Giáo trình ôn thi vào THPT
Chơng trình ôn thi vào lớp 10 Năm học: 2016 - 2017
phần I đại số
Chuyên đề i: căn thức bậc hai - bậc ba
Các phép biến đổi căn thức bậc hai- bậc ba
A. Những công thức biến đổi căn thức:
1) A 2 = A
2) AB = A. B ( với A 0 và B 0 )
3)
A
=
B
A
B
( với A 0 và B > 0 )
4) A 2 B = A B (với B 0 )
5) A B = A 2 B ( với A 0 và B 0 )
A B = A 2 B ( với A < 0 và B 0 )
6)
7)
8)
9)
A
=
B
A
B. Bài tập cơ bản:
Bài 1: Tìm ĐKXĐ của các biểu thức sau:
3
2x + 1
1
b) x
)
2
b)
6 + 14
c)
x2 5
1
2x 2
d)
d) x 0
)(
(với x 5)
x 2
)
d) x x 1
d) ( x 1)( x + x + 1)
( với x 0)
x +2
HD: a) x = {1}
x +5
b)
( với x 0)
x +2
c)
x +1
b) x = { 0;1;9}
( với x 0 và x 4)
x 2
c) x = { 0;1;9;16;36}
Bài 6: Giải các phơng trình, bất phơng trình sau:
a)
x5 = 3
HD: a) x = 14
x x +1 x 1
x 1
x +1
a)Tìm ĐKXĐ và rút gọn A.
b) Tính giá trị biểu thức A khi x =
9
.
4
c) Tìm tất cả các giá trị của x để A < 1.
x 0
, rút gọn biểu thức ta có: A =
x 1
HD: a) ĐKXĐ là:
x
x 1
.
9
thì A = 3
4
c) 0 x < 1 .
Bài 3: Cho biểu thức: C =
1
a 1
3 x
x +2
.
1 a +1
a + 2
:
a a 2
a 1
a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức C.
b) Tìm giá trị a để C dơng.
a > 0
a 2
HD: a) Điều kiện: a 4 , rút gọn biểu thức ta có: C =
3 a
a 1
Gi¸o tr×nh «n thi vµo THPT
x
Bµi 5: Cho biĨu thøc E =
x +1
−
x
x −1
3− x
x −1
+
a) T×m ®iỊu kiƯn x¸c ®Þnh vµ rót gän biĨu thøc E.
b) T×m x ®Ĩ E = -1.
x > 0
x ≠ 1
HD: a) §iỊu kiƯn:
c) x = 4.
,rót gän biĨu thøc ta cã: E =
x +2
x −2
b) x = 3+ 8 = 3 + 2 2 = ( 2 + 1)
⇒ A = 2 2 −1
c) BiĨu thøc A nguyªn khi: x − 2 = { ± 4;±2;±1} ⇒ x = {0; 1; 9; 16; 36}
2
D. Bµi tËp lun tËp:
Bµi1: Cho biĨu thøc:
1
a +2
5
−
+
a +3 a+ a −6 2− a
P=
a) T×n §KX§ vµ rót gän P.
b) TÝnh gi¸ trÞ cđa P khi: a = 7 − 4 3 .
c) T×m gi¸ trÞ cđa a ®Ĩ P < 1.
1 a +1
1
a + 2
x +3
x −2
a, T×m §KX§ vµ rót gän biĨu thøc A.
b, T×m c¸c gi¸ trÞ cđa x ®Ĩ A > 1.
c, T×m c¸c gi¸ trÞ cđa x ∈ Z ®Ĩ A ∈ Z.
Bµi4 : Cho biĨu thøc: C =
1
x +1
−
3
x x +1
+
−
2 x +1
3− x
2
x − x +1
a, T×m §KX§ vµ rót gän biĨu thøc C.
b, T×m c¸c gi¸ trÞ cđa x ®Ĩ C = 1.
x −2
x + 2 (1 − x) 2
:
+
x x x +1 x 1
1
a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P
b) Tìm các giá trị của x để P > 0
c) Tìm x để P = 6.
