x

x

u  x  du  dx; dv  e 2 dx  v  2e 2
a
x
 x

  2e 2 dx   2e 2  x  2  


0
0
I 4a2
x a

a

I  2 xe 2

a

 2e 2  a  2   4

0

Câu 41: Đặt


2

1
a3 3
3a
⇒ VABCC ' B '  AH .BC.BB ' 
3
4
2

Câu 43:

y '  x   3x 2  6 x  a; y '  2   0  a  0
y  2   2  8  12  b  2  b  2  a  b  2
Câu 44:

5x  7
2 
 3
0 x2  3x  2 dx  0  x  2  x  1  dx   3ln x  2  2ln x  1  0  3ln 4  2ln 3  3ln 2  3ln 2  2ln 3
2

2

2

Câu 45:
Hàm số đã cho đồng biến trên ℝ ⇔ y '  x2  2mx  0, x 

  '  m2  0  m  0

V
V  SH . AB.BC  2a 3  3  2
3
a
Câu 49: Bán kính mặt cầu là R  d  I ;  P   

0 1 2  6
111

 3.

Phương trình mặt cầu x 2   y  1   z  2   3
2

2

Câu 50: Hàm số đã cho đồng biến trên trên (0;+∞) khi và chỉ khi

y '  3x2  12 x  m  0, x   0;    m  12 x  3x 2 , x   0;   .





Vẽ bảng biến thiên, ta có: max 12 x  3x 2  12
x 0; 

Vậy điều kiện cần tìm của m là m ≥ 12.

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!