Chuyên đề Hình học không gian

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng

Tài liệu tham khảo:

01. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG
Thầy Đặng Việt Hùng
I. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN

1) Góc giữa hai véc tơ
 AB = u
Giả sử ta có 

→ u; v = AB; AC = BAC , với 0o ≤ BAC ≤ 180o.
 AC = v
2) Tích vô hướng của hai véc tơ
 AB = u
Giả sử ta có 

→ u.v = AB. AC = AB . AC .cos AB. AC
 AC = v
Nhận xét:
u = 0
+ Khi 

→ u.v = 0
v = 0

( ) (


Hướng dẫn giải:
a) Sử dụng công thức tính góc giữa hai véc tơ ta được
AB. BC
AB. BC AB. BC
cos AB; BC =
=
=
, (1) .
AB.BC
a2
AB . BC

(

)

(

)

Xét AB. BC = AB. BA + AC = AB.BA + AB. AC

(

)

AB.BA = AB.BA.cos AB.BA = a.a.cos1800 = −a 2
Mà

(

)

(

(

)

b) Ta có cos CI ; AC =

CI . AC
CI . AC

=

)

CI . AC
CI . AC

Tứ diện ABCD đều cạnh a, CI là trung tuyến của tam giác đều ABC nên CI =

(

)

(

)


.cos1800 = −

→ CI . AC = 0 −
=−
.
2
2
4
4
4
3a 2
−
3

→ CI ; AC = 1500.
Thay vào (2) ta được ( 2 ) ⇔ cos CI ; AC = 2 4 = −
2
a 3
2
0
Vậy CI ; AC = 150 .

Đồng thời, CI . IC = CI . IC .cos CI ; IC =

(

(

)



(

)

b) cos SM ; BC =

SM . BC
SM . BC

=

)

SM . BC
, (1) .
SM .BC

 SA.SB = 0

Mà SA, SB, SC đôi một vuông góc nên  SA.SC = 0

 SB.SC = 0
Tam giác SAB và SBC vuông tại S nên theo định lý Pitago ta
 BC = a 2

được AB = BC = a 2 
→
1
a 2


(

)(

(

)

)

(

)

II. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG

1) Khái niệm véc tơ chỉ phương của đường thẳng
Một véc tơ u ≠ 0 mà có phương song song hoặc trùng với d được gọi là véc tơ chỉ phương của đường thẳng d.
2) Góc giữa hai đường thẳng
Khái niệm:
Góc giữa hai đường thẳng a và b là góc giữa hai đường thẳng a′; b′ lần lượt song song với a; b. Kí hiệu ( a;b ).
a// a ′
Từ định nghĩa ta có sơ đồ 

→ ( a;b ) = ( a ′;b′ )
 b// b′
Nhận xét:

( )


Chú ý:
Các phương pháp tính toán góc giữa hai đường thẳng:
Nếu góc thuộc tam giác vuông thì dùng các công thức tính toán trong tam giác vuông: sin, cosin, tan, cot.
Nếu góc thuộc tam giác thường thì sử dụng định lý hàm số cosin trong tam giác ABC:
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A 
→ cos A =

b2 + c 2 − a 2
.
2bc

Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, các tam giác SAB, SAD, SAC là các tam giác
vuông tại A. Biết SA = a 3; AB = a; AD = 3a . Tính góc giữa các đường thẳng sau:
a) SD và BC.
b) SB và CD.
c) SC và BD.
Hướng dẫn giải:
a) Tính góc giữa SD và BC
Để xác định góc giữa hai đường thẳng SD và BC ta sử dụng
phương án 2, tìm đường thẳng song song với một trong hai
đường thẳng SD, BC và song song với một đường còn lại.
Ta dễ nhận thấy AD // BC.
SDA
Khi đó ( SD; BC ) = ( SD; AD ) = 
o
180 − SDA
Xét ∆SAD: tan SDA =

SA

a 7
2
Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông ABI: IB = IA + AB = 
 + a =
2
 2 
2

2

ABCD là hình chữ nhật nên BD = AB2 + AD 2 = a 2 + 9a 2 = a 10 
→ OB =
2

a 10
= OA
2
2

 a 3   a 10 
a 13
Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông ABO: IO = IA + AO = 
 + 
 =
2
 2   2 
2

Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán!



