SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HƯNG YÊN
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
(Đề gồm có: 01 trang)

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2016 - 2017

Môn thi: TOÁN
(Dành cho thí sinh dự thi các lớp chuyên: Văn, sử, địa, anh)
Thời gian 120 phút không kể thời gian phát đề

Bài 1(1,0điểm).
Rút gọn biểu thức A =

36 − 28 +

4
3− 7

2
Bài 2(2,0điểm). Cho đường thẳng (d): y = 2x + m + 4 (m là tham số)
a Tìm m để đường thẳng (d) đi qua điểm M(- 1; 6)
b Tìm m để đường thẳng (d) cắt đồ thị hàm số y = x2 tại hai điểm phân biệt có hoành
2
2
độ x1;x 2 thỏa mãn x1.x 2 + x1 .x 2 = −10
Bài 3(2,0đ).
3
4
− = −2

b) Khi M thuộc đoạn BH (các trường hợp khác tương tự) tam giác AQM, tam giác AMH,
tam giác AMP là 3 tam giác vuông và O là trung điểm cạnh huyền AM => OQ = OM =
OH = OP và ∠QOM= 2∠ QAM, ∠HOM=2∠HAM. Cộng vế với vế ta được ∠QOH = 2
∠QAH= ∠BAC=600. Từ đó suy ra tam giác QOH đều. Tương tự ta cũng suy ra được tam
giác HOP đều, nên OP=OQ=HQ=HP => tứ giác OPQH là hình thoi.
c) Gọi K là trung điểm PQ.
OQ=AM,OK=OH=AM
PQ=2QK=2AM. Do AM
=> PQ AH. Dấu bằng xảy ra khi M trùng H.
Bài 6
Bổ đề: Với a, b dương ta có (a+b)( (dễ cm)
Áp dụng bổ đề ta có: . Tương tự cho hai phân thức còn lại ta có:
Pxy +yz+zx = xyz suy ra
Mà khi x = y = z = 3 thì ta có P = và
Nên max P =

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HƯNG YÊN
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
(Đề gồm có: 01 trang)

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2016 - 2017

Môn thi: TOÁN
(Dành cho thí sinh dự thi các lớp chuyên: Toán, tin, lí, hóa, sinh)
Thời gian 120 phút không kể thời gian phát đề


Bài 1(1,0điểm).

tam giác MAB đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 6(1,0điểm). Cho các số dương a, b, c thỏa mãn: abc ≥ 1 . Chứng minh:
1
1
1
3
+ 5 2
+ 5
≤ 2
2
2
2
2
2
a +b +c
b +c +a
c +a +b
a + b2 + c2
---------Hết---------5

HƯỚNG DẪN
Bài 3.


x 2 = y + 1
 2
a) Giải hệ pt  y = x + 1

2
2

9
1 
3

⇔ x + 3 + x + 3 + = 4x 2 + 6x + ⇔  x + 3 + ÷ =  2x + ÷
4
4
2 
2

PT
1
3

 x + 3 + 2 = 2x + 2
⇔
 x + 3 + 1 = −2x − 3

2
2
Giải lần lượt các trường hợp ta được nghiệm của phương trình là
−3 + 41
−7 − 33
x1 =
; x2 =
8
8
Bài 5.

c) Khi M di động trên d xác định vị trí của M để diện tích tam giác AMB nhỏ nhất.

Khi đó:
3
2
2
2 

  R  
 R 
 R  ÷
= R 1 − 
÷  .OM. 1 − 
÷ = R.OM. 1 − 
÷
OM  ÷
 OM 

  OM  


2
R
1
 R  3
⇔0

( a 5 + b2 + c2 )  1a + b2 + c2 ÷ ≥ ( a 2 + b2 + c2 ) ⇒ a 5 + b12 + c2 ≤ a2 2 2 2
(a +b +c )

(

Chứng minh tương tự ta có:
1
+ c2 + a 2
1
≤ b
2
5
2
2
b +c +a
( a 2 + b2 + c2 )

và

)

