❇é ❣✐➳♦ ❞ô❝ ✈➭ ➤➭♦ t➵♦

❱✐Ö♥ ❍➭♥ ❧➞♠ ❑❍ ✈➭ ❈◆ ✈✐Öt ♥❛♠
✈✐Ö♥ ✈❐t ❧ý

❱â ❱➝♥ ❱✐➟♥

◆❤ã♠ ➤è✐ ①ø♥❣ ❣✐➳♥ ➤♦➵♥
❱➭ ❝➳❝ ♠➠ ❤×♥❤ ✸✲✸✲✶

▲✉❐♥ ➳♥ t✐Õ♥ sÜ ✈❐t ❧ý

❍➭ ♥é✐✲✷✵✶✸


❇é ❣✐➳♦ ❞ô❝ ✈➭ ➤➭♦ t➵♦

❱✐Ö♥ ❍➭♥ ❧➞♠ ❑❍ ✈➭ ❈◆ ✈✐Öt ♥❛♠
✈✐Ö♥ ✈❐t ❧ý

❱â ❱➝♥ ✈✐➟♥

◆❤ã♠ ➤è✐ ①ø♥❣ ❣✐➳♥ ➤♦➵♥
✈➭ ❝➳❝ ♠➠ ❤×♥❤ ✸✲✸✲✶

❈❤✉②➟♥ ♥❣➭♥❤✿ ❱❐t ❧ý ❧ý t❤✉②Õt ✈➭ ✈❐t ❧ý t♦➳♥
▼➲ sè✿ ✻✷ ✹✹ ✵✶ ✵✶

◆❣➢ê✐ ❤➢í♥❣ ❞➱♥✿ ●❙ ✲ ❚❙✳ ❍♦➭♥❣ ◆❣ä❝ ▲♦♥❣

▲✉❐♥ ➳♥ t✐Õ♥ sÜ ❱❐t ❧ý


ì sẽ t ệ t ổ í

t ệ t ý ộ r t t

ý ý tết Pò ọ ì t ề ệ t ợ t tr

q trì ọ t

t rờ ọ

ọ ự ệ ộ t ý t t ì

t ọ ề ệ t ợ t tr sốt tờ ọ t ệ

ù ết ì ờ t tì t

ộ t ọ ề ệ tốt t ể t t

ộ t

õ




▲ê✐ ❝❛♠ ➤♦❛♥
❚➠✐ ①✐♥ ❝❛♠ ➤♦❛♥ ➤➞② ❧➭ ❝➠♥❣ tr×♥❤ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❝ñ❛ r✐➟♥❣ t➠✐✳ ❈➳❝ sè ❧✐Ö✉✱

❦Õt q✉➯ ♠í✐ ♠➭ t➠✐ ❝➠♥❣ ❜è tr♦♥❣ ❧✉❐♥ ➳♥ ❧➭ tr✉♥❣ t❤ù❝ ✈➭ ❝❤➢❛ tõ♥❣ ➤➢î❝ ❛✐


S3

S3

▼➠ ❤×♥❤ ✸✸✶❘❍ ✈í✐ ♥❤ã♠ ➤è✐ ①ø♥❣

S3

S4

▼➠ ❤×♥❤ ✸✸✶◆❋ ✈í✐ ♥❤ã♠ ➤è✐ ①ø♥❣

S4

✸✸✶◆❋

✸✸✶❘❍

✸✸✶◆❋

❍P❙

❍❛rr✐s♦♥✲P❡r❦✐♥s✲❙❝♦tt

❱❊❱

❱❛❝✉✉♠ ❊①♣❡❝t❛t✐♦♥ ❱❛❧✉❡

✭❚r✉♥❣ ❜×♥❤ ❝❤➞♥ ❦❤➠♥❣✮

✶✳✶

➜è✐ ①ø♥❣

S3

❝ñ❛ t❛♠ ❣✐➳❝ ➤Ò✉

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳


✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✶✽

✷✳✶

➜å t❤Þ ♠➠ t➯ sù ♣❤ô t❤✉é❝ ❝ñ❛


t❤Þ

♠➠

t➯

sù

♣❤ô

(8.713 × 10−3 , 0.1)
✷✳✸

➜å

t❤Þ

♠➠

t➯

(0.1, 0.25)

✱ ✈➭

✷✳✹

➜å

t❤Þ

t➯

✱ ✈➭

t➯

✱ ✈➭

✷✳✼

➜å

t❤Þ

♠➠

(0.085, 0.6)

sù

♣❤ô

✳

t❤✉é❝

m1 , m2 , m3

❝ñ❛



m1 , m2 , m3

❝ñ❛

t❤✉é❝

t❤✉é❝

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

m1 , m2 , m3

t➯


✳

✳

✳

✈➭♦

✳

✳

✳

✈➭♦

✳

✳

✳

a
✳

a
✳

a


sù

a

✈➭♦

m1 , m2 , m3

❝ñ❛

✳ ✳

✱ ✈➭

➜å

a, b

a ∈ (−0.25, 0.1)

(8.713 × 10−3 , 0.6)
✷✳✺

t❤✉é❝

✳

✳


✳

✹✽

✳

✳

✳

✹✾

✳

✳

✳

✹✾

a ∈

✈í✐

✳

✳

a ∈


✳

✳

✳

✳

✹✾


❉❛♥❤ s➳❝❤ ❜➯♥❣
S3

✶✳✶

❈➳❝ ❧í♣ ❧✐➟♥ ❤î♣ ❝ñ❛ ♥❤ã♠

✳

✳

✳

✳

✳

✳


S3

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳


✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✶✽

✶✳✹


✳

✳

✳

✳

✳

✷✵

✸✳✶

❈➳❝ ❦❤➯ ♥➝♥❣ ❦Õt ❝➷♣ ❝➬♥ t❤✐Õt s✐♥❤ ❦❤è✐ ❧➢î♥❣ q✉❛r❦

✳

✳

✳

✳

✳

✺✺

✈


✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳


✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✶✸


✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✶✻

✳

✳

✳

✳

✳

✳


✶✳✷

▼➠ ❤×♥❤ ✸✲✸✲✶

✶✳✸

▼➠ ❤×♥❤ ✸✲✸✲✶ ✈í✐ ❢❡r♠✐♦♥ tr✉♥❣ ❤ß❛

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳


✳

✳

✳

✳

✳

✷✸

✶✳✸✳✷

P❤➳ ✈ì ➤è✐ ①ø♥❣ tù ♣❤➳t ✈➭ ❦❤è✐ ❧➢î♥❣ ❢❡r♠✐♦♥

✳

✳

✳

✳

✳

✷✸

✳


✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳


✷✳✹

❑❤è✐ ❧➢î♥❣ q✉❛r❦ ✳

✷✳✺

✷✳✻

✷✻

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳


✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✷✽

✳

✳


✳

✳

✳

✳

✳

✳

✸✵

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳


✸✻

❙ù ➤Þ♥❤ ❤➢í♥❣ ❝❤➞♥ ❦❤➠♥❣

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳


✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✹✼


❑❤è✐ ❧➢î♥❣ ✈➭ tré♥ ❧➱♥ ♥❡✉tr✐♥♦

✸✳✺

●✐í✐ ❤➵♥ t❤ù❝ ♥❣❤✐Ö♠ ✈í✐ tr➢ê♥❣ ❤î♣ ✶

✸✳✻

●✐í✐ ❤➵♥ t❤ù❝ ♥❣❤✐Ö♠ ✈í✐ sù ❦Õt ❤î♣ ❝ñ❛ tr➢ê♥❣ ❤î♣ ✶ ✈➭ ✷

✸✳✼

◆❤❐♥ ①Ðt ✈Ò sù ♣❤➳ ✈ì✱ ❝➳❝ tr✉♥❣ ❜×♥❤ ❝❤➞♥ ❦❤➠♥❣ ✈➭ t❤❛♠ sè

✳

✳

✳

✳

✳

✺✵

✳

✳


✳

✳

✳

✳

✺✶

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳


✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✺✹

✳

✳


✺✽

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✻✸



✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

S3

✸✳✾✳✶

❚❤Õ ✈➠ ❤➢í♥❣ ❝ñ❛ ♠➠ ❤×♥❤ ✸✸✶◆❋


✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✼✸

✳

✳

✳


✳

✳

✳

✼✼

S3

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳


❊

❈➳❝ sè ❧➢î♥❣ tö ❝ñ❛ ♠➠ ❤×♥❤ ✸✸✶◆❋S3 ✈➭ ✸✸✶❘❍S3

✈✐✐

S3
S4

✐✐
✈✐✐✐
①✈
①✈✐


ở
ý ọ ề t
ì ể tế ớ tự ột tr ữ ệ ụ ớ t ủ

ờ tr q trì ụ t ù t tờ tứ

tế ó tể t ổ sự ể ết t trể tù t tờ ề

ó ụ t ủ t ý t ệ tợ tự ý tết

tự ệ t ý tự ệ ó trò ể ứ t ủ

ì t ý ý tết r ữ t ớ t ý ý tết



tr t ệ ó ố

ỉ t t rt ế ế ớ t t

ự tồ t ủ tr t ợ ề t ở P

ể qết ề t ợ ợ tr

r t ớ t ọ tr s ó ợ r ọ tr ì

t tr tự sự ợ tự ệ ở s




r ữ tế t t ý tr ột





tr

ý

tết




tr ột rt ột tr t trì

n p + e + e



ý tết r ỉ ó ệ ự ở ề ợ t ó ề sự

tồ t ủ tr ở tí t ề tết ệ t t t ủ tr

ợ tự ệ ở s t Prs ớ ết q

é

1044 cm2

ọ ị tể q st ợ tr

Ptr ề t r tr ó tể ợ t

ệ ờ q trì tr ột t r ế t ột t

r ể ột tr t ột rt tr t

e +

r ột tr t ứ




ụ

q



trì



r

r tr q trì r t từ

ứ t tr ò tí ệ t s ỹ

ự tồ t ủ ột tr tứ tr

à

ợ ở

ò tí ệ qố r








sẽ

ó

ột

ế t tr

t ớ ợ t ệ ở ò tí ệ tệ tế ệ

tứ ủ r tr ì ủ t ý t

r sở ý tết r ó ố ứ





s

ề

t








ợ trì tr

ột tr ữ t ớ t ủ t ý ọ tr tế ỷ

sự r ờ ủ t t tr t t ợ ết ế ó




t t ệ từ ế t t ợ tự ệ t q

t trề t t



Z

t trề t t ệ từ s tr

W

trề t t ế trề t t r

t ợ s ế t tế ệ ỗ tế ệ ồ qr t ợ

ể tr í ở tố t ợ

r






t t ợ

qr qr t rt

tr tr t tử tr tr tr ợ s

r tr q trì r t

tế ệ ò ứ t ệ

t t ó ù ệ tí tr ỗ

t ó ột t t ứ ù ố ợ ệ tí tr

ế

s

ợ










ộ ữ ế t ị

ột tr ữ ế t tr

qết ó

r r ợ s ế t tế ệ

tí t t tờ ờ t t tế ệ tứ t s ó ó tể rút

r ết t tự tế ệ ò

tr ờ ợ t s

qr t ợ s ế t tế ệ ó tt tế

ệ ữ tế ệ ó ố ệ ớ tế

tí ợ ố ợ sự ể ó tr

ợ tự ệ ũ sự ề ệ tí

tí ợ ì s t qr ó ố ợ rt ớ t

s ữ tế ệ r ó sự ề ố ợ t s tr





ớ sự ể ó ữ tr tr tr

tí sự ể ó ữ tr ò

K0



0
K

tờ ể ớ

ỉ ó ột tr ị ợ t ệ tr ợ t ệ

sự trộ ủ tr ợ t ở t

tr ó sự ể ó ủ tr ị

t ợ t ở Ptr ự ệ t

ề sự ể ó tr ợ t ệ ở tí ệ r



ự ệ ự tr sở tí ò tr í

qể ế từ ớ ó ế ồ

ò tr tr ợ ù ợ ó sự tế ụt

=


1
3
1

3
1

3

2
6
1
6
16

0
1
2
1
2



,






ết

q

tr



ề



ó

trộ

t ó tể ự ố ứ ị

S3





ú









ủ

ở tr ó tể ợ ết ố ở

ó

S3







ể

tể ể ễ ề t

ễ

1



2


t ột tự tr ú t ột ữ

ệ ề ó sử ụ ó ố ứ

ố ứ tế ệ ợ t ó ủ

ờ ó ề ì ự tr ó ố ứ

T

ố ứ







ết

q

tí

S3

ệ




trề tr ột ớ

ó ể s ột tr t ị

ó tể ò ợ ĩ tr ó ố ợ sự trộ

ữ sự ệ tr ứ sự tết ở

rộ ớ ở rộ tr ữ t

ủ tế ỷ ó ột số ợ ớ ì ợ ề t

ì ì ì s ố ứ ý tết

ở rộ ssỗ ì ề ó ữ ợ ể t ị

qết ột số ề ợ t r ó rt ề ố tr

ĩ ự tr s ữ ề t r ó tỏ ề t

ý tr

ệ tì ữ tr ờ ữ ề ò ỏ õ ó

ộ ự tú sự t trể ủ ọ sự ể ết ủ

ề tế ớ

ột


t ó

SU (3)L U (1)X



ì

ò ợ ọ ì ó ủ ì ụ

tộ t ợ tr ì P tứ t ợ

ọ ì tố tể ợ ề t ở Ps Pt rt

tr ó t tế t ủ ó



SU (3)L

ó


c T
)
(L , lL , lR

ớ


ì



tố

tể





s





ì ỉ t tế ớ s ể tự ệ ỡ ố ứ tự

t s ố ợ r

ế t tế ớ s



ề tú ị ủ ì ó

ợ ọ ớ t tr ò


ồ tờ tí sự trộ ỏ ữ qr sự ỏ ề ố ợ ủ

tr ệ ứ t ý q trọ ó ố ứ

ì ở rộ

ó

ố

ứ







t

ì ó

ợ

A4






ó

ố



ứ

ớ ì

A4



ớ

q

t

ế


t ề ế qr

t P

ó

A4


ố ứ

S3

ì tr t ợ ố ợ từ ó

ó ủ ụ tế s ột t tế s ủ ó

L

tr ó ớ ó ố ứ

S4

tr t ợ ố ợ ỉ từ

ó ó ủ ụ tế s ủ ó

SU (3)L



ó ú t ữ ờ t ố ứ

ì tr ó ó tí t ủ ề ố ợ sự trộ

t qr tí tế ệ ụ ể tế tụ t ổ ớ ứ




ụ ể tr sự ỡ ố ứ ệ ế ũ t ệ qủ

q ế t ý tr t ý ị ệ tợ ủ ì ở

tố




▼ô❝ ➤Ý❝❤ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉
▼ô❝ ➤Ý❝❤ ❝ñ❛ ❧✉❐♥ ➳♥ ❧➭ ➤➢❛ ❝➳❝ ♥❤ã♠ ➤è✐ ①ø♥❣ ❣✐➳♥ ➤♦➵♥

S3 , S4

✈➭♦ ❝➳❝

♠➠ ❤×♥❤ ✸✲✸✲✶✱ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❦❤è✐ ❧➢î♥❣ ✈➭ ♠❛ tr❐♥ tré♥ ❧➱♥ ❢❡r♠✐♦♥✱ tÝ♥❤ t❤Õ ❤✐Ö✉

❞ô♥❣ ✈➭ ❦✐Ó♠ tr❛ ♣❤➳ ✈ì ➤è✐ ①ø♥❣ ➤✐Ö♥ ②Õ✉✳

❑❤❛✐ t❤➳❝ ❝➳❝ ❤Ö q✉➯ ❧✐➟♥ q✉❛♥

➤Õ♥ ✈❐t ❧ý ♥❡✉tr✐♥♦✱ ✈❐t ❧ý ✈Þ ✈➭ ❝➳❝ ❤✐Ö♥ t➢î♥❣ ❧✉❐♥ ❝ñ❛ ♠➠ ❤×♥❤✳

➜è✐ t➢î♥❣ ✈➭ ♣❤➵♠ ✈✐ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉
✲ ➜è✐ t➢î♥❣ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❝ñ❛ ➤Ò t➭✐ ❧➭ ♥❤ã♠ ➤è✐ ①ø♥❣ ❣✐➳♥ ➤♦➵♥✱ ❝➳❝ ❤➢í♥❣

♠ë ré♥❣ ♠➠ ❤×♥❤ ❝❤✉➮♥✱ ❤✐Ö✉ ø♥❣ ✈❐t ❧ý ♥❡✉tr✐♥♦ tr♦♥❣ ❝➳❝ ❧ý t❤✉②Õt t❤è♥❣



✈➭

S4

✈➭♦ ♠➠ ❤×♥❤ ✸✲✸✲✶ ✈í✐ ❢❡r♠✐♦♥

tr✉♥❣ ❤ß❛ ✈➭ ♠➠ ❤×♥❤ ✸✲✸✲✶ ✈í✐ ♥❡✉tr✐♥♦ ♣❤➞♥ ❝ù❝ ♣❤➯✐ ♥❤➢ ❧➭ ❝➳❝ ➤è✐ ①ø♥❣

✈Þ✳ ❙♦ s➳♥❤ ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ t❤✉ ➤➢î❝ tõ ♠➠ ❤×♥❤ ✈í✐ ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ t❤ù❝ ♥❣❤✐Ö♠ ❣➬♥

➤➞② ✈Ò ♣❤æ ❦❤è✐ ❧➢î♥❣ ❢❡r♠✐♦♥ ✈➭ ❞➵♥❣ ♠❛ tr❐♥ tré♥ ❧➱♥ t➢➡♥❣ ø♥❣✳

❈➳❝❤ t✐Õ♣ ❝❐♥✱ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉
❈❤ó♥❣ t➠✐ sö ❞ô♥❣ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❧ý t❤✉②Õt✳ ❙ö ❞ô♥❣ ❧ý t❤✉②Õt

tr➢ê♥❣ ❧➢î♥❣ tö✱ ❧ý t❤✉②Õt ♥❤ã♠✱ ❣✐➯✐ tÝ❝❤ t♦➳♥ ❤ä❝ ➤Ó ①➞② ❞ù♥❣ ♠➠ ❤×♥❤ ✸✲✸✲✶

✈í✐ ❝➳❝ ♥❤ã♠ ➤è✐ ①ø♥❣

S3

✈➭

S4

✳ ❚Ý♥❤ t♦➳♥ ✈➭ s♦ s➳♥❤ ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ t❤✉ ➤➢î❝ tõ

♠➠ ❤×♥❤ ✈í✐ ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ t❤ù❝ ♥❣❤✐Ö♠✳


♠➠ ❤×♥❤ ✸✲✸✲✶ ✈í✐ ❢❡r♠✐♦♥ tr✉♥❣ ❤ß❛✱ ❜❛♦ ❣å♠ sù s➽♣ ①Õ♣ ❤➵t ✈➭ sù ♣❤➳

✈ì ➤è✐ ①ø♥❣ tù ♣❤➳t s✐♥❤ ❦❤è✐ ❧➢î♥❣ ❢❡r♠✐♦♥ ❝ñ❛ ♠➠ ❤×♥❤✳

•

❈❤➢➡♥❣ ✷ ✲ ➜è✐ ①ø♥❣ ✈Þ

S4

tr♦♥❣ ♠➠ ❤×♥❤ ✸✲✸✲✶ ✈í✐ ❢❡r♠✐♦♥ tr✉♥❣ ❤ß❛✳

❚r♦♥❣ ❝❤➢➡♥❣ ♥➭②✱ ❝❤ó♥❣ t➠✐ ➤Ò ①✉✃t ♠➠ ❤×♥❤ ✸✲✸✲✶ ✈í✐ ❢❡r♠✐♦♥ tr✉♥❣

❤ß❛ ❞ù❛ tr➟♥ ♥❤ã♠ ➤è✐ ①ø♥❣ ✈Þ

S4

✳ P❤➬♥ tr×♥❤ ❜➭② ❜❛♦ ❣å♠✿ ❙ù s➽♣ ①Õ♣

❤➵t✱ ❦❤è✐ ❧➢î♥❣ ❝ñ❛ ❧❡♣t♦♥ ♠❛♥❣ ➤✐Ö♥✱ ❦❤è✐ ❧➢î♥❣ ♥❡✉tr✐♥♦✱ ❦❤è✐ ❧➢î♥❣

q✉❛r❦ ✈➭ sù ➤Þ♥❤ ❤➢í♥❣ ❝❤➞♥ ❦❤➠♥❣ ❝ñ❛ ♠➠ ❤×♥❤✳

•

❈❤➢➡♥❣ ✸ ✲ ➜è✐ ①ø♥❣ ✈Þ

S3


S3, S4

ì

ố ứ ý t ế tết ị t t

sở ủ ý tết t ý ố ứ ợ t ý tết ó

ó ề ứ ụ tr t ý ỗ ột ó t ột trú ụ

tể ó ột t ợ ố tợ t ứ

ú ệ ớ t

ột q t r ụ t ủ ú t ứ ữ trú

ó tể ệ ớ ề tr tự tế tế ý tết ó



ột

ĩ

ự

rộ

ớ


ợ ó tụ ế t ó ĩ ớ ọ

ế tố

g1 , g2 G g1 g2 = g2 g1


tì ó ợ ọ ó ó

ợ ó ó

ố ứ ó ột trò tết ế tr ệ ự ì ủ

t ý t ố ứ tụ ị ứ ố ứ rt

Pr

ố ứ rt q trọ ể ể ợ ề ệ ứ

t ý q ế t t ế ệ từ ữ t t

ố ứ é ợ ệ tí é ị

P é ị tờ ũ ữ ộ

tết

tr

t


ứ ũ ợ ứ ụ ệ ự

ì tì ể ề trú ị ủ tế ệ r ế ột ố ứ




ợ t ộ ị ờ t ó tể ề ỉ số

ết t tế ệ ù ồ ố ủ tế ệ ò

số

t sự ề ố ợ trộ tr ớ trộ

r ớ ó trộ ớ t ó trộ qr

sự ủ ó trộ

13

ộ ự tú

ệ tì ế ột ì tự ế sự trộ ủ qr

t ớ ộ í ệ ó ố ứ

ố ứ ị ì ở rộ


tì ể ễ ệ số s r ỉ r trể

ọ ứ ụ ì ủ ó

ồ tờ ớ tệ

tó tt ộ ủ ì ớ r tr ò

ó

ì ớ r tr ò tr ó

S4

ợ

S3

ợ

ì tr ủ ết q í ủ

ợ tr t ệ t




S3, S4

✶✳✶

✻

♣❤➬♥

tö✱

➤➢î❝

❦ý

❤✐Ö✉

{e, a1 , a2 , a3 , a4 , a5 }

✱ tr♦♥❣ ➤ã✿

e =

a1 =
a2 =
a3 =
a4 =
a5 =

x1 x2 x3

≡ (x1 , x2 , x3 ) ≡ (1, 2, 3),

x1 x2 x3
x1 x2 x3


t❤❡♦ ❝❤✉ tr×♥❤✳

♣❤Ð♣ ❜✐Õ♥ ➤æ✐

S3

❈❤➻♥❣ ❤➵♥✱

a1

x1 → x2 → x1

❧➭ ♣❤Ð♣ ❜✐Õ♥ ➤æ✐

✈➭

x3

x1 → x2 → x3 → x1 a3
✱

❧➭

❦❤➠♥❣ ❜✐Õ♥ ➤æ✐✱✳✳✳

❝ò♥❣ ❝❤Ý♥❤ ❧➭ ♥❤ã♠ ❝➳❝ ♣❤Ð♣ ❜✐Õ♥ ➤æ✐ ❜✐Õ♥ ♠ét t❛♠ ❣✐➳❝ ➤Ò✉ t❤➭♥❤

❝❤Ý♥❤ ♥ã✱ ❜❛♦ ❣å♠ ♠ét ♣❤Ð♣ ➤å♥❣ ♥❤✃t✱ ✷ ♣❤Ð♣ q✉❛② q✉❛♥❤ t➞♠✱ ✈➭ ✸ ♣❤Ð♣



❝ñ❛ t❛♠ ❣✐➳❝ ➤Ò✉

❇✐Ó✉ ❞✐Ô♥ ❝➡ së ✷ ❝❤✐Ò✉ ❝ñ❛ ♥❤ã♠

S3

tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ t❤ù❝ ❝ã ❞➵♥❣✿

C1 :
C3 :

1 0

; C2 :

0 1
1

− 12
√
3
2

0

0 −1

1
√2

√

3
2
− 21

3
2
− 12

−

3
2

;

.

✭✶✳✷✮

❚r♦♥❣ ♥❤✐Ò✉ tr➢ê♥❣ ❤î♣✱ ➤Ó t❤✉❐♥ t✐Ö♥ ♥❣➢ê✐ t❛ ❧➭♠ ✈✐Ö❝ tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥

♣❤ø❝✱ tr♦♥❣ ➤ã✱ ❜✐Ó✉ ❞✐Ô♥ ❝➡ së ✷ ❝❤✐Ò✉ ❝ñ❛ ♥❤ã♠

C1 :

C3 :

tr♦♥❣ ➤ã✱


ω2 0

,

,

S3

❝ã ❞➵♥❣✿

ω2 0
0 ω
0 ω2
ω 0

;

.