Bài tập tự rèn
Bài 1: Cho biểu thức:
1
a +2
5
+
a +3 a+ a 6 2 a
P=
a 4
ữ
a 2ữ
a) Rút gọn P P =
x 1
1
8 x 3 x 2
: 1
+
3 x +1
9
x
1
3
x
1
3
x
+
1
x x +1
ữ
P
)
a + a +1
ữ
a 1 ữ
b) Tìm giá trị của a để P
b) Xét dấu của biểu thức M=a.(P- )
Bài 6: Cho biểu thức: P =
a) Rút gọn P
Hoàng Quốc Nga 0914780828
4
Giáo trình ôn thi vào THPT
(
Bài 7: Cho biểu thức:
P
)
1
.3+ 2 2
2
2 x
=
a
1 + a
a) Rút gọn P
b) Xét dấu của biểu thức P.
1 a
x+2
x +1
x +1
.
+
x x 1 x + x +1 x 1
P = 1 :
Bài 9: Cho biểu thức:
a) Rút gọn P
b) So sánh P với 3
1 a a
1 + a a
+ a .
a
1 a
1+ a
x3 x
9 x
x 3
1 :
x9
x+ x 6 2 x
P =
x 2
x + 3
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị của x để P
Bài 15: Cho biểu thức:
P
a2 + a
2a + a
+1
=
a a +1
a
a) Rút gọn P
b) Biết a >1 Hãy so sánh P với
c) Tìm a để P =
P
1
2
d) Tìm giá trị nhỏ nhất của P
Bài 16: Cho biểu thức:
a) Rút gọn P
(
P=
a +1
3
3 1
1+ 3
a+ b=4
và b =
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P nếu
Bài 17: Cho biểu thức: P =
a a 1 a a +1
1 a + 1
a 1
+ a
+
a a
a+ a
a a 1
a + 1
a) Rút gọn P
b) Với giá trị nào của a thì P =7
c) Với giá trị nào của a thì P>6
Bài 18: Cho biểu thức: P =
a
a
1
2
a b + 4 ab a b b a
.
a+ b
ab
a) Tìm điều kiện để P có nghĩa.
b) Rút gọn P
c) Tính giá trị của P khi a = 2 3 và b =
3
x+2
x
1
:
+
+
x
x
1
x +2
: 1
x 1 x + x + 1
3
Bài 22: Cho biểu thức: P =
3x
1
2
1
:
1:
+ 2
2+ x 4 x 42 x 42 x
Hoàng Quốc Nga 0914780828
6
x+ y
a) Rút gọn P
b) Chứng minh P 0
Bài 24: Cho biểu thức:
1
3 ab
1
3 ab
a b
.
:
+
a + b a a + b b a b a a b b a + ab + b
P =
a) Rút gọn P
b) Tính P khi a =16 và b = 4
2a + a 1 2a a a + a a a
.
2 a 1
1
c) Chứng minh rằng P >
Bài 26: Cho biểu thức: P
x 5
x 3
x +3
+
x +5
a) Rút gọn P
b) Với giá trị nào của x thì P
Bài 28: Cho biểu thức: P =
a) Rút gọn P
1
6
1
1
2
1
+ +
= + .
y x+ y x
x
b) Tìm giá trị của a để P >
Bài 29: Cho biểu thức: P
1
:
y
x3 + y x + x y + y 3
x 3 y + xy 3
a) Rút gọn P
b) Cho x.y =16. Xác định x,y để P có giá trị nhỏ nhất
Bài 30: Cho biểu thức: P =
a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn biểu thức A.
b) Tính giá trị của A khi x = 7 + 4 3 .
c) Với giá trị nào của x thì A có giá trị nhỏ nhất?
Bài 32 Cho biểu thức
x
1
x +1 x 1 2
B=
+
ữ: 2
ữ
x 1 x +1 x 1 x 1 x +1
a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn biểu thức B.
b) Tính giá trị của B khi x = 3 + 8 .
c) Tính giá trị của x khi B = 5
Bài 33 Cho biểu thức
a a 1 a a +1 a + 2
C =
ữ
ữ: a 2
a
a
a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn biểu thức E.
b) Tính giá trị của B khi x = 3 + 8 .
c) Với giá trị nào của x thì E > 0?; E < 0?
Bài 36 Cho biểu thức
x 1
2 x
F = 1 +
:
ữ
ữ
ữ
ữ
x +1 x 1 x x + x x 1
a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn biểu thức F.
b) Tính giá trị của x để F > 3
c) Tính giá trị của x để F = 7
d) x = 19 - 8
Bài 37 Cho biểu thức
x
1 1
2
G =
x 2
x + 2 x2 2x + 1
M =
ữ
ữì
2
x 1 x + 2 x +1
Hoàng Quốc Nga 0914780828
8
Giáo trình ôn thi vào THPT
a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn biểu thức M.
b) Tính giá trị của M khi x = 0,16.
c) CMR nếu 0 < x < 1 thì M > 0
d) Xác định giá trị lớn nhất của M
e) Tìm giá trị nguyên của x để M có giá trị nguyên?
Bài 40 Cho biểu thức: N = x + 4 x 4 + x 4 x 4
a) Rút gọn biểu thức N.
b) Tìm giá trị của x khi N = 4?
Chuyên đề II
PHNG TRèNH - H PHNG TRèNH - BT PHNG TRèNH (Bc nht)
A.KIN THC C BN
1.Phng trỡnh bc nht mt n
-Quyngkhmu.
-avdngax+b=0(a0)
phỏptnphtrongmtstrnghpxuthincỏcbiuthcgingnhauchai
phngtrỡnh.
Hoàng Quốc Nga 0914780828
9
Gi¸o tr×nh «n thi vµo THPT
7.Bất phương trình bậc nhất
Với bất phương trình bậc nhất thì việc biến đổi tương tự như với phương trình bậc
nhất. Tuy nhiên cần chú ý khi nhân và cả hai vế với cùng một số âm thì phải đổi chiều
bất phương trình.
B. MỘT SỐ VÍ DỤ
VD1.Giải các phương trình sau
7x
20x + 1,5
− 5( x − 9) =
a) 2 ( x − 3) + 1 = 2 ( x + 1) − 9 b)
8
6
13
1
6
+
= 2
c) 2
d) x − 3 + 3 x − 7 = 10 (*)
2x + x − 21 2x + 7 x − 9
Giải
a) 2 ( x − 3) + 1 = 2 ( x + 1) − 9 ⇔ 2x − 5 = 2x − 7 ⇔ −5 = −7 (Vô lý)
x = −4 ∈ DKXD
Vậy phương trình có nghiệm x = - 4.
d) Lập bảng xét dấu
x
3 7
x – 3
- 0 + +
x - 7
- - 0 +
-Xét x
-Với b ≠ a, phương trình có nghiệm duy nhất x = 2(b + a).
-Với b = a, phương trình có vô số nghiệm
b) ĐKXĐ: x ≠ ±1
(2) ⇒ ( ax-1) ( x + 1) + 2 ( x − 1) = a ( x 2 + 1)
-Nếu b – a ≠ 0 ⇒ b ≠ a thì x =
⇔ ax 2 + ax − x − 1 + 2x − 2 = ax 2 + a
⇔ ( a + 1) x = a + 3
a +3
a +1
-Nếu a + 1 = 0 ⇒ a = −1 thì phương trình vô nghiệm.
-Nếu a + 1 ≠ 0 ⇒ a ≠ −1 thì x =
Vậy: -Với a ≠ -1 và a ≠ -2 thì phương trình có nghiệm duy nhất x =
-Với a = -1 hoặc a = -2 thì phương trình vô nghiệm.
a +3
a +1
VD3.Giải các hệ phương trình sau
1
5
1
+
=
x + 2y − 3z = 2
x + 5y = 7
x + y x − y 8
y = 1
x + 5y = 7
3x + 15y = 21 17y = 17
y = 1
⇔
⇔
⇔
hoặc
3x − 2y = 4 3x − 2y = 4
3x − 2y = 4
x = 2
b) ĐK: x ≠ ± y
1
1
= u;
=v
đặt
x+y
x−y
Hoµng Quèc Nga 0914780828
11
Gi¸o tr×nh «n thi vµo THPT
5
1
v=
c) x − 3y + z = 5 ⇔ 1 + 5y + 2y − 3z = 2 ⇔ 7y − 3z = 1 ⇔ y = 1
x − 5y = 1
1 + 5y − 3y + z = 5
2y + z = 4
z = 2
C.MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN
1.Giải các phương trình sau
x + 17 3x − 7
a) 3 ( x + 4 ) − 5 ( x − 2 ) = 4 ( 3x − 1) + 82 b)
−
= −2
5
4
x +1 x + 2 x + 3 x + 4
x −1
x
7x − 3
c)
+
=
+
d)
−
=
65
64
a
1
a
−1 a +1
d)
+
=
+
ax-1 x + a a 2 + 1
c)
−
= 2
x − a x +1 x − a x +1
a+1 1 − a a − 1
3.Giải các hệ phương trình sau
m + n + p = 21
x + y = 24
2
2
3x + 4y − 5 = 0
2u − v = 7
n + p + q = 24
a) x y
c) 2
d)
Chuyên đề iii
Hàm số và đồ thị
i. Kiến thức cơ bản
1. Hàm số
a. Khái niệm hàm số
- Nếu đại lợng y phụ thuộc vào đại lợng thay đổi x sao cho với mỗi giá trị của x ta
luôn xác định đợc chỉ một giá trị tơng ứng của y thì y đợc gọi là hàm số tơng
ứng của x và x đợc gọi là biến số
- Hàm số có thể cho bởi bảng hoặc công thức
b. Đồ thị hàm số
- Đồ thị hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả những điểm M trong mặt phẳng tọa độ có tọa
độ thỏa mãn phơng trình y = f(x) (Những điểm M(x, f(x)) trên mặt phẳng tọa độ)
c. Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến
* Cho hàm số y = f(x) xác định với mọi giá trị của x thuộc R
Hoàng Quốc Nga 0914780828
13
Giáo trình ôn thi vào THPT
- Nếu x1 < x2 mà f(x1) < f(x2) thì hàm số y = f(x) đồng biến trên R
- Nếu x1 < x2 mà f(x1) > f(x2) thì hàm số y = f(x) nghịch biến trên R
1.1Hàm số bậc nhất
a. Khái niệm hàm số bậc nhất
- Hàm số bậc nhất là hàm số đợc cho bởi công thức y = ax + b. Trong đó a, b là các
số cho trớc và a 0
b. Tính chất
Hàm số bậc nhất y = ax + b xác định với mọi giá trị của x thuộc R và có tính chất
sau:
Hệ số góc của đờng thẳng y = ax + b
- Hệ số a trong phơng trình y = ax + b đợc gọi là hệ số góc của đờng thẳng y = ax +b
f. Một số phơng trình đờng thẳng
- Đờng thẳng đi qua điểm M0(x0;y0)có hệ số góc k: y = k(x x0) + y0
x
y
- Đờng thẳng đi qua điểm A(x0, 0) và B(0; y0) với x0.y0 0 là x + y = 1
0
0
1.2 Hàm số bậc hai
a. Định nghĩa
- Hàm số có dạng y = ax2 (a 0)
b. Tính chất
- Hàm số y = ax2 (a 0) xác đinh với mọi giá trị của c thuộc R và:
+ Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x < 0, đồng biến khi x > 0
Hoàng Quốc Nga 0914780828
14
Giáo trình ôn thi vào THPT
+ Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến khi x < 0, nghịch biến khi x > 0
c. Đồ thị của hàm số y = ax2 (a 0)
- Đồ thị hàm số y = ax2 (a 0) là một Parabol đi qua gốc tọa độ nhận trục Oy làm
trục đối xứng
+ Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ thị
+ Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dời trục hoành, O là điểm cao nhất của đồ thị
2. Kiến thức bổ sung
b. Tìm các giá trị của m, biết rằng đờng thẳng (d) đi qua điểm A(-1; 2). Vẽ đồ thị
của hàm số với giá trị tìm đợc của m.
c. Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2.
d. Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2.
e. Chứng minh rằng khi m thay đổi thì các đờng thẳng (d) luôn luôn đi qua một
điểm cố định.
Bài 2: Cho hai đờng thẳng:
y = (k - 3)x - 3k + 3 (d1) và y = (2k + 1)x + k + 5 (d2).
Tìm các giá trị của k để:
a. (d1) và (d2) cắt nhau.
b. (d1) và (d2) cắt nhau tại một điểm trên trục tung.
c. (d1) và (d2) song song với nhau.
d. (d1) và (d2) vuông góc với nhau.
e. (d1) và (d2) trùng nhau.
Bài 3: Cho hàm số: y = (2m-5)x+3 với m
có đồ thị là đờng thẳng d .
Tìm giá trị của m để :
Hoàng Quốc Nga 0914780828
15
Giáo trình ôn thi vào THPT
a. Góc tạo bởi (d) và trục Ox là góc nhọn, góc tù ( hoặc hàm số đồng biến , nghịch
b.
c.
d.
e.
