Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)
TÍCH PHÂN VÀ S
Nguyên hàm – Tích phân
GI I BÀI TOÁN TÍCH PHÂN
ÁP ÁN BÀI T P T LUY N
Giáo viên: NGUY N THANH TÙNG
ây là tài li u tóm l c các ki n th c đi kèm v i bài gi ng Tích phân và s đ gi i thu c khóa h c Luy n thi THPT qu c
gia Pen - C: Môn Toán (GV: Nguy n Thanh Tùng) t i website Hocmai.vn.
có th n m v ng ki n th c ph n này, b n
c n k t h p xem tài li u cùng v i bài gi ng này.
sin x
4
2) I 2
dx
3
cos
x
0
3 ln x
dx
ln x
ln 2 x
7
dx
dx
Cách trình bày 1: I1
dx 3
dx 3 ln xd ln x 3ln x
2 1 2
x
x 1 x
x 1
1
1
1
e
e
(3 ln x) 2
7
Cách trình bày 2: I1 (3 ln x)d (3 ln x)
2
2
1
1
e
Cách trình bày 1: I 2
dx
3
3 dx 2 0 cos3 x dx
2 0 cos x
2 0 cos x
4
4
4
Cách trình bày 2: I 2
dx
1 d cos x 1
1
tan x 4
1
2
(tan x 1)d (tan x 1)
2 0 cos x
2 0 cos x
20
4
4
(tan x 1)2
2 2
4
0
1
2 2
1
Bài 2: Tính các tích phân sau:
V y I2
1) I1
e
e e
e
0
0
Hocmai.vn – Ngôi tr
1
ng chung c a h c trò Vi t
1
2
T ng đài t v n: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -
Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)
Nguyên hàm – Tích phân
1
x2 1
1 1 3 1
1
Bài 3: Tính các tích phân sau:
3
2) I 2 x x 1.dx
1) I1 (4 x 1)(2 x 1) dx
5
0
0
Gi i:
1
1) I1 (4 x 1)(2 x 1)5 dx
0
1
1
0
3
0
0
3
1
2
x 1.dx ( x 1) ( x 1) 2 .d ( x 1)
0
3
Cách 1: I 2 x x 1.dx x 1 1
5
3
2
2( x 1)
2( x 1) 2
5
3
5 3x
( x2 5 x 6) ( x2 2 x 1)
1
1
1) I1 2
2
dx
dx 2
dx
2
2
2
( x 5 x 6)( x 2 x 1)
( x 5 x 6)( x 2 x 1)
x 2 x 1 x 5x 6
1
1
1
0
0
0
dx
( x 2) ( x 3)
dx
2
0
1
0
1
9
ln
2
8
1
9
ln
2
8
2) I 2 min x; 3 2 x .dx
0
+) Xét x 3 2 x x3 2 x x3 x 2 0 ( x 1)( x2 x 2) 0 x 1
3
2
1
2
1
2
0
1
0
1
Nguyên hàm – Tích phân
1
Khi đó I 2 min x; 3 2 x .dx xdx 3 2 xdx xdx (2 x) 3 d (2 x)
0
2
1
2) I 2
1) I1
Bài 5: Tính các tích phân sau:
Gi i:
2x 5
1 ( x2 5 x 6) ( x2 5 x 4)
1) I1 2
.(2 x 5)dx
dx
( x 5 x 4)( x2 5 x 6)
2 0 ( x2 5 x 4)( x2 5x 6)
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1 d ( x2 5 x 4)
d ( x2 5 x 6)
2
1 5
. V y I1 ln
2 4
dx
1 x 1
.
2
( x 1)
2 0 x 1
1
1
x 1
x 1
.
