MỞ ĐẦU
Những thành tựu của điện động lực học lượng tử (Quantum Electrodynamics QED) dựa trên cơ sở của lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến với phương pháp tái chuẩn
hóa khối lượng và điện tích đã cho phép tính toán các quá trình vật lý phù hợp khá
tốt với số liệu thu được từ thực nghiệm, với độ chính xác đến bậc bất kỳ của hằng

e2
1
. Trong các lý thuyết trường
số tương tác theo lý thuyết nhiễu loạn  

4 137
tương tác thì QED là lý thuyết được xây dựng hoàn chỉnh nhất. Mô phỏng các
phương pháp tính toán của các quá trình vật lý trong QED người ta có thể xây dựng
công cụ tính toán cho Sắc động học lượng tử (Quantum Chromodynamics - QCD) –
lý thuyết tương tác giữa các hạt quark - gluon, tương tác yếu hay các lý thuyết thống
nhất các dạng tương tác như lý thuyết điện yếu và tương tác mạnh và được gọi là
mô hình chuẩn [6, 7, 13, 18].
Việc tính các quá trình vật lý theo lý thuyết nhiễu loạn ở bậc thấp của lý thuyết
nhiễu loạn hiệp biến (các giản đồ cây Feynman, không chứa vòng kín) ta không gặp
các tích phân phân kỳ, nhưng tính các bổ chính lượng tử bậc cao cho kết quả thu
được, ta gặp phải các tích phân kỳ ở vùng xung lượng lớn của các hạt ảo, tương ứng
với các giản đồ Feynman có vòng kín của hạt ảo. Các giản đồ này diễn tả sự tương
tác của hạt với chân không vật lý của các trường tham gia tương tác và quan niệm
hạt điểm không có kích thước cũng như không có thể tích.
Việc tách phần hữu hạn và phần phân kỳ của các tích phân kỳ phải tiến hành
theo cách tính toán như thế nào? Phần phân kỳ và phần hữu hạn sẽ được giải thích
vật lý ra sao? Bỏ phần phân kỳ vào đâu để có kết quả thu được cho quá trình vật lý
là hữu hạn. Lưu ý: việc loại bỏ phân kỳ trong lý thuyết trường là nhiệm vụ trọng
yếu của vật lý lý thuyết kể từ khi ra đời đến nay, vậy ta cần phải nghiên cứu, tìm
hiểu và giải quyết.



2


- Chương II: Tách phân kỳ trong giản đồ một vòng bằng phương pháp điều
chỉnh thứ nguyên.
Trong chương này chúng ta tách phần hữu hạn và phần phân kỳ bằng
phương pháp điều chỉnh thứ nguyên trong QED. Mục 2.1 xem xét toán tử
phân cực bậc hai của photon – giản đồ năng lượng riêng của photon. Trong
mục 2.2 xem xét giản đồ năng lượng riêng của electron. Trong mục 2.3 xem
xét hàm đỉnh ở bậc thấp nhất. Đồng nhất thức Ward –Takahashi được được
chứng minh bằng đồ thị ở mục 2.4.
- Chương III: Tái chuẩn hóa trong QED.
Trong chương này ta tái chuẩn hóa cho giản đồ một vòng trong QED. Mục
3.1 dành cho việc tái chuẩn hóa điện tích electron. Mục 3.2 dành cho việc
tái chuẩn hóa khối lượng. Mục 3.3 tái chuẩn hóa hàm đỉnh. Chứng minh
một cách định tính: trong việc tái chuẩn hóa điện tích và khối lượng của
electron, các tích phân phân kỳ “biến mất” vào điện tích vật lý và khối
lượng vật lý của electron. Mục 3.4 trình bày việc chứng minh việc tái chuẩn
hóa QED trong gần đúng một vòng.
- Phần kết luận tóm tắt các kết quả thu được trong luận văn và thảo luận khả
năng vận dụng hình thức luận đã tính toán cho các lý thuyết trường tương
tự.
Trong bản luận văn này chúng tôi sẽ sử dụng hệ đơn vị nguyên tử   c  1 và
metric giả Euclide (metric Feynman - hay metric Bogoliubov [7]) tất cả bốn thành

phần véctơ 4 - chiều ta chọn là thực A  A0, A gồm một thành phần thời gian và




Lint (x )  N J  (x )A (x )  e0N (x )  (x )A (x )
là Lagrangian của tương tác điện từ, e0 là điện tích “trần” của electron. Mỗi đỉnh
tương tác sẽ có ba đường vào ra, trong đó có một đường photon, hai đường electron

zn
z2
 1  z   ... ta có
2!
n 0 n !


hay positron. Sử dụng phép khai triển hàm mũ e z  
thể viết biểu thức S – ma trận (1.1) dưới dạng:

S  S (0)  S (1)  S (2)  ... 
 1  iT  Lint (x )d 4x 

(i)2
T  Lint (x )Lint (y )d 4xd 4y  ...
2!
(1.2)

4


Yếu tố ma trận trận của các quá trình vật lý có thể biểu diễn dưới dạng:

 f | S | i  fi  i 2   4 Pf  Pi  M f i
4


Thừa số trong yếu tố ma trận
1

2

 m  2 r
  u p 
 p 0 

2

 m  2 r
  u p 
 p 0 

1

2

3

1

1

2

3

5


1

1

2

3

1

1
3

hay ở trạng thái cuối

2

Thế điện từ ngoài

Aext k 

Chuyển động của

S (p ) 

electron từ 1  2 (hay
positron theo chiều
ngược lại 2  1 )
Chuyển động photon

giữa hai đỉnh

Đỉnh cùng với chỉ số lấy

e k 

0

g 

2

ie   2  
4

4

4 

p

6

1
k2

2

 p1  k 



(1.5)

trong đó | 0  là véctơ trạng thái chân không của các trường tương tác, còn A (x )
và A (y) là các toán tử trường điện từ trong biểu diễn Heisenberg.

1

Giản đồ liên kết mạnh (strong connected diagramms) - chặt một đường không tách thành
hai giản đồ được - Giản đồ này còn gọi là giản đồ tối giản (irreducible diagramms).

7


Hàm Green của photon (1.5) có thể được biểu diễn bằng tổng các giản đồ sau:

i  

i  

i  

i  

Hình 1.1 Hàm truyền đầy đủ của photon và ten xơ phân cực của chân không
Hàm Green của electron, được xác định tương tự bằng công thức sau

G x  y   i  0 | T   (x ) (y ) | 0 




Giản đồ Feynman (1.7) tương ứng



* 

Hình 1.3. Đỉnh riêng đầy đủ  và sơ đồ xương * .Các đường ngoài bị bỏ

1.3. Bậc hội tụ của các giản đồ Feynman
Khi tính toán các giản đồ Feynman (trong biểu diễn xung lượng), theo qui tắc
chung chúng ta phải lấy tích phân theo tất cả các đường xung lượng trong của giản
đồ. Tất cả các tích phân này đều có dạng:

J 

 F (p , p ,..., p )d
1

n

2

4

p1d 4 p2 ...d 4 pn

(1.8)

Trong đó: F (p1, p2,..., pn ) là hàm hữu tỉ và là tỉ số của hai đa thức: n là số

(1.9)

+ Mỗi đỉnh tương ứng với hai đường xung lượng electron, tổng số đỉnh bằng
một nửa số đường xung lượng electron:

2v  2Fe  N e

(1.10)

Từ (1.9) và (1.10) ta thu được:

Fp 

1
1
v  Np
2
2

1
Fe  v  N e
2

10

(1.11)

(1.12)



v  N p  Ne  1
2
2
2

1
K 2  2v  N p  N e
2

(1.15)

(1.16)

Với K 1 là số biến độc lập, K 2 là bậc của mẫu, ta có thể viết định tính:

J 



K1

(d 4 p)
(p)K

2

(1.17)

Đưa vào tham số mới



riêng của electron

riêng của photon

Hình 1.7. Quá trình tán xạ ánh

Hình 1.6. Giản đồ đỉnh bậc 3

sáng – ánh sáng

12


Tính toán bậc phân kỳ của các giản đồ trên:
Hình 1.4: Số đường phôtôn ngoài bằng 0, số đường electron ngoài là 2, bậc
phân kỳ là: K  1  Phân kỳ tuyến tính.
Hình 1.5: Số đường photon ngoài bằng 2, số đường electron ngoài bằng 0, bậc
phân kỳ là: K  2  Phân kỳ bậc hai.
Hình 1.6: Số đường photon ngoài bằng 1, số đường electron ngoài bằng 2, bậc
phân kỳ là: K  0  Phân kỳ loga.
Hình 1.7: Số đường photon ngoài bằng 4, số đường electron ngoài bằng 0, bậc
phân kỳ là: K  0  Phân kỳ loga.
Các giản đồ này diễn tả sự tương tác của các hạt với chân không.
Giản đồ Hình 1.6 diễn tả sự tương tác của electron với các dao động không (các
thăng giáng) của các phôtôn, hay nói một cách khác là sự tương tác với chân không
của trường điện từ. Giản đồ này diễn tả sự xuất hiện năng lượng riêng trường điện
từ của electron (hiệu ứng tự tương tác).
Giản đồ Hình 1.5 diễn tả sự tương tác của phôtôn với chân không của trường
electron - positron - hay gọi là giản đồ năng lượng riêng của phôtôn.

ngược lại của electron (Định lý Furry). Giản đồ
này có thể không xét.

Gồm 4! giản đồ, khác nhau bằng việc hoán vị
của các đường ngoài. Thực tế, nó hội tụ từ bất
biến chuẩn.

14


Chương 2.
Tách phân kỳ trong giản đồ một vòng
bằng phương pháp điều chỉnh thứ nguyên
Trong chương này, chúng ta sử dụng phương pháp điều chỉnh thứ nguyên để
tách phần phân kỳ và phần hữu hạn của một số giản đồ một vòng bậc thấp nhất của
QED.

2.1. Giản đồ phân cực photon

Hình 2.1. Giản đồ phân cực photon.
Biểu thức toán học tương ứng của giản đồ này viết trong D – biểu diễn theo
phương pháp chung của chỉnh thứ nguyên:

 (k )  ie  Sp 
2

2

d Dp
pˆ  kˆ  m

, với: a  (p  k )2  m 2 ; b  p 2  m 2

15

(2.1)


2


 ax  b 1  x   p  k   m 2  x  (p 2  m 2 )(1  x )


2
2
 p  2pkx  m  k 2x

Chúng ta thu được:
1

 (k )  ie 
2

2

 dx 
0




0



ˆ
ˆ
d D p ' Sp    {pˆ ' k (x  1)  m} (pˆ ' kx  m )
2
(2)D
 p '2  m 2  k 2x (1  x )


(2.4)

Đổi kí hiệu p '  p , ta được:
1

 (k )  ie 
2

2

 dx 
0



ˆ
ˆ
d D p Sp    {pˆ  k (x  1)  m}  (pˆ  kx  m )


F (p).d D p
 p 2  m 2  k 2x (1  x )



Lưu ý rằng p p 

2

 0 , với F(p) chứa bậc lẻ của p.

1
g  p 2 , do đó:
D

TS  D[ p  p   x (x  1)k k  ](g g    g  g    g g   )  Dm 2g 
 D[2p p  2x (1  x )(kk  k 2g  )]  Dg  [ p 2  m 2  k 2x (1  x )]
(2.6)
Thay vào biểu thức của  (k ) ta có:

 (k ) 

iDe 22 
(2)D

1





(2.7)

17


(k )
Tính (1)


(1)
(k ) 


2iDe 22
(2)D

D
2

 (1)



d Dp

p p
 p 2  m 2  k 2x (1  x )



dDp
 (k )  
g 
(2)D   p 2  m 2  k 2x (1  x )


D
(1  )
D
e 2D 2
2
2
g
 (1)
(2)


D
2

(4)



(2.9)

 D 
1 
2 


2

 

(4)



 D 
2 
2 

2
2

 
m  k x (1  x )

(2.10)

18


Cuối cùng:
1

 (k ) 




2

4

 

2
2
 m  k x (1  x ) 

