SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
TRƯỜNG THCS&THPT THỐNG NHẤT

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

“ CÁC PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH KHOẢNG CÁCH
TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG
CHO HỌC SINH LỚP 11”

Người thực hiện: Lê Thị Thanh Hoa
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc môn: Toán

THANH HÓA, NĂM 2014


Phần 1. ĐẶT VẤN ĐỀ
Hình học không gian là một phần quan trọng trong chương trình Toán
THPT. Ở chương trình lớp 11, học sinh đã được trang bị đầy đủ các khái niệm
về khoảng cách trong không gian: khoảng cách từ một điểm đến một đường
thẳng, khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, khoảng cách giữa hai
đường thẳng chéo nhau, khoảng cách từ một đường thẳng đến một mặt phẳng
song song, khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song. Tuy nhiên, học sinh chưa
được học một cách đầy đủ các phương pháp giải các bài toán về khoảng cách
nói chung và về khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng nói riêng. Nhưng
đây lại là một nội dung quan trọng trong các đề thi Đại học, Cao đẳng, TH
chuyên nghiệp và đề thi học sinh giỏi từ trước đến nay.
Khi giải các bài toán về tính thể tích khối chóp, khối lăng trụ, chúng ta
thường phải tính chiều cao của chúng, tức là phải tính khoảng cách từ một điểm
đến một mặt phẳng. Một số bài toán về tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng
song song, khoảng cách từ một đường thẳng đến một mặt phẳng song song với

3. Theo dõi, đánh giá kết quả của học sinh, giáo viên đúc rút kinh nghiệm.
III. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU.
- Trong chương trình THPT, do thời lượng chương trình có hạn mà phương
pháp xác định khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng chưa được trình bày
rõ ràng, đầy đủ. Ngược lại còn rất sơ lược, chỉ mang tính chất giới thiệu qua một
số bài tập đơn giản.
- Do chưa được hệ thống kiến thức và chưa được học đầy đủ các phương pháp
để giải các bài toán về tính khoảng cách nên khi gặp, hầu hết học sinh thấy lúng
túng và không có hướng giải.
- Tuy nhiên, các dạng bài tập về khoảng cách nói chung và về khoảng cách từ
một điểm đến một mặt phẳng nói riêng thì rất phong phú, đa dạng, phức tạp và
thường gặp trong các đề thi đại học, cao đẳng.
Chính vì vậy, đa số học sinh chưa có phương pháp để giải các dạng bài tập về
khoảng cách nên rất nhiều em thường "bỏ qua" khi gặp loại bài tập này.

4


IV. CÁC PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM
ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG.
CHƯƠNG 1
XÁC ĐỊNH KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM M ĐẾN MẶT PHẲNG (P) BẰNG
CÁCH XÁC ĐỊNH HÌNH CHIẾU VUÔNG GÓC CỦA M TRÊN (P)
(PHƯƠNG PHÁP TRỰC TIẾP)
Trong không gian cho điểm M không thuộc mặt phẳng (P). Để tính khoảng
cách d ( M, (P) ) từ M đến mặt phẳng (P), ta xác định hình chiếu vuông góc H của
M trên mặt phẳng (P). Khi đó d ( M, (P) ) = MH
PHƯƠNG PHÁP 1: Xác định H thuộc (P) sao cho MH ⊥ (P)

1.1

Giải: Gọi H là trung điểm của AB.
Vì (SAB) ⊥ (ABC), (SAB) I (ABC)=AB,
SH ⊥ AB ( do ∆ SAB cân, SH là trung tuyến)
nên SH ⊥ (ABC).
Vậy khoảng cách từ S đến (ABC) là SH.
SH = SA2 − HA2 =

a 15
2

Nhận xét: Hình chóp có 1 mặt bên vuông góc với đáy thì đường cao chính là
đường vuông góc kẻ từ đỉnh xuống giao tuyến của mặt bên đó và đáy.
Ví dụ 3:
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, đáy ABCD là hình thoi cạnh a, tâm O; góc
·
nhọn BAD
= 600. Các cạnh bên SA = SC; SB = SD = a 3 . Tính khoảng cách từ
S đến mp (ABCD).
Giải:
Vì SA = SC nên VASC cân tại S ⇒ SO ⊥ AC
SB = SD nên VBSD cân tại S ⇒ SO ⊥ BD
⇒ SO ⊥ (ABCD) nên SO là khoảng cách từ S

đến (ABCD)
1
2

Ta có VABD đều nên DB = a, OB = DB =
SO = SB − OB =
2

·
·
⇒ SAO
= SBO
= SCO
=ϕ .

Các tam giác vuông SAO, SBO, SCO bằng nhau vì:
·
·
·
SO chung, các góc SAO
= SBO
= SCO
=ϕ

6


⇒ OA= OB= OC.
⇒ O là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC.

Ta có

BC
a
= 2R ⇔ R =
.
sin A
2sin α

O thuộc miền trong ∆ABC nên O là tâm đường tròn
nội tiếp ∆ABC , bán kính r = OH = OI = OK
1
SVABC = p.r = AB.AC với 2p=AB+CA+BC, AB = a cos α ,CA = a sin α ,BC = a
2
r=

AB.AC
a 2 sin α cosα
=
AB + BC + CA a(1 + sin α + cosα )

Tam giác vuông SOI cho ta:
SO = OI tan β = r tan β =

a 2 sin α cosα tan β
a(1 + sin α + cosα )

Nhận xét: Hình chóp có các mặt bên đều tạo với đáy một góc bằng nhau thì
chân đường cao chính là tâm đường tròn nội tiếp đáy.

7


Chú ý: Việc xác định hình chiếu H của M trên (P) không phải lúc nào cũng dễ
dàng. Khi đó, ta có thể sử dụng định lý 2.1 (trang 2) để xác định H như sau:
1.2 PHƯƠNG PHÁP 2: Sử dụng định lý 2.1 (trang 2) để xác định hình
chiếu H của M trên (P)
a) Phương pháp:
- Bước 1: Tìm mp(Q) chứa M và vuông góc


Xét tam giác SOI vuông tại O có OK là đường cao:
1
OK

2

=

1
1
a 33
+ 2 ⇔ OK=
2
OS OI
2 47

Vậy d (O, (SBC)) =

a 33
2 47

8


Ví dụ 7: (Trích: Đề thi tuyển sinh đại học khối D-2012)
Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông, tam giác A’AC
vuông cân, A’C = a. Tính khoảng cách từ A đến mp(BCD’) theo a.
Hướng dẫn:
Tìm mặt phẳng chứa A và vuông góc với (BCD’)

AH
AA '
AB 2
6

Vậy d(A,(BCD’)) =

a 6
6

Ví dụ 8:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp trong
đường tròn đường kính AD = 2a, SA vuông góc mp(ABCD), SA= a 6 .
a) Tính khoảng cách từ A đến mp(SCD).
b) Tính khoảng cách từ A đến mp(SBC).
Giải:
a) Vì ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp
trong đường tròn đường kính AD = 2a nên
ta có AD//BC, AB = BC = CD = a
AC ⊥ CD, AC= a 3
Ta có:

CD ⊥ AC 
 ⇒ CD ⊥ (SAC)
CD ⊥ SA 

9


⇒ (SAC) ⊥ (SCD) , (SAC) I (SCD) = SC

AE = AB.sin600 =

a 3
2

Xét tam giác vuông SAE ta có:
1
1
1
1
1
=
+
=
+
2
2
2
2
2
AF SA AE
(a 6)  a 3 2 = 9 ⇒ AF2 = 6a ⇒ AF = a 6
2

÷
9
3
÷ 6a
2


= 450 . Tính khoảng cách từ
điểm D đến mp(SBC).
Hướng dẫn: Ở ví dụ này, việc xác định một mặt phẳng chứa D và vuông góc
với (SBC) là khó khăn. Trong khi đó ta có thể dễ dàng thấy đường thẳng AD
chứa D và song song với mp(SBC). Vậy để tính khoảng cách từ D đến (SBC), ta
chỉ cần chọn 1 điểm thuộc đường thẳng AD sao cho ta có thể xác định và tính
được khoảng cách từ điểm đó đến (SBC).
Giải: Vì AD//BC nên d(D,(SBC)) = d(A,(SBC)).
Sử dụng phương pháp 2 để xác định d(A,(SBC))
Ta có AM ⊥ BC (vì ∆ ABC đều có AM là
trung tuyến đồng thời là đường cao)
SA ⊥ BC (vì SA ⊥ (ABCD))
⇒ BC ⊥ (SAM) ⇒ (SAM) ⊥ (SBC) = SM.

Kẻ AH ⊥ SM tại H thì AH ⊥ (SBC)
⇒ AH = d(A, (SBC))

AM =

a 3 ·
a 6
, SMA = 450 ⇒ AH=AM.sin450 =
2
4

Vậy d(D,(SBC)) =

a 6
4


1
⇔ HI= a 21
=
+
2
2
2
HI
HS
HK
7

Vậy d(A,(SCD)) =

a 21
7

Ví dụ 11: (Trích: Đề thi tuyển sinh đại học khối B - 2011)
Cho lăng trụ ABCD.A1B1C1D1 có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD =
a 3 . Hình chiếu vuông góc của điểm A 1 trên mp(ABCD) trùng với giao điểm
của AC và BD. Tính khoảng cách từ điểm B1 đến mp(A1BD) theo a.
Giải: Gọi O là giao điểm của AC và BD
⇒ A1O ⊥ (ABCD)

Ta có B1C / / A1D ⇒ B1C / /( A1BD)
⇒ d ( B1 , ( A1 BD)) = d (C, ( A1BD))

Kẻ CH ⊥ BD (H∈ BD),
12


d ( M, ( P ) )
d ( B, ( P ) )

=

IM
IM
⇔ d ( M, ( P ) ) =
.d ( B, (P) )
IB
IB

b) Các ví dụ:
Ví dụ 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA
vuông góc với mp(ABCD), SA= a 3 . Gọi G là trọng tâm tam giác SAB. Tính
khoảng cách từ G đến mp(SAC).
Hướng dẫn:
- Gọi F là trung điểm của SA . Ta có đường
thẳng BG chứa G và cắt (SAC) tại F.
- Tính d(B,(SAC))
- Suy ra d(G,(SAC))
Giải: Gọi O là tâm hình vuông ABCD,
F là trung điểm của SA .
Đường thẳng BG cắt mặt phẳng(SAC) tại F.

13


Khi đó:
Mà

- Ta có đường thẳng BC chứa B và cắt (SAC)
tại C.
- Tìm 1 điểm H thuộc BC sao cho d(H,(SAC))
có thể tính được. Từ đó suy ra d(B,(SAC))
Giải:
Ta có đường thẳng BC chứa B và cắt (SAC)
tại C. Kẻ SH ⊥ BC(H ∈ BC ). Khi đó:
d ( B, ( SAC ) )

d ( H, ( SAC ) )

=

CB
CH

Ta có (SBC) ⊥ (ABC) = BC, SH ⊥ BC
⇒ SH ⊥ (ABC) ⇒ SH ⊥ AC

Kẻ HD ⊥ AC (D∈ AC)
⇒ AC ⊥ (SHD) ⇒ (SAC) ⊥ (SHD) theo giao tuyến SD.

Kẻ HK ⊥ SD (K ∈ SD) ⇒ HK ⊥ ((SAC)
Vậy HK = d(H,(SAC))
·
·
SH = SB.sin SBC
= a 3 , BH = SB.cos SBC
= 3a, HC =BC – BH = a


6a 7
.d(H,(SAC)) =
a
7

Vậy khoảng cách từ B đến mp(SAC) là

6a 7
.
7

Ví dụ 14:
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc
của S trên mp(ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA = 2HB. Góc giữa
đường thẳng SC và mp(ABC) bằng 60 0. N là hình chiếu của H trên đường thẳng
qua A và song song với BC. Tính khoảng cách từ B đến mp(SAN).
Giải:
Vì HC là hình chiếu của SC trên (ABC)
·
nên SCH
= 600 .

Ta có BH ∩ (SAN) = A nên
d ( B, (SAN)) AB
=
d ( H , ( SAN )) AH
⇔ d(B,(SAN)) =

3
d(H,(SAN))

=
+
2
2
2 ⇔ HK =
HK
HN
HS
12

Vậy d(B,(SAN))=

a 42
8

15


V. CÁC BIỆN PHÁP TỔ CHỨC THỰC HIỆN.
1. Tổ chức thực hiện.
- Thông qua bài dạy trong chương trình SGK Hình học 11, qua quá trình làm bài
tập trong SGK và SBT để đánh giá năng lực của học sinh.
- Trước và sau khi thực hiện giảng dạy: "Các phương pháp xác định khoảng
cách từ một điểm đến một mặt phẳng cho học sinh lớp 11", cho học sinh làm
bài kiểm tra và thống kê kết quả để thấy hiệu quả đạt được của sáng kiến kinh
nghiệm.
- Đối tượng đánh giá: học sinh lớp 11A2 - Trường THCS&THPT Thống Nhất.

ĐỀ KIỂM TRA SỐ 1 (Thời gian: 60 phút)
(Trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm vào giảng dạy)

=
=
d ( S , ( ABCD)) JS 3

2.0

1 a 3 a 3
⇔ d (G, ( ABCD)) = .
=
3 2
6

1.0

3 Vì AD//BC nên AD//(SBC)
(4đ) ⇒ d(D,(ABCD))= d(I,(ABCD))
Ta có BC ⊥ IJ và ⊥ SI nên BC ⊥ (SIJ)
⇒ (SIJ) ⊥ (SBC) = SJ
Kẻ IH ⊥ SJ (H ∈ SJ) thì IH ⊥ (SBC)
Vậy IH = d(I,(SBC))

1.0

1.5

Tam giác SIJ vuông tại I có IH là đường cao:
1
1
1
2 57 a

Đáp án và thang điểm đề số 2.
17


Câu

1
(3đ)

Đáp án

Ta có BD ⊥ AC và ⊥ SA nên BD ⊥ (SAC)
⇒ (SAC) ⊥ (SBD) = SO
Do AH ⊥ SO nên AH ⊥ (SBD)
Vậy AH = d(A, (SBD))
AO =

1
1
1
a 10
=
+
2
2
2 ⇔ AH =
AH
AS
AO
5


1.5

AC a 2
=
2
2

Tam giác SAO vuông tại A có AH là đường cao:

2
(4đ)

Điểm

1.5

1.5

a 6
3

Đường thẳng AO cắt (SBC) tại C nên:
d (O, ( SBC )) CO 1
=
=
d ( A, ( SBC )) CA 2
1 a 6 a 6
⇔ d (O, ( SBC )) = .
=

0

0.0

Đề 2

45

4

8.9

TB

Yếu – kém

%

SL

%

SL

%

5

11.1


phẳng ( SAO) .
c) Gọi G là trọng tâm của tam giác SAB. Tính khoảng cách từ điểm G đến mặt
phẳng ( SAO) .
Bài 3: (Trích: Đề thi tuyển sinh đại học khối D – 2009)
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B,
AB = a, AA’ = 2a, A’C = 3a. Gọi M là trung điểm của A’C’, I là giao điểm của
AM và A’C. Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(IBC).
Bài 4: (Trích: Đề thi tuyển sinh đại học khối D – 2007)
·
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, ·ABC = BAD
= 900 ,BA = BC =
a, AD = 2a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a 2 . Gọi H là hình chiếu
vuông góc của A trên SB. Chứng minh tam giác SCD vuông và tính theo a
khoảng cách từ H đến mp(SCD).

Phần 3. KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT.
1. Kết quả nghiên cứu.
19


Thông qua quá trình giảng dạy học sinh lớp 11A2 và ôn luyện cho đối tượng
học sinh khá giỏi, tôi đã áp dụng đề tài trên và kết quả cho thấy:
- Đa số học sinh có khả năng nhìn nhận chính xác cách giải một bài toán về
khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
- Học sinh tự tin khi phân tích đề bài để lựa chọn phương pháp giải hay, ngắn
gọn cho từng bài toán.
- Hình thành được tư duy logic, kỹ năng xác định khoảng cách từ một điểm đến
một mặt phẳng. Đồng thời tạo hứng thú trong học tập cho học sinh.
Cụ thể, qua hai bài kiểm tra trước và sau khi học: "Các phương pháp xác
định khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng cho học sinh lớp 11", tôi

Trang
Phần 1. ĐẶT VẤN ĐỀ ........................................................................................1

21


Phần 2. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ..........................................................................2
I.

CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA VẤN ĐỀ…………………………………...…..2

II.

PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU……………………………………..….3

III.

THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỂ…………………………………...…….3

IV.

CÁC PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM
ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG………………………………………………..4

Chương 1. XÁC ĐỊNH KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM M ĐẾN MẶT PHẲNG
(P) BẰNG CÁCH XÁC ĐỊNH HÌNH CHIẾU VUÔNG GÓC CỦA M TRÊN
(P)………………………………………………………………………………..4
1.1 PHƯƠNG PHÁP 1………………………………………………………….4
1.2 PHƯƠNG PHÁP 2 ………………………………………………………. ..7
Chương 2. XÁC ĐỊNH KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT