CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

Sáng kiến kinh nghiệm:
"MỘT SỐ BIỆN PHÁP NHẰM NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG
BỒI DƯỠNG TUYẾN 2 HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN
LỚP 8, 9 Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ ".

Quảng Bình, tháng 5 năm 2015.
1


CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

Sáng kiến kinh nghiệm:
"MỘT SỐ BIỆN PHÁP NHẰM NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG
BỒI DƯỠNG TUYẾN 2 HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN
LỚP 8, 9 Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ ".

Họ và tên: Phan Thúc Bảy
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị công tác: Trường THCS Sơn Thủy

Quảng Bình, tháng 5 năm 2015.

2


1. PHẦN MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài.

compa, êke, thước thẳng, thước đo độ... nên ảnh hưởng đến việc bồi dưỡng của các
em.
* Kết quả thi Giải toán qua mạng lớp 9:
- Năm học 2009 - 2010: Cấp huyện:
Giải cá nhân: Giải nhất: 2 giải; Giải nhì: 1 giải.
Giải đồng đội: Thứ nhất toàn huyện.
Không có học sinh nào dự thi cấp tỉnh.
- Năm học 2010 - 2011: Cấp huyện:
Giải cá nhân: Giải ba: 1 giải; Giải KK: 1 giải.
Giải đồng đội: Thứ ba toàn huyện.
Không có học sinh nào dự thi cấp tỉnh.
- Năm học 2011 - 2012: Cấp huyện:
Giải cá nhân: Giải ba: 2 giải.
Giải đồng đội: Thứ nhì toàn huyện.
Cấp Tỉnh: Giải cá nhân: Giải ba: 1giải. Giải nhì 1 giải.
Có 1 HS dự thi cấp quốc gia không đạt giải
- Năm học 2012 - 2013: Cấp huyện:
Giải cá nhân: Giải nhì: 1giải; giải ba: 1 giải
Giải đồng đội: Thứ nhất toàn huyện.
Cấp Tỉnh: Giải cá nhân: Giải nhì: 1giải.
Có 1 HS dự thi cấp Quốc gia đạt Huy chương Đồng.
- Năm học 2013 - 2014: Cấp huyện:
Giải cá nhân: Giải ba: 1giải; giải KK: 1 giải
Giải đồng đội: Khuyến khích (thứ 7 toàn huyện).
Không có học sinh nào dự thi cấp tỉnh.

* Về học sinh giỏi toán môn toán lớp 9:
- Năm học 2009 - 2010: Trường có 5 em được chọn tham gia bồi dưỡng HSG lớp 8
tại trường điểm huyện.
6

đường lối giải. Ngay từ khi phòng giáo dục tuyển chọn đội tuyển từ kết quả thi học
sinh giỏi lớp 7 giáo viên được phân công bồi dưỡng tuyến 2 phải nắm bắt được
tình hình học tập, chất lượng đội tuyển của trường mình tại điểm bồi dưỡng. Từ đó
liên hệ với giáo viên tuyến 1 để nắm chương trình khung và kế hoạch bồi dưỡng
của giáo viên tuyến 1, tham gia góp ý nội dung chương trình bồi dưỡng tuyến 1.
Rồi xây dựng được chương trình bồi dưỡng tuyến 2. Sưu tầm tài liệu và lựa chọn
phương pháp bồi dưỡng cho phù hợp với từng đối tượng học sinh.
7


