Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)
Nguyên hàm – Tích phân
TÍCH PHÂN CH A D U GIÁ TR TUY T
I
ÁP ÁN BÀI T P T LUY N
Giáo viên: NGUY N THANH TÙNG
ây là tài li u tóm l c các ki n th c đi kèm v i bài gi ng Tích phân ch a d u giá tr tuy t đ i thu c khóa h c Luy n
thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Nguy n Thanh Tùng) t i website Hocmai.vn.
có th n m v ng ki n th c
ph n này, b n c n k t h p xem tài li u cùng v i bài gi ng này.
Bài 1. Tính các tích phân sau:
2
1) I1
x
2
xdx
(D – 2003)
2) I 2
4) I 4
5
1
6) I 6
2 x dx
1
Gi i
2
1) I1
x
xdx (D – 2003)
2
0
Ta xét d u f ( x) x2 x trên 0; 2 :
Cách 1:
1
2
2
1
2
2
2
2
V y I1 1
Cách 2: Xét ph
2
I1
0
x 0
ng trình x2 x 0
. Khi đó ta có:
x 1
1
2
Hocmai.vn – Ngôi tr
ng chung c a h c trò Vi t
T ng đài t v n: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -
Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)
1
0
1
2
1
0
Nguyên hàm – Tích phân
x 1 x dx x 1 x dx x 1 x dx
I2
1
1
1
1
0
1
2
2
2
2
1
2
0
x 1 x dx x 1dx xdx x 1dx x 1dx xdx xdx
1
x2
22 0
2 0 2
2
2
V y I2 0
5
3) I 3
x 2 x 2 dx
3
Cách 1: Ta có b ng b tr tuy t đ i:
( Ngh a là : v i x[ 3; 2] thì x 2 x 2 4 ; v i x[ 2; 2] thì x 2 x 2 2 x …)
2
2
5
3
2
x 2 x 2 dx
3
5
3
5
2
3
3
x 2 dx x 2 dx
5
5
2
x 2 dx x 2 dx x 2 dx x 2 dx
2
2
1 49 25 9
2x 2x 2x 2x 8
2 2
2
3 2
2 2
3 2
2 2 2
V y I3 8
e
4) I 4
1
e
1
e
1
e
1
e
ln x
ln x
ln x
Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)
1
Nguyên hàm – Tích phân
e
ln 2 x
ln 2 x
1 . V y I4 1
2 1
2 1
e
1
5) I 5
x
4
1
x dx
x x 12 1 x x 12 0 x x 12
x x 12 0 x x2 12
1
1
Ta có: I 5
t t x2 dt 2 xdx ;
i c n x : 1 0 thì t :1 0 và x : 0 1 thì t : 0 1
2 3
ln
7 4
V y I5 =
1
6) I 6
2 x dx
1
0
1
0
2 2 1
(2 x) 2 x (2 x) 2 x
3
3
3
1
0
2 2 1
3
Chú ý : Các b n ph i ch ng minh n u mu n s d ng hai tính ch t sau :
V y I6
+ ) N u hàm s
f ( x) ch n ( f ( x) f ( x) ) thì
f ( x)dx 2 f ( x)dx ( tách và đ t x t )
0
2
4) I 4 1 1 cos 2 x sin 2 xdx
sin x dx
x3 2 x2 xdx
0
3) I 3
2
5) I 5
e x e x 2dx
1
2
6
e2
1 1 2ln x ln 2 x
dx
9) I 9
x
1
10) I10 2 x2 (1 cos 2 x)dx
0
Gi i
Hocmai.vn – Ngôi tr
ng chung c a h c trò Vi t
T ng đài t v n: 1900 58-58-12
x x x2 x x2 x x x
. V y I2
15
15
5
3
3
0 5
1
4) I 4 1 1 cos 2 x sin 2 xdx
0
1
1
1
+) Tính B cos x sin 2 xdx cos x sin 2 xdx cos x sin 2 xdx sin 2 xd sin x sin 2 xd sin x
0
2
2
sin 3 x 2 sin 3 x
2
(2)
3 0
3 3
2
+) Thay (1) và (2) vào (*) ta đ
Hocmai.vn – Ngôi tr
c: I 4
2
x
x
x
x
x
x
x
Ta có: 1 sin x sin cos 2 2sin cos sin cos sin cos 2 sin
2
2
2
2
2
2
2
2
2 4
2
2
x
x 5
V i x 0; 2 0; ; . D a vào đ
2
2 4 4 4
ng tròn đ n v :
3
tan 2 x cot 2 x 2dx
6
Ta có:
Vì
6
tan 2 x cot 2 x 2 (tan x cot x)2 tan x cot x
x
3
3
Hocmai.vn – Ngôi tr
3 2
cos 2 x 0
sin 2 x 0
2
*) 2 x ; thì
hay
2 3
cos 2 x 0
V y I 6 2 ln
cos 2 x
0 khi x ;
sin 2 x
6 4
cos 2 x
0 khi x ;
