Bài toán về giao điểm của hàm số phân thức
MỘT SỐ BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP
VỀ GIAO ĐIỂM CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ PHÂN THỨC y =

ax + b
cx + d

Bài toán 1: Bài toán về biện luận số giao điểm.
Phương pháp giải:
 Ax 2 + Bx + C = 0(*)
ax + b
⇔
1. Lập phương trình hoành độ giao điểm: mx + n =

cx + d
 x ≠ −d / c

2. Biện luận số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm.
Xảy ra các khả năng:
* d cắt (C) tại hai điểm phân biệt ⇔ (*) có hai nghiệm phân biệt khác -d/c .
* d cắt (C) tại một điểm ⇔ thỏa mãn một trong hai trường hợp:
- phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt, trong đó có 1 nghiệm bằng -d/c
- phương trình (*) có nghiệm kép khác -d/c .
* d không cắt (C) ⇔ thỏa mãn một trong hai trường hợp:
- phương trình (*) vô nghiệm.
- phương trình (*) có nghiệm kép bằng -d/c .
Bài tập giải mẫu:
Bài 1: Xác định m để đồ thị hàm số y =

3x + 2
(C) cắt đường thẳng d: y = x + m tại hai


Bài toán về giao điểm của hàm số phân thức
* A, B cùng nhánh ⇔ x1 < x 2 < −d / c hoặc − d / c < x1 < x2
d
d
⇔ ( x1 − )( x 2 − ) > 0 ⇔ c 2 x1 x 2 − cd ( x1 + x 2 ) + d 2 > 0
c
c

* A, B khác nhánh ⇔ x1 < − d / c < x 2
d
d
⇔ ( x1 − )( x 2 − ) < 0 ⇔ c 2 x1 x 2 − cd ( x1 + x 2 ) + d 2 < 0
c
c

Lời giải: TXĐ: R\{1}.
Phương trình hoành độ giao điểm:
2x + m =

2 x 2 + (m − 3) x − m − 1 = 0
x +1
⇔
(1)
x −1
x ≠ 1

∆ = m 2 + 2m + 17 = (m + 1) 2 + 16 > 0 với mọi m
⇔ (C) luôn cắt d tại hai điểm phân biệt A, B.



∆ ≥ 0

⇔ S < 0
P > 0


* Phương trình có 2 nghiệm trái dấu ⇔ P < 0.
Lời giải: TXĐ: R\{0}.
Phương trình hoành độ giao điểm:
mx 2 − (2m + 1) x + 1 = 0
x −1
⇔
m ( x − 2) =
(1)

x
x ≠ 0

Giáo viên : Lê Đình Tâm- Trường THPT Nguyễn Xuân Nguyên


Bài toán về giao điểm của hàm số phân thức
do m khác 0, ∆ = 4m 2 + 1 > 0 với mọi m ⇔ (C) luôn cắt d tại hai điểm phân biệt.
Khi đó phương trình (1) luôn có hai nghiệm x1, x2 và x1 + x2 = (2m + 1)/m, x1 . x2 = 1/m
Nếu m > 0: x1 + x2 > 0 và x1.x2 > 0. Suy ra x1 , x2 dương
Nếu m < 0: x1.x2 < 0 ⇒ x1, x2 trái dấu nên có ít nhất một số dương.
Bài 4: Xác định m để trên đồ thị hàm số y =

x−2


Vậy m < −1 hoặc m > 7 .

Giáo viên : Lê Đình Tâm- Trường THPT Nguyễn Xuân Nguyên


Bài toán về giao điểm của hàm số phân thức
Bài toán 2: Bài toán về khoảng cách giữa hai giao điểm.
Phương pháp giải:
1. Lập phương trình hoành độ giao điểm và tìm điều kiện để d cắt (C) tại hai điểm phân biệt.
2. Gọi giao điểm là A(x1; mx1 + n), B(x2; mx2 + n), với x1, x2 là nghiệm của phương trình (*).
Khi đó AB =

( x 2 − x1 ) 2 + m 2 ( x 2 − x1 ) 2 = (1 + m 2 )[( x 2 + x1 ) 2 − 4 x 2 x1 ]

3. Áp dụng định lý Viet: tính x1 + x2 và x1.x2 theo tham số
⇒ khoảng cách AB biểu thị theo tham số.