- Người thầy giáo hơn ai hết cần phải tự học và biết khiêm tốn học hỏi kinh
nghiệm của đồng nghiệp tạo cho mình vốn kiến thức chắc chắn, gây niềm tin đối
với học sinh.
- Việc bồi dưỡng học sinh giỏi tuyến 2 lớp 8, 9 quả thật là vất vả bởi nó đúc
kết toàn bộ các kiến thức của cả cấp học, có sự liên kết giữa các phân môn đại số,
số học và hình học. Chính vì vậy, người thầy giáo khi lên lớp không nên chỉ ra cho
học sinh hàng loạt bài tập khó và xa lạ buộc các em phải làm bằng được trong khi
các em chưa có cơ sở lý luận, mà trước tiên phải xây dựng cho học sinh vốn kiến
thức cơ bản và nâng cao theo từng chuyên đề, có phương pháp giải đối với từng
loại bài tập, từ đó cho học sinh vận dụng giải toán từ đơn giản đến khó dần. Có như
vậy học sinh mới không cảm thấy sợ hay chán nản vì bài quá khó hoặc quá dễ.
Ví dụ: Khi dạy bổ sung chuyên đề "Bất đẳng thức" mà giáo viên tuyến 1 đã
cung cấp, tôi tiếp tục cho các em ôn lại các kiến thức cơ bản về Bất đẳng thức như
định nghĩa, tính chất cơ bản, và một số bất đẳng thức cơ bản thường găp. Sau đó
đưa ra một số dạng bài tập sử dụng các phương pháp chứng minh các bất đẳng
thức đơn giản rồi nâng dần lên các bài tập phức tạp hơn nhằm bổ sung những vấn
đề còn thiếu, còn yếu cho các em. Bổ sung những kiến thức cơ bản rồi thông tin
giáo viên tuyến 1 những vấn đề đã bổ sung.
* Ví dụ: Chứng minh rằng: |a| + |b| ≥ |a + b| ∀a, b.
Giáo viên tuyến 1 đưa ra bài tập hướng dẫn học sinh chứng minh bằng

 y = 3 y + x

(1)

(Toán 9).

(2)

Giáo viên hướng dẫn học sinh phân tích bài toán: Khi thay x cho y, y cho x
thì (1)  (2) và (2)  (1). Đây là hệ phương trình đối xứng loại 2 có dạng tổng
 f ( x, y ) = 0

 f ( y, x) = 0

quát :

Đường lối giải: Lấy hai phương trình trừ vế theo vế cho nhau ta được
phương trình mới, đưa phương trình mới về dạng phương trình tích từ đó giải
phương trình tích để tìm nghiệm của hệ đã cho.
*Ví dụ 2: Giải hệ phương trình

x 3 + y 3 = 9

x + y = 3

(Toán 9).

Đây là hệ phương trình đối xứng loại 1.
Đường lối giải: Đặt u = x + y, v = x.y với điều kiện u2 ≥ 4v
Từ đó sử dụng hệ thức Viét để biến đổi hệ phương trình đã cho về hệ phương trình

thì phương trình (2) được
x

biến đổi trở thành phương trình bậc hai một ẩn, từ đó sữ dụng công thức nghiệm để
giải.
Phương trình (1) là phương trình đối xứng bậc chẵn dạng tổng quát của
phương trình: ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0 (1)
Vì x = 0 không là nghiệm nên chia cả hai vế của phương trình cho x 2 ta
được:
9