sin 2 x
4 3
2
3
1
2
7) I 7
1
1
(3x 1)dx ( x 1)dx ( x 1)dx x2 x x2 x x2 x 6
2
2 2
1 2
1
2
1
1
1
2
V y I7 6
2
8) I8 e e 2dx
x
x
1
2
2
x
2x
2
2
2
e
e
e
e
0 , x 1;0
Cách 1: Do x
x
x
x
e 2 e 2 e 2 e 2 0 , x 0;1
0
2
2
x x
x x
x x
0 x 0 1; 2
0
2
1
2x 2x
2x 2x
2x 2x
2x 2x
+) Khi đó I8 e e dx e e dx 2 e e 2 e e
1
0
0
1
0
1
1
2 e e
4
e
e
1
1
e2
1 (1 ln x)
1 (1 ln x)
ln x
2 ln x
dx
dx
dx
dx
+) Do đó I 9
x
x
x
x
1
1
e
e
Hocmai.vn – Ngôi tr
ng chung c a h c trò Vi t
T ng đài t v n: 1900 58-58-12
- Trang | 6 -
Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)
0
0
+) Ta có I10 2 x2 (1 cos 2 x)dx
+)
2
2
2
4 x cos xdx 2 x cos xdx 2 x cos xdx x cos xdx
0
0
2
u x
du dx
t
2
2
2
Bài 3. Tính các tích phân sau:
3
1) I1
ln 3
2) I 2 1 sin 2 xdx
x 2 dx
3
3) I 3
e2 x e x1 dx
0
0
2
3
x2
x2
2 x 2 x 13 . V y I1 13
2
3 2
2
0
0
2
0
0
1
+) Khi đó I 3 e2 x e x1 dx
ln 3
0
1
1
e2 x e x1 dx e2 x e x1 dx
1
0
ln 3
e
2x
e x1 dx
2) I 2
x 1 x x 2 dx
1
4 x 4 x 1 ln x
dx
x2
2
ng chung c a h c trò Vi t
3
4) I 4
0
x2 3x 2
x 1
T ng đài t v n: 1900 58-58-12
dx
- Trang | 7 -
Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
7) I 7
Nguyên hàm – Tích phân
ln
2
1 e x 1 dx
2
3
2
10) I10 min x4 x; x 1dx
9) I 9 x ln 1 x dx
2
1
0
Gi i
4
1) I1
1
3
x2 4 x 3 dx ( x2 4 x 3)dx ( x2 4 x 3)dx ( x2 4 x 3)dx
1
3
4
x3
x3
x3
4 4 62
2 x2 3x 2 x2 3x 2 x2 3x 18
3 3 3
3
2 3
1 3
3
62
3
Cách trình bày 2:
+) V y I1
3
4
x3
x3
x3
4 4 62
2 x2 3x 2 x2 3x 2 x2 3x 18
3 3
3
3
2 3
1 3
3
+) V y I1
62
3
2
2) I 2
x 1 x x 2 dx
2
2
1 2
1
1
1
1
+) V y I 2
2
7
2
2
2
2
2 x 1 ln x
2x 1
4 x2 4 x 1 ln x
ln x
dx
dx
dx
dx A B (*)
2
2x 1
1
1
2 1
dx 2 dx 2 dx 2ln x 2ln 2
x
x x
x1
2
1
1
2
2
(1)
2
ln x
dx
x2
1
+) Tính B
dx
4) I 4
0
x2 3x 2
x 1
dx
+) L p b ng xét d u
1
+) Khi đó I 4
0
x2 3x 2
x 1
x 1
trên 0;3 v i chú ý x2 3x 2 0
và x 1 0 . Nên ta có:
x 2
x2 3x 2
x2 3x 2
x2 3x 2
dx
dx
dx
2
1
3
2
3
x2
x2
x2
4 x 6ln x 1 4 x 6ln x 1 4 x 6ln x 1
2
0 2
1 2
2
Hocmai.vn – Ngôi tr
ng chung c a h c trò Vi t
T ng đài t v n: 1900 58-58-12
- Trang | 9 -
Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
I 5 (2 4)dx (2 4)dx
4x
4x
ln 2
0 ln 2
2
0
2
2
3
x
x
3
4
3
4
1
8
4 8
4 4
ln 2
ln 2
ln 2 ln 2
ln 2
+) Xét ph
0
ng trình sin x 0 x 0;2 . Nên ta có:
2
2
0
0
2
0
x
x 4 x
x
1
4
1
9
4
3
3
2 x 4ln x 2 x 6ln . V y I 7 6 ln
1
4
2
2
4
9
+) Khi đó : I 7
4
9
1
1
1 (e x 1)dx 1 (e x 1)dx
0
ng chung c a h c trò Vi t
0
ln
2
3
1
2 e x dx e x dx A B
0
T ng đài t v n: 1900 58-58-12
- Trang | 10 -
Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)
x
2
3
2
3
2
3
2e x
2
t
t
.e dx 2
.tdt 2 2
dt 2 1 2
dt
x
2
2
2
2
e
t
t
t 2 3
ln
2 1
2 2 ln
2
dt 2 t
2 t 2 t 2
2 t 2
3
1
1
1
*) Tính B
0
6 3 2 2
1
1 x
e 1
2
9) I 9 x ln 1 x dx x ln 1 x dx x2 ln 1 x dx A B (*)
2
2
1
1
0
dx
du
u ln(1 x)
1 x
t
2
3
dv x dx
v x
3
0
x ln x 1
3 3 3 2
18
3
1
dx