d
x 1 2.2014 x 1
2013
2014 1
0
0
2
x sin x
1
dx
2 2
cos x
2
2
0
2
sin x
1
dx2
2 2
cos x
2
1
1
2
3
2
1
5
2 2
64
( x 3x) x 3x.(2 x 3)dx ( x 3x) d ( x 3x) ( x 3x) 2
5
5
0
0
0
2
2
ln 2
1) I1
Bài 7: Tính các tích phân sau:
e
dx
x
e 1
ln 2
0
Hocmai.vn – Ngôi tr
e xdx
e x (e x 1)
ln 2
0
de x
e x (e x 1)
ng chung c a h c trò Vi t
ln 2
x
2
dx
2) I 2
x
1
2sin
sin 2 x
sin
0
2
Nguyên hàm – Tích phân
x
x
x
0
0
d cos
sin
x
2
2
0
2
x
d cos
1
1 2
2 4
2
x
x
cos 2 2 cos
2 4
2 4
2
V y I1
1 2
2
Bài 8. Tính các tích phân sau:
dx
( x 1)( x2 2 x)
2
3
I4
2
2
5) I 5
1
2
dx
6) I 6
x2 3
1
dx
x2 . x2 3
7)
4
tan x
dx
sin 2 x 2 cos 2 x
0
10) I10
4
Gi i:
ex
de x
1 1
1 x 1 ex 1
1) I1 2 x dx x
de ln x
e 1
(e 1)(e x 1) 2 ln2 e x 1 e x 1
2 e 1
ln 2
ln 2
ln 3
e
e
2
2
2
0
0
3) I 3 sin x cos 2 2 xdx sin x.(2cos 2 x 1) 2 dx (4cos 4 x 2cos 2 x 1)d cos x
0
2
4
2 17
cos5 x cos3 x cos x
x
x
2 2
( x x 2)( x2 x) 2 x2 x 2 x2 x
x2 x
2
3
Hocmai.vn – Ngôi tr
3
ng chung c a h c trò Vi t
T ng đài t v n: 1900 58-58-12
3
ln
2
5
4
- Trang | 4 -
d x x2 3
x x2 3
1
ln x
2
x2 3
2
ln
1
3
d 1 2
dx
dx
1
1
3
x
3
4 7
6
1
(sin 6 x cos6 x)sin 4 x
dx
sin 4 x cos 4 x
0
4
7) I 7
1 2
1 cos 4 x 3 cos 4 x
4
4
sin x cos x 1 2 sin 2 x 1
4
4
+) Ta có
sin 6 x cos6 x 1 3 sin 2 2 x 1 3(1 cos 4 x) 5 3cos 4 x
4
4
3
1 4 d (3 cos 4 x)
3
.
cos
4
cos
4
d
x
d
x
8 0 3 cos 4 x
8 0
2 0 3 cos 4 x
4
4
1
x sin x
2
4
4
4
2
2
d ( x sin x)
1 cos x
dx x 2
ln x sin x
4
ln
2 4
2 2
4
ln
2 4
2 2
1
1
0
0
1
9) I 9 x( x 1)2015 dx ( x 1 1)( x 1) 2015 dx ( x 1) 2016 ( x 1) 2015 d ( x 1)
0
1
Nguyên hàm – Tích phân
4
tan x
14
tan x
1 4 tan x
dx
10) I10
.
dx
dx
2
2
sin 2 x 2cos x
2 0 sin x cos x cos x
2 0 tan x 2 cos 2 x
0
Bài 9. Tính các tích phân sau v i k 1;5 (có 40 câu tích phân trong bài này) :
2
2
4
A sin k xdx
B cos k xdx
0
2
D cot k xdx
C tan k xdx
0
F
3
3
1
dx
tan k x
H
1
dx
cot k x
4
6
Gi i:
*) V i k = 1 . Ta có:
2
cos x
0
0
2
2
+) C1 tan xdx
+) D1 cot xdx
4
4
4
0
ln
2 1
2
+) E1
1
dx
sin x
3
2
2
Cách 1: E1
2
1
sin x
sin x
dx 2 dx
dx .
