ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

NGUYỄN VĂN THI

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
VÔ TỶ CHO HỌC SINH KHÁ GIỎI LỚP 12
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SỸ SƯ PHẠM TOÁN

HÀ NỘI - 2014


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

NGUYỄN VĂN THI

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
VÔ TỶ CHO HỌC SINH KHÁ GIỎI LỚP 12
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SỸ SƯ PHẠM TOÁN
CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC
(BỘ MÔN TOÁN)
Mã số: 60 14 01 11

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Lê Anh Vinh

HÀ NỘI - 2014

Mục lục ........................................................................................................
Danh mục các bảng ......................................................................................
MỞ ĐẦU................................................................................................
Chương1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN .......................................5
1.1. Kỹ năng ................................................................................................5
1.1.1. Khái niệm kỹ năng..............................................................................5
1.1.2. Đặc điểm của kỹ năng ........................................................................6
1.1.3. Sự hình thành kỹ năng ........................................................................6 1.2.
Rèn luyện kỹ năng giải toán ................................................................ 7 1.2.1.
Khái niệm...........................................................................................7 1.2.2.
Rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh...........................................7 1.2.3. Các
yêu cầu rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh ........................8 1.2.4. Một số
kỹ năng cần thiết khi giải toán ................................................9 1.3. Rèn luyện kỹ
năng giải phương trình vô tỷ............................................9
1.3.1. Rèn luyện khả năng tìm lời giải các bài toán phương trình vô tỷ ........9
1.3.2. Phương pháp tìm lời giải các bài toán phương trình vô tỷ..................10 .
1.3.3. Cách thức dạy học phương pháp tìm lời giải bài toán ........................14 .
1.3.4.Yêu cầu đối với lời giải bài toán phương trình vô tỷ...........................14 .
1.3.5. Các kỹ năng cần rèn luyện cho học sinh khi giải toán phương trình
vô tỷ.........................................................................................................................16 .
1.3.6. Các yếu tố ảnh hưởng đến sự hình thành kỹ năng giải phương trình vô tỷ .........20 ..
1.4. Kết luận Chương 1 ...............................................................................21 .
Chương 2: BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN CHO
HỌC SINH KHÁ GIỎI THÔNG QUA DẠY HỌC CHUYÊN ĐỀ
PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ .....................................................................................22
..
2.1. Biện pháp 1: Trang bị cho học sinh một số phương pháp giải phương
trình vô tỷ ................................................................................................................22 .
2.1.1. Rèn luyện kỹ năng biến đổi tương đương ..........................................22 .
ii

dẫn đến sai lầm trong lời giải ......................................................................62 .
2.4.3. Theo dõi một sai lầm của học sinh khi giải toán qua các giai đoạn ...............63 ..
2.5. Biện pháp 5: Hình thành khả năng phân tích, định hướng phương
pháp giải......................................................................................................71 .

iii


2.6. Kết luận chương 2 ................................................................................79 .
Chương 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM .................................................80 .
3.1. Mục đích, nhiệm vụ thực nghiệm .........................................................80 .
3.2. Tổ chức và nội dung thực nghiệm.........................................................80 .
3.2.1. Lớp thực nghiệm ...............................................................................80 .
3.2.2. Tiến trình thực nghiệm ......................................................................80 .
3.2.2. Giáo án thực nghiệm..........................................................................80 .
3.2.3. Đề kiểm tra .......................................................................................90 .
3.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm ..............................................................90 .
3.4. Kết luận chung về thực nghiệm ............................................................92 .
KẾT LUẬN................................................................................................93
TÀI LIỆU THAM KHẢO.........................................................................94 .

iv


MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Nâng cao chất lượng dạy học nói chung, chất lượng dạy học môn Toán nói
riêng đang là một yêu cầu cấp bách đối với ngành Giáo dục nước ta hiện nay. Một trong
những khâu then chốt để thực hiện yêu cầu này là đổi mới nội dung và phương
pháp dạy học. Định hướng đổi mới phương pháp dạy học đã được chỉ rõ trong các

- Phát triển và bồi dưỡng học sinh có năng khiếu toán học.
Trong chương trình toán Trung học phổ thông, các em học sinh đã được
tiếp cận với phương trình chứa ẩn dưới dấu căn và được tiếp cận với một vài
cách giải thông thường đối với những bài toán cơ bản đơn giản. Tuy nhiên trong
thực tế các bài toán giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn rất phong phú và đa
dạng và đặc biệt là trong các đề thi Đại học - Cao đẳng, các em sẽ gặp một lớp các
bài toán về phương trình vô tỷ mà chỉ có số ít các em biết phương pháp giải
nhưng trình bày còn lủng củng chưa được gọn gàng, sáng sủa thậm chí còn mắc
một số sai lầm không đáng có trong khi trình bày và cũng có khi không biết bắt
đầu từ đâu,hướng giải quyết như thế nào? Tại sao lại như vậy?
Kiến thức và kỹ năng là hai mặt gắn bó hữu cơ trong mỗi nội dung dạy học.
Không thể nói đến vấn đề rèn luyện kỹ năng thực hiện một loại hoạt động nào đó nếu
không chú ý trang bị kiến thức về lĩnh vực đó một cách vững chắc. Ngược lại, việc
rèn luyện kỹ năng thực hiện các hoạt động trong mỗi lĩnh vực có tác dụng củng cố và mở
rộng kiến thức, giúp cho người học tìm thấy những tác dụng to lớn của kiến thức
học được trong việc giải quyết các tình huống trong thực tiễn và trong khoa học. Vì
vậy bên cạnh việc giảng dạy các kiến thức lý thuyết về chủ đề phương trình vô tỷ
một cách đầy đủ theo quy định của chương trình, việc rèn luyện kỹ năng giải phương
trình vô tỷ cho học sinh có ý nghĩa quan trọng trong việc nâng cao chất lượng dạy học
nhiều nội dung môn Toán ở trường THPT.
Dạy Toán là dạy kiến thức, kỹ năng, tư duy và tính cách; trong đó dạy kỹ
năng có một vị trí đặc biệt quan trọng, bởi vì nếu không có kỹ năng thì sẽ
không phát triển được tư duy và cũng không đáp ứng được nhu cầu giải quyết
vấn đề. Trong quá trình dạy học, việc rèn luyện cho học sinh có nhiều cách

2


khác nhau như rèn cách trình bày, rèn luyện tính cẩn thận, rèn luyện kỹ năng
phân tích, rèn luyện kỹ năng tổng hợp, kỹ năng đánh giá một bài toán hoặc một


7. Giả thuyết khoa học
Nếu giảng dạy chuyên đề phương trình vô tỷ cho học sinh khá giỏi theo
định hướng rèn luyện kỹ năng giải toán thì có thể nâng cao chất lượng dạy học
chuyên đề này ở trường phổ thông.
8. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu các vấn đề về Tâm lý học, Giáo dục học, Lý
luận dạy học, Toán học, Triết học, Thống kê trong giáo dục ... có liên quan đến đề tài.
Nghiên cứu thực tiễn: Quan sát, Điều tra ... Thực
nghiệm sư phạm.
9. Dự kiến luận cứ
9.1. Luận cứ lý thuyết
Đưa ra những cơ sở lý luận về rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh.
9.2. Luận cứ thực tế
Thực trạng việc dạy của giáo viên và việc học của học sinh về chuyên đề
phương trình vô tỷ.
Kết quả phân tích một số tiêu chí sau thực nghiệm sư phạm.
10. Cấu trúc của luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận và khuyến nghị, danh mục tài liệu tham
khảo, nội dung chính của luận văn gồm có 3 chương:
Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn
Chương 2: Biện pháp rèn luyện kỹ năng giải phương trình vô tỷ cho học
sinh khá giỏi thông qua dạy học chuyên đề phương trình vô tỷ.
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

4


CHƯƠNG 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

động, để hành động biến đổi đối tượng đạt mục tiêu (tất nhiên mục tiêu đặt ra
thu được thông tin mới). Sự dễ dàng hay khó khăn khi vận dụng kiến thức
(hình thành kỹ năng) tùy thuộc vào khả năng nhận dạng kiểu bài toán, phát hiện,
nhìn thấy trong các dữ liệu đã cho của bài toán, có những thuộc tính và những
quan hệ là bản chất để thực hiện giải bài toán đã cho.
1.1.2. Đặc điểm của kỹ năng
Bất kỳ kỹ năng nào cũng phải dựa trên cơ sở lý thuyết, đó là kiến thức,
bởi vì cấu trúc của kỹ năng gồm: hiểu mục đích - biết cách thức đi đến kết quả
- hiểu những điều kiện để triển khai các cách thức đó.
Kiến thức là cơ sở của các kỹ năng khi kiến thức đó phản ánh đầy đủ các thuộc tính
bản chất của đối tượng, được thử nghiệm trong thực tiễn và tồn tại trong ý thức với tư
cách của hành động. Cùng với vai trò cơ sở của tri thức, cần thấy rõ tầm quan
trọng của kỹ năng. Vì vậy, cần hướng mạnh vào việc vận dụng những tri thức và rèn
luyện kỹ năng, vì kỹ năng chỉ có thể được hình thành và phát triển trong lao động.
1.1.3. Sự hình thành kỹ năng
Để hình thành được kỹ năng trước hết cần có kiến thức làm cơ sở cho
việc hiểu biết, luyện tập từng thao tác riêng rẽ cho đến khi thực hiện được hành
động theo đúng mục đích yêu cầu…Kỹ năng chỉ được hình thành thông qua quá trình
tư duy để giải quyết những nhiệm vụ đặt ra.
Sự hình thành kỹ năng là làm cho học sinh nắm vững một hệ thống phức tạp các
thao tác nhằm biến đổi và làm sáng tỏ những thông tin chứa đụng trong các bài tập.
Muốn vậy, khi hình thành kỹ năng (chủ yếu là kỹ năng học tập) cho học sinh cần:
- Giúp học sinh biết cách tìm tòi để tìm ra yếu tố đã cho, yếu tố phải tìm
và mối quan hệ giữa chúng;
- Giúp học sinh hình thành một mô hình khái quát để giải quyết các bài
tập, các đối tượng cùng loại;
- Xác lập được mối liên quan giữa bài tập mô hình khái quát và các kiến
thức tương ứng.

6


7


thao tác tư duy, các hoạt động trí tuệ. Từ đó, bồi dưỡng các phẩm chất trí tuệ,
phát triển năng lực giải toán cho học sinh.
Sự hình thành kỹ năng đó là sự nắm vững một hệ thống phức tạp các
thao tác nhằm làm biến đổi và sáng tỏ những thông tin chứa đựng trong bài tập,
trong nhiệm vụ và đối chiếu chúng với những hành động cụ thể.
Có thể dạy cho học sinh kỹ năng bằng những con đường khác nhau như:
Con đường thứ nhất: Sau khi cung cấp, truyền thụ cho học sinh vốn tri
thức cần thiết thì yêu cầu học sinh vận dụng tri thức đó để giải các bài toán
liên quan theo mức độ tăng dần;
Con đường thứ hai: Dạy những dấu hiệu đặc trưng, từ đó có thể định
hướng một số dạng bài toán và các thao tác cần thiết để giải dạng toán đó;
Con đường thứ ba: Dạy học sinh các hoạt động tâm lý cần thiết đối với
việc vận dụng tri thức;
Việc hình thành và rèn luyện cho học sinh cần được tiến hành trên các
bình diện khác nhau.
- Kỹ năng vận dụng tri thức trong nội bộ toán, thể hiện rõ dưới dạng giải bài tập toán.
- Kỹ năng vận dụng tri thức toán học vào những môn học khác như vật lý, hoá học.
- Kỹ năng vận dụng vào đời sống.
Có thể nói, bài tập toán chính là ''mảnh đất'' để rèn luyện kỹ năng toán.
Do đó, để rèn luyện kỹ năng toán cho học sinh, giáo viên cần tăng cường hoạt
động giải toán (đây cũng chính là hoạt động chủ yếu khi dạy toán). Cụ thể hơn
thông qua hoạt động giải toán, rèn luyện kỹ năng toán cho học sinh cần
quan tâm chú trọng những vấn đề sau: Cần hướng cho học sinh biết cách tìm
tòi để nhận xét ra yếu tố đã cho, yếu tố phải tìm và mối quan hệ giữa chúng.
Nói cách khác, hướng cho học sinh biết cách phân tích đặc điểm bài toán.
1.2.3. Các yêu cầu rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh

1.3. Rèn luyện kỹ năng giải phương trình vô tỷ
1.3.1. Rèn luyện khả năng tìm lời giải các bài toán phương trình vô tỷ
Đây là khâu rất quan trọng có tính chất quyết định trong việc rèn luyện kỹ
năng giải toán cho học sinh. Vì vậy, trong quá trình dạy học giải bài tập phương

9


trình vô tỷ, giáo viên cần tổ chức cho học sinh tập luyện khâu này thật kỹ lưỡng,
làm cho họ ý thức được vai trò đặc biệt quan trọng của khâu này, thể hiện ở chỗ:
- Khi giải bài tập toán, dù có kỹ thuật cao, có thành thạo trong thực hiện các
thao tác, các phép tính hay các phép biến đổi nhưng khi chưa có phương hướng
giải hoặc chưa có phương hướng giải tốt thì chưa thể có lời giải hoặc lời giải tốt.
- Khi đã có phương hướng giải thì việc thực hiện các thao tác khi trình
bày lời giải có tính chất kỹ thuật, không thể có những sáng tạo, những phân
tích quan trọng lớn như khi tìm phương hướng giải.
- Mặt khác, ý thức được tầm quan trọng của khâu rèn luỵên phương pháp tìm
lời giải của bài toán chính là cơ sở quan trọng cho việc rèn luyện khả năng làm việc độc
lập sáng tạo, một khả năng không thể thiếu được đối với người giải toán.
Như vậy, từ hai vấn đề đã nêu trên, ta có thể khẳng định: Trong quá trình
rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh thì khâu giải bài toán tuy rất quan
trọng nhưng quyết định vẫn là khâu tìm lời giải của các bài toán.
1.3.2. Phương pháp tìm lời giải các bài toán phương trình vô tỷ
Chúng ta không thể có một thuật giải tổng quát để giải mọi bài toán phương
trình vô tỷ. Ngay cả đối với những lớp bài toán riêng biệt cũng có trường hợp có, có
trường hợp không có thuật giải. Tuy nhiên, trang bị những hướng dẫn chung, gợi ý
cách suy nghĩ tìm tòi, phát hiện cách giải bài toán lại là có thể và cần thiết.
Sau đây ta có thể nêu phương pháp chung để tìm lời giải các bài toán
phương trình vô tỷ:
Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài, phân tích và nghiên cứu đề bài.

Bước 3: Trình bày cách giải
Từ cách giải đã được phát hiện, sắp xếp các việc phải làm thành một chương
trình gồm các bước theo một trình tự nhất định và thực hiện các bước đó.
Bước này nhằm rèn luyện cho người giải toán khả năng trình bày một lời giải
chính xác, chặt chẽ, lôgic và thẩm mỹ.
Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải.
Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải, nghiên cứu giải
những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề, từ đó sáng tạo ra bài

11


toán mới. Để làm tốt việc này trước hết người giải toán phải phân tích kỹ để
nắm được đặc điểm và bản chất của bài toán, các yếu tố tạo nên bài toán đó.
Như thế mới có thể thấy được mối liên hệ giữa các bài toán trong cùng một loại
bài toán và giữa các loại bài toán khác nhau.
Ví dụ1.1: Giải phương trình
(1.1).

5x2 14x  9  x2  x  20  5 x 1

Điều kiện: x  5.
Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài, phân tích và nghiên cứu đề bài
Phương trình có vẻ khá phức tạp, nếu bình phương hai vế của phương trình
(1.1) thì sẽ thu được một phương trình phức tạp và không có hướng giải tiếp.
Tuy nhiên có thể biến đổi phương trình về dạng tương đương:

5x2 14x  9  x2  x  20  5 x 1.
Do hai vế không âm, bằng cách bình phương hai vế, rút gọn ta thu được:
2

Ta có phương trình (1.1) 
1.