du
u ln(1 x)
1 x
t
2
3
dv x dx
v x
3
2
+) Tính B x2 ln 1 x dx
0
2
(1)
1 x3
7 2
c: I9 ln 2 3ln 3
6 3
2
10) I10 min x4 x; x 1dx
0
Hocmai.vn – Ngôi tr
ng chung c a h c trò Vi t
T ng đài t v n: 1900 58-58-12
- Trang | 11 -
Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)
Nguyên hàm – Tích phân
x 1 0; 2
+) Xét hi u h( x) x4 x x 1 x4 1 0
nên ta có b ng d u cho h( x) :
x 1 0; 2
1
+) Ta có: 1 3 sin 2 x 2cos2 x sin 2 x 2 3 sin x cos x 3cos 2 x sin x 3 cos x
2
2
1
3
cos x 4sin 2 x
2 sin x
2
3
2
1 3 sin 2 x 2cos 2 x 2sin x
3
3
3
2
3
2
2 cos x 2 cos x 3 3
3 0
3
3
+) V y I 3 3
Bài 6. Tính các tích phân :
2
1) I1 max x3 ; 2 xdx
2
2) I 2 max sin x;cos x dx
0
1) I1 max x3 ; 2 xdx
0
+) Xét h( x) x3 (2 x) x3 x 2 ( x 1)( x2 x 2) 0 x 1 .
Khi đó ta có b ng d u c a h( x)
Hocmai.vn – Ngôi tr
ng chung c a h c trò Vi t
T ng đài t v n: 1900 58-58-12
- Trang | 12 -
Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)
1
Nguyên hàm – Tích phân
2
21
x2
x4
+) Suy ra : I1 (2 x)dx x dx 2 x
+) B
+ ) N u h( x) 0 v i x D1 ; suy ra max f ( x); g ( x) f ( x) và min f ( x); g ( x) g ( x)
+ ) N u h( x) 0 v i x D2 ; suy ra max f ( x); g ( x) g ( x) và min f ( x); g ( x) f ( x)
c 2: Sau khi suy ra max f ( x); g ( x) (ho c min f ( x); g ( x) ) t b
+) B
c 1, ngh a là xác đ nh
chính
xác đ
Chú ý:
Th
c bi u th c trong d u tính phân . Ph n ti p theo ta đi tính tích phân v a t o ra.
ng thì D1 D2 ; v i D1 ; x0 , D2 x0 ; và h( x0 ) 0 khi đó ta s tách thành
hai tích phân b ng vi c áp d ng tính ch t :
x0
Ta có b ng d u c a h( x) :
Hocmai.vn – Ngôi tr
ng chung c a h c trò Vi t
T ng đài t v n: 1900 58-58-12
- Trang | 13 -
Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)
4
2
0
Nguyên hàm – Tích phân
x
9
Ta có b ng d u c a h( x) :
4
9
3
4
4
+) Khi đó I 3 (3x 10)dx
3
9
3x2
2x x
79
xdx
10 x
1
2
2
x 2dx x dx x 2dx
2( x 2) x 2
3
1
2
2 0
x
2
1
2 2
x
2
3
6
2
20 5 13
6
m
Bài 7. Cho tích phân I min
x; x dx v i m 1 . Tìm m đ I
0
31
6
Gi i
Hocmai.vn – Ngôi tr
ng chung c a h c trò Vi t
T ng đài t v n: 1900 58-58-12
- Trang | 14 -
x2
2x x
1 2m m 2
xdx xdx x dx
2 0
3 1 2
3
0
1
1
m
1
2
31
1 2m m 2 31
m m 8 m 4
6
2
3
6
+) V y giá tr m c n tìm là m 4 .
+) Khi đó I
4 LÍ DO NÊN H C T I HOCMAI.VN
Ch
ng trình h c đ c xây d ng b i các chuyên gia giáo d c uy tín nh t.
i ng giáo viên hàng đ u Vi t Nam.
Thành tích n t ng nh t: đã có h n 300 th khoa, á khoa và h n 10.000 tân sinh viên.
Cam k t t v n h c t p trong su t quá trình h c.
CÁC CH
NG TRÌNH H C CÓ TH H U ÍCH CHO B N
Là các khoá h c trang b toàn
b ki n th c c b n theo
ch ng trình sách giáo khoa
(l p 10, 11, 12). T p trung
vào m t s ki n th c tr ng
tâm c a kì thi THPT qu c gia.
T ng đài t v n: 1900 58-58-12
Là các khóa h c trang b toàn
di n ki n th c theo c u trúc c a
kì thi THPT qu c gia. Phù h p
Copyright: Tài liệu đại học ©