(2.12)

Áp dụng:



42
42
  1   ln 


 m 2  k 2x (1  x )
 m 2  k 2x (1  x )
 m 2  k 2x (1  x )

 1   ln 


42



(1) 8 2  

 0
 m 2  k 2x (1  x )


 1   ln 
2


4






(2.14)

1

e 2D
2


k
k
k
g

 
0



(2.15)

Cho   0 : D  4

19


1

e2
 (k )  2 (k k  k 2g  )     o() 


2


1 1
 m 2  k 2x (1  x ) 

 dx 

   x (1  x ) ln 

2



 
0



(2.16)

(2.17)

Tới đây ta tách được phần phân kỳ và phần hữu hạn:

e2
 (k ) 
(k k   k 2g  )
2
12
div


(2.18)

1

 m 2  k 2x (1  x ) 
 
e 2
2



1  k x (1  x )  ln  4 

ln 
ln




2
42
m2




 m 

 m 2  k 2x (1  x )
 dx
x
(1

x
)
ln


2



6  m 2 
Đặt y  2x  1  x (1  x ) 

1
(1  y 2 )
4

20


 k2



dx
x
x
x
x
.
(1

)
ln
(1

)

1
0


k2
tg 
;
y

tg 
4m 2



1 1
k2
2
2 

(1

y
).
ln
1

(1

y
)


8 1


1
2m 2  k 2
 (1   cot g ).
18
3k 2

Ta thu được các kết quả cuối cùng:

e2
1
2
(
k
k

k
g
)


12 2  

(2.20)

e 2
(k k  k 2g  ) 
2
12
1



2.2. Giản đồ năng lượng riêng của electron

Hình 2.2. Giản đồ năng lượng riêng của electron.
Giản đồ năng lượng riêng của electron tương ứng với biểu thức (sau khi đã
chỉnh thứ nguyên):

(2) (p)  i 2 

d Dk
i(pˆ  kˆ  m )
ig 
(

ie

)
(

ie

)


(2)D
(p  k )2  m 2
k2

(2.22)



 (2  D )(p   k  )   (2  D )(pˆ  kˆ)

Do đó: TS  (2  D )(pˆ  kˆ)  Dm

22

(2.23)


Sử dụng cách tham số hoá tích phân Feynman:

1

ab

1

dx

 [ax  b(1  x )]

2

, với a  (p  k )2  m 2 ; b  k 2

0

Ta có: ax  b(1  x )  [(p  k )2  m 2 ]x  k 2 (1  x )  (k  px )2  Z


d D k1 (D  2)kˆ1  (2  D )(1  x ).pˆ  Dm 
 (p)  ie   dx 
.
0
(2)D
(k12  Z )2
1
d Dk (D  2)kˆ  (2  D )(1  x ).pˆ  Dm 
2 2
 ie   dx 
.
0
(2)D
(k 2  Z )2
(2)

2

2

1

(2.25)

d Dk
k
.

0

d k
i.()
 Z )

D
)
2
()

( 

1
Z



D
2

Thay α = 2 vào biểu thức trên ta được:

D

(2

) 1
1
()
(2)
2 2

 42 

dx (2  2)pˆ(1  x )  (4  2)m  .() 
 Z 

(2.28)


 42 
 4.2 
1


  1   ln 
 ; ()     O()
Với: 

 Z 
 Z 


(1)e 2
 (p) 
(4)2
(2)

(1)e 2
 (p) 
(4)2
(2)


 4.2   1

      O()
 1   ln 
 Z   




24

(2.29)


Từ biểu thức (2.29) ta có thể tách ra phần hữu hạn và phân kỳ:
(2)
div
(p) 

e2
(4)2

e2
 (p) 
(4)2
(2)
reg




0

Tính:

e2
 (p) 
(4)2
(2)
reg

1



dx  4m  2pˆ(1  x )  
 4.2 



  2  pˆ(1  x )  m 
 4m  2pˆ(1  x ) ln 


 Z 




0





m 2 

 1  2  ln   1

p 
1



1

0


p2
ln 1  2

m


x  dx


m2  p2
. Suy ra:
với  