Tải tài liệu và đề thi thử môn Toán mới nhất tại http://www.toanmath.com
BÀI GIẢI LUYỆN THI HÌNH HỌC
PHẲNG 2016
Câu 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có AD = 2AB, gọi M, N lần lượt là trung
điểm của cạnh AD, BC. Trên đường thẳng MN lấy điểm K sao cho N là trung điểm của đoạn thẳng MK.
Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C, D biết K (5; 1) , phương trình đường thẳng chứa cạnh AC : 2 x y 3 0 và
điểm A có tung độ dương. .
(Trích đề thi thử tỉnh Bắc Ninh năm 2014)
■ Nhận xét và ý tưởng :
Bài toán trên có thể chia thành hai bước:
+ Bước 1: chứng minh AC KD (dùng giả thiết quan trọng này để làm tiếp bước 2)
+ Bước 2: vận dụng AC KD vào việc giải tìm tọa độ của 4 đỉnh A, B, C, D.
☺ Bước 1: Nhận xét đầu tiên sau khi dựng hình xong đó là phát hiện KD AC. Để chứng minh KD AC
có rất nhiều cách trong đó có thể kể đến:
● Cách 1: Chứng minh KDC ACD 90 (chứng minh tổng 2 góc trong
một tam giác bằng 90o suy ra góc DHC 90 Ta đã có DAC ACD 90 nên ta cần chứng minh
DAC MKD (2 góc này bằng nhau do 2 tam giác MKD ACD )
● Cách 2: Vẫn với ý tưởng như cách 1, ta chứng minh HDC ACD 90 để suy ra DHC 90
☺ Bước 2: Sau khi đã chứng minh AC KD. Ta có thể đi tiếp theo hai hướng sau:
+ Hướng thứ 1: (tạo thêm phương trình đường thẳng mới)
_ Viết phương trình KD H = KD AC tọa độ H.
_ Vận dụng định lý thuận Thales ở cách 6) Ta tìm được tỉ số độ dài HK và HD chuyển
KH kKD KH k KD, (k 0) tọa độ điểm D.
_ Viết phương trình đường thẳng AD qua điểm D và có véctơ pháp tuyến là
và AD tạo với AC một góc với cos
n (a; b), (a 2 b 2 0)
AD
AD
2
AC
5
AD 2 CD 2
_ Sau khi viết được phương trình AD tìm được tọa độ điểm A tọa độ tâm M tọa độ tâm I
của hình chữ nhật ABCD (dựa trên quan hệ MK = 3MI MK 3MI ).
_ Có tọa độ tâm I (là trung điểm AC và BD) tọa độ của B và C.
+ Hướng thứ 2: (tìm tọa độ điểm A thông qua độ dài AK)
_ Viết phương trình KD H = KD AC tọa độ H.
_ Tham số hóa điểm A theo đường AC 1 ẩn nên cần một phương trình độ dài AK = ?
_ Dựa vào định lý thuận Thales ở cách 6 ta tính được độ dài
AK.
4
AH AC
2
Ta có:
tan DAC tan MKD DAC MKD
tan MKD MD 1
MK 2
Ta có: DAC ACD 90 KDE ACD 90 HDC ACD 90
Suy ra DHC 90 HCD H AC KD tại H
* Cách 3: Dựng hệ trục Bxy như hình vẽ, Đặt cạnh AB = a > 0 AD = 2AB = 2a
Ta có: A(0; a), C (2a; 0), D(2a; a), K (a; a)
https://www.facebook.com/groups/toanmath
2
Tải tài liệu và đề thi thử môn Toán mới nhất tại http://www.toanmath.com
AC (2a; a)
AC.KD 2a 2 2a 2 0 AC KD tại H
Mặt khác
AD
2
Ta có:
tan DAC tan KDE DAC KDE
tan KDE KE 1
DE 2
Suy ra tứ giác AMHK là tức giác nội tiếp (2 góc liên tiếp cùng nhìn 1 cạnh bằng nhau)
Mà M nhìn AK dưới một góc vuông H nhìn AK dưới một góc vuông HAK H
Suy ra AC KD tại H
* Cách 6: Gọi M = KD BC.
