PHẦN 1: ĐIỀU KIỆN HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN
I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Cùng với Tiếng Việt – Toán học là môn học có vị trí và vai trò vô cùng quan
trọng ở bậc tiểu học. Toán học giúp bồi dưỡng tư duy lôgíc, bồi dưỡng và phát sinh
phương pháp suy luận, phát triển trí thông minh, tư suy lôgíc sáng tạo, tính chính
xác, kiên trì, trung thực.
Kể từ năm học 1995- 1996 các vấn đề về phân số được chính thức đưa vào
chương trình môn Toán ở bậc tiểu học và trở thành một chủ đề quan trọng trong
chương trình . Đây là một nội dung khó đối với học sinh lớp 4, hơn thế nữa trong
các kì thi học sinh giỏi hiện nay thì các bài toán về phân số luôn xuất hiện . Vì thế ,
việc giải thành thạo các bài toán về phân số là một yêu cầu khó đối với tất cả các
em học sinh, đặc biệt là đối với học sinh khá giỏi .
- Chính vì vậy tôi đã đi sâu tìm tòi và nghiên cứu cách dạy các bài toán về
phân số để bồi dưỡng cho những học sinh khá và giỏi toán ở lớp 4, nhằm giúp các
em có kiến thức một cách hệ thống các dạng toán về phân số, giúp các em tháo gỡ
khó khăn khi gặp các bài toán về phân số trong các đề thi học sinh giỏi.
II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
- Nghiên cứu về “ Dạy các dạng toán về phân số cho học sinh giỏi toán lớp 4” từ
đó đưa ra những kiến nghị cụ thể nhằm giúp việc giảng dạy đội tuyển đạt kết quả
cao.
III. KẾT QUẢ CẦN ĐẠT ĐƯỢC
- Nâng cao chất lượng học sinh giỏi ở lớp 4 tạo nền tảng cho các em học tốt
toán ở lớp 5 và các lớp trên.
IV. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
- Đội tuyển học sinh giỏi toán 4 và 5
V. PHẠM VI NGHIÊN CỨU
- Chương phân số – toán 4


PHẦN 2. NỘI DUNG
I. CƠ SỞ LÍ LUẬN



Dựa vào đặc điểm nhận thức của học sinh tiểu học mà trong quá trình dạy học
phải làm cho những tri thức khoa học xuất hiện như một đối tượng, kích thích sự tò
mò, sáng tạo….cho hoạt động khám phá của học sinh, rèn luyện và phát triển khả
năng tư duy linh hoạt sáng tạo, khả năng tự phát hiện, tự giải quyết vấn đề, khả
năng vận dụng những kiến thức đã học vào những trường hợp có liên quan vào đời
sống thực tiễn của học sinh.
II. THỰC TRẠNG VIỆC DẠY VÀ HỌC
1. Về học sinh
- Ở chương trình môn toán lớp 4, nội dung phân số và các phép tính về phân
số được đưa vào dạy học ở kỳ II. Vừa làm quen, học khái niệm phân số các em phải
học ngay các phép toán về phân số, rồi giải các bài toán về phân số cho nên các em
cảm thấy đây là một nội dung khó, khi bồi dưỡng các bài toán khó về phân số nhiều
em cảm thấy " sợ "giải các bài toán về phân số.
- Việc vận dụng các tính chất của phân số, các qui tắc tính chậm.
- Các tính chất của các phép tính về phân số trừu tượng nhiều học sinh khó
nhận biết, mối quan hệ giữa các thành phần trong các phép tính về phân số nhiều
học sinh không phát hiện được do khả năng quan sát chưa nhanh.
- Qua nhiều đề thi kiểm tra chất lượng học sinh giỏi phần nhiều học sinh
không giải quyết được bài toán có nội dung về phân số, giải sai về cách giải, không
chính xác về kết quả.
2. Về giáo viên
- Qua tìm hiểu tôi nhận thấy các đồng chí giáo viên được phân công bồi
dưỡng toán cho học sinh chưa thấy được vị trí quan trọng của các bài toán về phân
số. Trong các bài dạy về phân số giáo viên không mở rộng kiến thức cho học sinh.
Khi bồi dưỡng cho học sinh giỏi không hệ thống được các nội dung kiến thức,
không phân định được rõ dạng bài, để khắc sâu cách giải cho học sinh.
- Phương pháp dạy các bài toán về phân số còn chưa phù hợp với nhận thức
và trình độ của học sinh, không gây được hứng thú và sự say mê học toán của các

