CHUYÊN ĐỀ : TĨNH ĐIỆN.
-------o0o------

A. LÝ THUYẾT
Nội dung lý thuyết sẽ đề cập đến nội dung chính của lý thuyết phần nâng cao
r
ur
ur
1 Q r
1. Điện trường E gây ra bởi điện tích điểm : E =
4πε 0 ε r 2 r

Điện tích dương thì điện trường hướng ra và điện tích âm thì điện trường hướng vào
2. Định lý O-G
a) Điện thông: Điện thông là một đại lượng vô hướng và ý nghĩ là số đường sức điện đi qua mặt ∆S
và xác định bằng
uruuur
∆Φ = E.∆S .cosα = E ∆S

Điện thông qua một mặt S thì ta chia nhỏ mặt S thành các mặt ∆S từ đó lấy tổng trên toàn bộ
mặt S
Φ = ∑ ∆Φ = ∑ E.∆S .cosα
S

b) Thiết lập phương trình cho đinh lý O-G

•

q1

- Xét cá điện tích đặt bên trong một mặt S:

-Thế năng tương tác giữa hai điện tích:

W=

qQ
4πε 0ε r

- Thế năng tương tác giữa nhiều điện tích: W=
- Điện thế gây ra bởi điện tích điểm: V =

qi q j
1
∑
2 i , j 4πε 0ε r

q
4πε 0ε r

- Điện thế là đại lượng vô hướng và có tính chất cộng nên điện thế gây ra bởi nhiều điện tich
điểm:
-

V =∑
i

qi
4πε 0ε r

Năng lượng tương tác giữa điện trường và điện tích: W=


dẫn

∆S

2
S

mặt

S − ∆S

∆Φ = E.∆S
Mà điện tích phần ∆S là q = σ .∆S
q σ .∆S
σ
Theo O-G: ∆Φ = E.∆S = =
từ đó E =
ε0
ε0
ε0

Như vậy điện trường E là do toàn bộ mặt S gây ra mà điện trường do mặt S gây ra ta có thể
coi là do phần S − ∆S và ∆S .
ur uur uur r
uur
uur
Mà điện trường bên trong vật dẫn là E = E1 + E2 = 0 với điện trường E1 và E2 là do hai phần
diện tích gây ra.
Từ đó suy ra



qi q j
1
= const
∑
2 i . j 4πε 0ε r
B

Nếu hệ trao đổi năng lượng với môi bên ngoài ta có
biến thiên cơ năng bằng công của ngoại lực tác

dụng: AF = ∆W
B. BÀI TẬP

C
-q

-q

i

D
-q

A -q
B'

Bài 1: Tại 8 đỉnh của hình lập phương cạnh a =0,2m ở trong

C''


O

D
-q

q
D''

q

C'
q

A'

B - q

- q

O
B'

D'

- q

- q
z


BD ' =
BD '+ DD '2 =
(2 2) 2 + a =
2
2
2
2

4kq
3a 2

uur
DD ' 4kq a
4kq
= 2
=
Hình chiếu của EB trên zz ' là EBZ = EB cosα = EB
BD ' 3a a 3 3 3a 2
32kq
3 3a 2

→

≈ 1, 25.105V / m .

∆ En
→
∆ E1

Bài 2: Xác định cường độ điện trường gây ra bởi một vòng dây dẫn



các điện tích điểm. Mỗi điện tích này gây ra tại M một điện trường và điện trường tổng hợp do cả
vòng dây gây ra được xác định nhờ nguyên lý chồng chất điện trường.
q
2π R
Để cho cụ thể, giả sử q> 0. Phần tử ∆ S1 mang điện tích ∆ q1 gây ra tại M một điện trường có cường
uur
độ ∆ E1 với phương và chiều như trên hình và có độ lớn.

Ký hiệu λ là mật độ điện dài trên vòng dây ta có: λ =

∆E1 = k

∆q1
λ.∆s
= k 2 12
2
( R +h ) ( R +h )
2



1
= 9.109 ÷ đơn vị SI
k =
4πε 0




R +h

2

+ h2 )

3

(Với ∆s2 ) là tổng độ dài của hai phân tử ta xét. Xét tất cả các cặp phần tử của vòng dây tương tự
uur
như trên, mỗi cặp này cho một vectơ cường độ điện trường ∆ En nằm trên trục vòng dây. Tất cả các
uur

ur

vectơ ∆ En đótạo thành cường đọ điện trường E do toàn bộ vòng dây gây ra. Như vậy, vectơ cường
ur
độ điện trường E do vòng dây dẫn mang điện tích q gây ra có phương là trục vòng dây, có chiều
hướng ra xa tâ, O của vòng dây nếu q>0 hoặc hướng về tâm O, nếu q< 0 và có độ lớn:
kλh
kλh
E=
∆s1 + ∆s2 + ....) =
x chiều dài vòng dây
(
2
3
2
2
2