ax 2 + bx + c +

d a
1
1
+ 2 = 0 ⇔ a ( x 2 + 2 ) + b( x + ) + c = 0
x x
x
x

Đặt y = x +

1
ta được phương trình bậc hai 1 ẩn:
x

a (y2 – 2) + by + c = 0
 ay2 – 2a + by + c = 0

10


cho cái đặc biệt ta tìm được điểm O có tính chất đặc biệt là từ điểm đó nhìn các
cạnh của ABC bất kì dưới một góc bằng 1200 đó là điều khá bất ngờ, bây giờ rất
dễ dàng chứng minh cho trường hợp tổng quát và đưa về thành bài toán đơn giản
“Trong ABC giả sử có điểm O sao cho: ∠ BOA = ∠ COA = ∠ BOC = 1200 .
Chứng minh: OA + OB + OC < AM + BM + CM với M khác O.
- Việc tìm ra đường lối giải chưa đủ mà người thầy giáo cần phải rèn cho
học sinh nét đặc thù của toán học đó là tính logic và chặt chẽ. Mỗi điều nói, viết ra
sau phải là hệ quả của những điều đã nói, viết và đã được chứng minh tính đúng
đắn của nó.
Chẳng hạn: Khi dạy bồi dưỡng tuyến 2 cho học sinh lớp 8 về chuyên đề "Số
chính phương" câu hỏi rất tự nhiên nảy ra là: Hai chữ số cuối cùng của số chính
phương có thể là những chữ số nào?.
Giả sử : A là số chính phương, tức là có thể biểu diễn A dưới dạng
A = ( 10a + b)2 ở đây a, b là các số nguyên không âm và b ≤ 9
Vì A = 20a (5a + b) + b 2, mà số 20a (5a + b) có hàng đơn vị là 0 còn hàng chục
là số chẳn nên tính chẳn lẽ của hai chữ số tận cùng của A trùng với tính chẳn lẽ của
hai chữ số của số b2. Điểm lại tất cả các giá trị có thể có được của b2: 00; 01; 04;
09; 16; 25; 36; 49; 64; 81 ta rút ra một số kết luận sau.
Tính chất 1: Nếu hàng đơn vị của 1 số chính phương là 6 thì chữ số hàng
chục phải là số lẽ.
Tính chất 2: Nếu hàng đơn vị của 1 số chính phương khác 6 thì chữ số hàng
chục phải là số chẵn.
Tính chất 3: Không có số chính phương nào có tận cùng là hai số lẽ.
Tính chất 4: Nếu hai số cuối cùng của một số chính phương cùng chẵn thì
chữ số hàng đơn vị của số đó chỉ có thể là 0 hoặc 4 sử dụng các tính chất trên ta có
thể giải một cách dễ dàng hàng loạt các bài toán liên quan tới số chính phương xin
nêu ví dụ điển hình.

A=

Áp dụng công thức:
Tổng quát: Tính tổng S ( n ) =

1
1
1
1
+
+
+ ... +
1.2 2.3 3.4
8.9
1
1
1
= −
n(n + 1) n n + 1

tính A dễ dàng.

1
1
1
1
n
+
+ ... +
= 1−


Ví dụ 2: Cho tam giác ABC đều cạnh a, gọi O là trung điểm của BC. Trên
cạnh AB, AC theo thứ tự lấy M, N sao cho góc MON = 600. (Toán 9).
a) Chứng minh

BM .CN =

a2
4

;

b) Gọi I là giao điểm của BN và OM. Chứng minh BM.IN = BI.MN;
c) Chứng minh MN luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.
Phân tích bài toán:
a) Ở phần a là một dạng toán chứng minh hệ thức, chính vì vậy việc hướng
dẫn học sinh tìm lời giải bài toán hết sức quan trọng nhằm phát triển tư duy hình
học ở học sinh.
Chúng ta có thể dùng phương pháp phân tích đi lên để tìm lời giải bài toán.
Với sơ đồ như sau:
a2
BM .CN =
4
⇑
a a
BM .CN = .
2 2
⇑
BM .CN = BO.CO
⇑


Bˆ = Cˆ = 600 (vì ABCđều)

13

C


⇒ BMO đồng dạng CON (g.g), từ đó suy ra

hay BM .CN = BO.CO ; mà BO = CO =

BM CO
=
BO CN

BC a
a2
= do đó BM .CN =
(đpcm)
2
2
4

b) Cũng tương tự như vậy ở phần b) thầy giáo cũng giúp học sinh phát triển
tư duy lôgic, thao tác tư duy phân tích, tổng hợp, đặc biệt là tư duy phân tích đi lên,
một thao tác tư duy đặc trưng của môn hình học. Với sự phân tích như vậy học
sinh sẽ thấy đó chính là sử dụng tính chất đường phân giác của tam giác BMN.
Nghĩa là học sinh cần chỉ ra MI là tia phân giác của góc BMN. Từ đó ta có lời giải
sau:


học sinh chỉ ra yếu tố cố định, yếu tố
nào thay đổi.

H

Ta có lời giải sau:
Từ O kẻ OH, OK theo tứ tự vuông

B

N

K
I

O

C

góc với AB và MN. Do O, AB cố định nên OH cố định. Vậy đường tròn (O;OH)
là đường tròn cố định.
Vì MO là tia phân giác của góc BMN nên OK = OH (t/c đường phân giác)
K∈ (O;OH) (1).
14


Lại có OK ⊥ MN ( cách dựng)

(2)

Chứng minh rằng:
2
a) BM .CN = BC ;

N
V
b) BN ∩ MO = { I } ,
ới
M
cá
Chứng minh BI.MN = IN.BM;
ch
I
c) Khi M, N thay đổi trên AB, AC thì MN
ch
luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.
ứn
g C
B
O
mi
nh
3: Cho tam giác ABC cân ở A, O thuộc cạnh BC đường tròn tâm Ohotiếp xúc
àn
với các cạnh AB, AC của tam giác. Trên AB, AC theo thứ tự lấy hai điểm toà
M, N.
n
BC 2
=
Chứng minh rằng MN là tiếp tuyến của đường tròn (O) ⇔ BM .CN tư

NOC
∠đồng
∠ B;
∠ BOM
∠ ONC;
M
N
trung điểm cạnh BC.
O
P2
BM BO
M = BC (đpcm). N.
⇒
=
⇒
BM
.
CN
BMO
đồng
dạng
CON
(g.g)
(): Giả sử MN là tiếp tuyến (O) tại P.
CO

CN

4



BC 2
.
4

Kết hợp với giả thiết ta suy ra BM.CN' = BM.CN ⇔ CN' = CN.
Mà N', N cùng thuộc cạnh AC do đó N' ≡ N (đpcm).
Chú ý: - Nếu M nằm trong đoạn AB thì N nằm trong đoạn AC.
- Nếu M nằm ngoài đoạn AB thì N cũng nằm ngoài đoạn AC.
4: Cho ∆ ABC cân ở A. Lấy M, N trên cạnh AB, AC sao cho BM .CN =

BC 2
.
4

Tìm vị trí của M, N sao cho ∆ AMN có diện tích lớn nhất.
5: Cho M, M' trên tia AB và tia đối của tia BA; N, N' thuộc tia CA và tia đối
của tia CA. Chứng minh rằng:
1) Nếu MB.NC = M'B.N'C =

BC 2
thì tứ giác MM'N'N ngoại tiếp được một
4

đường tròn;
2) Phân giác tạo bởi MN và MM' đi qua một điểm cố định.
6: 1) Cho tam giác ABC. Dựng hai điểm P, Q thứ tự trên AB và AC sao cho
PQ 2
AP = AQ và BP.CQ =
;

∆ ADP cân tại D (vì AD = DP )
⇒ ∠P2 = ∠DAP

Mặt khác. ∠P1 = ∠DAP ( So le trong vì AD // PI )
Do đó: ∠P1 = ∠P2 ⇒ ∆ APK = ∆ API
(cạnh huyền - góc nhọn) ⇒ PK = PI
Cách giải 2: Hình 2
Gợi ý: - Ngoài cách chứng minh ∆ APK = ∆ API
bằng nhau cách 1 ta chứng minh ∠P1 = ∠P2 .
Ta có thể chứng minh ∠A1 = ∠A2
- Gọi F là giao điểm của AP với đường tròn
đường kính AD
Giải: Ta có: ∠AFD = 90 0
( Góc nội tiếp chắn nữa đường tròn)
Tam giác ADP cân tại D có DF là đường cao nên DF cũng là phân giác
suy ra ∠D1 = ∠D2
mà ∠D2 = ∠A1 ; ∠D1 = ∠A2 Vì đều là góc có các cặp cạnh tương ứng vuông góc
17


Suy ra: ∠A1 = ∠A2
⇒ ∆ APK = ∆ API (Cạnh huyền - góc nhọn) ⇒ PK = PI

Cách giải 3: Hình 2.
Gợi ý: - Cách giải này chúng ta cũng đi chứng minh ∠A1 = ∠A2 nhưng việc
chứng minh được áp dụng bằng kiến thức khác.
- Chú ý rằng AB là tiếp tuyến của đường tròn tâm D nên ta có:
Giải: Ta có ∠IAK = ∠ADK ( Có số đo bằng

1

giữa của cung AE nên AP là tia phân giác của
góc BAE Suy ra: ∠A1 = ∠A2
⇒ ∆ APK = ∆ API ( Cạnh huyền - góc nhọn )
⇒ PK = PI

Đối với bài toán trên để chứng minh hai đoạn thẳng PK và PI bằng nhau ta
đi chứng minh ∆ APK = ∆ API vấn đề giáo viên tuyến 2 cần cho học sinh tư duy
và vận dụng sáng tạo kiến thức về trường hợp bằng nhau trong tam giác vuông,
góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung, góc nội tiếp.
Như vậy thì học sinh mới tư duy và tìm tòi lời giải. Giáo viên không nên
đưa ra lời giải mà phải để học sinh tìm lời giải cho bài toán.
18


- Sau khi giáo viên tuyến 2 phối kết hợp với giáo viên tuyến 1 giảng dạy cho
học sinh các chuyên đề, luyện kĩ từng chuyên đề, phương pháp giải từng bài tập,
giáo viên phải biết liên kết vận dụng các chuyên đề thông qua việc cho học sinh
luyện giải các bộ đề thi khác (của các năm trước và khai thác các bộ đề trên mạng),
rèn cho các em phương pháp trình bày bài giải và thực hành. Thông qua các bài
kiểm tra từng đợt giáo viên sửa chữa cho học sinh một số sai lầm mắc phải, những
yêu cầu chung, yêu cầu cá biệt cần bổ sung cho từng em. Đồng thời chỉ ra các
phương pháp giải hay, độc đáo, từng bước nâng dần hiệu quả làm bài của học sinh.
Qua đó nhận xét quá trình học tập của từng em theo từng giai đoạn, có dự kiến về
mục tiêu cần đạt (liên thông với giáo viên tuyến 1 để dự kiên mỗi học sinh đến
tháng nào được lọt vào tốp mấy? giải mấy?...).
- Để tăng thêm hứng thú học tập cũng như kĩ năng giải toán cho học sinh,
việc tổ chức cho các em trong đội tuyển học sinh giỏi từ lớp 8, 9 phải tham gia
đăng kí thành viên dự thi giải toán trên mạng Internet là điều quan trọng và tất yếu,
mỗi học sinh trong đội tuyển học sinh giỏi tỉnh phải lập được cho mình từ 5 đến 10
nick. Hàng tuần tham gia giải từ 1 đến 2 buổi. Trong mỗi buổi thời gian đầu tôi ôn

4 kg
4,5 kg
6 kg
7,5 kg
Câu 3:
Rút gọn biểu thức

a b +b a
ab

:

1
a− b

(với a, b > 0, a ≠ b ) ta được kết quả là:

a−b
a + ab − b
a+ b
a− b
a+ b
b− a

Câu 4. Cho (

( x − 1)( y − 2) = ( x + 2)( y − 1)
.
( x − 4)( y + 7) = ( x − 3)( y + 4)


+
+
= .....
b+c c+a a+b

Câu 9: Biết 13 +23 + ...+ 103 =3025
Giá trị biểu thức 23 + 43 + 63 + ... 203 = ....

Trong giải toán, một yếu tố quan trọng quyết định đến hiệu quả làm bài của
học sinh đó là học sinh phải say mê môn toán từ chổ say mê đi đến chủ động tự
giác và độc lập học tập. Phát huy triệt để tinh thần tự lực cánh sinh, chống ỷ lại và
tự tìm tòi các kiến thức mới. Tập chứng minh lại các định lý bằng đầu óc của mình
dựa trên việc thực hiện một mẹo tính nào đó đối với môn số học và đại số, biết
dựng thêm hình phụ nào đó đối với môn hình học tránh tình trạng sao chép lại bài
giải mẫu mà không cần phải động não suy nghĩ, chưa tự đào sâu suy nghĩ để tìm ra
đường lối giải.
- Học sinh phải biết học đi đôi với hành tranh thủ mọi lúc mọi nơi để học.
Việc tranh thủ suy nghĩ về một bài toán khó thì không phải bao giờ cũng có điều
kiện ngồi vào bàn có tờ giấy nháp trên bàn, quản bút cầm tay mà phải cố hình dung
ra trong óc những phép toán, những hình vẽ v.v... mà không viết vẽ lên giấy.
- Học sinh phải biết cách trình bày bài làm, thao tác nhanh nhẹn linh hoạt,
biết cách sử dụng các tài liệu tham khảo cho phù hợp và đúng trọng tâm dưới sự
hướng dẫn của người thầy giáo.
- Nhìn chung việc bồi dưỡng học sinh giỏi toán phức tạp và khó khăn đòi hỏi
người dạy phải biết lựa chọn phương pháp, có đầy đủ kiến thức chắc chắn. Người

21


học phải có phương pháp học tốt, có ý thức trau dồi, linh hoạt trong tiếp thu và vận

22


đời người. Không sử dụng nó, không phát huy nó rồi tự nó cũng biến mất".
Để việc bồi dưỡng học sinh giỏi toán tuyến 2 có hiệu quả tốt, người giáo
viên bồi dưỡng tuyến 2 cần phải:
- Nắm chắc chương trình khung, kế hoạch bồi dưỡng từ giáo viên tuyến 1 để
xây dụng kế hoạch bồi dưỡng cho bản thân.
- Phải nắm bắt kịp thời tình hình học tập của học sinh tại điểm bồi bưỡng.
Nắm chắc năng lực đối tượng học sinh, có dự kiến về mục tiêu cần đạt qua từng
giai đoạn.
- Phải động viên, kèm cặp, tiếp sức cho các em để giải được các bài tập
tuyến 1 gửi về. Từ kết quả kiểm tra sau từng chuyên đề tại điểm bồi dưỡng, biết
được mặt mạnh, mặt yếu của từng em thông qua giáo viên tuyến 1 để bổ sung
những vấn đề còn thiếu, còn yếu cho các em và thông tin ngược trở lại với giáo
viên tuyến 1 những kiến thức đã bổ sung. Sau mỗi đợt kiểm tra liên thông với giáo
viên tuyến 1 phân tích kĩ kết quả bồi dưỡng chuyên đề, tham gia góp ý chương
trình bồi dưỡng..
- Thầy giáo phải đầu tư thích đáng cả về thời gian lẫn trí tuệ.
- Phải có lòng nhiệt tình, đức tính kiên trì chịu khó, tự giác cao.
- Giáo viên phải trang bị cho học sinh phương pháp làm bài, học sinh vận
dụng sáng tạo linh hoạt, tự học tập tự rèn luyện tư duy.
- Khi thất bại không nản chí, khi thành công không nên thỏa mãn với thành
tích đạt được mà phải luôn có ý thức phấn đấu vươn lên, bình tỉnh tự tin mọi lúc
mọi nơi.
- Biết phối kết hợp giữa phụ huynh học sinh, nhà trường, gia đình và địa
phương, ngành tạo điều kiện động viên trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi
nhằm đạt kết quả cao.
Nói tóm lại việc tìm hiểu và phát hiện học sinh giỏi là công việc quan trọng
của mỗi nhà trường, nhất là giai đoạn hiện nay. Việc bồi dưỡng nhân tài mang tính

lượng giáo dục cùng tham gia.
3.2.2. Đối với nhà trường:
Nhà trường cần tăng cường tổ chức giao lưu với các trường trong huyện và
trong tỉnh để học hỏi kinh nghiệm trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi ở các đơn vị
bạn.
Nhà trường cần làm tốt công tác tư tưởng với các thành viên tham gia, hỗ trợ
việc bồi dưỡng học sinh giỏi, tạo điều kiện về thời gian, cơ sở vật chất để hiệu quả
của việc bồi dưỡng học sinh giỏi không ngừng được nâng cao./.

NGƯỜI VIẾT

24


Phan Thúc Bảy

XÁC NHẬN CỦA HỘI ĐỒNG KHSK NGÀNH GD VÀ ĐT HUYỆN

XÁC NHẬN CỦA HỘI ĐỒNG KHSK HUYỆN

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
25