2

2

 8 
Vậy ( SC;BD ) = arccos 
.
 130 

Ví dụ 2. Cho tứ diện ABCD, gọi M, N là trung điểm của BC, AD. Biết AB = CD = 2a , MN = a 3 . Tính góc giữa
hai đường thẳng AB và CD.
Hướng dẫn giải:
Do AB và CD là các cạnh của tứ diện nên chúng chéo nhau,
để xác định góc giữa hai đường thẳng AB và CD ta tạo các
đường thẳng tương ứng song song với AB, CD và chúng cắt
nhau.
Gọi P là trung điểm của AC, khi đó MP // AB, NP // CD
 MPN

→ ( AB,CD ) = ( MP, NP ) = 
180o − MPN
Do MP, NP là các đường trung bình nên ta có MP = NP = a.
Áp dụng định lý hàm số cosin trong ∆MPN ta được
MP 2 + NP 2 − MN 2 2a 2 − 3a 2
1
cos MPN =
=
=−
2MP.NP

SA
3
= 3 =

→ α = 30o
Tam giác SAB vuông tại A nên α là góc nhọn, khi đó tan α =
AB
2a
3
Vậy góc giữa hai đường thẳng DC và SB bằng 30o.
b) Gọi I là trung điểm của AB, khi đó AI = a. Tứ giác ADCI là hình bình hành (do AI // DC), có AI = AD = a nên là
hình thoi. Lại có góc A, D vuông nên ADCI là hình vuông cạnh a 
→ DI = a 2.
mặt khác, tứ giác BIDC là hình bình hành (do cặp cạnh DC và BI song song và bằng nhau) nên BC // DI.
Khi đó, ( SD, BC ) = ( SD, DI ) = β .
2

 2a 3 
7a 2
2
Tam giác SAI vuông tại A nên SI = SA + AI = 
 + a =
3
 3 
2

2

2


 3 
Do cosSDI > 0 nên góc SDI là góc nhọn 
→ β = SDI = arccos 
.
 42 

BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Cho tứ diện đều ABCD cạnh a, gọi I là trung điểm cạnh AD. Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CI.
 3
Đ/s: ( AB; CI ) = arccos 
 .
 6 
Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, AD và AC. Biết AB = 2a, CD = 2a 2, MN = a 5.
Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD.

(

)

Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = AB = AC = a và BC = a 2. Tính góc giữa SC , AB , từ đó suy ra góc

giữa SC và AB.
III. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC

Hai đường thẳng a, b được gọi là vuông góc với nhau nếu ( a; b ) = 90o ←
→ a ⊥ b.
Chú ý:
Các phương pháp chứng minh a ⊥ b:
Chứng minh ( a; b ) = 90o
Chứng minh hai véc tơ chỉ phương của hai đường thẳng vuông góc với nhau, u.v = 0.

2
Chứng minh IJ vuông góc với CD
Do các ∆ACD, ∆BCD đều nên CI = DI → IJ ⊥CD.
b) Áp dụng định lý Pitago cho ∆AIJ vuông tại I ta được
2

 a 2  a2 a
IJ = AJ − AI = 
=
 −
4 2
 2 
Vậy IJ = a/2.
2

2

Ví dụ 2. Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = SB = SC và ASB = BSC = CSA.
Chứng minh rằng SA ⊥ BC, SB ⊥ AC, SC ⊥ AB.
Hướng dẫn giải:
Chứng minh: SA ⊥ BC.
Xét SA.BC = SA. SC − SB = SA.SC − SA.SB

(

)

(
)
SA.SB = SA.SB.cos( SA;SB ) 

→ AO.CD = 0 ⇔ AO ⊥ CD.