✭✶✳✸✮

√

3
2

❧➭ ❝➝♥ ❜❐❝ ✸ ❝ñ❛ ➤➡♥ ✈Þ✳

❤♦➷❝

S3

C1

(1, 2, 3) ≡ e

C2

(123) ≡ a1 , (132) ≡ a2

C3

(12) ≡ a3 , (23) ≡ a4 , (31) ≡ a5

❇➯♥❣ ✶✳✷✿ ❇➯♥❣ ➤➷❝ ❜✐Ó✉ ❝ñ❛ ♥❤ã♠

S3

χ1 χ1

χ2

χ 4 ≡ χ2 χ2

C1

✶

1


tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ t❤ù❝ ❝ã ❞➵♥❣✿

1 ⊗ 1 = 1(11), 1 ⊗ 1 = 1(11), 1 ⊗ 1 = 1 (11),
1 ⊗ 2 = 2(11, 12), 1 ⊗ 2 = 2(11, −12),
2 ⊗ 2 = 1(11 + 22) ⊕ 1 (12 − 21) ⊕ 2(22 − 11, 12 + 21).
❚r♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♣❤ø❝✱ ❤Ö sè ❈❧❡❜s❝❤ ✲ ●♦r❞❛♥ ❝ñ❛ ♥❤ã♠

S3

✭✶✳✹✮

❝ã ❞➵♥❣✿

1 ⊗ 1 = 1(11), 1 ⊗ 1 = 1(11), 1 ⊗ 1 = 1 (11),
1 ⊗ 2 = 2(11, 12), 1 ⊗ 2 = 2(11, −12),
2 ⊗ 2 = 1(12 + 21) ⊕ 1 (12 − 21) ⊕ 2(22, 11).
tr♦♥❣ ➤ã✱ tr♦♥❣ ❝➳❝ ❞✃✉ ♥❣♦➷❝ ➤➡♥✱ ❝❤Ø sè t❤ø ♥❤✃t ➤➢î❝ ❤✐Ó✉ ❧➭

1, 2)

✱ ❝❤Ø sè t❤ø ❤❛✐ ➤➢î❝ ❤✐Ó✉ ❧➭

ij ± kl

✱ ❝❤➻♥❣ ❤➵♥✱

i ≡ xi (i =

j ≡ yj (j = 1, 2) xi yj ≡ ij, xi yj ± xk yl ≡
✱

◆❤ã♠ ➤è✐ ①ø♥❣

❧➭

♥❤ã♠

e, a1 , ..., a23
e=

a1 =
a2 ≡
a3 ≡
a4 =
a5 =
a6 =
a7 =
a8 =
a9 =
a10 =
a11 =

❝➳❝

❤♦➳♥

S4

✈Þ

❝ñ❛

x4 x3 x2 x1
x1 x2 x3 x4
x2 x3 x1 x4
x1 x2 x3 x4
x3 x1 x2 x4
x1 x2 x3 x4
x2 x4 x3 x1
x1 x2 x3 x4
x4 x1 x3 x2
x1 x2 x3 x4
x3 x2 x4 x1
x1 x2 x3 x4
x4 x2 x1 x3
x1 x2 x3 x4
x1 x3 x4 x2
x1 x2 x3 x4
x1 x4 x2 x3

≡ (x1 , x2 , x3 , x4 ) ≡ (1, 2, 3, 4),

✭✶✳✻✮

≡ (x2 , x1 , x4 , x3 ) ≡ (12)(34) ≡ T S 2 T 2 ,
≡ (x3 , x4 , x1 , x2 ) ≡ (13)(24) ≡ S 2 ,
≡ (x4 , x3 , x2 , x1 ) ≡ (14)(23) ≡ T 2 S 2 T,

✭✶✳✼✮

≡ (x2 , x3 , x1 , x4 ) ≡ (123) ≡ T,
≡ (x3 , x1 , x2 , x4 ) ≡ (132) ≡ T 2 ,