4. Tìm điều kiện của tham số để bài toán được thỏa mãn.
* Định lý Viet: Nếu x1 , x 2 là nghiệm của phương trình ax 2 + bx + c = 0 , a ≠ 0 thì:
b
c
x1 + x 2 = − , x1 .x 2 =
a
a

* x12 + x 22 = ( x1 + x 2 ) 2 − 2 x1 x 2 , ( x1 − x 2 ) 2 = ( x1 + x 2 ) 2 − 4 x1 x 2
Bài tập giải mẫu:
Bài 1: Tìm m để đường thẳng d: y = - x + m cắt đồ thị hàm số y =



2[( x 2 + x1 ) 2 − 4 x 2 x1 ]

2m 2 − 8m + 16

2m 2 − 8m + 16 = 4 ⇔ m = 0, m = 4.

Giáo viên : Lê Đình Tâm- Trường THPT Nguyễn Xuân Nguyên


Bài toán về giao điểm của hàm số phân thức
2. AB =

2(m − 2) 2 + 8 ≥ 2 2 . Suy ra AB nhỏ nhất khi m = 2.

Bài 2: Tìm m để đường thẳng ∆ : y = - x + 1 cắt đồ thị y =
biệt A, B sao cho diện tích tam giác OAB bằng

− 2x + m
(C) tại hai điểm phân
x+4

2.

Lời giải: TXĐ: R\{- 4}.
S=

1
d(O, ∆ ).AB.
2

∆ = m 2 − 10m + 9 > 0

4 − 2m + 2 + 2m − 2 ≠ 0

⇔ m < 1 hoặc m > 9.

Gọi giao điểm C(x1; x1 + m), D(x2; x2 + m). Khi đó AB =
do x1 + x2 = m - 1, x1.x2 = 2m - 2 nên CD =
CD = 3 2 ⇔

2[( x 2 + x1 ) 2 − 4 x 2 x1 ]

2m 2 − 20m + 18

2m 2 − 20m + 18 = 3 2 ⇔ m = 0(loại) , m = 10( thỏa mãn).

Vậy m = 10.
Giáo viên : Lê Đình Tâm- Trường THPT Nguyễn Xuân Nguyên


Bài toán về giao điểm của hàm số phân thức
Bài toán 3: Bài toán về vị trí hai giao điểm đối với một điểm cho trước.
Phương pháp giải:
Cho hai điểm A( x1 , y1 ) , B( x 2 , y 2 )
 x1 + x 2 = 2 x 0
* A, B đối xứng nhau qua điểm I( x 0 , y 0 ) ⇔ 
.
 y1 + y 2 = 2 y 0
* A, B cách đều điểm M ⇔ MA = MB
Bài tập giải mẫu:

Bài 2: Tìm m để đường thẳng d: y = mx + 2- m cắt đồ thị hàm số y =

2x + 1
tại hai điểm
x −1

phân biệt A, B sao cho tam giác MAB cân tại M với M(2; 1).
Lời giải: TXĐ: R\{1}.
Phương trình hoành độ giao điểm:
mx 2 − 2mx + m − 3 = 0
2x + 1
⇔
mx + 2 − m =
(1)
x −1
x ≠ 1

Giáo viên : Lê Đình Tâm- Trường THPT Nguyễn Xuân Nguyên


Bài toán về giao điểm của hàm số phân thức
m ≠ 0

2
d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B ⇔ ∆' = m − m(m − 3) > 0 ⇔ m > 0.
m − 2 m + m − 3 ≠ 0


Khi đó A(x1; mx1 + 2 - m), B(x2; mx2 + 2 - m), x1, x2 là nghiệm của (1).
Tam giác ABM cân tại M ⇔ MA = MB và A, B, M không thẳng hàng.

Lời giải: TXĐ: R\{- 2}.
∆: y =

1
x + 2 . A, B đối xứng nhau qua đường thẳng ∆ thì d ⊥ ∆ . Suy ra a = -2.
2

Khi đó d: y = -2x + b. Phương trình hoành độ giao điểm của d và (C):

− 2x + b =

2 x 2 − (b − 5) x − 2b = 0
x
⇔
(1). Ta có:
x+2
 x ≠ −2

∆ = (b − 5) 2 + 8b > 0
với mọi b nên d luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B.

4 + 2(b − 5) − 2b ≠ 0

A(x1; -2x1 + b), B(x2; -2x2 + b), với x1, x2 là nghiệm của phương trình (1)
Gọi I là trung điểm của AB ⇒ I(

x1 + x 2
b−5 b+5
;
;− x1 − x 2 + b ) = (

m ≠ 0
8

m 0 ⇔ 
m − m − m − 2 ≠ 0
m > 0


Gọi A(x1 ; mx1 + 2), C(x2 ; mx2 + 2) ⇒ trung điểm AB: I(

x1 + x 2 m( x1 + x 2 ) + 4
;
)
2
2

1. A, C cách đều Ox khi:
TH1: d//Ox ⇔ m = 0: không thỏa mãn (*)
TH2: Trung điểm I của AB thuộc Ox: m( x1 + x2 ) + 4 = 0 ⇔ m = - 4: thỏa mãn (*)
2. B(x2 ; mx1 + 2), D(x1 ; mx1 + 2)

y

AB = x1 − x 2 , AD = m x1 − x 2
S = m ( x1 − x 2 ) 2 = m


OA2 + OB2 < AB2 hoặc OA.OB < 0 .