MO ⊥ CD
MO.CD = 0
b) Xác định góc giữa BC và AM; AC và BM
Xác định góc giữa BC và AM:
Gọi I là trung điểm của BD → MI // BC.
 AMI
Từ đó ( BC;AM ) = ( MI; AM ) = 
180 − AMI
Áp dụng định lý hàm số cosin trong ∆AMI ta được
AM 2 + MI 2 − AI2
cos AMI =
, (1) .
2.AM.MI
a 3
Các ∆ABD, ∆ACD đều, có cạnh a nên AI = AM =
.
2

Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán!

www.moon.vn


LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng

Chuyên đề Hình học không gian

MI là đường trung bình nên MI = a/2.

 1 
Do đó, ∆AIM = ∆BJM 
→ AMI = BMJ = arccos 
.
2 3
 1 
Vậy ( AC;BM ) = arccos 
.
2 3
Ví dụ 4. Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ cạnh a. Đặt AB = a, AD = b, AA′ = c.
a) Tính góc giữa các đường thẳng: ( AB,B′C′ ); ( AC,B′C′ ); ( A′C′,B′C ).
b) Gọi O là tâm của hình vuông ABCD và I là một điểm sao cho OI = OA + OA′ + OB + OB′ +
+ OC + OC′ + OD + OD′. Tính khoảng cách từ O đến I theo a.
c) Phân tích hai véc tơ AC′, BD theo ba véc tơ a, b, c. Từ đó, chứng tỏ rằng AC′′ và BD vuông góc với nhau.
d) Trên cạnh DC và BB′′ lấy hai điểm tương ứng M, N sao cho DM = BN = x (với 0 < x < a).
Chứng minh rằng AC′′ vuông góc với MN.
Hướng dẫn giải:
Nhận xét:
Để làm tốt các bài toán liên quan đến hình lập phương ta cần nhớ một số tính chất cơ bản của hình lập phương:
Tất cả các đường chéo ở các mặt của hình lập phương đều bằng nhau và bằng a 2 (nếu hình lập phương cạnh a).
Các đoạn thẳng tạo bởi các kích thước của hình lập phương luôn vuông góc với nhau (dài, rộng, cao).

a) Tính góc giữa: ( AB,B′C′ ); ( AC,B′C′ ); ( A′C′,B′C ).

Tính ( AB, B′C′ ) :
Do B′C′//BC 
→ ( AB, B′C′ ) = ( AB, BC ) = 90o.
Tính ( AC, B′C′ ) :

 ACB


→ OA + OC + OB + OD = 0
OB + OD = 0
Khi đó OI = OA′ + OB′ + OC′ + OD′
OA′ + OC′ = 2OO′
Gọi O′ là tâm của đáy A′B′C′D′, theo quy tắc trung tuyến ta có 

→ OI = 4OO′
OB′ + OD′ = 2OO′
Khoảng cách từ O đến I chính là độ dài véc tơ OI, từ đó ta được OI = 4OO′ = 4a.
c) Phân tích hai véc tơ AC′, BD theo ba véc tơ a, b, c.
a.b = 0

Theo tính chất của hình lập phương ta dễ dàng có a.c = 0

b.c = 0
AC′ = AB + BC + CC′ = a + b + c
Phân tích:
BD = BA + AD = b − a
Chứng minh AC′ vuông góc với BD.

(

)(

)

2

2


+  BN.AB + BN.BC + BN.CC′  = MC.AB + CB.BC + BN.CC′
0
 0


(

)(

)

MC.AB = MC.AB.cos0o = ( a − x ) a
Mà

CB.BC = CB.BC.cos180o = −a 2


→ MN.AC′ = ( a − x ) a − a 2 + ax = 0 ⇔ MN ⊥ AC′.