Bi 8:
8.1) Chngtrngngthng(d)luụnctParabol(P)ti2imphõnbit:
a) (d):y=3x+4;(P):y=x2.
b) (d):y=4x+3;(P):y=4x2.
8.2) Tỡmtagiaoimca(d)v(P)trongcỏctrnghptrờn.
Bi 9:ChoParabol(P)cúphngtrỡnh:y=ax2vhaingthngsau:
4
3
(d1): y = x 1
a)
b)
c)
d)
(d2):4x+5y11=0
Tỡmabit(P),(d1),(d2)ngquy.
V(P),(d1),(d2)trờncựnghtrctaviavatỡmc.
Tỡmtagiaoimcũnlica(P)v(d2).
Vitphngtrỡnhngthngtipxỳcvi(P)vvuụnggúcvi(d1).
1
2
Bi 10:ChoParabol(P): y = x 2 vngthng(d):y=2x+m+1.
a) Tỡmm(d)iquaimAthuc(P)cúhonhbng2.
b) Tỡmm(d)tipxỳcvi(P).Tỡmtatipim
c) Tỡmm(d)ct(P)tihaiimcúhonhcựngdng.
Hoàng Quốc Nga 0914780828
;x2=
2a
2a
2.Cụngthcnghimthugn:
Phngtrỡnhax2+bx+c=0(a0)cú=b2-ac(b=2b)
+Nu 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
x1 =
− b + ∆'
− b − ∆'
; x2 =
a
a
3. Hệ thức Vi-ét
a) Định lí Vi-ét:
+ Nếu a và c trái dấu thì phương trình luôn có 2 nghiệm trái dấu
PHẦN II. BÀI TẬP RÈN LUYỆN
II. TOÁN TỰ LUẬN
LOẠI TOÁN RÈN KỸ NĂNG ÁP DỤNG CÔNG THỨC VÀO TÍNH TOÁN
Bài 1: Giải phương trình
a) x2 - 49x - 50 = 0
b) (2- 3 )x2 + 2 3 x – 2 – 3 = 0
Giải:
a) Giải phương trình x2 - 49x - 50 = 0
+ Lời giải 1: Dùng công thức nghiệm
(a = 1; b = - 49; c = 50)
∆ = (- 49)2- 4.1.(- 50) = 2601; ∆ = 51
Do ∆ > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:
x1 =
− (−49) − 51
− (−49) + 51
= −1 ; x2 =
= 50
2
2
+ Lời giải 2: Ứng dụng của định lí Viet
Do a – b + c = 1- (- 49) + (- 50) = 0
Nên phương trình có nghiệm: x1 = - 1; x2 = −
Hoµng Quèc Nga 0914780828
− 50
= 50
1
= 1 ; x2 =
= −( 7 + 4 3 )
2( 2 − 3 )
2( 2 − 3 )
+ Lời giải 2: Dùng công thức nghiệm thu gọn
(a = 2- 3 ; b’ = 3 ; c = – 2 – 3 )
∆’ = ( 3 )2 - (2 - 3 )(– 2 – 3 ) = 4; ∆ = 2
Do ∆’ > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:
x1 =
− 3+2
− 3−2
= 1 ; x2 =
= −(7 + 4 3 )
2− 3
2− 3
+ Lời giải 3: Ứng dụng của định lí Viet
Do a + b + c = 2- 3 + 2 3 + (- 2 - 3 ) = 0
Nên phương trình có nghiệm: x1 = 1; x1 = −
−2− 3
= −(7 + 4 3 )
2− 3
+ Học sinh xác định đúng hệ số a, b, c và áp dụng đúng công thức
+ Áp dụng đúng công thức (không nhẩm tắt vì dễ dẫn đến sai sót)
+ Gv: cần chú ý rèn tính cẩn thận khi áp dụng công thức và tính toán
* Bài tương tự: Giải các phương trình sau:
=
a) x + 3x – 2x – 6 = 0; b)
x + 1 ( x + 1)( x − 4)
3
2
c) 5x4 + 2x2 -16 = 10 – x2; d) 3(x2+x) – 2 (x2+x) – 1 = 0
Giải
a) Giải phương trình x3 + 3x2 – 2x – 6 = 0 (1)
(1) ⇔ (x2 - 2)(x + 3) = 0 ⇔ (x + 2 )(x - 2 )(x + 3) = 0
⇔ x = - 2 ; x = 2 ; x = - 3
Vậy phương trình (1) có nghiệm x = - 2 ; x = 2 ; x = - 3
2x
x2 − x + 8
=
b) Giải phương trình
(2)
x + 1 ( x + 1)( x − 4)
Với ĐK: x≠ -1; x≠ 4 thì
(2) ⇔ 2x(x- 4) = x2 – x + 8 ⇔ x2 – 7x – 8 = 0 (*)
Do a – b + c = 1- (-7) + (- 8) = 0 nên phương trình (*) có nghiệm x 1 = -1(không thoả
mãn ĐK) ; x2 = 8 (thoả mãn ĐK)
Vậy phương trình (2) có nghiệm x = 8
c) Giải phương trình 5x4 + 2x2 -16 = 10 – x2 (3)
Ta có: (3) ⇔ 5x4 – 3x2 – 26 = 0
Đặt x2 = t (t ≥ 0) thì (3) ⇔ 5t2 – 3t – 26 = 0
Xét ∆ = (-3)2 – 4.5.(-26) = 529. ⇒ ∆ = 23
− (−3) + 23 13
t1 = 1⇔ x2+x = 1⇔ x2 + x – 1 = 0
∆1 = 12 - 4.1.(-1) = 5 > 0. Nên x1 =
1
3
−1 − 5
−1 + 5
; x2 =
2
2
1
3
t2 = − ⇔ x2+x = − ⇔ 3x2 + 3x + 1 = 0 (*)
∆2 = 32 - 4.3.1 = -3
− 10.
=3
x +1
x
Bài 4: Cho phương trình x2 + 3 x - 5 = 0 có 2 nghiệm là x1 và x2 .
Không giải phương trình hãy tính giá trị của biểu thức sau:
1
1
1
1
A = x + x ; B = x12 + x22 ; C = 2 + 2 ; D = x13 + x23
x2
x2
2
2
Giải
Do phương trình có 2 nghiệm là x1 và x2 nên theo định lí Viet ta có:
x1 + x2 = − 3 ; x1.x2 = − 5
A =
x + x2
1
1
− 3 1
+
x2
2
2
6 x12 + 10 x1 x 2 + 6 x 22
3 x12 + 5 x1 x 2 + 3 x 22
E =
; F =
5 x1 x 23 + 5 x13 x 2
4 x1 x 22 + 4 x12 x 2
LOẠI TOÁN RÈN KỸ NĂNG SUY LUẬN(Phương trình bậc hai chứa tham số)
Bài 1: (Bài toán tổng quát)
Tìm điều kiện tổng quát để phương trình ax2+bx+c = 0 (a ≠ 0) có:
1. Có nghiệm (có hai nghiệm) ⇔ ∆ ≥ 0
2. Vô nghiệm ⇔ ∆ 0
5. Hai nghiệm cùng dấu ⇔ ∆≥ 0 và P > 0
6. Hai nghiệm trái dấu ⇔ ∆ > 0 và P 0
8. Hai nghiệm âm(nhỏ hơn 0) ⇔ ∆≥ 0; S < 0 và P > 0
9. Hai nghiệm đối nhau ⇔ ∆≥ 0 và S = 0
10.Hai nghiệm nghịch đảo nhau ⇔ ∆≥ 0 và P = 1
11.Hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn ⇔ a.c
a) + Nếu m-1 = 0 ⇔ m = 1 thì (1) có dạng 2x - 3 = 0 ⇔ x = (là nghiệm)
+ Nếu m ≠ 1. Khi đó (1) là phương trình bậc hai có: ∆’=12 - ( -3)(m - 1) = 3m - 2
(1) có nghiệm ⇔ ∆’ = 3m-2 ≥ 0 ⇔ m ≥
2
3
2
3
+ Kết hợp hai trường hợp trên ta có: Với m ≥ thì phương trình có nghiệm
3
2
b) + Nếu m-1 = 0 ⇔ m = 1 thì (1) có dạng 2x - 3 = 0 ⇔ x = (là nghiệm)
+ Nếu m ≠ 1. Khi đó (1) là phương trình bậc hai có: ∆’ = 1- (-3)(m-1) = 3m-2
2
3
(1) có nghiệm duy nhất ⇔ ∆’ = 3m-2 = 0 ⇔ m = (thoả mãn m ≠ 1)
1
1
=−
=3
2
Khi đó x = m − 1
−1
3
−
+Vậy với m = 1 thì phương trình có nghiệm duy nhất x =
4
3
Vậy m = và nghiệm còn lại là x2 = 6
4
* Giáo viên cần khắc sâu trường hợp hệ số a có chứa tham số (khi đó bài toán trở
nên phức tạp vàhọc sinh thường hay sai sót)
Bài 4: Cho phương trình: x2 - 2(m - 1)x – 3 – m = 0 ( ẩn số x)
a) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm x1, x2 với mọi m
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng âm
d) Tìm m sao cho nghiệm số x1, x2 của phương trình thoả mãn x12+x22 ≥ 10.
e) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 không phụ thuộc vào m
f) Hãy biểu thị x1 qua x2
g) Tìm GTNN của A = x12 +x22
Giải
2
1 15
a) Ta có: ∆ = (m-1) – (– 3 – m ) = m − +
2
4
2
15
1
Do m − ≥ 0 với mọi m; > 0 ⇒ ∆ > 0 với mọi m
4
⇔
⇔
m ≤ 0
2m − 3 ≤ 0
m ≥ 0
m ≥ 3
3
m≥
2
⇔
2
m
≤
0
m
≤
0
3
2
1
2
2
Vậy x1 = − 1 + 2 x ( x 2 ≠ − )
2
Bài 5: Cho phương trình: x2 + 2x + m -1= 0 ( m là tham số)
a) Phương trình có hai nghiệm là nghịch đảo của nhau
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn 3x1 + 2x2 = 1
1
1
2
1
c) Lập phương trình ẩn y thoả mãn y1 = x1 + x ; y 2 = x2 + x với x1; x2 là nghiệm của
phương trình ở trên
Giải
a) Ta có ∆’ = 12 – (m-1) = 2 – m
Phương trình có hai nghiệm là nghịch đảo của nhau
∆' ≥ 0
2 − m ≥ 0
m ≤ 2
⇔
⇔
x1 + x2 = −2
⇔
x 2 = −7
Thế vào (2) ta có: 5(-7) = m -1 ⇔ m = - 34 (thoả mãn (*))
Vậy m = -34 là giá trị cần tìm
d) Với m ≤ 2 thì phương trình đã cho có hai nghiệm
Theo định lí Viet ta có: x1+ x2 = -2 (1) ; x1x2 = m – 1 (2)
+ y 2 = x1 + x2 +
Khi đó: y
1
y y
1
2
= (x +
1
1
x
)( x +
2
+ 2 = m −1+
2
1
m −1
−2
m −1
+2=
=
m
2m
1− m
(m≠1)
2
m −1
(m≠1)
2m
m2
⇒ y1; y2 là nghiệm của phương trình: y -
b) Đặt A = 2(x12 + x22) – 5x1x2
*) CMR: A = 8m2 – 18m + 9
**) Tìm m sao cho A =27
c) Tìm m sao cho phương trình có nghiệm này bằng 2 lần nghiệm kia
5) Cho phương trình ; x2 -2(m + 4)x + m2 – 8 = 0. Xác định m để phương trình có 2
nghiệm x1, x2 thoả mãn:
a) A = x1 + x2 – 3x1x2 đạt giá trị lớn nhất.
b) B = x12 + x22 – x1x2 đạt giá trị nhỏ nhất.
c) Tìm hệ thức giữa x1 , x2 không phụ thuộc vào m
6) Cho phương trình : x2 – 4x – (m2 + 3m) = 0
a) C/m phương trình luôn có 2 nghiệm x1, x2 với mọi m
b) Xác định m để: x12 + x22 = 4(x1 + x2)
c) Lập phương trình bậc hai ẩn y có 2 nghiệm y1 và y2 thoả mãn:
y
y
1
2
y1 + y2 = x1 + x2 và 1 − y + 1 − y = 3
2
1
2
7) Cho phương trình : x + ax + 1 = 0. Xác định a để phương trình có 2 nghiệm x 1 , x2
x
thoả mãn : 1
x2
2
Copyright: Tài liệu đại học ©