(R

2

+ h2 )

32

Từ (1) và (2) ta thấy
- Tại tâm vòng dây (M=O); h=0 ⇒ E0 = 0
- Tại điểm M ở rất xa vòng dây h>> R ⇒ E∞ ≈

kq
ta thấy tại điểm ở xa vòng dây, cường độ điện
h2

trường gây bởi dây mang điện tích q có giá trị giống như cường độ điện trường gây bởi một điện tích
điểm q đặt tại tâm của vòng dây.
Bài 3: Một quả cầu khối lượng m, mang một
điện tích là q được buộc vào một sợi chỉ cách
→
điện. Đầu còn lại của sợi chỉ được buộc vào
R
T
điểm cao nhất của một vòng dây có bán kinh R Q
l
M
ur ur
đặt trong một mặt phẳng thắng đứng. Vòng dây
O

ur
ur
lực các lực P và F . ký hiệu OM =h, từ hình vẽ ta có:
Tan α =

F h
h qE
= ⇒ =
P R
R mg

Mặt khác, theo kết quả ở bài tập 1.12, ta có
E=

1
Qh
Qh
.
=
3/2
2
2
4πε 0 ( R + h )
4πε 0τ

Đưa (2) vào (1) ta rút ra: l = 3

QpR
4πε 0 mg


2

Q2
F=
32π 2 εε 0 R 4

Bài 4: Hai vật có kích thước nhỏ, khối lượng m1 và m2 , mang các điện tích cùng dấu q1 và q2 nằm
cách nhau một khoảng a trong chân không. Hãy tính công của lực điện trường khi thả đồng thời cả
hai điện tích cho chúng tự do chuyển động. Xét trường hợp các khối lượng bằng nhau và trường hợp
các khối lượng không bằng nhau.
Giải:
a) Trường hợp khối lượng các hạt bằng nhau:
Do lực tương tác như nhau, gia tốc các hạt như nhau. Chúng đồng thời được thả ra, nên các
điện tích luôn đối xứng qua khối tâm chung, năm chính giữa đoạn a ban đầu.


Gọi x là các khoảng cách tức thời từ mỗi điện tích đến khối tâm. Công dịch chuyển mỗi điện
tích đi ra đến vô cùng bằng:
∞

∞

∞

qq
dx
qq  1
qq
A1 = ∫ Fdx = 1 2 ∫
= 1 2 − ÷ = 1 2

với l kà khoảng cách tức thời giữa hai điện tích.

Gọi khoảng cách ban đầu từ khối tâm đến các điện tích là a 1 và a2, ta có công dịch chuyển điện
tích q1 ra xa vô cùng bằng:
∞

A1 = ∫ F1dx1 =
a1

∞

q1q2 m2
dl q1q2 m2 1
=
∫
4πε 0 m1 + m2 a l 2 4πε 0 m1 + m2 a

Tương tự công cho điện tích q2: A2 =

q1q2
m1 1
4πε 0 m1 + m2 a

Thế năng tương tác ban đầu giữa hai điện tích được chuyển hoàn toàn thành công của hai
điện tích ra xa vô cùng:

Wt = A1 + A2 =

q1q2 1
4πε 0 a

≈ 113V .m
ε0


b) Giả sử điện tích q được đặt tại đỉnh A của hình lập phương đó. Đối với ba mặt của hình lập
phương có chưa điện tích q (hình 1.13G)tức là chưa đỉnh A ( Các mặt ABCD, ADD'A'), điện thông
bằng 0 vì các đường sức điện trường vuông góc pháp tuyến, α = 90o. Vì lý do đối xứng điện thong
qua ba mặt còn lại (BB'C''C, AB'C'D', CDD'C'') là như nhau, bằng Φ 2 . Để tính Φ 2 ta xét hình lập
phương lớn tâm A , có cạnh bằng 2a điện tích q nằm tại tâm hình lập phương lớn. Diện tích của mỗi
mặt hình lập phương lớn (bằng 4a2) lớn gấp 4 lần diện tích của một mặt hình lập phương
ABCDA'B'C'D'. đo đó điện thông qua mỗi hình lập phương lớn sẽ bằng Φ 2 . Và vì vậy do đối xứng,
điện thông qua toàn bộ hình lập phương bằng :
Φ = 24Φ 2 =

q
q
⇒ Φ2 =
≈ 4, 71V .m
ε0
24ε 0

Bài 6. trong một điện trường tạo bởi một điện tích điểm +q 1 và một điện tích điểm -q1, có một
đường sức xuất hiện từ +q1 hợ với đoạn thẳng nối hai điện tích một góc α . Hãy tính góc β mà
đường sức đó hợp với đoạn thẳng trên tại -q1

