BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ THU HÀ

sư TỒN TAI VECTOR RIÊNG
■■

CỦA TOÁN TỬ Uo- LÕM CHÍNH QUY TÁC DỤNG
TRONG KHÔNG GIAN BANACH VỚI NÓN cưc TRI

Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH

Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. Nguyễn Phụ Hy

HÀ NỘI - 2015

■•


Luận văn được hoàn thành tại trường ĐHSP Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. Nguyễn Phụ Hy.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến PGS.TS. Nguyễn Phụ Hy người thầy đã hướng dẫn tôi trong suốt quá trình thực
hiện luận văn.
Tôi xin cảm ơn các GS, TS giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích của trường ĐHSP Hà Nội 2, các thầy cô trong
thư viện nhà trường, các bạn học viên cao học Toán giải tích KI 7 đã giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và thực hiện
luận văn này.
Hà Nội, tháng 7 năm 2015
Tác giả

- lõm chính quy tác dụng trong
................................................46
................................................47
................................................50
.............................................54
...............................................59
...............................................60

1.2......................................................VÍ dụ
KẾT LUẬN .................................................
TÀI LIỆU THAM KHẢO ...........................


5

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết điểm bất động là một ngành toán học lý thuyết có nhiều ứng
dụng. Lý thuyết điểm bất động được nghiên cứu theo nhiều hướng khác nhau
và gắn liền với tên tuổi của nhiều nhà toán học nổi tiếng như: Lipschitz,
Kraxnoxelxki, Braide, Aylenbec,... Các nhà toán học đã xét các toán tử khác
nhau: Toán tử đơn điệu, toán tử đo được, toán tử có đạo hàm Fréchet hay đạo
hàm tiệm cận, toán tử lõm....
Nhà toán học Nga nổi tiếng Kraxnoxelxki đã nghiên cứu các nghiệm riêng
của các phương trình toán tử (1962), toán tử lõm tác dụng trong không gian
Banach thực với một nón cố định (1956).
GS .TS. Bakhtin nghiên cứu về các phương trình không tuyến tính với các
toán tử lõm và lõm đều (1959), các nghiệm dương của các phương trình không
tuyến tính với các toán tử lõm (1984), sau đó mở rộng cho toán tử (K, Uo) - lõm
tác dụng trong không gian Banach thực với hai nón cố định giao nhau khác

Đối tượng nghiên cứu: Các kiến thức cơ sở cần thiết, các kết quả về toán tử
u0 - lõm chính quy. Sự tồn tại vectơ riêng của toán tử u 0- lõm chính quy tác
dụng trong không gian Banach với nón cực trị.
Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, các bài báo trong và ngoài nước có liên
quan đến vectơ riêng của toán tử

Uo-

lõm chính quy tác dụng trong không gian

Banach với nón cực trị.
5. Phuơng pháp nghiên cứu
Thu thập tài liệu và các bài báo về vectơ riêng của toán tử u 0- lõm chính
quy tác dụng trong không gian Banach với nón cực trị.
Tổng hợp, phân tích, hệ thống các khái niệm, tính chất.
Tham khảo ý kiến của giáo viên hướng dẫn.
6. Những đóng góp của luận văn
Luận văn trình bày tổng quát về:


7

Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự.
Một số tính chất về toán tử Uo- lõm và Uo- lõm chính quy.
Toán tử u0- lõm chính quy tác dụng trong không gian Rn.
Sự mở rộng định lý tồn tại vectơ riêng.
Các kết quả thu được có thể mở rộng cho một số lóp toán tử khác.
Hy vọng luận văn có thể sử dụng làm tài liệu tham khảo cho bạn
đọc.


Ta chứng minh K là một nón.
*) Do các tập Ki, K2 ,..,Kn là các tập đóng, nên tập K đóng trong không gian E.
*) V X, y G K thì X, y G Kj, (j = l,n) => X + y G Kj, (j = l,n) => X + y G K.


*) V X G K, t > 0 thì X G Kj, (j = l,n) nên tx G Kj, (j = l,n) => tx G K.
*) V X G K, X ^ 0 thì X G Kj, (j = l,n) nên - X Ể Kj, (j = l,n) => - XỂ K.
Vậy K là một nón. J Đỉnh U 1.1.4.
m