IH
HD IK
3
Ta có KI // CD và IC KD = H, theo định lý thuận Thales ta có:
HC HK CD 2
Suy ra HC
2
2
AC CD 5
2
2
2CD 5
IH IC
3
Tải tài liệu và đề thi thử môn Toán mới nhất tại http://www.toanmath.com
13
x
x
y
2
3
0
13 11
5
* Tọa độ H là nghiệm của hê:
H ;
5 5
x 2 y 7 0
y 11
5
Đường thẳng AD qua D có dạng là: a(x - 1) + b(y + 3) = 0
Ta có cos CAD
AD
AD
2
2
2
AC
5
AD CD
Mặt khác cos CAD | cos( AD; AC ) |
| n.nAC |
| 2a b |
2
2
2
| n | . | nAC |
5
5 a b
b 0 AD : x 1 0
Do M là trung điểm AD M(1; - 1).
Gọi I là tâm hình chữ nhật ABCD, ta có MK 3MI I (2; 1)
Mặt khác I là trung điểm AC và BD B(3;1) và C(3; -3)
Vậy tọa độ điểm thỏa yêu cầu bài toán là A(1;1), B(3;1), C (3; 3), D(1; 3)
► Hướng dẫn giải hướng thứ 2:
* Gọi H = AC KD. Do KD AC: 2x + y - 3 = 0 KD: x - 2y + m = 0.
KD qua K(5; -1) m = -7. Vậy KD: x - 2y - 7 = 0
13
x
2x y 3 0
13 11
5
* Tọa độ H là nghiệm của hê:
H ;
5 5
x 2 y 7 0
y 11
5
* Ta có A AC: 2x + y - 3 = 0 A(a; 3 - 2a).
Do A có tung độ dương nên 3 - 2a > 0 a
3
IH
HD IK
3
AH AI IH
5 2
10 4
* Lại có
2
HC HK CD 2
AC
AC
AC
AC
5
2
2
2
5 13
xC 1 4 5 1
x 3
5
nhau chúng ta có nhiều cách chứng minh khác nhau. Và sau khi đã chứng minh được AC KD thì ở cả 2
hướng giải sau đó ta thấy được sức mạnh của việc “vận dụng định lý Thales” cũng như cách mà chúng ta
“chuyển đẳng thức độ dài về đẳng thức véctơ”.
Câu 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có A(4; 0) , phương trình đường thẳng chứa
trung tuyến kẻ từ B của tam giác ABC là 7 x 4 y 5 0 và phương trình đường thẳng chứa trung trực cạnh
BC : 2 x 8 y 5 0 . Tìm tọa độ các điểm B, C, D.
(Trích đề thi thử khối A, THPT Chuyên Lý Tự Trọng, Cần Thơ, năm 2014)
☺ Nhận xét và ý tưởng :
_ Dễ dàng nhận thấy BD : 7 x 4 y 5 0 . Dựa vào tinh chất của đường trung trực BC thì d vừa vuông BC
nên d vuông AD viết phương trinh AD AD BD D nên ta tìm được tọa độ điểm D.
_ Đến đây để tìm tọa độ tìm điểm B và C thì ta chỉ cần tìm tọa độ của I là giao điểm của 2 đường cheo AC
và BD. Dựa vào công thức trung điểm ta biểu diễn tọa độ B và C theo tọa độ của điểm I.
_ Cuối cùng có hai hướng đi tiếp:
+ Hướng thứ 1: Gọi K là trung điểm BC và biểu diễn tọa độ K theo tọa độ B và C. Khi đó K cũng
thuộc đường thẳng trung trực của BC.
+ Hướng thứ 2: Ta có BC.ud 0 . Giải phương trinh trên để tìm B và C. Mời bạn đọc cùng xem lời
giải.
► Hướng dẫn giải :
* Từ giả thiết ta có BD : 7 x 4 y 5 0 .
AD đi qua A(4;0) và vuông góc với d : 2 x 8 y 5 0 suy ra phương trình AD : 4 x y 16 0
https://www.facebook.com/groups/toanmath
5
Tải tài liệu và đề thi thử môn Toán mới nhất tại http://www.toanmath.com
7 x 4 y 5 0
Vậy tọa độ các điểm cần tìm là B(1;3), C (2; 1), D(3; 4)
■ Lời bình: Có thể thấy được ngay vai trò của giao điểm 2 đường chéo hình binh hanh trong việc giải quyết
bài toan tìm điểm trên. Trong các bài tập ví dụ minh họa, tác giả cũng nhấn mạnh đến việc chuyển các quan
hệ chưa biết giữa các điểm về các quan hệ với giao điểm trên.
Câu 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang cân ABCD đáy lớn CD. Các đường thẳng AC, BD lần
lượt có phương trinh 2 x y 1 0 và x 2 y 1 0 . Gọi M là trung điểm của AB. Xác định tọa độ các đỉnh
A, B, C, D biết đường DM có phương trinh 3x 8 y 11 0 và B có hoành độ âm.
(Trích đề thi thử THPT Nguyễn Đức Mậu, Nghệ An, năm 2013)
☺ Nhận xét và ý tưởng :
_ Dễ dàng tìm được tọa độ D do D DB DM và đồng thời điểm mới I với I AC BD .
_ Do tính chất của hình thang cân nên AC = BD nên IA = IB suy ra tam giác IAB cân tại I. Vì vậy MI
vuông góc AB.
_ Ta có thể tham số A theo AC, B theo BD (2 ẩn nên cần 2 phương trinh) và biểu diễn tọa độ M theo tọa
độ A và B. Do M thuộc DM nên ta được pt (1). Mặt khác MI vuông AB (pt (2)). Từ đây giải (1) và (2) ta
tìm được tọa độ A và B.
_ Khi đó C CD AC nên ta chỉ cần lập phương trinh đường thẳng CD qua D và CD // AB.
► Hướng dẫn giải :
x 2 y 1 0
x7
D(7; 4)
* Ta có tọa độ D thỏa mãn hệ
3x 8 y 11 0 y 4
1
x
x 2 y 1 0
B BD B(1 2b; b)
13a 2b 11
ab 0
IM AB
a 1
* Mặt khác,
suy ra A(1;3), B(3; 1)
a b 2
3
M DM
b 1
1
b
2
* Phương trình CD qua D và nhận IM làm vecto pháp tuyến và C là giao điểm giữa AC và CD nên ta
có tọa độ C (4; 7)
Vậy tọa độ các điểm thỏa yêu cầu bài toán là: A(1;3), B(3; 1), C (4; 7), D(7; 4)
Câu 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (C): x y 4 y 4 0 và
cạnh AB có trung điểm M thuộc đường thẳng d : 2 x y 1 0 . Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh
AB và tìm tọa độ điểm C.
(Trích đề thi thử lần 4, THPT Quế Võ, Bắc Ninh, năm 2013)
2
2
x 2, y 0
x 2, y 4
x y 4x 4 0
Do đó tọa độ C thỏa mãn hệ
x y 2
2
2
Vì C(2;0) cùng phía với M so với I nên không thỏa mãn. Ta nhận C (2; 4)
* Với m =
7 9
7
suy ra M ;
5
5 5
7 1
có phương trinh: 7 x y 2 0
5 5
Khi đó, AB qua M và nhận IM ;
Mặt khác phương trình MC là MC : x 7 y 14 0 .
; cùng phía với M so với I nên không thỏa mãn. Ta nhận C ;
5 5
5 5
Vì C
14 8
;
C (2; 4)
C
Vậy yêu cầu bài toán tương đương với
hay 5 5
AB : x y 0
AB : 7 x y 2 0
Câu 5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC. Biết phương trình các đường thẳng chứa đường
cao BH, phân giác trong AD lần lượt là 3x + 4y + 10 = 0, x – y + 1 = 0; điểm M(0; 2) thuộc đường thẳng
AB và MC = 2 . Tìm tọa độ các đỉnh tam giác ABC biết rằng C có hoành độ nguyên.
(Trích đề thi thử THPT Tuy Phước, Bình Định, năm 2013)
☺ Nhận xét và ý tưởng :
_ Dựa vào tinh chất của phân giác ta dễ dàng tìm được điểm mới N (bạn đọc có thể xem lại chương 2 để
hiểu rõ hơn).
_ Khi đó ta dễ dàng viết được phương trinh AC vuông góc BH và qua N. Đồng thời tìm được điểm A do A
là giao điểm giữa AC và AD.
_ Tới đây thì việc tìm tọa độ B bằng cách tương giao 2 đường AB và BH (viết phương trinh AB qua A và
M). Với tọa độ C thì ta có thể tham số hóa C theo đường AC và sử dụng giả thiết MC 2 để giải tìm tọa
độ C. Mời bạn đọc xem lời giải.
► Hướng dẫn giải:
* Đường thẳng AB qua A và M có phương trình là 3x 4 y 8 0 .