BN.CC′ = BN.CC′.cos0o = ax

BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật với AB = a; AD = a 3 , SA = 2a và vuông góc với đáy. Tính

góc giữa các đường thẳng sau:
a) SB và CD

b) SD và BC


Tài liệu bài giảng:

MẶT CẦU KHÔNG GIAN – P1
Thầy Đặng Việt Hùng

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD, có đường cao SA = 2a 3 đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh 2a.
a) Chứng minh rằng: (SCD)⊥(SAD).
b) Tính khoảng cách từ O và từ A tới mặt phẳng (SCD).
c) Tính tan của góc giữa SB và (SAC).
d) Xác định tâm, bán kính, và tính diện diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC, có đường cao SA, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a; AC = a 3 .
Biết khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng

a 3
. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và thể tích khối
4

cầu ngoại tiếp khối chóp.

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD, có đường cao SA, đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 2a; AD = 2a 3 .
Gọi O là tâm đáy, biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SD bằng

a 3
.
2

a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD
b) Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD.
Ví dụ 4: Hình chóp S.ABC có đường cao SA = a, đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Tính bán kính mặt cầu
ngoại tiếp hình chóp.

a) Gọi O là trung điểm của SC. Chứng minh: OA = OB = OC = SO. Suy ra bốn điểm A, B, C, S cùng nằm
trên mặt cầu tâm O bán kính R =

SC
.
2

b) Cho SA = BC = a và AB = a 2 . Tính bán kính mặt cầu nói trên.
Ví dụ 11: Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC) và tam giác ABC vuông tại B. Gọi AH, AK lần lượt là các
đường cao của các tam giác SAB và SAC.
a) Chứng minh rằng năm điểm A, B, C, H, K cùng ở trên một mặt cầu.
b) Cho AB = 10, BC = 24. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu đó.
Ví dụ 12: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA = a 7 và SA ⊥ (ABCD). Một
mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với SC, cắt SB, SC, SD lần lượt tại H, M, K.

a) Chứng minh rằng bảy điểm A, B, C, D, H, M, K cùng ở trên một mặt cầu.
b) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu đó.

Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn

Facebook: LyHung95


Chuyên đề Hình học không gian

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN

Tài liệu bài giảng:

MẶT CẦU KHÔNG GIAN – P2

2

a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD
b) Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD.
Ví dụ 5: Cho tứ diện ABCD, biết AB = BC = AC = BD = a, AD = b. Hai mặt phẳng (ACD) và (BCD)
vuông góc với nhau.
a) Chứng minh tam giác ACD vuông.
b) Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

Đ/s: R =

a2
3a 2 − b 2

Ví dụ 6: Trong mặt phẳng (P), cho hình thang cân ABCD với AB = 2a, BC = CD = DA = a. Trên nửa
đường thẳng Ax vuông góc với (P) ta lấy một điêm di động S. Một mặt phẳng qua A vuông góc với SB,
cắt SB, SC, SD lần lượt tại P, Q, R.
a) Chứng minh rằng bảy điểm A, B, C, D, P, Q, R luôn thuộc một mặt cầu cố định. tính diện tích của mặt
cầu đó.
b) Cho SA = a 3 . Tính diện tích của tứ giác APQR.

Ví dụ 7: Cho hình chp S.ABC có đáy là tam giác ABC biết AB =5a ; BC =4a và CA = 3a..Trên đương
vuông góc với (ABC) dựng từ A lấy một điểm S sao cho (SBC) tạo với đáy góc 450 . Xác định tâm và
tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chop trên.