3
Hocmai.vn – Ngôi tr
2
1
ln 3
2
3
3
ng chung c a h c trò Vi t
T ng đài t v n: 1900 58-58-12
- Trang | 6 -
Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)
dx
dx
cos 2
2 sin
2 cos
2 d cos
2 d sin
1
1
2
2 dx
2 x 2 2x x2 x2
x
x
2
2sin cos
cos
sin
cos
sin
3
3
3
3
2
2
2
2
2
2
1
ln 3
2
3
x
2 d tan
1
1
dx
2 ln tan x
dx
dx
Cách 3: E1
x
x
x
x
x
2
sin x
d sin x ln
2 0 (1 sin x)(1 sin x) 2 0 1 sin x 1 sin x
2 1 sin x
6
4
6
6
6
3
3
ln 2
2
6
3
1
sin x
d cos x
dx tan xdx
dx
ln cos x
cot x
cos
cos
x
x
4
1
ln 3
2
6
1
cos x
cos x
+) F1
dx
dx
dx ( tính t
2
cos x
cos x
1 sin 2 x
0
0
0
4
3
2
2
4
0
2
12
1
1
2
+) B2 cos 2 xdx (1 cos 2 x)dx x sin 2 x
4
20
2
2
0
0
2
4
1
+) D2 cot 2 xdx 2 1 dx cot x x 2
4
sin x
4
2
4
4
2
+) E2
1
3
2
dx
cot
x
2
0
cos x
3
0
6
+) F2
4
4
1
1
2
4
dx
cot
xdx
1
dx
cot
6
3
3
1
1
2
dx
tan
xdx
1
dx
tan
x
x
+) H 2
cos3 x 2 2
3
2
2
+) A3 sin xdx sin x.sin xdx (1 cos x)d cos x cos x
3
0 3
0
0
0
2
2
2
tan x
3
3
2
+) C3 tan xdx tan x tan x tan x dx tan x(1 tan x) tan x dx 2 tan x dx
cos x
0
0
0
0
4
4
4
4
4
tan x
tan 2 x 4
tr
c đó v i k = 1 )
cot x
+) D3 cot 3 xdx cot x cot 3 x cot x dx cot x(1 cot 2 x) cot x dx 2 cot x dx
sin x
2
2
4
4
4
4
4
1
(các b n có th xem l i cách tính D1 ln 2 đã tính
2
2
2
+) E3
tr
c đó v i k = 1 )
2
1
sin x
sin x
1
1 2 (1 t ) (1 t ) dt 1 2 (1 t ) 2 (1 t ) 2 2(1 t ).(1 t )
dt
dt
Khi đó E3
(1 t 2 )2 4 0 (1 t ) 2 .(1 t ) 2
40
(1 t ) 2 .(1 t ) 2
0
Hocmai.vn – Ngôi tr
2
ng chung c a h c trò Vi t
T ng đài t v n: 1900 58-58-12
- Trang | 8 -
Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)
1
Nguyên hàm – Tích phân
1
1 1
1
1 t 2 1
ln
ln 3
3
4 1 t 1 t
1 t 0 4
6
6
6
1
cos x
cos x
F
dx
dx
dx
6
thì t : 0
1
2
1
2
1 (1 t ) (1 t ) dt 1 (1 t ) 2 (1 t ) 2 2(1 t ).(1 t )
dt
dt
(1 t 2 )2 4 0 (1 t )2 .(1 t ) 2
40
(1 t ) 2 .(1 t ) 2
0
Khi đó F3
2
1
2
1
1 t 2 1
1
ln
ln 3
4 1 t 1 t
1 t 0 4
3
4
4
4
1
3
3
cot x(1 cot 2 x) cot x dx
dx
cot
xdx
cot
x
3
3
3
+) H 3
3
1
3
3
tan x(1 tan 2 x) tan x dx
dx
tan
3
tan x
sin x
d cos x
tan x sin x
2
dx
dx
dx
tan
xd
tan
x
2
ln cos x 1 ln 2
2
2
4
*) V i k = 4 . Ta có:
1
1
1 cos 4 x
1 cos 2 x
4
2
+) A4 sin xdx
dx 1 2cos 2 x cos 2 x dx 1 2cos 2 x
dx
2
40
4 0
2
ng chung c a h c trò Vi t
T ng đài t v n: 1900 58-58-12
- Trang | 9 -
Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)
Nguyên hàm – Tích phân
12
1 2
1 cos 4 x
1 cos 2 x
2
+) B4 cos 4 xdx
1
1 23
1
13
1
2 3
2cos 2 x cos 4 x dx x sin 2 x sin 4 x
16
4 02
2
42
8
0
4
tan 2 x
4
2
4
1 4 3 8
2
2
tan
tan
tan
dx
xdx
xd
x
C
C2
2
2
cos x
3 0
3
4
12
0
0
0
2
2