4, tôi phân thành các dạng bài như sau:
DẠNG 1: CÁC BÀI TOÁN VỀ CẤU TẠO PHÂN SỐ VÀ TÍNH CHẤT CƠ BẢN VỀ PHÂN SỐ :

A. Các kiến thức cần ghi nhớ :
Cấu tạo phân số
1. Thương của phép chia số tự nhiên cho số tự nhiên (khác 0) có thể viết thành
phân số, tử số là số bị chia, mẫu số là số chia
a:b=

a
( với b khác 0 )
b

- Mẫu số b chỉ số phần = nhau lấy ra từ 1 đơn vị, tử số a chỉ số phần lấy đi.
2. Mỗi số tự nhiên có thể viết thành phân số có mẫu số là 1
a=

a
1

3. Phân số nào có tử số nhỏ hơn mẫu số thì phân số đó nhỏ hơn 1.
Phân số nào có tử số lớn hơn mẫu số thì phân số đó lớn hơn 1
Phân số nào có tử số bằng mẫu số thì phân số đó bằng 1.
4. Nếu nhân cả tử số và mẫu số của 1 phân số với một số tự nhiên khác 0 thì được
axn

a

phân số bằng phân số đã cho : b x n = b (n khác 0 )
5. Nếu chia cả tử số và mẫu số của phân số đã cho với 1 số tự nhiên khác 0 ( gọi là

So sánh bằng phương pháp dùng sơ đồ đoạn thẳng.
So sánh nhiều phân số:
B. Các bài toán mẫu :
Cấu tạo phân số
Ví dụ 1 : Rút gọn các phân số sau :
a.

2323
2525

23 x 101

23

= 25 x 101 = 25

5


b.

123 x 1001 123 41
123123
= 345 x 001 = 345 = 115
345345

Ví dụ 2: Viết số tự nhiên 8 thành các phân số có mẫu số lần lượt là 3, 5, 12, 105,
1000
Giải
8=

8 8 x105 840
=
=
1 1x105 105

8=

3
, cộng thêm vào tử số và mẫu số của phân số đó với một
7

số tự nhiên ta được phân số bằng

7
. Tìm số đó
9

Giải :
Hiệu của mẫu số và tử số của phân số

3
là :
7

7 - 3 = 4 ( đơn vị )
Khi cộng vào tử số và mẫu số với cùng 1 số thì hiệu của mẫu số và tử số vẫn
không thay đổi. Nếu coi tử số của phân số mới là 7 phần thì mẫu số của nó là 9
phần.
?


Mẫu số là : 1995 + 7315 = 9310
Vậy phân số phải tìm là :

7315
9310

Ví dụ 5: Hãy viết một phân số lớn hơn

5
5
và nhỏ hơn . Có bao nhiêu phân số
7
6

như vậy?
Giải :
Ta hãy nhân cả tử số và mẫu số của hai phân số

5
5
và
với cùng một số (khác 0) .
7
6

Lúc đó “khoảng cách” giữa hai mẫu số sẽ rộng ra và có thể có rất nhiều số tự nhiên
nằm trong “khoảng cách” ấy . Có thể chọn chúng là mẫu số của các phân số phải
tìm
Ví dụ:
- Nhân cả tử số và mẫu số với 2:

6

nên

ở đây ta chọn được một phân số là

10
13

- Hoặc nhân cả tử số và mẫu số với 10:
5 5 x10 50
=
=
7 7 x10 70

Ta có

5 5 x 2 50
=
=
6 6 x10 60

5 50
50
50
50
50
50
5
=

và . Nghĩa là có thể tìm được rất nhiều phân số như vậy.
6
7

So sánh phân số
1. So sánh phân số bằng cách quy đồng mẫu số:
a - So sánh hai phân số cùng mẫu số.
Ví dụ 1: So sánh hai phân số

Bài giải: Ta thấy 2 < 3 nên

2
3
và
7
7

2
3



b,

5
4
và
12
6

5
5x4
20
=
=
7
7 x4
28

3
5
>
4
7

4
4 x2
8
8
5
4

11

3
3
> .
8 11

Quy tắc: Hai phân số cùng tử số, phân số nào có mẫu số bé hơn thì phân số
đó lớn hơn và ngược lại.
b - So sánh hai phân số khác tử số.
(Thường dùng cho các bài toán có tử số nhỏ)
Ví dụ 4: So sánh các cặp phân số a,

Bài giải :a,

3
3 x5
15
=
=
;
7
7 x5
35

Vì

b,

3

7
8

3
3 x3
9
9
3
9
9
=
=
Vì
< nên


7
2
2
7
>
mà
= 1 nên
>1
2
2
2
2

9


c, Ta có

4
=1
4

Kết luận:
- Nếu phân số có tử số bé hơn mẫu số thì phân số bé hơn 1.
a
a
nếu a < b thì < 1
b
b

307307
307 x1001
307
=
=
507507
507 x101
507

307307307
307 x1001001
307
307
307307
307307307
=
=
Vậy
=
=
507507507
507 x1001001
507
507
507507
507507507

*Nhận xét: Gặp bài toán so sánh phân số, học sinh thường nghĩ xem phân
số nào lớn hơn, phân số nào nhỏ hơn nên tìm mọi cách để so sánh. Nhưng điều bất
ngờ là các phân số đó lại bằng nhau. Như vậy để so sánh phân số thì trước hết ta

Bài giải:
a, + Cách 1: Ta có:

+ Cách 2: Ta thấy

b, + Cách 1:

Vậy

16
16
16
15
16
15
>
và
>
nên
>
23
29
29
29
23
29
16
15
15
15

12
12
9
12
3

2
1
5
2
5
<

9
10
9
10

*Kiến thức cần nhớ:
So sánh qua phân số trung gian là ta tìm một phân số trung gian sao cho phân
số trung gian lớn hơn phân số này nhưng nhỏ hơn phân số kia.
Lưu ý: Có 3 loại phân số trung gian
Loại 1: Phân số trung gian có tử số bằng tử số của một trong hai phân số đã
cho, mẫu trùng với mẫu của phân số còn lại loại phân số trung gian này có hai cách
chọn.
Cách 1: Phân số trung gian có tử số là tử của phân số thứ nhất, mẫu là mẫu
của phân số thứ hai.
Cách 2: Phân số trung gian có mẫu số là mẫu của phân số thứ nhất, tử là tử
của phân số thứ 2.
Loại phân số trung gian này chỉ áp dụng với những bài toán so sánh hai phân
số mà tử của phân số thứ nhất bé hơn tử của phân số thứ hai và mẫu của phân số
thứ nhất lớn hơn mẫu của phân số thứ hai. (như ví dụ 7a).
Loại 2: Phân số trung gian thể hiện mối quan hệ giữa tử và mẫu của hai phân
số. (Ví dụ 7 phần b).
11