Ví dụ 8: Cho ∆ ABC cân có BAC = 1200 và đường cao AH = a 2 . Trên đường thẳng ∆ ⊥ (ABC) tại
Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn

Facebook: LyHung95


định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SBCD biết BSD = 900.
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với AB // CD, AB = 2a; BC = CD = DA = a,
SA = SB = SC = SD; d ( AB; SC ) =

a 2
. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.
2

Ví dụ 4: Cho tứ diện ABCD có các mặt phẳng (ABC) và (BCD) vuông góc với nhau. Biết

BC = a; BAC = 600 ; BDC = 300 . Tính bán kính và thể tích khối cầu ngoại tiếp ABCD.
Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABC có các mặt phẳng (ABC) và (SBC) vuông góc với nhau. Biết
AB = AC = SA = SB = a; SC = x . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho theo a và x.

Đ/s: R =

a2
3a 2 − x 2

Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a; AD =

2a 6
, mặt phẳng (SAB)
3

vuông góc với đáy và SA = SB = a. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối S.ABD theo a.

Đ/s: R = a
BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông và AB = BC = a. Cạnh SA vuông góc với mặt phẳng

đường thẳng SB với mặt phẳng (ABC).

Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn

Facebook: LyHung95 – Fanpage: Hungdv95


Chuyên đề Hình học không gian

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng

Tài liệu bài giảng:

02. LUYỆN TẬP VỀ TÍNH GÓC
Thầy Đặng Việt Hùng
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B. Biết SA vuông góc với
(ABCD), AB = BC = a; AD = 2a, SA = a 3. Tính góc giữa
a) (SB; CD)
b) (SC; AB)
c) (SD; BC)
d) (SB; CK), với K là điểm thuộc đoạn AB sao cho BK = 2KA.
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, hình chiếu vuông góc của đỉnh S xuống
1
2

(ABCD) là điểm H thuộc cạnh AB với AH = HB. Biết AB = 2a; AD = a 3; SH = a 2. Tính góc giữa
a) (SD; BC)
b) (SB; CD)
c) (SA; HC)
BÀI TẬP TỰ LUYỆN:


Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Gọi I là trung điểm của BC. Hình chiếu
vuông góc của S xuống mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc AI với HI + 2 HA = 0 và SH = a 3.
a) Tính góc giữa hai đường thẳng (SA; BC)
b) Tính góc giữa hai đường thẳng (AB; SI)
Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S xuống
(ABCD) là điểm H thuộc cạnh AC với AH =

1
AC ; SH = 2a. Tính góc giữa
4

a) (SA; CD)
b) (SC; BD)
c) (SB; AD)
d) (SA; BD)
Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, hình chiếu vuông góc của đỉnh S xuống
(ABCD) là trung điểm H của AB. Biết SH = a 3. Tính góc giữa

a) (SA; BC)
b) (SB; CD)
c) (SA; CD)
d) (SB; MN), với M và N là trung điểm của BC; CD.
e) (SC; MN), với M, N như trên.
Bài 7. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S xuống (ABC)
là điểm H thuộc AB sao cho AH =

1
a2 3
AB. Biết diện tích tam giác SAB bằng


O
A

* Stp = Sxq + 2Sđáy = 4 π R2 + π R2 = 5 π R2
h

l

b) V = πR 2 h = π.OA 2 .OO′ = π.R 2 .2R = 2πR 3
B'

O'
A'

Ví dụ 2: Một hình trụ có bán kính đáy r = 5 cm và khoảng cách giữa hai đáy bằng 7 cm.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ
b) Tính thể tích của khối trụ
c) Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trụ 3 cm. Hãy tính diện tích của thiết diện
được tạo nên
Hướng dẫn giải:
a) Ta có Sxq = 2πRl = 2π.OA.AA’ = 2 π .5.7 = 70π (cm2)
B
O
r

* Stp = Sxq + 2Sđáy = 70π + 50π = 120π (cm2)

I




Chuyên đề Hình học không gian

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng

a) * Sxq = 2 π Rl = 2 π .OA.AA’ = 2 π .r. r 3 = 2 3 π r2
* Stp = Sxq + 2Sđáy = 2 π r2 3 + 2 π r2 = 2 ( 3 + 1) π r2
b) * V = πR h = π.OA .OO′ = π.r .r 3 = πr
2

