GV: Nguy n Thanh Tùng

HOCMAI.VN
facebook.com/ThayTungToan
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


10 PH
N X HAY DÙNG KHI GI I PH

NG TRÌNH L

NG GIÁC

GV: Nguy n Thanh Tùng

Ph n x 1:
H

Khi g p các góc l n (t 3x tr lên) thì th

ng có 3 h

ng đi

ng 1 “Ghép b cùng tên” đ gi m góc và t o tích b ng vi c dùng công th c t ng (hi u) thành tích.



a b
a b

oc

ng trình sau:

2. (D – 2012): sin 3x  cos3x  sin x  cos x  2 cos 2 x
4. (D – 2006): cos3x  cos 2 x  cos x 1  0
6. (B – 2002) sin 2 3x  cos2 4 x  sin 2 5x  cos2 6 x .

nT

H

hi
D

1. (D – 2013): sin 3x  cos 2 x  sin x  0
3. (B – 2007): 2sin 2 2 x  sin 7 x 1  sin x.
5. (D – 2002): cos3x  4cos 2x  3cos x  4  0

ng d n gi i:

s/

up

2. (D – 2012): sin 3x  cos3x  sin x  cos x  2 cos 2 x

Ta

iL

3. (B – 2007): 2sin 2 2 x  sin 7 x 1  sin x.
 (sin 7 x  sin x)  2 sin 2 2 x  1  0
 2cos 4 xsin 3x  cos 4 x  0  cos 4 x(2sin 3x 1)  0...

.fa

ce

4. (D – 2006): cos3x  cos 2 x  cos x 1  0
 (cos3x  cos x) (1  cos 2 x)  0

w

 2sin 2 x sin x  2sin 2 x  0  4sin 2 x cos x  2sin 2 x  0  2sin 2 x(2cos x  1)  0...

w

w

5. (D – 2002): cos3x  4cos 2x  3cos x  4  0
 (cos 3x  cos x)  4(1  cos 2 x)  2cos x  0
 2cos 2 x cos x  8cos2 x  2cos x  0

 2cos x(cos 2 x  4cos x  1)  0  2cos x(2cos2 x  4cos x)  0  4cos 2 x(cos x  2)  0...

6. (B – 2002) sin 2 3x  cos2 4 x  sin 2 5x  cos2 6 x 

1  cos 6 x 1  cos8 x 1  cos10 x 1  cos12 x











Cách đ i tên hàm: sin u  cos   u  ; cos u  sin   u  ; tan u  cot   u  ; cot u  tan   u  .
2

2

2

2


ng trình sau:
3 sin 6 x  2sin 5x  1  2cos 2 3x .



3 cos 4 x  4sin 2 x sin 2 x  4sin 2  x  
4

H

ai
H


iL

Ta

up



3 cos 4 x  4sin 2 x sin 2 x  4sin 2  x  
4


ro

3.

3
1


sin 6 x  cos 6 x  sin 5 x  sin  6 x    sin 5 x …
6
2
2


s/

 3 sin 6 x  cos 6 x  2sin 5 x 

3 cos 4 x  sin 4 x  2

.fa

3
1

 k

cos 4 x  sin 4 x  1  cos  4 x    1  x   
.
2
2
3
12 2

H ng 3
Kh và gi m s l ng góc l n b ng vi c “s d ng công th c c ng ho c t o tích thành t ng” ho c “đánh giá”.

w

w

w



Gi i các ph ng trình sau:
1. cos 4 x(2sin 3x  cos x)  sin x(sin 4 x 1)
2. sin 2 x(1  cos5x  cos x)  sin 3x  2sin 3x cos2 2 x  3 cos 2 x  3

ai
H
oc



 


2sin  2 x    2 (*) sin  2 x    1
Do 
  
3
3  ...

sin 7 x  3  2
sin 7 x  1



01

1


3

 2  sin 2 x 
cos 2 x   sin 7 x  3  2sin  2 x    sin 7 x  3 (*)
3

Chú ý 1:

a

a 2  b2

s/
và sin  

c
a 2  b2
b
a 2  b2

ng trình có nghi m là a 2  b2  c2
ng trình v d ng công th c nghi m v i cos .