Loại 3: Phân số trung gian là đơn vị (Ví dụ 7 phần c) áp dụng với các bài
toán so sánh hai phân số mà trong đó một phân số lớn hơn đơn vị, phân số còn lại
nhỏ hơn đơn vị.
6. So sánh hai phân số dựa vào so sánh phần bù đến 1 của mỗi phân số.
Ví dụ 8: So sánh hai phân số:


nên

;
b
d
b
d

1-

a
c
a
c
> 1 - thì


bằng cách quy đồng mẫu số. Cách làm này được áp dụng với những bài so sánh

12


phân số mà việc nhân hai mẫu số gặp phức tạp nhưng tử số của hai phân số không
lớn nó sẽ làm cho ta giảm đi một bước là nhân hai mẫu số với nhau.
8. So sánh bằng phương pháp dùng sơ đồ đoạn thẳng.
Ví dụ 10: So sánh hai phân số

1
2
và
4
5

Bài giải: Ta có sơ đồ:

Từ sơ đồ trên ta thấy

1
2


;
;
26
13

8
;
25

5
;
3

2005
2006

Bài giải:
a. Nhìn bao quát ta thấy có

9
> 1 ( lớn hơn tất cả các phân số khác vì các
8

phân số này đều nhỏ hơn 1).
+Ta so sánh 4 phân số còn lại.

1
2
2
= >

63 63

Vậy ta xếp như sau:
9 4
;
;
8 7

b.

5 1
2
;
;
5
9 2

5
5
> 1, các phân số khác đều nhỏ hơn 1, nên là lớn nhất.
3
3

Ta so sánh các phân số còn lại:
12
6
7
=


so sánh bằng cách nhân mẫu số của phân số nay với tử số của phân số kia...
Vậy những bài toán tổng hợp các phương pháp giải đòi hỏi học sinh không
chỉ nắm kiến thức một cách đơn lẻ mà phải biết tổng hợp các kiến thức đó để lựa
chọn và kết hợp các phương pháp đó vào giải toán.
C. Các bài toán để luyện tập
Cấu tạo phân số
Bài 1: Rút gọn các phân số sau :
14


a.

123123
363363

b.

199619961996
194719471947

c.

1818181818
8181818181

Bài 2 : Tìm phân số biết tổng của tử số và mẫu số bằng 40 và rút gọn phân số đó thì
được

3
.


211
313

- Coi tử số của phân số mới là 3 phần bằng nhau thì mẫu số là 5 phần bằng nhau
như vậy.
Áp dụng bài toán tìm 2 số khi biết hiệu và tỉ số của 2 số để tìm tử số (hoặc mẫu
số). Lấy tử số cũ trừ đi tử số mới ta được số phải tìm
Đáp số : 28
Bài 4 : Cho phân số
được phân số bằng

35
. Cộng vào tử số một số nào đó và mẫu số trừ đi số đó ta
49

3
. Tìm số đó ?
4

Gợi ý: Khi cộng vào tử số một số nào đó và mẫu số trừ đi số đó ta được phân số
mới có tổng giữa tử số và mẫu số là không thay đổi
Áp dụng bài toán tìm 2 số khi biết tổng và tỉ số của 2 số để tìm tử số (hoặc mẫu số).
Lấy tử số mới trừ đi tử số cũ ta được số phải tìm
15


Đáp số : 1
Bài 5 : Hãy tìm một số nào đó sao cho khi tử số và mẫu số của phân số
đi số đó thì được phân số mới bằng

Đáp số :

Bài 8 : Tìm 1 phân số bằng

133
247

 133 : 19 7 
= 

 247 : 19 13 

9
sao cho tổng của tử số và mẫu số của phân số ấy
16

bằng 1000.
(HD tương tự bài 2)
Đáp số :
Bài 9 : Tìm 1 phân số bằng

360  360 : 40 9 
= 

640  640 : 40 16 

21
; biết rằng khi ta cộng thêm vào tử số và mẫu số của
23




Gợi ý : Xét hiệu của mẫu số và tử số của phân số

15
bằng 4
19

Xét hiệu số phần bằng nhau giữa mẫu số và tử số của phân số mới là : 37 - 21 =
16. Ta thấy hiệu của mẫu số và tử số của phân số

15
nhỏ hơn hiệu số phần số lần là
19

:
16 : 4 = 4 ( lần )
Vậy phân số phải tìm là :

15 x 4 60
=
19 x 4 67

Số trừ đi là : 60 - 21 =39 hoặc 76 - 37 = 39
So sánh phân số
Bài 1. Hãy so sánh các phân số sau bằng nhiều cách:
a.