1. Góc AOB tù khi:

2. Góc AOB vuông khi: OA2 + OB2 = AB2 hoặc OA.OB = 0 .
3. Góc AOB nhọn khi:

→

→

OA2 + OB2 > AB2 hoặc OA.OB > 0 .

Bài 1: Xác định m sao cho đường thẳng y = mx + 3 cắt đồ thị hàm số y =

2x + 1
tại hai
x−2

điểm phân biệt M, N sao cho tam giác OMN vuông tại O.
Lời giải: TXĐ: R\{2}.
→

→

Tam giác OMN vuông tại O khi OM .ON = 0 .
Phương trình hoành độ giao điểm:
mx 2 − (2m − 1) x − 7 = 0
2x + 1


→

Góc AOB nhọn khi OA.OB > 0 . Phương trình hoành độ giao điểm:
− x + m +1 =

 x 2 − ( 2 + m) x + 2m + 5 = 0
x+3
⇔
.
x−2
x ≠ 2

Giáo viên : Lê Đình Tâm- Trường THPT Nguyễn Xuân Nguyên


Bài toán về giao điểm của hàm số phân thức
d cắt (C) tại hai điểm phân biệt M, N ⇔ m 2 − 4m − 16 > 0 .(*)
Gọi x1, x2 là nghiệm phương trình, A(x1, - x1 + m + 1), B(x2, - x2 + m + 1).
→

→

OA.OB > 0 ⇔ x1x2 + (- x1 + m + 1)( - x2 + m + 1) > 0.
⇔ 2 x1x2 - (1+ m)(x1 + x2 ) + (m + 1)2 > 0.

thay x1 + x2 = m +2, x1 x2 = 2m + 5 ta có m > - 3.
Kết hợp (*) có -3 < m < 2 − 3 hoặc m > 2 + 3 .
Bài 3: Tìm m để đường thẳng y = - x + m cắt đồ thị hàm số y =


* Tính hệ số góc của tiếp tuyến tại A, B: k1 = y'(x1), k2 = y'(x2)
* Tìm điều kiện của tham số để bài toán được thỏa mãn.
Chú ý:
- Tiếp tuyến của đồ thị tại A, B song song với nhau thì y'(x1) = y'(x2).
- Tiếp tuyến của đồ thị tại A, B vuông góc với nhau ⇔ thì y'(x1) . y'(x2) = - 1.
Bài tập giải mẫu:
Bài 1: Xác định m để đường thẳng y = 2 x + m cắt đồ thị hàm số y =

x +1
tại hai điểm
x −1

A, B sao tiếp tuyến của đồ thị tại A, B song song với nhau.
Lời giải: TXĐ: R\{1}.
Phương trình hoành độ giao điểm:
x +1
⇔
2x + m =
x −1

2 x 2 + (m − 3) x − m − 1 = 0

x ≠ 1

∆ = (m − 3) 2 + 8(m + 1) > 0
⇔
d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B
: luôn đúng

2 + m − 3 − m − 1 ≠ 0


− x +1
tại 2 điểm A, B. Gọi k1 , k 2 lần lượt là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị tại A, B.
2x − 1

Tìm m để k1 + k 2 đạt giá trị lớn nhất.
Lời giải: TXĐ: R\{1/2}
Phương trình hoành độ giao điểm ⇔ 2 x 2 + 2mx − m − 1 = 0 , x ≠ 1/2 (1)
∆ = m 2 + 2m + 2 > 0
⇔
d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B
: luôn đúng

1 / 2 + m − m − 1 ≠ 0

Gọi x1, x2 là nghiệm phương trình (1), có x1+ x2 = - m, x1. x2 = - (m + 1)/2
khi đó A(x1 ; 2x1 + m), B(x2 ; 2x2 + m).
Tiếp tuyến của đồ thị tại A có hệ số góc k1 =

−1
.
(2 x1 − 1) 2

Tiếp tuyến của đồ thị tại B có hệ số góc k2 =

−1
.
(2 x2 − 1) 2

−1

.
2
5

Phương trình hoành độ giao điểm của d và (C) ⇔ 2 x 2 − 2mx − 1 = 0 , x ≠ -1/m. (1)
ta có A(x1, 2x1 - 2m), B(x2, 2x2 - 2m)
AB =