Do hai vế không âm, bình phương hai vế ta thu được:
2



Phương trình (1.1)  2x2 - 5x + 2 = 5

x 
20x 

;

1

x

x  x 

 2x2 - 5x + 2 = 5
x   ;

5

4

1


2t2 - 5t + 3 = 0, t  0  t = 1 hoặc t


Với t = 1

x2  4x  5

=

=1. 

3

.2

x2  4x  5 1;

x4

x4

 x2- 4x - 5 = x +4  x2 - 5x - 9 = 0  x
Đối chiếu điều kiện x 5, chỉ có x
Với t

=

3
2



 4x2 - 25x - 56 = 0

 x = 8 hoặc x= 7
- 4.

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 8 và x

13

=

5  61
2 .


Bước 4: Nghiên cứu sau lời giải.
Từ ví dụ này ta có thể đưa ra một phương pháp chung để giải những phương trình
tương tự: Chuyển vế, luỹ thừa hai vế và phân tích theo các biểu thức trong dấu căn.
1.3.3. Cách thức dạy học phương pháp tìm lời giải bài toán
Một câu hỏi đặt ra là làm thế nào để học sinh hiểu được và vận dụng
được phương pháp tìm lời giải bài toán vào việc giải những bài toán cụ thể mà họ
gặp trong chương trình. Học phương pháp tìm lời giải không phải là học một
thuật giải mà học những kinh nghiệm giải toán mang tính chất tìm tòi, phát
hiện. Theo [19], tác giả Nguyễn Bá Kim, cách thức dạy học phương pháp
để tìm lời giải bài toán như sau:
- Thông qua việc giải những bài toán cụ thể, cần nhấn mạnh để học sinh
nắm được phương pháp tìm lời giải các bài toán và có ý thức vận dụng 4 bước
của phương pháp này trong quá trình giải toán.
- Cũng thông qua việc giải những bài toán cụ thể, cần đặt cho học sinh

hợp nào, một chi tiết nào. Đặc biệt giải phương trình không được thiếu nghiệm.
Ngôn ngữ dùng phải chính xác.
Lập luận phải chặt chẽ.
+ Luận đề phải nhất quán: Luận đề là một yêu cầu hoặc một điều phải
chứng minh. Luận đề phải nhất quán nghĩa là không được đánh tráo đề bài,
đánh tráo điều phải chứng minh.
+ Luận cứ phải đúng: Luận cứ là những tiên đề, định nghĩa định lý đã
biết .Trong quá trình giải bài tập phải sử dụng những tiên đề, định nghĩa định lý
đã biết một cách chính xác, đầy đủ các điều kiện.
+ Luận chứng phải hợp lôgic: Luận chứng là phép suy luận được sử dụng
trong chứng minh, luận chứng phải hợp lôgic nghĩa là phép suy luận phải hợp lôgic.
1.3.4.2. Tìm ra nhiều cách giải, chọn cách giải ngắn gọn, hợp lý nhất
Được làm việc với các bài toán có nhiều lời giải khác nhau, học sinh sẽ vận
dụng được nhiều kiến thức khác nhau để di đến cùng một đích, chính quá trình tìm
được lời giải dẫn đến học sinh biết cách so sánh các lời giải với nhau tìm ra lời giải
hay nhất, ngắn nhất, dễ hiểu nhất và dùng kiến thức đơn giản nhất.

15


Tìm được những lời giải khác nhau cho một phương trình là rất tốt.
Xong vấn đề chỉ có thể thực hiện được có hiệu quả khi học sinh đã giải đúng được
bài toán theo một phương pháp nhất định. Đứng trước một phương trình đầu tiên
cần lo giải được nó rồi mới giải theo một cách khác.
1.3.4.3. Nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề
Bài toán khái quát hoá là từ một bài toán ban đầu ta xây dựng bài toán
mới nhờ bỏ bớt đi một số yếu tố của bài toán cũ, hoặc bỏ đi một số điều kiện ràng
buộc, hoặc một số đòi hỏi của kết luận, thay hằng bởi biến. Khi đó ta có bài
toán mở rộng hoặc tăng thêm độ phức tạp của bài toán cũ.
1.3.4.4. Một yêu cầu quan trọng về hình thức là trình bày lời giải rõ ràng đảm bảo mĩ thuật