.fa

 Ta có th đ a ph

ce

i u ki n ph

 Th

 sin(u   ) 

bo

Chia c hai v ph

Ta

Cách gi i chung: a sin u  b cos u  c .

a 2  b2  2 (đ s li u bài toán “đ p”).

w

w

ng

w

Chú ý 2: Ngoài d ng nguyên g c trên, chúng ta có th g p 3 d ng m r ng sau


a sin u  b cos u  a 2  b2 sin v



a sin u  b cos u  a 2  b2 cos v



a sin u  b cos u  a 'sin v  b 'cos v

Cách gi i c ng t

5. (D – 2009): 3 cos5x  2sin 3x cos 2 x  sin x  0
6. (D – 2007):  sin  cos   3 cos x  2.
2
2

6
6
3
3
2
2
7. (B – 2008): sin x  3 cos x  sin x cos x  3 sin x cos x. 8. 8  sin x  cos x  2  3 3 sin 4 x .





10. 2sin 3x sin x  3 cos x  1  2cos 2 x  0

3 sin x  cos x(4sin x  1)  0

H

ng d n gi i:

01

9.

ai

Ta



1
3
1
3


 cos 2 x 
sin 2 x  cos x 
sin x  cos  2 x    cos  x   …
3
3
2
2
2
2



ng trình t

ng đ

up

ro


 cos x  sin 2 x  3(cos 2 x  sin x)

 cos x  3 sin x  3 cos 2 x  sin 2 x

.fa

ce



1
3
3
1


 cos x 
sin x 
cos 2 x  sin 2 x  cos  x    cos  2 x   …
3
6
2
2
2
2



w


cos 5 x   sin x  sin  5 x    sin( x) …
 sin 5x  3 cos5x  2sin x  sin 5 x 
3
2
2

Tham gia khóa h c các môn trên HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t đi m s cao trong kì thi THPTQG s p t i !

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


GV: Nguy n Thanh Tùng

HOCMAI.VN
facebook.com/ThayTungToan
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
2

x
x
x
x
x
x

6. (D – 2007):  sin  cos   3 cos x  2  sin 2  cos 2  2sin cos  3 cos x  2
2
2
2
2

co
s
x

0

 3

8. 8  sin 6 x  cos6 x  2  3 3 sin 4 x  8 1  sin 2 2 x   2  3 3 sin 4 x
 4


ai
H
oc

 3(1  cos 4 x) 
 8 1 
  2  3 3 sin 4 x  cos 4 x  3 sin 4 x  1
8


hi
D

1
3
1

2


uO

nT

9.


3 cos x  sin x  cos x  2(cos x  sin x)  0
3 cos x  (sin x  3cos x)  0
3 cos x   sin x  3 cos x sin x  3 cos x  0

iL


 2sin 3x  sin x 
 2sin 3x  sin x 
 2sin 3x  sin x 

2

2

om

/g

ro

2


ce

Ph n x 3: Khi nhóm đ



.fa

( 2sin 2 x  sin x  1  (sin x 1)(2sin x  1) ; cos3 x  3cos2 x  4cos x  2  (cos x  1)(cos2 x  2cos x  2)…)
c đ Horner – n u ph

ng

w

w

w

( ho c nh m nghi m ho c các em dùng máy tính đ tr giúp và có th s d ng thêm l
trình t d ng b c 3 tr lên trong đó có ít nh t m t nghi m “đ p” đ t o tích).
Gi i các ph ng trình sau:
1.(D – 2010): sin 2 x  cos 2 x  3sin x  cos x 1  0
3. (2sin x  1)(cos x  1)  cos 2 x  2cos x  7sin x  5

2. 9sin x  6cos x  3sin 2 x  cos 2 x  8
4. 2cos3 x  3cos 2 x  2sin 2 x  4cos x  4sin x  5

