T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

CHUYÊN
Gi i Ph
B ng Ph

ng Trình Vô T
ng Pháp ánh Giá

Toán K57-THPT Chuyên L

ng V n T y-Ninh Bình

WWW.TOANMATH.COM


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

I.L I NÓI

U

Ph ng trình-H ph ng trình-B t đ ng th c có m i quan h ch t ch v i nhau. ây c ng chính là nh ng
ph n quan tr ng nh t c a đ i s .Nó th ng xuyên xu t hi n trong kì thi tuy n sinh i H c (THPT QG)
hay các kì thi HSG.Ta c n có nh ng ph ng trình,h ph ng trình đ d đoán đ c đi m r i c a B T
hay trong quá trình sáng tác m t B t đ ng th c s n y sinh ra nhu câu tìm nghi m c a Ph ng trình-H
ph ng trình-B t đ ng th c.Qua đ y có th nói vi c gi i t t PT-HPT là r t quan tr ng.Nhi u bài toán v
PT-HPT-B T là s che d u c a m t B T nào đó.Chúng ta c n ph i linh ho t khi s d ng B T vào gi i
PT-HPT.Vì n u không dùng đúng thì s d n đ n k t qu không nh mong mu n.Gi i PT b ng ph ng
pháp b ng đánh giá chính là m t s k t h p tuy t v i gi a B T và PT
ã có r t nhi u tài li u,sách vi t v PT.Tuy v y,nh ng bài vi t v Gi i PT b ng ph ng pháp b ng đánh

Ch biên: inh Xuân Hùng (Toán K57-THPT Chuyên L

ng V n T y-Ninh Bình)

Các thành viên tham gia vi t chuyên đ :
1.Nguy n Khánh Tr

ng (Toán K57-THPT Chuyên L

2.Hoàng Trung Hi u (Toán K57-THPT Chuyên L

ng V n T y-Ninh Bình)

ng V n T y-Ninh Bình)

3.V Minh H nh (Toán K57-THPT Chuyên L

ng V n T y-Ninh Bình)

4.T ng

ng V n T y-Ninh Bình)

c Kh i (Toán K57-THPT Chuyên L

5.Nguy n Th Thu Trang(Toán K57-THPT Chuyên L
6.Bùi Th Thùy Linh (Toán K57-THPT Chuyên L
7.Ph m Th Ph

ng V n T y-Ninh Bình)


ng

Các B T hay dùng
[1].B t đ ng th c AM-GM
Cho n s th c d

ng a1 , a2 ,..., an ta luôn có B T
a1  a2  ...  an  n.n a1.a2 ...an

D u “=” x y ra khi a1  a2  ...  an
[2].B t đ ng th c Cauchy-Schwar (C-S)
Cho 2 b s a1 ; a2 ;...; an  và b1 ; b2 ;...; bn  ta luôn có B T
(a12  a22  ...  an2 )(b12  b22  ...  bn2 )  a1b1  a2 b2  ....  an bn 
a
a
a
D u “=” x y ra khi 1  2  ...  n
b1 b2
bn

2

M t h qu c a b t đ ng th c Cauchy-Schwar r t hay dùng:
an2 a1  a2  ...  a n 
a22

 .... 

b2



; a2 ;...; an và b1 ; b2 ;...; bn  ta luôn có B T
a12  a 22  ...  a n2  b12  b22  ...  bn2 

D u “=” x y ra khi

a1  b1 2  a2  b2 2  ....  an  bn 2
a
a1 a2

 ...  n
b1 b2
bn

[4].B t đ ng th c Holder
V i m dãy s d

ng a1,1 ; a1, 2 ;...; a1,n , a 2,1 ; a 2, 2 ;...; a 2,n ,..., a m,1 ; a m, 2 ;...; a m.n  ta có
m
 n
  n
ai , j     m  ai , j
  

 j 1
  i 1 i 1

D u “=” x y ra khi m dãy đó t


ôi khi tôi mu n hét to v i c th gi i r ng tôi m i may m n làm sao khi tôi đ c làm b n v i b n,
nh ng đôi khi tôi mu n im l ng, s r ng ai đó s đem b n r i kh i tôi.
---Khuy t danh----