1
+ a 2 + b2
1
≤ c
2
5
2
2
c +a +b

b
c
a b c

Mặt khác ta có:
2
2
2
Mà ab + bc + ac ≤ a + b + c

3( a 2 + b2 + c2 )
1
1
1
3
+ 5 2
+ 5
≤
= 2
2
5
2
2
2
2
2
2
2
a +b +c
b +c +a

b) Cho x =
Bài 2(2,0điểm).
1
1
d2 ) : y = x −
(
d
:
y
=
−
3x
+
3
2
2
a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho 3 đường thẳng ( 1 )
;

( d3 ) : y = −ax + a 3 − a 2 −

1
3 . Tìm a để 3 đường thẳng đồng quy

và
b) Tìm tất cả nghiệm nguyên dương (x, y, z) của phương trình:
xyz + xy + yz + zx + x + y + z = 2015 thỏa mãn x ≥ y ≥ z ≥ 8 .
Bài 3(2,0đ).

 x 2 y 2 − 2x + y 2 = 0

thẳng song song với CD lần lượt cắt (O1) và (O2) tại M và N. Các đường thẳng CM và DN
cắt nhau tại E. Gọi P là giao điểm của BC và MN, Q là giao điểm của BD và MN. Chứng
minh rằng:
a) Đường thẳng AE vuông góc với CD.
BD BC MN
+
=
BQ
BP
PQ
b)

c) Tam giác EPQ là tam giác cân.


Bài 6(1,0điểm). Trong hình vuông cạnh 10 cm, người ta đặt ngẫu nhiên 8 đoạn thẳng mỗi
đoạn thẳng có độ dài 2 cm. Chứng minh rằng luôn tồn tại 2 điểm trên hai đoạn thẳng khác
14
cm
3
nhau trong 8 đoạn thẳng đó mà khoảng cách của chúng không vượt quá
.
HƯỚNG DẪN
Câu 1.
1
1
a b
a b 
1
− = a + b + + + 1 ⇔ 1 = ( a − b )  + a + b + + + 1÷


(

3

28 + 1 −

) (

28 − 1 − 3

28 − 1

3

)(

28 + 1

)

3

)(

28 − 1

3

28 + 1 −


2

3

(

)

3
1
1
3
a 3 − a 2 − a − = 0 ⇔ 4a 3 = a 3 + 3a 2 + 3a + 1 ⇔ a 3 4 = ( a + 1) ⇒ a = 3
3
4 −1
Khi đó ta có:
1
a= 3
4 − 1 thì (d1), (d2) và (d3) đồng quy.
Vậy
b) Ta có xy ( z + 1) + y ( z + 1) + x ( z + 1) + ( z + 1) = 2016 ⇔ ( x + 1) ( y + 1) ( z + 1) = 2016
⇔ ( x + 1) ( y + 1) ( z + 1) = 25.32.7 do vậy nghiệm (x,y,z) của phương trình là (15;13;8).
Câu 3.
2x
 2
y = x2 + 1
⇔
 y3 = −2 ( x − 1) 2 − 1


Ta có:
a − b ) ( 1 + ab ) = ( a 2 − b 2 ) ⇔ ( a − b ) ( 1 − a ) ( 1 − b ) = 0
(
Thay vào phương trình ta được:
1
x=−
2
Giải các trường hợp ta được nghiệm của phương trình là:
Câu 4.
3
cm
Ta tính được đường cao AH = 2
; BC = 2 cm.
Hình tạo thành là hai hình nón có bán kính đáy là AH, chiều
cao là HB và HC.
1
π
BC.π.AH 2 = ( cm 3 )
2
Thể tích hình tạo thành là: 3

Câu 5.

a) Ta có:
MN // CD nên góc EDC = góc ENA; mà góc CDA = góc DNA (góc tạo bởi tia tiếp tuyến
và dây cung, góc nội tiếp cùng chắn cung AD) suy ra góc EDC = góc CDA suy ra DC là
phân giác góc EDA.
Tương tự ta có CD là phân giác góc ECA.



=
=
⇒ AP = AQ
AQ
AB
AP
Do CD//PQ theo định lý Ta lét ta có:
(**)
Từ (*) và (**) suy ra tam giác EMP cân tại E.
Câu 6.