5[( x 2 + x1 ) 2 − 4 x 2 x1 ] =

5(m 2 + 2) ⇒ SOAB = m m 2 + 2

∆ cắt Ox tại C(m; 0), ∆ cắt Oy tại D(0; -2m) ⇒ SOCD = m2

SOAB = 3SOCD ⇔ m m 2 + 2 = 3 m2 ⇔ m = 1/2 và m = -1/2
Bài 2: Cho hàm số y =

x+2
có đồ thị (C) và đường thẳng ∆ đi qua A(1; 0) và có hệ số góc
x −1

k. Tìm k để ∆ cắt (C) tại hai điểm phân biệt M, N và AM = 2AN.
Lời giải:
Phương trình ∆ : y = k(x - 1).
Phương trình hoành độ giao điểm của ∆ và (C) ⇔ kx 2 − (2k + 1) x + k − 2 = 0 , x ≠ 1. (1)
∆ cắt (C) tại hai điểm phân biệt ⇔ k > -1/12, k ≠ 0 . Khi đó M(x1, kx1 - k), N(x2, kx2 - k).

 x − 1 = −2( x − 1)

1

 kx1 − k = 2(kx2 − k )

Giáo viên : Lê Đình Tâm- Trường THPT Nguyễn Xuân Nguyên


Bài toán về giao điểm của hàm số phân thức
Theo ĐL Viét: x1 + x2 =
Thay vào x1 x2 =

2k + 1
⇒ x1= (3k + 2)/3k, x2= (3k +1)/3k,
k

k −2
có k = -2/27: thoả mãn. < M(-8; 2/3). N(-7/2; 1/3)>
k

Vậy k = 2/3 và k = -2/27

BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài toán 1: Biện luận
Bài 1: Xác định m để:
a) đường thẳng d: y = -x + m cắt đồ thị hàm số y =

x
tại 2 điểm phân biệt.
x −1

b) đường thẳng d: y = 2x +m không cắt đồ thị hàm số y =


x +1
tại 2 điểm phân
x −1

biệt A, B.Tìm m để độ dài đoạn AB là nhỏ nhất.
Bài 4: Xác định m sao cho đường thẳng y = x + m cắt đồ thị hàm số y =

2x
tại 2 điểm phân
x−2

biệt thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị và khoảng cách giữa hai điểm đó là nhỏ nhất.
Bài 5: Xác định m sao cho đường thẳng y = - x + m cắt đồ thị hàm số y =

2x + 1
tại 2 điểm phân
x+2

biệt M, N sao cho MN nhỏ nhất.

Bài 6: Xác định m sao cho đường thẳng y = m(x -1) +1 cắt đồ thị hàm số y =

Giáo viên : Lê Đình Tâm- Trường THPT Nguyễn Xuân Nguyên

2x + 4
tại hai
1− x


Bài toán về giao điểm của hàm số phân thức

5.

Bài 11: Tìm m để đường thẳng y = 2x + m cắt đồ thị hàm số y =

x+3
tại 2 điểm phân biệt A, B
x +1

sao cho AB = 5.
Bài 12: Tìm m để đường thẳng y = x -2m cắt đồ thị hàm số y =

2x + 1
tại 2 điểm phân biệt A, B
x −1

sao cho AB = 6.

Bài 13: Xác định m sao cho đường thẳng 2x + 2 y - 1 = 0 cắt đồ thị hàm số y =

điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác OAB bằng

m−x
tại 2
x+2

3
.
8

Bài 14: Tìm m sao cho đường thẳng y = -2x + m cắt đồ thị hàm số y =


1
2x
x + m cắt đồ thị hàm số y =
tại 2 điểm A, B sao
x −1
2

cho A, B cách đều đường thẳng ∆ : 2 x + y − 4 = 0
Bài 3: Xác định m để đường thẳng y = mx + 2m + 1 cắt đồ thị hàm số y =

2x + 1
tại hai điểm
x +1

phân biệt A, B sao cho khoảng cách từ A, B đến trục hoành bằng nhau.(D2011)
Bài toán 5: Góc
Bài 1: Cho hàm số y =

x+3
có đồ thị (C). Tìm m sao cho đường thẳng d:
x+2
→

→

y = 2x + 3m cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho góc OA . OB = −4 .
Bài toán 6: Tiếp tuyến
Bài 1: Tìm m để đường thẳng y = 2x + m cắt đồ thị hàm số y =


tại 2 điểm phân
x +1

biệt A, B. Khi đó hãy tìm tập hợp trung điểm I của đoạn AB.

Giáo viên : Lê Đình Tâm- Trường THPT Nguyễn Xuân Nguyên


Bài toán về giao điểm của hàm số phân thức

Giáo viên : Lê Đình Tâm- Trường THPT Nguyễn Xuân Nguyên