đâu đó có ng i đang m v n c i c a b n, đâu đó có ng i c m th y s có m t c a b n là
đáng giá, vì v y khi b n đang cô đ n, bu n r u và r , hãy nh ràng có ai đó, đâu đó đang ngh v
b n.
Somewhere there's someone who dreams of your smile, somewhere there's someone who finds your
presence worthwhile, so when you are lonely, sad and blue, remember there is someone, somewhere
thinking of you.
----Khuy t danh----

Toán K57-THPT Chuyên L

ng V n T y-Ninh Bình


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

III. M t s ví d và phát tri n ph
Ví d 1.Gi i ph

ng trình vô t b ng ph

ng pháp đánh giá

ng trình: x  4  6  x  2 (1)

T p xác đ nh 4;6
Bình lu n:

6  x  x  4  0  6  x  x  4  2 .D u b ng x y ra khi x=5(2)

V y x=5
Nh n xét:
T i sao mình l i đ a bài toán này làm ví d đ u tiên?Vì mình mu n nói đ n u đi m,nh
ph ng pháp đánh giá

c đi m c a

u đi m:Cách gi i nhanh,g n nh ,không ph i tính toán v t v
Nh c đi m:Không nh nh ng ph ng pháp gi i PT vô t khác thì ph ng pháp đánh giá không ph i
bài nào c ng dùng đ c.B n nào không t nh táo đ s d ng thì ch c ch n d n đ n vi c thi u nghi m
ho c không d n đ n k t qu nh mong đ i.“Tr m nghe không b ng m t th y” th làm m t bài PT t ng
t Ví d 1 nào
Gi i ph
TX

ng trình: 4  x  x  1  3

 1;4

Áp d ng B T C-S cho b s  4  x ; x  1  và (1;1) ta có:
D u b ng x y ra khi 4  x  x  1  x  3(TM )








ng trình: 6  x  x  4  x 2  10 x  27 (1)

Bình lu n
VD2 v i VD1 đ u có đ c đi m chung đó là cùng có ( 6  x  x  4 ) v trái và đ u có nghi m duy nh t
là 5.Nh ng bài này n u dùng ph ng pháp bình ph ng ho c liên h p thì PT VD2 ch c ch n s khó x
lí h n so v i VD1.T i sao chúng ta không dùng ph ng pháp đánh giá nh ?(D ng PT v a nêu trên mà)
Th nhé!
Bài làm
Áp d ng B T C-S cho b s





6  x ; x  4 và (1;1) ta có:
(1  1)(6  x  x  4)  ( 6  x  x  4 ) 2

ng th c x y ra khi 6  x  x  4  x  6  x  4  x  5(TM )




6 x  x4



2

 4 mà


Xét hi u: x 3  11x 2  36 x  18  x  7  ( x  5) 2 ( x  1)  0x  TX  x 3  11x 2  36 x  18  x  7 (3)
D u “=” x y ra khi x=5


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

T (1)(2)(3)  x  5
Chú ý:Cách sáng tác nh ng PT d ng này:
Ta s xét hai B T có cùng d u “=” x y ra ch ng h n khi x=3 và x  1 ta có:
2 4  2 4  2 4  (4 x  4)
2 .2 .2 .(4 x  4) 
 x  13 (1)
4
Và x 3  3x 2  9 x  27  ( x  3) 2 ( x  3)  0(2)
4

4

4

4

V i x  1 thì d u “=” (1) và (2) cùng x y ra khi và ch khi x=3.
T (1)(2) và x 3  3x 2  9 x  27  ( x  13)  x 3  3x 2  8x  40 ta đ c bài toán sau:
Ví d 3.1.Gi i ph ng trình sau: x 3  3x 2  8x  40  8  4 4 x  4 (1)
KX : x  1
L i gi i:
Áp d ng B T AM-GM cho 4 s không âm 2 4 ;2 4 ;2 4 ; (4 x  4) ta đ
4



1
là m t nghi m c a PT (1)
2
 4x  1  1
1
V i x  thì 
 4 x  1  4 x 2  1  1( KTM )
2
2

 4x  1  0
1
V y x=
2

Ta th y x 

Nh n xét
ây là m t d ng PT r t hay g p.Và cách gi i chung c a nó là d đoán đ c nghi m duy nh t r i sau đó
s d ng ph ng pháp đánh giá đ gi i
T ng quát: x  x0 là nghi m duy nh t ta s c n ch ng minh v i x  x0 ho c x  x0 đ u không th a mãn.
Ta có th đ a ra k t lu n x  x0 là nghi m duy nh t
Ví d t ng t :
Ví d 4.1.Gi i ph
TX :D=R

ng trình: 3 x  1  3 x  2  3 x  3  0



6
 x 2  3x  4  0


Chú ý: i v i nh ng bài mà KX khó gi i thì t t nh t không nên gi i ra.Ch c n tìm đ
Thay l i là đ c

c nghi m r i

L i gi i:
PT (1)  3x 2 5 x  1  2( x  2)  x 2  2  3x 2  5 x  1  x 2  2  3( x  2)
Ta th y x=2 là m t nghi m c a PT (1)
V i x>2 thì VT  3x 2  7 x  3  x 2  2  3x 2  5 x  1  x 2  2  3( x  2)  VP( KTM )
V i x
ng hay u  k. v (k  0)

 x 1  k
x  3

 x  5(TM )
x  3  k  x 1  x  3  0   2



x
x
7
10
0

k  0


V y x=5
Nh
Th
ph
ph

n xét
c ch t ph ng pháp trên c ng ch là B T Minkowski mà thôi.Tuy v y bài toán trên trình bày v i
ng pháp t a đ Oxy thì trông v a đ p v a ng n.N u b n s d ng B T Minkowski thì các b n s
i có thêm b c ch ng minh nhé 


x2 y 2






ng



• u . v  u . v . cos   u . v .D u b ng x y ra khi và ch khi cos  1  u  v  u  k. v (k  0)
S d ng tính ch t đ c bi t v tam giác
• N u tam giác ABC là tam giác đ u thì v i m i đi m M tùy ý trên m t ph ng tam giác,ta luôn có


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

MA  MB  MC  OA  OB  OC v i O là tâm c a đ

ng tròn.D u b ng x y ra khi và chi khi M trùng O
•Cho tam giác ABC có ba góc nh n và m t đi m M tùy ý trong m t ph ng thì MA+MB+MC nh nh t
khi và chi khi đi m M nhìn các c nh AB,AC,BC d i cùng m t góc 120
n đây ch c các b n c ng t sáng tác đ
M t s ví d t ng t :
Ví d 5.1.Gi i ph

c nhi u bài GPT s d ng tính ch t c c tr hình h c r i nh 

ng trình: 2 x 2  2 x  1  2 x 2  ( 3  1) x  1  2 x 2  ( 3  1) x  1  3

  

D u “=” x y ra khi u ; v ; w cùng h
  

T (1)(2)  u ; v ; w cùng h

ng

ng

 3 x  1  k .1



 v  k. u
 x  1  k (1  2 x)
 k , l  0

 x  0(TM )

 v  l. w
 3 x  1  l (1  3 x)
 x  1  l ( x  1)


V y x=0

Ví d 6.Gi i ph


4
4
3 x  2 1  x 2
4
4

2
4
2
4
 x 2   x   (TM )( 2)
 13 x  x  9 x  x  16 .D u “=” x y khi 
2
5
5

 x  2 1 x
2
T (1)(2)  x  
5


V y ph

ng trình có nghi m x  

2
5

Nh n xét


 13 x 2  x 4  9 x 2  x 4  

x 
2 
2 2
 2
có đi u c n ch ng minh t c là VT  16 thì ta c n ch n các s d

ng  ,  sao cho

 2 x 2  1  x 2
 2 2
2
1

 x  1  x
  2
13( 2  1) 9(  2  1)


0
2
  3
 2

 13
2
9



D u “=” x y ra khi 2  2  2 x

 4  2  2x
 x  1(TM )

 4 2  2x  6  2x
 x 2  x  10  4 2  2 x  x 2  x  10  6  2 x
 x 2  x  10  4 2  2 x  x 2  x  4
 4 x 2  x  10  4 2  2 x  4 x 2  x  4 .D u “=” x y khi x=-1 (2)

Áp d ng B T AM-GM cho hai s không âm 3  x và 2 ta đ

c:

3  x  4  2.2. 3  x

D u “=” x y ra khi 2  3  x  x  1(TM )
 2(7  x)  8 3  x
 x  7  2(7  x)  x  7  8 3  x

 7  x  x  7  8 3  x .D u “=” x y khi x=-1(3)

Xét hi u: 16( x 2  x  4)  (7  x) 2  15( x  1) 2  0 .D u “=” x y khi x=-1
 16( x 2  x  4)  (7  x) 2 mà 16( x 2  x  4)  0;7  x  0
 4 x 2  x  4  7  x .D u “=” x y khi x=-1(4)

T (1)(2)(3)(4)  x  1
V y ph


  ( x  9)  VP

x 1
x 1 
1  x x 1

2

D u b ng x y khi

2 2
x 1



x 1
x
x 1

V y ph

ng trình có nghi m duy nh t x 

Ví d 9.Gi i ph

ng trình: 2 x  3 

KX : x  3 . i u ki n ph

x 1


ng pháp t t nh t đ gi i lo i PT này chính

Bài làm
t a

1
1
3
x  3 thì ta có h ph
2
2

ng trình


1
3 a
2 x  3 
2


2 a  3  1 3  x

2

1
1
1
3  x .Mà f (t )  3 


V y ph

ng trình có nghi m duy nh t x=1

Ví d 10.Gi i ph
Bình lu n:

ng trình: 2x 2  1  x 2  3x  2  2x 2  2x  3  x 2  x  6

i v i bài này ta s d ng m t đánh giá r t ít g p

f ( x)  g ( x) 

f ( x)  a.h( x)  g ( x)  b.h( x)

 f ( x)  0

  g ( x)  0
h ( x )  0


V i m i s a,b d

ng

Bài làm
Bi n đ i ph

ng trình thành: 2 x 2  1  x 2  3x  2  2 x 2  1  2( x  2)  x 2  3x  2  2( x  2)


1) x  2  6  x  x2  8x  24
2)16x4 + 5 = 6 3 4x2  x
3)

x7
 8  2x 2  2 2x  1
x 1

4) 1  2 x  x2  1  2 x  x2  2  x 1 .  2 x2  4 x  1
4

5) 3x 2  1  x 2  x  x x 2  1 

1
2 2

(7 x 2  x  4)

6). x3  3x2  8x  40  8 4 4 x  4  0
7) 2  4 27 x 2  24 x 

27
28
 1
x6
2
3

8) x y  1  2 y x  1 

1
1
4 x 4


  

1.2 2.3 3.4
x.  x  1
4 x 5


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

17) 3 x 2  2  2  x 3





18) 3 x 3  5x 2  14 x  9  x  2 x 2  2 x  1  1
19) 4 x  1 + 4 8x  3 = 4x4 -3x2 + 5x

20) x2  2x  1  x2  4x  4  x2  6x  9  x2  16x  64  8
21) 1  3  x  3
1 2

x 5

22) 8 x 2 

35) x  2  x2  x  2  2 x  2 x  1


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

2 x
 x  1 x
3  1 x

36)

37) 2  x 2  2 

1
1
 4  (x  )
2
x
x

L i gi i Tóm t t
1)

KX :

2 x6

Áp d ng b t đ ng th c Bunhia copxki ta có:




2

0

x4

ng trình đã cho.

2)
Ta có 16 x4 + 5 >0 x
Nên t (1)  x> 0
Áp d ng b t đ ng th c Cauchuy ta có:
16 x4 + 5 = 3 3 2.4 x(4 x 2  1)  2  4 x  4 x 2  1
16 x4 + 5 - 4x 2 -4x -3  0


0
16 x4 - 4x 2 -4x +2



(2 x  1)2 (2 x 2  2 x  1)  0
1
2x -1 = 0  x = (th a mãn x> 0)
2

3)
KX : x 


Pt (1) 

1

V y x = 2 là nghi m duy nh t c a ph

4)

3  8  Vô lý.

ng trình đã cho.

1  2 x  x2  1  2 x  x2  2  x  1 .  2 x2  4 x  1
4

(1)

KX : 0  x  2
2
t t =  x  1  0  t  1
Ph ng trình (1) tr thành:
1  1  t  1  1  t  2t 2  2t  1

T (2)  2t  1  0  t 
Bình ph

1
2

ng 2 v c a (2) ta đ

 0  2t 1  1
2
  2t  1  1

(3)



(4)

 2  2t  1  2
2

T (3), (4), (5)

5)

2

(5)

 t 1
2
  x  1  1

x2

(th a mãn KX )



2



VP



 2  x  5x
2

2

 2  x 5x
2

2

 2  x  .2.5x
2

2

 x

 x

 x  (3)




V y x =3 là nghi m duy nh t c a ph

ng trình đã cho.

7)
2 4 27 x 2  24 x 

27
28
28
27
x60)
 0 và
 1
x  6 (đi u ki n : 27 x 2  24 x 
2
3
3
2


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

 24

81x 2  72 x  28
3(9 x  4)
 1
3


c:

y2
y2
6 y
( y  6) 2
4
 4  2 y  4  4(  4)  ( y  2) 2 
0
2
3
3
3
Ta l i có ( y  6)2  0 nên y  6  0  y  6
y4 2
 th a mãn đi u ki n ban đ u
T đó x 
9
9
2
Th l i x  là nghi m c a ph ng trình đã cho
9
2
V y ph ng trình đã cho có nghi m duy nh t là x 
9
6y 

8)
x y 1  2 y x 1 

y 1 1  2 y


y  1  2 y  x  1  1
x 1 x







2

x 1 1  0

2

y  1  1  0 D u “=” x y ra khi y = 2
2

 0 D u b ng x y ra khi x = 2

V y nghi m c a PT là x=y=2
9)
x2  x 1   x2  x  1  x2  x  2
2

1 7



x2  x 1  x2  x  1

2
2

 x2  x 1   x2  x  1  x  1

M t khác:

x 2  x  2   x  1  x 2  2 x  1
  x  1   x  1  x  1
2

V y
x2  x  1   x2  x  1  x2  x  2  x  1
 x2  x  1  1

  x 2  x  1  1

2
1
 x  1

 x 1

V y x=1 là nghi m c a ph

10)


4

( K : x4  2)
(x  0)

2  x 4  1  x 4  x3

 x2 

 2 x



 x  1 x4
4
1
 2  x4  x  2  x2
x
1
1
Ta cã: 2  x 2  2 D u b ng x y  x 2  2
x
x
4

4

(1)

 x2  1


2

4

4

4

16  2

2

2

2

4

4

(2)


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

T (1)(2)  x  1
12)
5


H

Nh n th y x=2 là nghi m
D th y:1  x2 ph

ng trình vô nghi m

ng trình vô nghi m

V y x=2 là nghi m duy nh t c a PT
14)
Gi i ph ng trình:  x2  3x  2  x  1  2
HD: K: x  1;2 (1)
PT   x2  3x  2  2  x  1 (2)
T (2) ta có:
2  x 1  0


x 1  2

 x 1  2
 x  1 (3)

15)

T (1) và (3) Ta có x = 1 th vào (2) tho mãn.
V yx=1
HD: K: x < 2. B ng cách th , ta th y x =
Ta c n ch ng minh đó là nghi m duy nh t.

ng trình

ng trình.

6
8

6.
3 x
2x


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

16)

HD: K: x  4 (1)

1
1
 1
x 1
4 x 5
 4  x  x  4 (*)
Ta có: VP(*) = x  4  0  x  4 (2)

Ta có: 1 

T (1) và (2) ta có:x = 4 là nghi m duy nh t.


 2x
4
 4 x 1  4 8x  3  4 x
 4x4 – 3x2 +5x  4x
 4x4 – 3x2 +x  0
 x( x  1)(2 x  1)2  0
4x 1 

 (2x-1)2  0 (do x(x+1) > 0 x 
 2x – 1= 0
1
 x=
2

V y ph

3
8

ng trình đã cho có nghi m duy nh t x =

20)
Ta có:

1
2

x2  2 x  1  x2  4 x  4  x2  6x  9  x2  16 x  64  8
 x 1  x  2  x  3  x  4  8


Ta có x  3  x > 1  3  x  3
+xét x0)
x 5
1 2
8x2 

x 5

8x2 

8x2 

1
1 1 1 1 1 1 1 1
 8x2 



4 x 4 x 4 x 4 x
x
1
 5 8x . 4
4
5

23)

V y ph ng trình đã cho có nghi m là x 
4
4

3
x   2 x (đi u ki n : x  0 )
8

Áp d ng b t đ ng th c cô-si ta đ
1 1 1
   8x
3
 2x  2 2 2
4x
8
4

D u “=”x y ra khi và ch khi
x  0
1


1x
16
8 x  2

c: