GIẢI TÍCH SỐ- DÀNH CHO SINH VIÊN CHUYÊN NGÀNH TOÁN.
-PHẦN I: Lí thuyết và Ví dụ cụ thể.
-PHẦN II: Bài tập.
-Phần I:
-Số gần đúng và sai số
+Sai số tuyệt đối và sai số tương đối
+Các loại sai số: sai số mô hình, dữ liệu, phương pháp, tính toán.
-Nội suy đa thức:
Tìm đa thức P(x) có bậc không quá n sao cho P(xi) = yi với i =0,1,...,n.
*Khi f :

[a;b] → R

;

yi = f(xi) , i= 0,...,n

P được gọi là đa thức nội suy cấp n của f.
-Đa thức nội suy Lagrange:

∏(x − x )
P ( x) = ∑ y .
, j = 0,..., n
(
x
−
x
)
∏
n


∏ (x − x )
P ( x) = y .
+y.
+y.
(
x
−
x
)
(
x
−
x
)
∏
∏
∏ (x − x )
2

0

i≠ 0

Ở đây

i

i≠0

1

Ta đi đến kết quả:

P2 ( x) = y0 .

( x − x0 ).( x − x2 )
( x − x0 ).( x − x1 )
( x − x1 ).( x − x2 )
+ y1.
+ y2 .
( x0 − x1 ).( x0 − x2 )
( x1 − x0 ).( x1 − x2 )
( x2 − x0 ).( x2 − x1 )

Vậy :

1 ( x − 0).( x − 1)
( x − (− 1)).( x − 1)
( x − ( − 1)).( x − 0)
P2 ( x) = .
+ 1.
+ e.
e (− 1 − 0).(− 1 − 1)
(0 − (− 1)).(0 − 1)
(1 − ( − 1)).(1 − 0)
hay:

1 x.( x − 1)
( x + 1).( x − 1)
( x + 1).x
P2 ( x) = .

Ta có f ’(x) = ex ,

f ’’(x) = ex,

f ’’’(x) = ex


M3 = e.
Thay vào công thức ta có:

M3
. W3 ( x) , ∀x ∈ [-1;1]
3!
e
f ( x) − P2 ( x ) ≤ . ( x − x0 ).( x − x1 ).( x − x2 )
6
e
f ( x) − P2 ( x ) ≤ . ( x + 1).x.( x − 1)
6
f ( x) − P2 ( x ) ≤

Chọn x ∈ [-1;1] t suy ra được sai số cụ thể.
-Đa thức nội suy Newton.
+Định nghĩa tỷ sai phân:
Cho hàm f xác định trên [a;b]
-Cho x, y ∈ [a;b], x ≠ y, tỷ sai phân cấp 1 của f ứng với 2 mốc x, y là:

f [ x, y ] =

f ( y ) − f ( x)

Ví dụ 1:
-Viết đa thức nội suy Newton cho hàm f(x)= 2x ứng với 3 mốc -2, 0, 1.
Giải:
Ở đây ta có xi, i=0,1,2 tương ứng đề cho là:

x0 =-2; x1 = 0;

x2 =1.

Ta tính yi theo công thức yi = f(xi) , i= 0,...,n. y0= f(x0)=f(-2)=1/4; y1 =1; y2 =2.

Pn ( x) = f ( x0 ) + f [ x0 , x1 ].( x − x0 ) + f [ x0 , x1 , x2 ].( x − x0 ).( x − x1 )
Ta có:

1
−1
f (−2) − f (0) 4
3
f [−2, 0] =
=
=
−2 − 0
−2
8
f [0,1] =

f (0) − f (1)
=1
0 −1



∆ 2 f ( x, h) = ∆(∆f )( x, h) = f ( x + 2h) − 2 f ( x + h) + f ( x)
Một cách quy nạp, sai phân cấp n của f tại x:

∆ n f ( x, h) = ∆(∆ n −1 f )( x, h)
-Đa thức nội suy Newton với các mốc cách đều:
Xét f(x) xác định trên [a;b]. Cho (n + 1) mốc x0,..,xn ∈ [a;b] cách đều.
xi = x + ih, i=0,...,n
Ở đây h = x1 – x0 = x2 – x1 = ...
Đặt x = x0 + th ⇔ t =

x − x0
h

Từ công thức đa thức nội suy Newton tổng quát và mối liên hệ giữa sai phân và tỷ
sai phân ta có công thức nội suy Newton với các mốc cách đều sau:

∆ j f ( x0 ) j −1
Pn ( x) = Pn ( x0 + th) = f ( x0 ) + ∑
.∏ (t − i )
j
!
j =1
i =0
n

Ví dụ 2:
Viết công thức nội suy Newton của f(x) = 2x với 3 mốc -1; 0; 1.
Giải:
Ta thấy các mốc nội suy cách đều


P2 ( x) = P2 ( −1 + t ) =

1 1
1 1
+ t + . .t (t − 1)
2 2
2! 2

-Sai số của nội suy đa thức Newton giống như sai số của nội suy đa thức Lagrange.
-Tích phân số (Tính gần đúng tích phân).
Xét tích phân Riemann
b

I = ∫ f ( x)dx
a

Với f [a;b] → ¡ khả tích.
Cần tính gần đúng tích phân I
1.Phương pháp hình thang:
*Phương pháp xấp xỉ hình thang cơ bản:
Xấp xỉ f(x) trên [a;b] bằng đa thức nội suy bậc nhất P1(x) với 2 mốc a,b.
b

b

a

a



1− 0
3
( f (0) + f (1)) =
2
2

-Công thức sai số:
Giả thiết f khả vi cấp 2 trên [a;b] và M 2 = sup f ''( x ) , x ∈ [a; b] .
Từ sai số công thức nội suy đa thức ta suy ra sai số của phương pháp hình thang cơ
bản:

M 2 .(b − a)3
I − Sn ≤
12
Ví dụ 2:
Tính sai số của tích phân ở Ví dụ 1:
Giải:
M 2 = sup (1 + x3 ) '' = 6 x = 6, x ∈ [0;1]

M 2 .(b − a )3 6.1 1
I − Sn ≤
=
= .
12
12 2
*Công thức hình thang tổng quát:
Chia [a;b] thành n phần bằng nhau bởi các điểm chia: x0,...,xn



Đặt S n =

b−a
( y0 + 2 y1 + 2 y2 + ... + 2 yn −1 + yn )
2n

Ta có công thức sai số cho công thức tổng quát:

M 2 .(b − a )3
I − Sn ≤
12n 2
1.Công thức parabol (Simson ):
*Công thức parabol cơ bản:
Xấp xỉ f(x) qua đa thức nội suy cấp 2 P2(x) ứng với 3 mốc a, (a+b)/2, b.
b

I ≈ ∫ P2 ( x )dx =
a

Đặt S n =

b−a 
a+b

f
(
a
)
+
4

1 + x2
0

Xét tích phân I = ∫

Dùng công thức parabol cơ bản để tính gần đúng tích phân trên.
Giải:


f(x) = 1/(1+x2)

, a = 0, b = 1, f(0) = 1, f(1/2) = 4/5, f(1) = 1/2

Áp dụng công thức parabol cơ bản ta có:
1

dx
1− 0
0 +1
47
≈
[
f
(0)
+
4
f
(
)
+

= 24, x ∈ [0;1]
(1 + x 2 )5

M 4 .(b − a )5
24
.
I − Sn ≤
=
2880
2880
*Công thức parabol tổng quát:
Chia [a;b] thành 2n phần bằng nhau bởi các điểm chia: x0,...,x2n

i (b − a )
, i = 0,..., 2n
2n
yi = f ( xi )

xk = a +

Áp dụng công thức parabol cơ bản trên mỗi đoạn con [x2i,x2i+2 ] suy ra được công
thức parabol tổng quát:

I≈

b−a
( y0 + 4 y1 + 2 y2 + 4 y3 ... + 2 y2 n − 2 + 4 y2 n −1 + yn ) .
6n




+Gọi Pn ⊆ C[a; b] là không gian tất cả các đa thức bậc nhở hơn hoặc bằng n.
+Với

f ∈ C[a; b]

, xấp xỉ tốt nhất của f trong Pn được gọi là xấp xỉ bậc n của f trên

[a; b]. Cụ thể, p ∈ Pn là xấp xỉ đều bặc n của f nếu:

f −p

∞

= min f − q

KH
∞

= En ( f ), q ∈ Pn .

* Giả sử [a; b] là đoạn đối xứng [a; b] = [-b; b]. (Ví dụ [-2; 2] là đoạn đối xứng)
Xấp xỉ đều tốt nhất của hàm chẵn trên [-b; b] là đa thức chẵn.
Xấp xỉ đều tốt nhất của hàm lẻ trên [-b; b] là đa thức lẻ.


2

Ví dụ: Xấp xỉ đều tốt nhất của f ( x) = e x trên đoạn [-1; 1] là đa thức chẵn.
*Xấp xỉ đều tốt nhất bậc nhất:

Xét phương trình 1 ẩn (thực) f(x) = 0, x ∈ [a; b] (1)
Trong đó f là hàm 1 biến thực xác định trên [a; b] .
-Định lý Cauchy-Bonzano:
Nếu f là hàm lồi liên tục trên [a; b] và f(a).f(b) < 0 thì (1) có một nghiệm trong
(a;b) .
-Định lí điểm bất động:
Giả sử g : [a;b] → [a; b], liên tục thì tồn tại x0 ∈ [a; b], g(x0) = x0.


Điểm x0 gọi là điểm bất động của g.
- Định nghĩa khoảng tách nghiệm:
Ta nói (a; b) là khoảng tách nghiệm của (1) nếu (1) có duy nhất nghiệm trong
(a; b).
*Phương pháp chia đôi:
Xét phương trình (1) với giả thiết f liên tục trên [a; b] và f(a).f(b) < 0

∆ 0 = [a; b], c=

a +b
2

+ Nếu f(c) = 0 ⇒ c là nghiệm.
+ Nếu f(a).f(c) < 0 ⇒ ∆1 = [a; c] chứa nghiệm.
+ Nếu f(c).f(b) < 0 ⇒ ∆1 = [c; b] chứa nghiệm.
Lặp lại quá trình trên cho ∆ 0 , ∆1 ,... ta được 1 trong 2 trường hợp sau:
+TH1: Sau hữu hạn bước tìm được nghiệm.
+TH2: Xây dựng được dãy các đoạn ∆ n = [a n ; b n ], n= 0,1,2,... thỏa:
- ∆ 0 ⊇ ∆1 ⊇ ...
- bn − an =


=
x
−
n
+
1
n

f '( xn )

Ở đây giả thiết rằng f‘(xn) ≠ 0 , n=0,1,2,...
Phần bài tập chương này các bạn xem ở bài Ôn tập va bài tập giải tích số.
Lưu ý: Trong bài sử dụng các công thức ttrong phần MathType.
Tải phần mềm MathType về máy để xem bài (nếu chưa có).