Giả sử F là một tập con khác rỗng trong không gian E. Nếu F là một tập lồi,
đóng, bị chặn trong không gian E và không chứa phần tử không, thì tập K(F) =
{ Z G E : Z = tx, X G F, t G R+ } là một nón.
Chứng minh.
Ta thấy F c K(F) mà F Ỷ 0 nên K(F) Ỷ 0- Với mọi X G F ta chứng minh tồn tại 2
số thực dương m, M sao cho m < ||x|| < M.
Thật vậy, do tập F bị chặn nên tồn tại M > 0 : ||x|| < M, Vx e F.
Đặt m = inf||x||.
Giả sử m = 0 thì tồn tại dãy {xn } c0 CI F sao cho limllx J =0 hay lim x n = 0
n1

n->00

n-> 00

trong không gian E. Do F là tập đóng nên 0 G F, trái với giả thiết F không chứa
phần tử không.
Vậy m > 0 và ||x|| >inf ||x|| = m > 0,Vx e F.
XE F


1 II II 3 „ „
Suy ra z





Do F lồi nên biểu thức trong ngoặc vuông thuộc F. Vậy ctz + pz’ G K(F).


+) Ta chứng minh K(F) n (-K(F)) = {0}
Giả sử điều này không đúng, khi đó tồn tại Xo £ F sao cho -t0 x0 £ K(F), to > 0 suy
ra -t0 x0 = tiXi với ti > 0, Xi £ F vì vậy
e=t0X0+t1X1=(t0+t1)[-te-X0 + -tLX1] => “ Xg + — Xj =0

to+tl to+ti

to+ti tg +tj

mà tập F lồi nên *° xn+——X, e F => 0 e F trái giả thiết, to+tl to+tl
Vậy u £ K(F) thì -u Ể K(F).
Do đó K(F) thỏa mãn các điều kiện của nón, vậy K(F) là một nón. J
1.1.2.

Quan hệ sập thứ tự trong không gian Banach Định nghĩa 1.1.5.

Giả sử E là không gian Banach thực, K là một nón trong không gian E. Với
X, y

e E, ta viết x< y nếu y-x e K, X < y nếu y - X e K\{ 0}.

Đinh lí 1.1.6.
í

Quan hệ “ < “ xác định trong định nghĩa 1.1.5 là một quan hệ sắp thứ tự

một tập con trong không gian E.
Tập M gọi là bị chặn trên bởi phần tử U G E, nếu (Vxe M) X < u.
Tập M gọi là bị chặn dưới bởi phần tử V G E, nếu (Vx GM) V
+) Quan hệ thông ước có tính chất bắc cầu.
Giả sử X, y, z thuộc tập E sao cho X thông ước với y, y thông ước với z.
Khi đó tồn tại các số dương a, b, c, d sao cho ay < X < by, cz < y < dz => (a.c)z
< X < (b.d)z . Vậy X thông ước với z.
Vậy quan hệ thông ước là một quan hệ tương đương trên không gian E. J
Giả sử

Uo

E K\{0}. Kí hiệu K(u0) là tập tất cả phần tử của không gian E thông

ước với phần tử Uo.
Đinh lí 1.2.3.
í

K(u0) là một tập lồi và K(u0)cz K\{0}.


Chứng minh.
*) K(u0) là tập lồi.
Thật vậy :
Vx, y £ K(uo) thì tồn tại các số thực dương a, ß, ƠI, ßi sao cho au0 < X < ßu0 , ơiUo
< y < ßiUo.
Với t = 0 ta có tx + (1 - t)y = o.x +

y = y £ K(uo).

Với t = 1 ta có tx + (1 - t)y = l.x +

o.y = X £ K(u0).

Suy ra Vx E K(u0) => X E K\{0}. Vậy K(u0) c K\{0}. J
1.3.

Phần tử Uo - đo được

Giả sử E là không gian Banach thực nửa sắp thứ tự theo nón K(Z E,
Uo E K\{0}.
Định nghĩa 1.3.1.
Phần tử xeE gọi là Uo - đo được, nếu tồn tại các số không âm ti, t2 sao cho
—

< X < t2 u0 .
Kí hiệu Eu là tập tất cả các phần tử xe E có tính chất Uo - đo được.
tjUg


Đinh lí 1.3.2.
í

Với mỗi X GEU tồn tại các số không âm nhỏ nhất a = a(x), p = P(x) sao
cho - ơUo < X < Pu0.
Chứng minh.
Giả sử X G Eu khi đó tồn tại các số không âm ti, t2 sao cho -qMg E
t I-» f(t) = tu0 - X .
Do tính chất liên tục của hai phép toán cộng hai phần tử và nhân một số với một
phần tử trong không gian Banach E, nên f liên tục. Và từ tính đóng của nón K
trong không gian E suy ra f1 (K) là tập đóng trong không gian R.
Giả sử inf f1 (K) = - co.

Do tính chất liên tục của hai phép toán cộng hai phần tử và nhân một số với một


phần tử trong không gian Banach E, nên f liên tục. Và từ tính đóng của nón K
trong không gian E suy ra f1 (K) là tập đóng trong không gian R.
Giả sử inf f1 (K) = - co thì 3 (tn )°° c= f _1 (K) sao cho lim t„ = -00 .
Khi đó, (3 n0 £ N*)(Vn > n0) tn < 0. Do đó - —(x+tnu0) e K => -—-u0 e K
1

Cho qua giới hạn trong biêu thức -u0+ — X khi n —> co ta được -Uo £ K, mâu
thuẫn với tính chất của nón K. Nên inf f'1 (K) £ f'1 (K).
Ta xét tập B = { t > 0 : x + tUo£K}. Hiển nhiên, ti G B hay B ^ 0.
Theo chứng minh trên, tồn tại inf { t > 0 :

X+

tu0 £ K } = ct(x) Gf ' (K). nghĩa

là -a(x)uo < X.
Vậy tồn tại số không âm a(x) nhỏ nhất sao cho - a(x)uo < X.
Định lí được chứng minh. J
Định lí 1.3.3.
Eu là không gian tuyến tính con của không gian E.
Chứng minh.


1
8

*) Ta thấy 0 £ Eu , vì với mọi t > 0 ta có -tu0 < 0 < tu0. Suy ra Eu khác rỗng.


(-À)t v u ữ < -Ảx < {-Ả)t .u ữ
<^> -(-Ằ.t ).u < Ằx < (-Ã.ty).u ữ .
2

2

0

Khi đó Với Ẳ>0 :
inf (Ã L) - /linf t - Ầa(x)

=> max|-Ắdr(x),-Ắ/?(x)} = -vlmax{«(x),/?(x) } = -vl||x||
Vì vậy, (Vx e £„ 0 )(Ă e R )\\ẲX\\
•

U

= \Ẳ\||X|L .

(Vx, y e E u ) ta có 3 ti, t2, t3, u > 0 sao cho
-tvu0 < X < t2.u0, -t3.uữ < y < t4.u0.

= |vl|.||x|


\\x\\ = max{inft Ị ,inft 2}, y = mảx{inft 3 ,inft 4 } , ta có:
II IIMQ

II IIMQ

n||£
ưn

và từ định nghĩa chuân trong không gian E


KI E ^KI E

n

- y,

n

n||£

Suy ra gn G K\{0},hn G K\{0}, V n = 2, 3,...
Ta lại có
^ j ịynỈE
=k|„„£(l„ + -),n = l,2, 3,
„,„
n
-bX \\ n\\E II n\\E

P

onFnP

£ L\\h

||O n ||£

ri



2
3

-^P+J-V äir + ÍIAJIML< J_ („=2,3,...),
p \\h
nils
p
on\\£ II n\\£

\\àn\\E

nên lira

+ i- = 0.
ll^nllfi Ir» HE E

=
0.


chuẩn trên không gian E và Eu là không gian Banach theo Uo - chuẩn.
Chứng minh
•

Truớc hết ta chứng minh một dãy điểm (x n )“ =1 cz Eu hội tụ tới xG E u theo Uo - chuẩn thì dãy đó hội tụ theo
chuẩn trên không gian E. Thật

vậy, giả sử dãy điểm (*„)*=! cz Eu hội tụ tới xGEu theo Uo - chuẩn nghĩa là Hmlbc -jd| =0hay (V£>0)(3n ữ eN )
(Vn>n0)||x -x|| 00

Wltf\

11

"

"Uf

u

“0

Từ định nghĩa Uo - chuẩn suy ra -£u ữ vn>n0.
Từ đó ta có :

5

Vì K là nón chuẩn tắc nên từ x n —x m +£U ữ < 2£U 0 ta có
lije —X II — II^Mnl < ||jt —X +£,Mnll n„

II 0||£ 5 v ,t5//í'—'*0 •

Từ đó ta có :
k-*m||£ <*(l+2 A0 h|£ với Vn,m>n0.
Điều này cho ta thấy dãy ( x n )n=i là dãy cơ bản trong không gian Banach E nên 3x G E sao cho lim|x„-x\\ =0.
n—>0011

Qua giới hạn ữong hệ thức (1.3) khi m —>co ta nhận được:
-su ữ

K, bị chặn theo chuẩn và đối với mỗi dãy ( y n )n=ĩ c K không tăng, bị chặn

dưới bởi V G K, bị chặn theo chuẩn đều tồn tại
su

P(*Xie*> inf(y„Cie^1.5.

Các không gian nửa sắp thứ tự Rn, C[a.b]

1.5.1.

Không gian Rn, n e N*

a) Không gian Rn = { X = (Xi, x2,..., xn ) : Xi G R, i = 1, 2,..., n } ( n G N* ) cùng với hai phép toán thông thường

X + y = ( Xi+ yi, x2+ y2,. ., xn+ yn),