5. 8  sin 6 x  cos6 x  3 3 sin 4 x  3 3 cos 2 x  9sin 2 x  11

H
oc

01

 2sin x cos x  2sin x  cos x  1  1  2sin 2 x  2cos x  7sin x  5
 (2sin x cos x  cos x)  (2sin 2 x  9sin x  5)  0
 cos x(2sin x 1)  (2sin x 1)(sin x  5)  0  (2sin x 1)(sin x  cos x  5)  0...
4. 2cos3 x  3cos 2 x  2sin 2 x  4cos x  4sin x  5

hi
D

 2cos3 x  3(2cos2 x  1)  2sin 2 x  4cos x  4sin x  5

nT

 (cos3 x  3cos2 x  2cos x  4) (sin 2 x  2sin x)  0

uO

 (cos x  1)(cos2 x  2cos x  4)  2sin x(cos x  1)

ie

 (cos x  1)(cos2 x  2cos x  4  2sin x)  0

iL

 cos x  1 (1) ho c cos2 x  2(sin x  cos x)  4 (2)


5. 8  sin 6 x  cos6 x  3 3 sin 4 x  3 3 cos 2 x  9sin 2 x  11 .

w

.fa

ce

3
Ta có: sin 6 x  cos6 x  (sin 2 x  cos2 x)3  3sin 2 x cos2 x(sin 2 x  cos2 x)  1  sin 2 2 x
4
Khi đó ph ng trình t ng đ ng:
 3

8 1  sin 2 2 x   3 3 sin 4 x  3 3 cos 2 x  9sin 2 x  11
 4


w

w

 ( 3 sin 4 x  3 cos 2 x)  (2sin 2 3x  3sin 2 x  1)  0

 3 cos 2 x(2sin 2 x 1)  (2sin 2 x 1)(sin 2 x 1)  0  (2sin 2 x  1)( 3 cos 2 x  sin 2 x  1)  0...

CHÚ Ý: Các Ví d 1,2,3,4,5 còn có m t cách ti p c n khác. Các em xem ti p

Ph n x 4:


1  sin x

5

1  cos x

6
7

1  2sin x
1  2cos x

Bi u Th c Ch a Nhân T Chung
tan x ; sin 2x ; tan 2x ; 1  cos 2x ; sin 3x …
cot x ; sin 2x ; tan 2x ; 1  cos 2x ; cos3x …





cos 2x ; 1  tan x ; 1  cot x ; 1  tan 2 x ; 1  cot 2 x ; sin3 x  cos3 x ; sin  x   ; cos  x  
4
4


x 
x 
x 
x 

Chung
sin x
cos x
sin x  cos x

hi
D

STT

ng G p

bo
ok

.c

om

/g

ro

up

s/

Ta

iL

tan x  3


9.(A – 2007): (1  sin 2 x) cos x  (1  cos2 x)sin x  1  sin 2 x. 10. (A,A1 – 2013): 1  tan x  2 2 sin  x  
4

11. (B – 2011): sin 2 x cos x  sin x cos x  cos 2 x  sin x  cos x. 12. (A,A1 – 2014): sin x  4cos x  2  sin 2 x
H

ng d n gi i:

.fa

ce

1. (D – 2004): (2cos x  1)(2sin x  cos x)  sin 2x  sin x
 (2cos x 1)(2sin x  cos x)  sin x(2 cos x 1)  (2cos x 1)(sin x  cos x)  0...

w

w

2. (B – 2004): 5sin x  2  3(1  sin x) tan 2 x.

w

i u ki n: cos x  0  x 
Khi đó ph

ng trình đ

ng:

Tham gia khóa h c các môn trên HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t đi m s cao trong kì thi THPTQG s p t i !

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


GV: Nguy n Thanh Tùng
HOCMAI.VN
facebook.com/ThayTungToan
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
cos x
(cos x  sin x)(cos x  sin x)
1 
 sin 2 x  sin x cos x
sin x
sin x
1
cos x
cos x  sin x

 cos x(cos x  sin x)  sin x(sin x  cos x)  (cos x  sin x)(1  sin x cos x  sin 2 x)  0...
sin x
x
x 
4. (D – 2003): sin 2    tan 2 x  cos 2  0.
2
2 4

i u ki n: cos x  0  x   n (n )


Ta có 1  cot 2 x 

ie

 1  cos x 
 (1  cos x) 
 1  0  (1  cos x)(sin x  cos x)  0...
 1  sin x 
1  sin 2 x  cos 2 x
 2 sin x sin 2 x
5. (A – 2011):
1  cot 2 x
i u ki n: sin x  0  x  n (n ) .

01



1  cos  x  
2
2  sin x 1  cos x

Khi đó ph ng trình t ng đ ng:

0
.
2
cos 2 x
2


ce

sin 2 x  2cos x  sin x  1
 0.
tan x  3

.fa

7. (D – 2011) :

w

w

w


cos x  0
(*)
i u ki n: 

 tan x   3
Khi đó ph ng trình t ng đ ng: sin 2 x  2cos x  (sin x  1)  0
 2cos x(sin x  1)  (sin x  1)  0  (sin x  1)(2cos x 1)  0...

8. (D – 2010) : sin 2 x  cos2 x 3sin x cos x 1 0.
sin 2 x  cos x  cos x(2sin x  1)
Ta có 
2



10. (A,A1 – 2013): 1  tan x  2 2 sin  x  
4

i u ki n: cos x  0
sin x  cos x
Ph ng trình t ng đ ng:
 2(sin x  cos x)  (sin x  cos x)(1  2cos x)  0...
cos x
11. (B – 2011): sin 2 x cos x  sin x cos x  cos 2 x  sin x  cos x.
 2sin x cos2 x  sin x cos x  cos x  1  2sin 2 x  sin x
 2sin x(1  sin x)(1  sin x)  cos x(1  sin x)  (1  sin x)(1  2sin x)
 (1  sin x)  2sin x(1  sin x)  cos x 1  2sin x)  0

hi
D

 (1  sin x)  2sin 2 x  1  cos x  0  (1  sin x)(cos 2 x  cos x)  0...

ng trình có m t cos 2x thì ta d a vào các d u hi u đi kèm đ bi n đ i:

ie

Ph n x 5: Khi ph

uO

nT



1. ( HY – 2000) sin3 x  cos3 x  cos 2x
2. (A,A1 – 2012) : 3 sin 2x  cos 2x  2cos x 1
3. (D – 2006): cos3x  cos 2x  cos x 1  0
4. (B – 2010): (sin 2x  cos 2x ) cos x 2 cos 2x  sin x  0

.fa

ce

5. 2cos3 x  3 sin x cos 2x  4sin 2 x  cos x 2
H

6. (A – 2003): cot x  1 

cos 2 x
1
 sin 2 x  sin 2 x.
1  t anx
2

ng d n gi i:

w

w

w

1. ( HY – 2000). sin3 x  cos3 x  cos 2x

 cos x cos 2 x  3 sin x cos 2 x  2 cos 2 x  0  cos 2 x(cos x  3 sin x  2)  0...

6. (A – 2003): cot x  1 

cos 2 x
1
 sin 2 x  sin 2 x.
2
1  tan x

p các bi u th c “đ ng d ng” hƣy ngh t i vi c nhóm đ t o tích và g p ph

nT

Ph n x 6: Khi g

hi
D

ai
H
oc

01

sin 2 x  0
i u ki n: 
, khi đó ph ng trình t ng đ ng:
 tan x  1
cos x


up

( Xem thêm Ph n x 3 )

ng trình sau: 1. 2cos3 x  cos 2 x  sin x  0

bo
ok

Gi i các ph

.c

om

/g

ro

Chú ý: V i sin 2 x , cos2 x ngoài cách phân tích nh trên ta có th ngh t i vi c h b c theo công th c
1  cos 2 x
1  cos 2x
; cos2 x 
.
sin 2 x 
2
2



 (1  sin x)  2(1  sin x)(1  cos x)  1  0

 (1  sin x)  2(sin x  cos x)  2sin x cos x  1  0
 (1  sin x) 2(sin x  cos x)  (sin x  cos x)2   0
 (1  sin x)(sin x  cos x)(sin x  cos x  2)  0 …

Tham gia khóa h c các môn trên HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t đi m s cao trong kì thi THPTQG s p t i !