α

Giải:

β

=
N 2'
2

(2)

Mặt khác, vì các đường sức không giao nhau nên số đường sức đi ra khỏi q 1 trong hình nón 2 α phải
N1' = N 2'
bằng số đường sức đi tới -q2 trong hình nón 2 β , tức là :
(3)
2

α  α
2sin
2
N 2' 1 − cosα
2 = 2 ÷
=
Từ (1), (2), (3) ta có: ' =

÷
N1 1 − cosβ 2sin 2 β  2 β ÷
2  2
N
q
Mặt khác, ta có: 2 = 2 (q1, q2 là trị tuyệt đối của các điện tích)
N1 q1
2

 α

q2
2

(4)


q1
α
sin > 1 thì đường sức đi khỏi q1 sẽ đi ra xa vô cùng và không đi tới -q2
q2
2

Nếu

Bài 7: Hai quả cầu nhỏ tích điện 1 và 2, có khối lượng và điện tích tương ứng là m 1 = m; q1 = +q;
m2 = 4m; q2= +2q được đặt cách nhau một đoạn a trên mặt phẳng nhẫn nằm ngang. Ban đầu giữ hai
quả cầu đứng yên. Đẩy quả cấu 1 chuyển động hướng thẳng vào quả cầu 2 với vận tốc v 0, đồng thời
buông quả cầu 2;
a) Tính khoảng cách cực tiểu rmin giữa hai quả cầu
b) Xét trường hợp a = ∞ tính rmin
c) Tính vận tốc u1, u2 của hai quả cầu ( theo v o, rmin) khi chúng lại ra xa nhau vô cùng. Xét trường hợp
a= ∞
Giải:
Vì q1 và q2 cùng dấu nên quả cầu 1 đẩy quả cầu 2 chuyển động cùng chiều. Khi
khoảng cách giữa
uur
r
hai quả cầu đạt giá trị cực tiểu thì chúng có cùng vận tốc u ( u cùng chiều với v0 )
m1


+q2
v0
5

Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng ( năng lượng của hệ gồm động năng và thế năng tương tác
(điện));
mv02
2q 2  mu 2 4mu 2 
2q 2
+k
=
+
(2)
÷+ k
2
a
2 
rmin
 2
a
rmin =
mv 2 a
Từ (1), (2) suy ra:
1+ 0
5kq
b) Xét trường hợp a= ∞ hoặc đầu hai quả cầu ở rất xa nhau. Từ (2) ta có
5kq 2
rmin =
mv02


, Hay d? rmin vào ∆ ' : ∆ ' = m 2 q 2 
÷
a
 mrmin 

từ đó tìm được nghiệm của (7) : u2 =
uur

uur

v0 q 5k
±
5 5 mrmin

(7)

(8)

vì u2 phải cùng chiều với v0 , nghĩa là u2 phải cùng dấu với v0 nên phải lấy dấu "+"


u2 =

v0 q 5k
+
5 5 mrmin

(9)

Thay vào (8) và (5) ta được u1 =

B

-q

A

B

-q

Giải:
Gọi q là điện tích của hạt được thả ra, V A và VB lần lượt là điện thế do nừa vòng tròn tích điện gây
ra tại A và B. Coi điện thế tại điểm ở rất xa bằng 0 ta có:
mv A2
mv 2
= qVA ; B = qVB
2
2
2

VA  VA 
=  ÷ = n2
VB  VB 

Từ đó

(1)

Mặt khác, ta viết biểu thức của lực do nửa vòng tròn tác dụng lên điện tích tại A và tại B: F A=qEA
=maA; FB = qEB=maB, với EA, EB tương ứng là cường độ điện trường của nửa vòng tròn tại A và B


∆E Ai

x


VAi =

k .∆Qi
(r là bán kính cung tròn)
r

Điện thế đo cả vòng tròn gây ra tại A là:
k
kQ
∆ Qi =
(Q là điện tích nửa vòng tròn)
(4)
∑
r i
r
i
+ Tính EA. gọi chiều dài của mỗi đoạn mang điện tích ∆Q1 là ∆li , λ là điện tích của mỗi đơn vị độ
V A = ∑ VAi =

dài của nửa vòng tròn, cường độ điện trường do AQi gây ra tại A là:
k .∆Qi k λ.∆li
∆E Ai =

=

∆Qi
VBi = k
ρi
( ( ρi = 2r cos β là khoảng cách từ ∆Qi đến B)
E A = ∑ ∆EAix =

Hay
VBi =

∆Qi

pi

B

A

k ∆Qi
∆Qi
k
, tu do VB = ∑
2rcosβi
2r
cosβ i

∆ EBi x
βi
∆ EBi

+ Tính EB, cường độ điện trường do ∆Qi gây ra tại B là:

điểm
M có tốc độ
r
cực r và θ , ở đủ xa lưỡng cực. Người ta giả thiết điện thế của điện trường đều E0 bằng không tại
điểm O


b) Xác định rằng cường độ điện trường trên mặt đẳng thế V= 0 có giá trị 3E0cos θ .
Giải:
y
a) Biểu thức cho điện thế V tại M ( r ,θ ) là

M
V0 = 0

uur
E0
X'

-q

V0 = 0
r

O

θ
+q

VE = ∫ E0 dr = − ∫ E0 dx = − E0 x + const

2

 1 pe

1 pe
− E0 r ÷ = 0 nên r 2 =
2
4πε 0 E0
 4πε 0 r


*

Đó là mặt cầu tâm O bán kính
r=

pe
4rE0

c) Điện trường tại điểm M (r, θ ) có các thành phần
∂V  2 pe 
=
÷cosθ
∂r  4πε 0π 3 
*

1∂V  pe
*E0 = −
=
− E0 ÷sin θ

b) Mật độ điện tích hưởng ứng trên mặt vật dẫn.
Giải :
a) Vì thành phẳng kim loại nối đất nên điện thế của thành phẳng
bằng 0.
Ta xét phổ đường sức và mặt đẳng thế của một hệ hai điện tích
điểm bằng nhau, trái dấu (hình vẽ). Ta thấy mặt phẳng trung trực của
đoạn thẳng nối hai điện tích + q và - q là một mặt đẳng thế, mọi điểm trên
mặt phẳng có điện thế bằng 0.
Như vậy nếu ta thay mặt đẳng thế này bằng một mặt kim loại
phẳng vô hạn (nối đất, lúc đầu không mang điện) thì theo kết quả trên
điện trường giữa + q và mặt phẳng sẽ không bị thay đổi, nghĩa là điện
trường đã được gây ra bởi các điện tích σ trong kim loại trùng với điện
trường gây bởi điện tích – q đặt đối xứng với q qua bản kim loại. Điện
tích ảo – q gọi là ảnh của điện tích q qua bản kim loại.
Vậy lực tương tác giữa q và bản kim loại là :

F=

-q

•q

q2
16 πε a 2

Thay số :
F= 36. 10-5 (N)
b) Xét trường gây ra tại điểm M nằm trên mặt vật dẫn, cách A một khoảng r. Cường độ điện trường do các điện tích q và -q
gây ra tại M có phương, chiều như hình vẽ. Độ lớn :
E 1 = E2

vuông góc với bản, có cường độ :
σ
E=
2ε 0
Lựcđiện do bản kim loại tác dụng lên điện tích q là tổng hợp của lực do điện trường E tác
dụng lên q và do điện tích hưởng ứng tác dụng lên.
+ Lực do điện trường E tác dụng lên q là lực đẩy, hướng ra xa bản và có độ lớn :
F1 = qE =

qσ
2ε 0

Lực do điện tích hưởng ứng tác dụng lên q bằng lực tác dụng giữ điện tích q và điện tích – q
là ảnh của q qua mặt phẳng vô hạn. Lực này là lực hút, nó có hướng ra xa bản và có độ lớn :


F2 =

kq 2
4d 2

Trong đó : d – khoảng cách từ q đến bản kim loại.

Lực điện tổng hợp tác dụng lên bản kim loại
⇔

* Vị trí cân bằng : P = F
⇒

d0 =

* Đặt OC = b. Điện thế tại một điểm N bất kỳ trên mặt cầu là :
B

kq
kq '
R
q'
−
= 0 => 1 =
R2
R1
R2
q
0

+ Khi N trùng B thì R1 = R + b ; R2 = R + a
R + b q'
=
(1)
R+a q

R1

b

q’ C

+ Khi N trùng A thì R1 = R - b ; R2 = a – R
A



E

E1

E2
N


Hay :

F =

kRaq 2
(a 2 − R 2 ) 2

(4)

b) Cường độ điện trường do điện tích q và điện tích hưởng ứng trên bề mặt ưủa cầu gây ra trong
không gian xung quanh là :

uur kq ur kq uur
E = 3 R− 3 R'
R
R'
Trong đó : R, R’ khoảng cách từ điện tích q và q’ đến điểm quan sát.
**) Bây giờ ta sẽ tìm cường độ điện trường tổng hợp do các điện tích gây ra tại N trên mặt cầu.
Cường độ điện trường do q và –q’ gây ra tại N có phương, chiều như hình vẽ.
Độ lớn :


q' R
=
=
R2
q a

R12 + R22 − 2 R1R2Cosα

ta được :

R2
kq (a − )
a−R
kq
kq (a 2 − R 2 )
a
E=
E2 = 2 *
⇔ E=
R
R1
R2
RR23
R2
a

(8)