4
4
4
4
2
2
cot 2 x
cot 3 x 2
1 4 3 8
2 dx cot 2 xdx cot 2 xd cot x D2
D2
12
3
2
1
1
1
cot 3 x 2 10 3
+) E4 4 dx 2 . 2 dx 1 cot 2 x .d cot x cot x
3
27
sin x
sin x sin x
2
2
3
3
3
3
+) F4
0 cos2 x cos2 x 0
cos 4 x
3 0
27
0
6
6
4
1
4
2
4
2
dx cot xdx cot x cot x cot x dx cot 2 x(1 cot 2 x) cot 2 x dx
4
cot x
cot x
1
2
2
2
2 cot x dx 2 dx cot xdx cot xd cot x 2 1 dx
sin x
sin x
sin x
4
2
4
6
2
6
4
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)
Nguyên hàm – Tích phân
3
3
3
3
1
4
2
4
2
tan 2 x(1 tan 2 x) tan 2 x dx
dx
tan
xdx
3
3
3
3
tan 2 x
tan 2 x
1
2
2
dx
tan
xdx
tan
xd
tan
x
2 tan 2 x dx
1 dx
12
3
4
*) V i k = 5 . Ta có:
2
2
2
2
0
0
0
0
2
2
2
0
0
0
0
5
4
2
2
2
4
+) B5 cos xdx cos x.cos xdx (1 sin x) .cos xdx (1 2sin x sin x).d sin x
2
1
2
8
0
0
4
4
4
4
1 1 1
tan x
tan 4 x 4
1
1
3
3
tan
tan
tan
dx
xdx
xd
ln 2 đã tính
2 2
tr
c đó v i k = 3)
2
cot 3 x
+) D5 cot 5 xdx cot 3 x cot 5 x cot 3 x dx cot 3 x(1 cot 2 x) cot 3 x dx 2 cot 3 x dx
sin x
2
2
4
4
cot
cot
cot
dx
xdx
xd
x
D
D3 ln 2 ln 2
3
2
4
4 2 2
sin x
4
2
4
4
2
2
2
1
sin x
sin x
dx
+) E5 5 dx 6 dx
2
3
sin x
sin x
(1 cos x)
3
3
3
t t cos x dt sin xdx và x :
3
2
1 1
1 1
1
6
1
3 (1 t ) (1 t )
.
8 (1 t )3 (1 t )3 (1 t ) 2 .(1 t ) 2 8 (1 t )3 (1 t )3 2 (1 t ) 2 .(1 t ) 2
1 1
1
3 (1 t ) 2 (1 t ) 2 2(1 t ).(1 t )
.
8 (1 t )3 (1 t )3 2
(1 t )2 .(1 t )2
1 1
1
3 1
1
Suy ra E5
1
2
1 1
1
3 1
1
1
1
dt
3
3
2
2
8 0 (1 t ) (1 t ) 2 (1 t ) (1 t ) 1 t 1 t
1
2
1 1
1
3 1
dx
dx
5
6
cos x
cos x
(1 sin 2 x)3
0
0
0
+) F5
t t sin x dt cos xdx và t : 0
1
2
.
1
2
1 3
dt
ln 3 (các b n xem cách tính E5
3
tan 3 x(1 tan 2 x) tan 3 x dx
dx
tan
xdx
tan
x
tan
x
tan
x
dx
5
cot x
4
3
2
3
cot x
cos x
cos x
cot x
4
Hocmai.vn – Ngôi tr
4
ng chung c a h c trò Vi t
4
4
T ng đài t v n: 1900 58-58-12
- Trang | 12 -
Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)
2
2
dx
1 cos x
0
1) I1
2) I 2
0
2
dx
2 cos x
dx
1 sin x
0
3) I 3
cos6 x
dx
7) I 7
4
sin x
2
4
Gi i:
2
2
2
x
dx
dx
x2
2
t t tan
và x : 0 thì t : 0 1
2
2 cos x
2
2
1 t
0
cos x
2
1 t
2dt
3
1
1
2
du 3(1 tan 2 u )du
2dt
dt
t
1
2
3
tan
t
u
2 3(1 tan 2 u )du 2 3 6
2 3 6
du
u
Khi đó I 2
3(1 tan 2 u )
3 0
3 0
0
6
3
9
2dt
dx
x
1 t2
CHÚ Ý: Khi đ t t tan
2
2t
1 t2
sin x
; cos x
1 t2
sin cos
2 4
2
2
1
1
1
( ho c bi n đ i
)
1 sin x
2 x
1 cos x 2sin
2
2 4
2
2
Hocmai.vn – Ngôi tr
ng chung c a h c trò Vi t
T ng đài t v n: 1900 58-58-12
13
4
sin10 x sin 6 x sin 4 xdx cos10 x cos 6 x cos 4 x
40
4 10
6
4
0 120
5) I 5 (1 2sin 2 x) sin 6 x cos 6 x dx
4
0
1 2sin 2 x cos 2 x
Ta có: 6
3 2
6
2
2
3
2
2
2
2
sin x cos x (sin x cos x) 3sin x.cos x(sin x cos x) 1 sin 2 x
4
3
3
x
x
x
x 1
x3 1
6) I 6 sin cos dx 2 sin 3 d sin sin 4
2
2
2
2 2
20 4
0
0
3
2
cos x
cos x.(1 sin x)
cos 2 x.(sin 4 x 2sin 2 x 1)
dx
2
2
cot x
dx
1 cos 2 x
1
2
cos x 2 cot x 2 dx
2 2 1 dx cot 2 x. 2
sin x
2
sin x
sin x
2
2
2
4
4
8 12
2
4
Bài 11. Tính các tích phân sau:
cos x sin x
1) I1
dx
1 sin 2 x
0
3
4
3) I 3
3
4
2) I 2
0
0
4
Gi i:
4
4
cos x sin x
d (sin x cos x)
1
2
dx
1
1) I1
2
1 sin 2 x
(sin x cos x)
sin x cos x 0
2
0
0
4
k
dx v i k 1;3
Cách trình bày 1:
3
3
Ta có: I 2
0
sin x
3 sin x cos x
k
dx
0
3
1
sin x cos x
2
6 2
6
dx
k
sin x
6
dx
3
3 cos x
1
3dx
6
2 0
sin k 1 x
sin k x
6
6
+) V i k 3
3
3
3
sin
d
x
6
32
sin 2 x
sin 3 x
32sin 2 x
6
6
6 0
+) V i k 2
d sin x
dx
3
1
3
1
6
sin x
sin x
3
dx
6
6
dx
dx
*) Ta có: A
0 2
2
0 sin x
0
sin x
1 cos x
6
6
6
1
1
1
d cos x
2 0
6
1 cos x 6 1 cos x 6
3
Hocmai.vn – Ngôi tr
ng chung c a h c trò Vi t
32
(2)
0
3
3 d sin x
1
6
*) Ta có: B
1
0 sin 2 x
sin x
3
1
3
1
3
3 1
6
ln
sin
I2
dx
x
x
ln 2
4
4 0
40
3
3
Ta có: I 2
sin x
k
dx v i k 1;3
sin x
dx
k
dx
t t x dt dx và x : 0 thì t :
6
3
6
2
3
1
sin t cos t
2 sin t
2
1
1 2 3 sin t cos t
6 dt 1
2
2
dt
Khi đó I 2 k
dt
2 sin k t
2k
sin k t
2k 1 sin k t sin k t
6
+) V i k 2 I 2
1
8
2
6
3t ln sin t
2
3 1
ln 2
12 4
1 2
ln
16
1
cos
t
8sin
t
3 ln
3 2 1
8
6
Hocmai.vn – Ngôi tr
ng chung c a h c trò Vi t
3
2
16 sin t sin t
16 sin t sin t 16
2sin t 32
6
6
6
6
2
3) I 3
3
4
dx
2 sin x cos x
4
3
4
dx
3
4
4
1
dx
1 cos x 2 2
4
3
4
4
dx
x
sin 2
2 8
x
2
2
1
cos 4 x cos 2 x cos 2 x.cos 4 x cos 2 2 x
4
1
cos 6 x cos 2 x 1 cos 4 x cos 6 x 3cos 4 x 3cos 2 x 1
cos 4 x cos 2 x
4
2
2
8
1
1 sin 6 x 3sin 4 x 3sin 2 x
I 4 (cos 6 x 3cos 4 x 3cos 2 x 1)dx
cos 2 x sin 2 2 x cos 2 x cos 2 x(1 sin 2 2 x) cos3 2 x
Khi đó:
1
1 cos 4 x
2
I 5 cos 2 x.cos 2 xdx cos 2 xdx
dx 1 2cos 4 x cos 4 x dx
2
40
0
0
0
4
4
3
Hocmai.vn – Ngôi tr
4
T ng đài t v n: 1900 58-58-12
- Trang | 18 -
Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
5 L I ÍCH C A H C TR C TUY N
Ng i h c t i nhà v i giáo viên n i ti ng.
Ch đ ng l a ch n ch ng trình h c phù h p v i m c tiêu và n ng l c.
H c m i lúc, m i n i.
Ti t ki m th i gian đi l i.
Chi phí ch b ng 20% so v i h c tr c ti p t i các trung tâm.
4 LÍ DO NÊN H C T I HOCMAI.VN
Ch
ng trình h c đ c xây d ng b i các chuyên gia giáo d c uy tín nh t.
i ng giáo viên hàng đ u Vi t Nam.
ôn nh m t i u đi m s d a
trên h c l c t i th i đi m
tr c kì thi THPT qu c gia
1, 2 tháng.
-
Copyright: Tài liệu đại học ©