A
r

2

2

O

3

3

∧

c) * OO’//AA’ ⇒ BA A′ = 300
* Kẻ O’H ⊥ A’B ⇒ O’H là khoảng cách giữa đường thẳng AB
r3
A'


A′B
r
=
2
2

Tính: A’B = r (do tam giác AA’B vuông tại A’)

Ví dụ 4: Cho một hình trụ có hai đáy là hai đường tròn tâm O và O’, bán kính R, chiều cao hình trụ là

R 2.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ
b) Tính thể tích của khối trụ
Hướng dẫn giải:
A

R

a) * Sxq = 2πRl = 2π.OA.AA’ = 2 π .R. R 2 = 2 2 π R2

O

* Stp = Sxq + 2Sđáy = 2 2 π R2 + 2 π R2 = 2 ( 2 + 1) π R2
b) * V = πR 2 h = π.OA 2 .OO′ = π.R 2 .R 2 = πR3 2
R2

A'

O'

5a
; chiều cao hình lăng trụ bằng h.
2

a) Chứng minh có hình trụ nội tiếp hình lăng trụ đã cho.
b) Tính diện tích toàn phần và thể tích hình trụ đó.
Bài 3: Một hình trụ có thiết diện qua trục là hình vuông, diện tích xung quanh bằng 4 .
a) Tính diện tích toàn phần của hình trụ.
b) Tính thể tích khối trụ.
c) Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình trụ.
Bài 4: Cho hình trụ có trục O1O2. Một mặt phẳng ( ) song song với trục O1O2 cắt hình trụ theo
thiết diện là hình chữ nhật ABCD. Gọi O là tâm của thiết diện đó. Tính góc O1OO2 biết bán kính
đờng tròn ngoại tiếp ABCD bằng bán kính đờng tròn đáy của hình trụ.

Tham gia khúa TON 2014 t 9 im Toỏn www.moon.vn

facebook: LyHung95 fanpage: Hungdv95


LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng

Chuyên đề Hình học không gian

Tài liệu bài giảng:

03. ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG – P1
Thầy Đặng Việt Hùng
DẠNG 1. CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG

Đường thẳng song song với mặt phẳng:

+ Định nghĩa: Đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng
(P) khi nó vuông góc với mọi đường thẳng a nằm trong
∀a ⊂ ( P )
(P). Viết dạng mệnh đề: d ⊥ ( P ) ⇔ 
d ⊥ a

+ Hệ quả 1: Để chứng minh đường thẳng d vuông góc
với (P) ta chỉ cần chứng minh d vuông góc với hai đường
thẳng cắt nhau nằm trong (P).
+ Hệ quả 2: Nếu hai đường thẳng phân biệt d1; d2 cùng
vuông góc với (P) thì d1 // d2.
+ Hệ quả 3: Nếu hai mặt phẳng (P1); (P2) cùng vuông
góc với đường thẳng d thì (P1) // (P2).
+ Hệ quả 4: Nếu đường thẳng d cùng vuông góc với một
đường thẳng a và một mặt phẳng (P) thì khi đó đường
thẳng a hoặc song song với (P) hoặc nằm trong (P).

Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán!

www.moon.vn


LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng

Chuyên đề Hình học không gian

 a // ( P )
d ⊥ a
Viết dạng mệnh đề: 


OC 2

Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABC có SB vuông góc với mặt phẳng (ABC), tam giác ABC vuông tại A.
a) Chứng minh rằng tam giác SAC vuông.
b) Tính SA, SB, SC biết ACB = α; ACS = β; BC = a.
Ví dụ 4. Cho tứ diện ABCD có DA ⊥ (ABC), tam giác ABC cân tại A với AB = AC = a; BC =

6a
. Gọi M là
5

trung điểm của BC, kẻ AH ⊥ MD, với H thuộc MD.

a) Chứng minh rằng AH ⊥ (BCD)
b) Cho AD =

4a
. Tính góc giữa hai đường thẳng AC và DM.
5

c) Gọi G1 ; G2 là trọng tâm các tam giác ABC và DBC. Chứng minh rằng G1G2 ⊥ (ABC).
Ví dụ 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy. Gọi B1; C1; D1
là hình chiếu vuông góc của A lên các cạnh SB, SC, SD.

a) Chứng minh rằng B1D1 // BD và SC ⊥ (AB1D1)
b) Chứng minh rằng các điểm A, B1, C1, D1 đồng phẳng và tứ giác AB1C1D1 nội tiếp đường tròn.
c) Cho SA = a 2. Tính góc giữa hai đường thẳng SB và AC1.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài 1: Cho tứ diện S.ABC có SA vuông góc với (ABC) và ∆ABC vuông ở B. Chứng minh rằng
a) BC ⊥ (SAB).

c) Gọi M là một điểm thuộc đường thẳng CD sao cho BM ⊥ SA. Tính AM theo a.
a a 3
.
2 2

Đ/s: a) a; ,

c)

a 5
.
2

Bài 6. Cho ∆MAB vuông tại M ở trong mặt phẳng (P). Trên đường thẳng vuông góc với (P) tại A ta lấy 2
điểm C, D ở hai bên điểm A. Gọi C′ là hình chiếu của C trên MD, H là giao điểm của AM và CC′.
a) Chứng minh rằng CC′ ⊥ (MBD).
b) Gọi K là hình chiếu của H trên AB. Chứng minh rằng K là trực tâm của ∆BCD.
Bài 7. Cho hình chóp S.ABCD, có SA ⊥ (ABCD) và SA = a, đáy ABCD là hình thang vuông có đường cao
AB = a ; AD = 2a và M là trung điểm AD.

a) Chứng minh rằng tam giác SCD vuông tại C.
b) Kẻ SN vuông CD tại N. Chứng minh rằng CD ⊥ (SAN).

Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán!

www.moon.vn


LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng


a) SA và BD.
b) SC và (ABCD)
c) AD và (SAC)
d) SD và (ABCD)
Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, B với AB = BC = a, AD = 2a.
Cạnh SA vuông góc với đáy, SA = a 2. Tính góc giữa
a) SC và (SAB)
Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán!

www.moon.vn


Chuyên đề Hình học không gian

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng

c) SD và (SAC)
d) AC và (SAD)
BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài 1: Cho hình vuông ABCD và tam giác đều SAB cạnh a nằm trong 2 mặt phẳng vuông góc. Gọi I là trung
điểm của AB.
a) Chứng minh SI ⊥ (ABCD) và tính góc hợp bởi SC với (ABCD).
b) Tính khoảng cách từ B đến (SAD). Từ đó suy ra góc của SC với (SAD).
c) Gọi J là trung điểm CD, chứng minh (SIJ) ⊥ (ABCD).
d) Tính góc hợp bởi SI với (SDC).
Bài 2: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm SA
và BC. Biết góc giữa MN và mặt phẳng (ABCD) là 600.
a) Tính độ dài đoạn MN.
b) Tính cosin của góc giữa MN và mặt phẳng (SBD).
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA = a 6 và vuông góc với đáy. Tính góc giữa

Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán!

www.moon.vn


LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng

Chuyên đề Hình học không gian

Tài liệu bài giảng:

03. ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG – P3
Thầy Đặng Việt Hùng

DẠNG 3. XÁC ĐỊNH GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG (nâng cao)
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, B với AB = BC = 2a, AD = 3a.
Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc cạnh AB với AH = 2HB, biết
SH = a 3. Tính góc giữa
a) SC và HD.

b) SD và (ABCD).

c) SC và (SHD)

d) SB và (SHD)

e) BC và (SHD)

f) SB và (SAD)