Ta có tọa độ A thỏa mãn hệ
x 3
1
3x 4 y 8 0
Ta có tọa độ B thỏa mãn hệ
1 B 3;
4
y
3 x 4 y 10 0
4
* Ta có MC 2 nên C thuộc đường tròn (C) tâm M, bán kinh MC 2 . Ngoài ra C thuộc AC nên
tọa độ C là nghiệm của hệ:
x 1, y 1
x 2 ( y 2) 2 2
31
Câu 6. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có A(5; 7) , điểm C thuộc đường
thẳng có phương trinh x y 4 0 . Đường thẳng đi qua D và trung điểm của đoạn thẳng AB có phương
trình 3x 4 y 23 0 . Tìm tọa độ điểm B và C, Biết B có hoành độ dương.
(Trích đề thi thử THPT Chuyên Vĩnh Phúc, năm 2014)
☺ Nhận xét và ý tưởng :
_ Ta liên hệ quan hệ giữa 4 điểm đặc biệt A, M, C, D bằng cách cho AC cắt DM tại I.
_ Vận dụng định lý Thales thuận quen thuộc ta có được tỉ số độ dài giữa các cạnh
CD IC ID
2 . Từ
AM
IA IM
đây ta có thể tham số hóa C theo đường thẳng x – y + 4 = 0 và đồng thời biểu diễn tọa độ I theo A và C.
_ Lại có I thuộc đường thẳng DM nên thay vào ta sẽ tìm được tọa độ của điểm C.
_ Để xác định tọa độ điểm B ta liên hệ qua trung điểm M thuộc DM và sử dụng tính chất của hình chữ nhật
ABCD là AB BC để giải tìm tọa độ điểm B.
► Hướng dẫn giải:
* Ta có C x y 4 0 C (c; c 4) , M là trung điểm AB và I là giao điểm AC và DM.
* Theo định lý Thales thuận ta có
CD IC ID
1
c 10 c 10
B 2m 5;
4
2
3m 5
AB 2m 10; 2
3m 5 3m 19
Và
. Lại có AB.CB 0 (2m 10)(2m 6)
0
2 2
CB 2m 6; 3m 19
2
Suy ra m 1 hay m
(Trích đề thi thử lần 2, THPT Thanh Chương 3, Nghệ An, năm 2013)
☺ Nhận xét và ý tưởng :
_ Với gợi ý của đề bài ta dễ dàng xác định được tọa độ của trung điểm M và tâm I. Điều này giúp ta dễ
dàng viết phương trình đường thẳng AD qua M và AD vuông góc với MI.
_ Đối với hình chữ nhật thì luôn có một đường tròn ẩn minh chinh là đường tròn tâm I bán kinh IA. Như
vậy ta cần xác định độ dài IA. Ở đây ta dựa vào quan hệ của diện tích hình chữ nhật để tính độ dài IA.
_ Khi đó A và D là giao điểm đường tròn trên và đường thẳng AD. Và đồng thời tọa độ B và D thì tìm
được dựa vào tâm I của hình chữ nhật.
► Hướng dẫn giải :
9 3
x y 3 0
I ; .
* Tọa độ I là nghiệm của hệ:
2 2
x y 6 0
y 0
M (3;0)
Gọi M là trung điểm của AD, Tọa độ của M là nghiệm của hệ
x y 3 0
Suy ra AB = 2 IM = 3 2 .
https://www.facebook.com/groups/toanmath
10
Tải tài liệu và đề thi thử môn Toán mới nhất tại http://www.toanmath.com
* Mặt khác S ABCD AB. AD AD S ABCD 12 2 2 .
x 2
x 4
hay
Chọn A(2;1); D(4; 1)
y 1
y 1
* Các điểm C, B lần lượt đối xứng với A, B qua I. Suy ra tọa độ điểm C(7; 2); B(5;4)
Vậy tọa độ các điểm cần tìm là A(2;1); B(5; 4), C (7; 2); D(4; 1)
Câu 8. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 22, biết rằng các đường
thẳng AB, BD lần lượt có phương trinh là 3 x 4 y 1 0 và 2 x y 3 0 . Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C, D.
(Trích đề thi thử khối A, THPT Bỉm Sơn, Thanh Hóa, năm 2013)
☺ Nhận xét và ý tưởng :
_ Dễ dàng tìm được tọa độ điểm B do B BD AB . Ngoài việc sử dụng các đường thẳng tìm điểm mới ta
còn có thể tính góc giữa các đường để tìm quan hệ giữa các cạnh từ đó chuyển về quan hệ độ dài và diện
tịch. Cụ thể trong bài này là cos ABD cos( AB; BD) ? tan ABD
AD
và
AB
S ABCD AD. AB .
_ Đến đây ta có thể tham số hóa D theo BD hoặc A theo AB để liên hệ độ dài AD hoặc AB.
_ Khi đã có tọa độ điểm D ta có thể viết phương trình AD qua D vuông góc AB để từ đó tìm dễ dàng tọa
độ điểm A AD AB . Đến đây ta có thể dùng quan hệ vecto để tìm điểm C thỏa AB DC
► Hướng dẫn giải :
3x 4 y 1 0
5
d 4
https://www.facebook.com/groups/toanmath
11
Tải tài liệu và đề thi thử môn Toán mới nhất tại http://www.toanmath.com
* Với d = 6 suy ra D(6; 9). Phương trình AD đi qua A, vuông góc với AB là 4 x 3 y 3 0
3 1
38 39
A AD AB ; C ;
5 5
5 5
* Với d = -4 suy ra D(-4; -11). Phương trình AD đi qua A, vuông góc với AB là 4 x 3 y 17 0
13 11
28 49
A AD AB ;
;
C
5
5 5
5
3 1
38 39
A 5 ; 5 , B 1; 1 , C 5 ; 5 , D(6;9)
A(3; 8)
y 8
13x 6 y 9 0
* Ta có IM qua I(-5;1) và song song AH. Phương trình IM là x 2 y 7 0 .
* Tọa độ A là nghiệm của hệ
x 2y 7 0
x 3
M (3;5)
y 5
13x 6 y 9 0
* Đường thẳng BC qua M và vuông góc AH. Phương trình BC là 2 x y 11 0
Tọa độ M là nghiệm của hệ
Do đó B BC B(b;11 2b)
b 2
Lại có: IB IA (b 5) 2 (10 2b) 2 85 b 2 6b 8 0
b 4
* Với b = 2 suy ra B(2; 7), C(4; 3)
* Với b = 4 suy ra B(4; 3), C(2; 7)
https://www.facebook.com/groups/toanmath
12
► Hướng dẫn giải :
* Ta có : (C) có tâm I(1; 2) và bán kinh R = 1 suy ra d [ I ; d ] |1 2 3 | 2 1 R
2
Suy ra mọi điểm M thuộc đường thẳng d đều nằm ngoài đường tròn (C) suy ra từ M luôn kẻ được
hai tiếp tuyến đến (C).
* Gọi M (m; m 3) IM 2m 2 MA MI R 2m 1
Do đó đường tròn (C’) có tâm M bán kinh MA có phương trình:
2
2
2
2
2
2
(C') : ( x m)2 ( y m 3)2 2m2 1
* Vì A; B (C) (C ') suy ra tọa đọ A, B đều thỏa phương trình:
( x m) 2 ( y m 3) 2 ( x 1) 2 ( y 2) 2 2m 2 (1 m) x (1 m) y 3m 2 0
Do đó phương trình đường AB là AB : (1 m) x (1 m) y 3m 2 0
m 1
3
|m2|
3
2
2
(Trích đề thi thử khối B, THPT Chuyên Bắc Ninh, năm 2013)
☺ Nhận xét và ý tưởng :
_ Bài toán có thể phân tích theo hai hướng sau:
+ Hướng thứ 1: Tham số hóa tọa độ A và C theo AC và thông qua trọng tâm G ta biểu diễn tọa độ
B theo A và C. Khi đó ta có 2 ẩn nên cần 2 phương trình gồm có pt (1) là AB = 2AC, pt (2) là AB AC
+ Hướng thứ 2: Viết phương trình AG qua G vào khuyết vecto pháp tuyến của AG. Ta tìm vecto
pháp tuyến đó thông qua quan hệ góc AGC BCA do đã có tỉ lệ cạnh AB = 2AC. Khi viết được phương
trình AG ta dễ dàng tìm được tọa độ điểm A AC AG . Đến đây ta có thể lập tiếp phương trình AB qua A
vuông góc AC. Sử dụng công thức trọng tâm G (ngầm ẩn 2 phương trình) và tham số hóa B theo AB, C theo
AC để giải tìm tọa độ điểm B và C.
► Hướng dẫn giải:
* Ta có AB = 2AC nên cos GAC cos ACB 1 .
5
2
2
Đường thẳng AG đi qua G có vecto pháp tuyến n (a; b), (a b 0) nên có phương trình:
4
AG : a( x 2) b y 0
3
* Mặt khác cos GAC cos(AG; AC)
* Với a = 0, ta chọn b = 1 AG : y
| 2a b |
1 4
3
Khi đó tọa độ A là nghiệm của hệ
A ; (loại do x A )
3
2
3 3
2 x y 2 0
y 4
3
* Với 3a = -4b, ta chọn b = -3 nên a = 4 AG : 4 x 3 y 4 0.
4 x 3 y 4 0.
1
x 1
A 1;0 (nhận do x A )
2
y 0
2x y 2 0
Khi đó tọa độ A là nghiệm của hệ
* Đặt AD : x y 0, CH : 2 x y 3 0 .
Gọi M ' là điểm đối xứng với M qua đường phân giác AD M ' AB . Ta tìm được M ' (1;0) .
* Đường thẳng AB qua M’ và vuông góc với CH nên có pt AB : x 2 y 1 0
x y 0
x 1
A(1;1)
x 2 y 1 0
y 1
A AB AH nên tọa độ A là nghiệm của hệ
* Theo đề bài, ta có: AB 3 AM AB 3 5
B thuộc đường tròn (C’) tâm A bán kính R 3 5
https://www.facebook.com/groups/toanmath
15
Tải tài liệu và đề thi thử môn Toán mới nhất tại http://www.toanmath.com
(C’): ( x 1) ( y 1) 45 .
2
2
x 5
x 7
hoặc
* (E): 4 x 9 y 36
9 4
c 2 a 2 b 2 5
2
2
2
2
5
* Giả sử M ( x0 ; y0 ) ( E ) ,ta có x0 y0 1 ,với 3 x0 3 , ta có e
9
3
4
Ta đặt P MF12 2MF22 a ex0 2a ex0 3a2 2aex0 3e2 x02
2
Nên P 27 2.3.
2
5
5
5
3 2 81
3 5
5
4
3
;
* Vậy min P 36 khi x 3 khi đó M
5
5
5
4
3
;
, min P 36
5
5
Vậy yêu cầu bài toán tương đương với M
Câu 14. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(3; 4) , đường phân giác trong góc A có
phương trình x y 1 0 và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là I (1; 7) . Viết phương trình cạnh BC,
biết diện tích tam giác ABC gấp 4 lần diện tích tam giác IBC.
(Trích đề thi thử lần 1, THPT Đoàn Thượng, Hải Dương, năm 2014)
☺ Nhận xét và ý tưởng :
https://www.facebook.com/groups/toanmath
16
3
d [ A; BC ] 4d [ I ; BC ]
5
5
m 131
5
Vậy phương trình BC là 9 x 12 y 114 0 hay 15 x 20 y 131 0
Câu 15. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình x y x 4 y 2 0 và các
2
2
điểm A(3; 5), B(7; 3) . Tìm điểm M trên đường tròn (C) sao cho MA2 MB 2 đạt giá trị nhỏ nhất.
(Trích đề thi thử lần 1, THPT Yên Thành 2, Nghệ An, năm 2012)
☺ Nhận xét và ý tưởng :
https://www.facebook.com/groups/toanmath
17
Tải tài liệu và đề thi thử môn Toán mới nhất tại http://www.toanmath.com
_ Với bài toán max – min thì trong ba hướng tư duy ta có thể vận dụng bằng cách chuyển biểu thức đang
cần tìm max – min sang một biểu thức khác tương dễ thực hiện hơn.
2
( t R) , thay vào phương trình đường tròn ta được:
y 4 4t
t 1 M (2;0)
t 2 3t 2 0
.
t 2 M (1; 4)
Xét khoảng cách từng điểm M tìm được đến AB ta nhận M(2; 0)
Vậy tọa độ điểm M cần tìm là M (2;0)
Câu 16. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trực tâm H. Biết đường tròn ngoại tiếp tam
giác ABC là x y 3x 5 y 6 0 , H thuộc đường thẳng d : 3x y 4 0 , tọa độ trung điểm AB là
M (2;3) . Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác biết hoành độ của A lớn hơn 1.
2
2
(Trích đề thi thử THPT Hàm Rồng, Thanh Hóa, năm 2013)
☺ Nhận xét và ý tưởng :
https://www.facebook.com/groups/toanmath
18
Tải tài liệu và đề thi thử môn Toán mới nhất tại http://www.toanmath.com
_ Dựa vào cách dựng tâm ngoại (giao điểm giữa các đường trung trực các cạnh tam giác) do đó ta có thể
viết phương trình AB qua M và AB vuông góc MI (với I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC).
_ Khi đó A, B chính là giao điểm giữa đường tròn (C) và đường thẳng AB. Vấn đề còn lại tìm tọa độ điểm
C như thế nào ?
_ Vẽ đường kinh AD theo bổ đề đã chứng minh ở chương 1 ta có BHCD là hình bình hành và N là trung
điểm của HD và BC. (dữ kiện cuối cùng chưa dùng là H thuộc đường d). Ta đặt tọa độ C(a; b) (2 ẩn nên cần
Mặt khác C thuộc đường tròn (C) nên ta C thỏa hệ:
a 2 b 2 3a 5b 6 25
3a b 2 0
C (1;1)
C (2; 4)
A(3; 2), B(1; 4), C (1;1)
Vậy tọa độ điểm thỏa yêu cầu bài toán là:
A(3; 2), B(1; 4), C (2; 4)
Câu 17. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có đỉnh C(3;-1). Gọi M là trung điểm của
cạnh BC, đường thẳng DM có phương trình là y 1 0 . Biết đỉnh A thuộc đường thẳng 5 x y 7 0 và D có
hoành độ âm. Tìm tọa độ các đỉnh A và D.
(Trích đề thi thử lần 1, THPT Hồng Quang, Hải Dương, năm 2014)
☺ Nhận xét và ý tưởng : (bạn đọc có thể xem lại bài toán 6 – hình chữ nhật, chủ đề 2.1, chương 2 để hiểu
rõ hơn)
► Hướng dẫn giải :
https://www.facebook.com/groups/toanmath
19
Tải tài liệu và đề thi thử môn Toán mới nhất tại http://www.toanmath.com
Điểm A(2; 3) và C ( 3; 1) cùng phía so với đường thẳng DM : y 1 0
2
5
Nên loại điểm A(2; 3) . Vậy A ;5
2
AD d 5 ; 4
* D DM D(d;1)
CD d 3; 2
2
5
2
Do AD CD AD.CD 0 d d 3 8 0 d
13
https://www.facebook.com/groups/toanmath
20
Tải tài liệu và đề thi thử môn Toán mới nhất tại http://www.toanmath.com
_ Với các dữ kiện đang có thì ta đặt một câu hỏi có thể “tìm được điểm mới hoặc phương trình mới không
?”. Ở đây ta có thể viết phương trình EF song song BC. Tuy nhiên trong các dữ kiện đó thì dữ kiện phương
trình đường trung tuyến NC gợi cho ta nhiều suy nghĩ ?
_ Trên đường thẳng hiện có 2 điểm N và C nhưng nếu tham số hóa chúng thì lại không liên hệ được gì với
E và F. Nếu gọi G là trọng tâm tam giác ABC thì do tính chất của tam giác ABC cân tại A thì GE = GF (giải
phương trình trên giúp tìm được tọa độ điểm G).
_ Đến đây ta có thể viết phương trình AG vuông EF và qua G (nhằm mục đích tham số hóa điểm A). Cùng
lúc đó ta có thể tham số C theo NC và dùng công thức trọng tâm G để biểu diễn tọa độ B theo A và C.
_ Như vậy, ta có 2 ẩn phụ thuộc theo A và C vì vậy, ta cần đến 2 phương trình ? (đó là những phương trình
nào ? )
+ Phương trình (1): AG vuông góc BC
+ Phương trình (2): EB vuông EC (hoặc FC vuông BF).
► Hướng dẫn giải :
* Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Vì G thuộc CN suy ra G (g;13 2 g)
Do tam giác ABC cân tại A nên ta có:
2
2
11
13
GE 2 GF 2 ( g 7) 2 (13 2 g 1) 2 g 13 2 g g 5 G (5;3)
5
Tải tài liệu và đề thi thử môn Toán mới nhất tại http://www.toanmath.com
_ Đầu tiên, ta tham số I theo đường thẳng và sử dụng giả thiết IC = 2BI để giải tìm tọa độ điểm I.
_ Đề bài vẫn còn 3 dữ kiện chưa sử dụng đó là diện tích tam giác ACB (1), AB // CD (2), cũng như sự kết
hợp giữa các điểm giúp ta tìm thêm điểm mới hoặc đường thẳng mới, đường tròn mới.
_ Ở đây, ta thấy dễ dàng viết được phương trình 2 đường chéo AC và BD. Trong đó vận dụng công thức
diện tích tam giác ABC là: S ABC
1
AC.d ( B, AC ) suy ra độ dài cạnh AC. Đến đây, ta có thể tìm được tọa
2
độ A do A thuộc AC và vận dụng độ dài AC.
_ Khi có tọa độ A thì ta có thể viết phương trình CD qua C và song song AB. Kết hợp với phương trình
đường chéo BD để tìm tọa độ D.
► Hướng dẫn giải:
* Vì I I ( t ;3 2t ), t 0
t 1
CI 2 BI 15t 2 10t 25 0
t 1 I (1;1)
t 5 (ktm)
3
* Phương trình đường thẳng IC : x y 2 0
Mà S ABC
1
AC.d ( B, AC ) 12 AC 6 2
_ Do BC vuông AH nên ta suy ra dạng phương trình của BC: x + y + m = 0. Sử dụng dữ kiện khoảng cách
https://www.facebook.com/groups/toanmath
22
Tải tài liệu và đề thi thử môn Toán mới nhất tại http://www.toanmath.com
từ I đến BC ta giải tìm được đường thẳng BC.
_ Khi có phương trình BC ta kết hợp với đường thẳng x + 5y – 14 = 0 để giải tìm tọa độ điểm B.
_ Đặc biệt ta có nhận xét I thuộc đường cao H nên suy ra H là trung điểm BC , từ đây ta có H là giao điểm
giữa H và BC và suy ra tọa độ C.
_ Còn với tọa độ điểm A thì chính là giao điểm AH và đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABC.
► Hướng dẫn giải :
* Đường thẳng BC có phương trình x + y + m = 0.
9 9
m
m 6
3 2
9
3
4 4
m
Theo giả thiết ta có d I, BC
4
2
2
2
H 3;3 C(2;4) .
là nghiệm của hệ
x y 6
y 3
* Gọi A(a;a) ta có
7
7 7
2
a A ; (không t.m)
9 50
9 5
2
IA IB 2 a
a
2 2
2
4
2 2
a 1 A 1;1 (t.m)
Vậy tọa độ các điểm thỏa yêu cầu bài toán là: A(1;1), B(4; 2), C (2; 4)
Câu 21. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD . Điểm E (2;3) thuộc đoạn thẳng BD , các
điểm H (2;3) và K (2; 4) lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm E trên AB và AD . Xác định toạ độ
các đỉnh A, B, C , D của hình vuông ABCD .
(Trích đề thi thử lần 3, THPT Trần Hưng Đạo, Hưng Yên, năm 2014)
☺ Nhận xét và ý tưởng :
2
a b
2
* Với a b , chọn b 1 a 1 BD : x y 1 0
EB 4; 4
B 2; 1 ; D 3;4
ED 1;1
E nằm trên đoạn BD (thỏa mãn)
Khi đó: C 3; 1
* Với a b , chọn b 1 a 1 BD : x y 5 0 .
EB 4; 4
B 2;7 ; D 1;4
ED 1;1
EB 4ED E nằm ngoài đoạn BD (loại)
Vậy tọa độ điểm thỏa yêu cầu bài toán là A 2; 4 ; B 2; 1 ; C 3; 1 ; D 3; 4
Câu 22. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC, đường trung tuyến kẻ từ đỉnh B và đường phân
x y2 0
* Gọi N là điểm đối xứng của M qua d 2 . Điểm M thuộc AB suy ra N thuộc AC.
MN vuông góc d 2 và MN qua M nên có dạng: x y 1 0 .
x y 2 0
1 3
I ; .
Khi đó H MN d 2
2 2
x y 1 0
Do M và N đối xứng qua d 2 nên H là trung điểm MN suy ra N (0;1) AC
AB : x 1 0
Với các điểm B(1;1), M (1; 2), N (0;1)
BC : y 1 0
1 c a 1
;
.
2
2
* Gọi A(1; a), C(c; 1), tọa độ trung điểm I của đoạn AC là I
1 c
a 1
Mặt khác I thuộc d1
2
3 0 c 2a 3 0 (1)
2
25
Copyright: Tài liệu đại học ©