3
4


c.

327
326
và
325
326

Bài 3. Xếp các phân số sau theo thứ tự tăng dần:
a.
b.

1 9
2 4 8 5 7 3 7
; ; ; ; ; ; ; ; .
2 10 3 5 9 6 8 4 8
1992 1993 1994 1995 1996
;
;
;
;
.
1991 1992 1993 1994 1995

c.

7 17 57 97
;
;

1995 19951995 199519951995
;
;
;
1996 19961996 199619961996

c.

1234
2468
8638
;
;
.
5678 11356 39746

Bài 6. Hãy viết 10 phân số khác nhau nằm giữa hai phân số:
a.

100
101
và
101
102

b.

1996
1993
và

9

9 7 4
; ;
8 9 9

b. Khoanh vào phân số bé nhất
5
;
8

Bài 9: Hoa ăn

7
;
5

3
;
8

2
;
5

2
8

2
2

24

d,

2005
2004
và
2006
2005

Bài 11: So sánh các phân số sau với 1.
1 3 5 7
19
2005
; ; ;
;
;
4 4 2 3
19
2006

Bài 12: Viết các phân số sau theo thứ tự từ bé đến lớn.
a.

1 3 4
9
; ; và ;
5 5 5
7


666
và
221
665

c.

315 315 207
;
;
425 429 429

18


Bài 15: So sánh các phân số sau bằng cách thuận tiện nhất.
14
5
và
25
7
1993
997
d.
và
998
1995

13
và


A. Kiến thức cần ghi nhớ :
1. Phép cộng : Muốn cộng hai phân số có cùng mẫu số, ta cộng hai tử số với nhau
và giữ nguyên mẫu số.
a
c
a+c
+
=
b
b
b
Muốn cộng hai phân số khác mẫu số, ta quy đồng mẫu số hai phân số đó rồi cộng
hai phân số đó .
2. Phép trừ : Muốn trừ hai phân số có cùng mẫu số, ta trừ hai tử số với nhau và giữ
nguyên mẫu số.
Muốn trừ hai phân số khác mẫu số, ta quy đồng mẫu số hai phân số đó rồi trừ hai
phân số đó
3. Phép nhân: Muốn nhân hai phân số, ta nhân tử số với tử số, mẫu số nhân với
mẫu số
axc
a
c
x
=
bxd
b
d
4. Phép chia: Muốn chia một phân số cho một phân số, ta lấy phân số thứ nhất
nhân với phân số thứ hai đảo ngược .

= x
b
d
d b

b.Tính chất kết hợp:
a c
e
a c e
 +  + =
+ +  ;
f
b d f 
b d

a c e a c e
 x x = x  x 
b d  f b d f 
19


c. Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng:
c e
a
a
c
a
e
x  +  =
x

Giải.
a.

3
7
2 16 19
 3 2   6 16   7 19 
6
+
+
+ +
+
= +  + + + + 
5 11 13 5 11 13
 5 5   11 11   13 13 
=

b.

5
26
22
+
+
= 1 + 2 + 2= 5
5
13
11

1995 1990 1997 1993 997  1995   1997   1990 1993  997

Ví dụ 2: Tính nhanh.
a/

2 1 3 2
x + x
5 4 4 5

b/

6 2 5 2
: + :
11 3 11 3

Giải:
a/

2
2 1 3 2 2 1 3 2
x + x = x +  = x 1 =
5
5 4 4 5 5 4 4 5

b/

2
3 3
6 2 5 2 6 5 2
: + : =  +  : = 1: = 1 x =
3
2 2

2x3

;

1 1
+
2 4

1 1
−
2 3

1−

1
6

;

1 1
−
3 4

1 1 1
3
; + +
2 4 8
4

1

4

;
=

1 1
−
2 3

=

1 1 1
3
; + +
2 4 8
4

1
6

;
=

1−

1 1
−
3 4

=

3 4 3x4 3 4

…

Vậy:

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
x + x + x + x + x + x + x + x
2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10

=

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
− + − + − + − + − + − + − + −
2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10

=

1 1 4 2
− = =
2 10 10 5

Ví dụ 6: Tính nhanh tổng sau:
1 1 1 1 1 1
+ + + + +
2 4 8 16 32 64
HD giải: Dựa vào ví dụ 3 để phân tích và giải
21



a/

1 2 3
7 8 9
+ + + ... + +
48 48 48
48 48 48

c/

1 4 7 10 13 16 19
+ + + + + +
70 70 70 70 70 70 70

b/

1
3
5
7
9
+
+
+
+
100 100 100 100 100

Bài 2. Tính nhanh.
a/


a/
b/

1
1
1
1
1
1
+
+
+
+
+
2 x 3 3 x 4 5 x 6 7 x 8 8 x 9 9 x 10
1 1 1 1 1
1
1
+ + + + +
+
30 42 56 72 90 110 132

Gợi ý: phân tích các mẫu số thành tích 2 số tự nhiên liền nhau:
Chẳng hạn: 30 = 5 x 6; 42 = 6 x 7; 56 = 7 x 8…
c/

2
2
2
2

A. Các bài mẫu
Ví dụ 1: ( Tìm tỉ số của hai số )
3
2
số cam thì bằng số quýt. Tính tỉ số giữa số cam và số quýt .
4
5

Giải :
Cách 1:
Quy đồng tử số :

3
6 2 6
= ; =
4
8 5 15

Vậy

6
6
số cam bằng
số quýt
8
15

Hay

1

20

Suy ra nếu số cam gồm 8 phần bằng nhau thì số quýt gồm 15 phần như thế .
Do đó tỉ số phải tìm là

8
15

Ví dụ 2: ( Tìm số trung bình cộng )
Trung bình cộng của 3 phân số =

phân số thứ hai là

13
. Trung bình cộng của phân số thứ nhất và
36

5
7
, của phân số thứ hai và phân số thứ ba là
. Tìm 3 phân số
12
24

đó.
Hd giải: Vận dụng kiến thức về số trung bình cộng để giải.

23




13 7 1
− =
12 12 2

7 3 1
− =
12 12 3
Đáp số:

1
1 1
, và
2 3
4

Ví dụ 3: ( Tìm một phân số khi biết giá trị một phân số của số ấy )
Một người bán cam lần thứ nhất người đó bán

1
2
số cam. Lần thứ hai bán số cam
3
5

thì còn lại 12 quả. Hỏi người đó đem bán bao nhiêu quả cam?
Hd giải:
1 2 11
Cả hai lần người đó bán số phần cam là: + =
(số cam)



Tìm số phần tấm vải bán trong cả buổi sáng và buổi chiều.
Tìm số phần tấm vải ứng với 20m.
Tìm số mét của tấm vải và số vải bán được của mỗi buổi.
Giải:
Sau khi bán buổi sáng, còn lại số phần tấm vải là: 1 −

3 8
= (tấm vải).
11 11

Số phần tấm vải bán được trong buổi chiều là:

8 3 3
x = (tấm vải).
11 8 11

Cả sáng và chiều bán được số phần tấm vải là

3 3 6
− =
(tấm vải).
11 11 11

Số phần tấm vải ứng với 20m vải là: 1 −
Tấm vải dài là: 20 :

6 5
= (tấm vải).


Tính số tiền của người thứ ba
Giải
Cách 1:
Người thứ nhất được:
720 : 6 = 120 ( ngàn )
Người thứ hai được:
720 x

3
= 270 ( ngàn )
8

Hai người đầu được:
25