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


GV: Nguy n Thanh Tùng

HOCMAI.VN
facebook.com/ThayTungToan
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01



2. sin 2 x  4 cos 2 x  3  4 2 sin  x  
4

1  cos 2 x


 sin 2x  4.
 3  4 2 sin x  
2
4


4


i u ki n : cos x  0  x   n (n )
2
Khi đó ph ng trình t ng đ ng :
1  sin 2 x  cos 2 x  (1  tan x)sin x

uO

nT

sin x 



 (sin x  cos x)  2sin x 
  0  2 sin  x   (sin 2 x  sin x)  0 …
4
cos x 



Ph n x 7: Khi ph

ie

ng trình có d ng: a sin 2x  b cos 2 x  c sin x  d cos x  e  0 ta ngh t i vi c bi n đ i

s/


ph ng trình v d ng tích b ng m t trong hai k thu t sau:
I. Nhóm, tách ghép đ làm xu t hi n nhân t chung ( xem l i k thu t này qua các ph n x 1, 3, 4, 5 và 6)

.c

1.(D – 2010) sin 2 x  cos 2 x  3sin x  cos x 1  0 2. 8  sin 6 x  cos6 x  3 3 sin 4 x  3 3 cos 2 x  9sin 2 x  11

ce

bo
ok

3. (B – 2005): 1  sin x  cos x  sin 2 x  cos 2 x  0 4. 9sin x  6cos x  3sin 2 x  cos 2 x  8
H

ng d n gi i:

w

w

.fa

1.(D – 2010) sin 2x  cos 2x  3sin x  cos x  1 0
 2sin x cos x  (1  2sin 2 x)  3sin x  cos x 1  0

w

 2 sin 2 x (2cos x  3) sin x  cos x  2  0

HOCMAI.VN
facebook.com/ThayTungToan
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

V y ph


5

ng trình có nghi m x    k 2 ;
 k2 k    .
6
6


2. 8  sin 6 x  cos6 x  3 3 sin 4 x  3 3 cos 2 x  9sin 2 x  11
8  sin 6 x  cos6 x  3 3 sin 4 x  3 3 cos 2 x  9sin 2 x  11

 3

 8 1  sin 2 2 x   6 3 sin 2 x cos 2 x  3 3 cos 2 x  9sin 2 x  11
 4


 2 sin 2 2x (2 3 cos 2 x  3) sin 2x  3 cos 2 x  1  0
sin 2 x  (2 3 cos 2 x  3)2  8( 3 cos 2 x  1)  (2 3 cos 2 x  1)2

Gi i (1) 

01

 x   k ho c x 
 k .
2
12
12
3. (B – 2005): 1  sin x  cos x  sin 2 x  cos 2 x  0

(2)

ai
H
oc

sin 2 x 

ie

Ta

cos x  (2sin x  1)2  8sin x  (2sin x 1)2

iL

 1  sin x  cos x  2sin x cos x  2cos2 x 1  0
 2 cos2 x (2sin x  1) cos x  sin x  0

uO

nT


/g

ro

up

s/

Suy ra: cos x 

bo
ok

 2


ng trình có nghi m x  
 k 2 ;   k k    .
4
 3

4. 9sin x  6cos x  3sin 2 x  cos 2 x  8

ce

V y ph

w

.fa


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


GV: Nguy n Thanh Tùng
HOCMAI.VN
facebook.com/ThayTungToan
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
“m nh” h n cách II).

k k
k k
; ; k v i k  Z ) thì kh nó b ng cách
;
(g mc
6
4
3 2
“dùng b ng công th c chuy n v góc nh n và các công th c c ng, tích, h b c” .

Ph n x 8: Khi xu

t hi n góc c ng thêm

Gi i các ph

ng trình sau:
1
1
 7

3. (D – 2003): sin 2    tan 2 x  cos2  0
2
2 4

4. ( HXD – 1997):



5. 2sin  2 x    4sin x  1  0
6



 1
6. sin 4 x  cos 4   x  
4
 4

hi
D

nT

uO

ie

ng d n gi i:

 7

Ta

1

/g

ro

up

1

sin x

iL

H
1.

sin 4 2 x  cos 4 2 x
 cos 4 4 x

 

tan   x  tan   x 
4
 4


w


sin x  0
 n
Khi đó ta có đi u ki n: 
(n ) .
 sin 2 x  0  x  
2 2
cos x  0
Ph ng trình đ c vi t l i:
1
1
sin x  cos x
 2 2(sin x  cos x )

 2 2(sin x  cos x) 
sin x cos x
sin x cos x

w

 sin x  cos x   2 sin 2 x(sin x  cos x)  (sin x  cos x)(1  2 sin 2 x)  0

w

3
7
và
nh trong bài trên các b n có th kh b ng vi c s d ng công th c t ng:
2
4

 4


Chú ý: Ngoài cách kh l

ng

 
 3
1 

 3

2. cos4 x  sin 4 x  cos  x   sin  3x     0.  1  2sin 2 x cos2 x  sin  4 x    sin 2 x   0
4 
4 2
2 
2

 2
Tham gia khóa h c các môn trên HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t đi m s cao trong kì thi THPTQG s p t i !

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


GV: Nguy n Thanh Tùng
HOCMAI.VN
facebook.com/ThayTungToan
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
2


s/

Ta

iL

ie





Ta s ch ra tan   x  tan   x   1 theo các cách bi n đ i sau:
4

4




 1  tan x 1  tan x
Cách 1: tan   x  tan   x  
1
.
4

4
 1  tan x 1  tan x


01

x
x 
3. (D – 2003): sin 2    tan 2 x  cos2  0
2
2 4

i u ki n: cos x  0  x   n (n )
2
Khi đó ph ng trình t ng đ ng:

ro

up

  







Cách 2: tan   x  tan     x    tan   x  .cot   x   1
4


4


 4
  2
  cos 2 x  1
Cách 3:

1




 cos 2 x
cos   x  cos   x 
 cos  cos 2 x 
2
2
4

4


 n
Khi đó ta có đi u ki n: cos 2 x  0  x  
(n ) (*)
4 2
Ph ng trình đ c vi t l i thành:
1
sin4 2x  cos4 2x  cos4 4x  1  sin 2 4 x  cos 4 4 x
2
1
(lo i)





3 cos x  sin x  2  0...

Tham gia khóa h c các môn trên HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t đi m s cao trong kì thi THPTQG s p t i !

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


GV: Nguy n Thanh Tùng

HOCMAI.VN
facebook.com/ThayTungToan
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
2


 

1  cos  2 x   
2
2

1
2
 1
 1  cos 2 x 
 1  cos 2 x   1  sin 2 x  1


...
 1  cos 2 x  1  sin 2 x  1  sin 2 x  cos 2 x  1  sin  2 x   
4 2

i ph ng trình l ng giác không quên vi c cho đi u ki n n u ph ng trình ch a n
d i m u (không nh t thi t ph i gi i chi ti t đi u ki n) và ph i ki m tra l i đi u ki n. Vì v y ta c n n m đ c
ph ng pháp lo i nghi m đ gi i quy t t t 2 d ng toán sau

Ph n x 9: Khi gi

ng trình ch a n d

im u

01

 D ng 1: Ph
ng pháp gi i:

ai
H
oc

Ph

2l
(l , m) .
m
2k


nT

hi
D

 B

bo
ok

.c

om

/g

ro

Khi đó nghi m c a ph ng trình ban đ u là: x  Ei  k 2 (i  1; r , k )
+) Cách 2(Ph ng pháp đ i s - cách này mang tính ch t tham kh o):
2k
2l
2k
2l


( x ch p nh n khi  
)
x b lo i khi  

1  cos 2 x



Khi đó ph ng trình t ng đ ng: 1 
sin 2 x (1  cos 2 x)(1  cos 2 x)
sin 2 x
1  cos 2 x
 sin 2 x  cos 2 x  (sin 2 x  cos 2 x)cos 2 x  sin 2 x
i u ki n: sin 2 x  0  x 

cos 2 x  0
cos 2 x  0
 cos 2 x(sin 2 x  cos 2 x  1)  0  
 
  1
sin 2 x  cos 2 x  1 sin  2 x   
4
2
 

Tham gia khóa h c các môn trên HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t đi m s cao trong kì thi THPTQG s p t i !

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


GV: Nguy n Thanh Tùng
HOCMAI.VN
facebook.com/ThayTungToan
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

5
2
2 x  
 x   k
 k 2


4
4
2


2

x=

4

4

+

k
2

=

4

+

x≠

m

k
(k )
4 2
Chú ý: Khi g p d ng ph ng trình ch a n d i m u, ta không quên vi c cho đi u ki n (không nh t thi t ph i gi i
chi ti t đi u ki n) và ph i ki m tra l i đi u ki n. Trong quá trình gi i có th “linh ho t” lo i đi nghi m không c n
thi t đ rút ng n l i gi i.
ng trình: x 

c nghi m ph

hi
D

ng tròn đ n v ), ta đ





Ta

ng pháp gi i:

s/

Ph


c nghi m x   

 B

2k 
2k
k,n
 D 

(k0 , n0 )  nghi m x0    0 .
n
n0
l
(l , m)
ng tròn đ n v n u các đ u mút c a D có d ng
m

.fa

ce

bo
ok

+) Cách 2: Có th dùng đ

.c

om

2

 k ( k  )

28  
 3,96  k {0;1; 2;3}
2
2
  3 5 7 
ng trình: x   ; ; ; 
2 2 2 2 



 k 14  0,5  k 

Tham gia khóa h c các môn trên HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t đi m s cao trong kì thi THPTQG s p t i !

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


GV: Nguy n Thanh Tùng

HOCMAI.VN
facebook.com/ThayTungToan
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

cos3x  sin 3x 

ng trình: 5  s inx 

2
1

 cos x  2 (lo i) ho c cos x   x    k 2 (k )
2
3
Cách 1

01

 5(sin x  cos x  cos 3x  cos3x  sin 3x)  (1  2sin 2 x)(cos 2 x  3)
 5(2sin 2 x cos x  cos x)  (1  2sin 2 x)(cos 2 x  3)
 5cos x(2sin 2 x  1)  (1  2sin 2 x)(cos 2 x  3)

 2k (k ) , ta có: x  (0; 2 )  0 

3

bo
ok

ce

c x

.fa

Vì x  (0;2 ) nên ta đ

Ph n x 10: Khi đ

ro

up

s/

Ta

iL

ie



uO

1
5

 k2  2    k   k  0  x 
6
6
3
3
3


1
7
5


ng có 3 h

c)

ng đi……………………

n v d ng a sin x  b cos x  c
ho c d ng m r ng c a nó ……………………………………………………….....

Ph n x 3: Khi nhóm đ

c các b “cùng tên, cùng góc” thì ngh t i vi c
phân tích nó thành tích………………………………………………………………

Ph n x 4: Khi ph

ng trình l ng giác có nhi u bi u th c cùng ch a nhân t chung,
chúng ta ngh t i vi c chuy n ph ng trình v d ng tích (ho c đ gi n c
n u nhân t chung d i m u s )………………………………………………….

Tham gia khóa h c các môn trên HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t đi m s cao trong kì thi THPTQG s p t i !

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


GV: Nguy n Thanh Tùng

HOCMAI.VN
facebook.com/ThayTungToan

4
3 2
thì tìm cách kh chúng………………………………………………………………

ie

N CÁC B N Ã QUAN TÂM !

w

w

w

.fa

ce

bo
ok

.c

om

/g

ro

up