I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Hình học không gian là một môn khoa học nghiên cứu về hình dạng, độ lớn và vị trí
không gian của vật thể, là một môn học khó đối với nhiều học sinh phổ thông. Rất nhiều
em cảm thấy ngán ngại khi học môn học này, có em thuộc định lý, tính chất nhưng không
biết vận dụng vào giải bài tập, có em biết vẽ hình nhưng không đọc được hình…! Bài toán
tính thể tích khối chóp là một nội dung thường gặp trong các bài kiểm tra cuối học kỳ, bài
thi tốt nghiệp trung học phổ thông, thi tuyển sinh đại học – cao đẳng hàng năm. Phần lớn
các em cảm thấy không thật thoải mái khi gặp nội dung này, vì các em lúng túng khi vẽ
hình, không xác định được đường cao của khối chóp nên không lập được công thức tính
thể tích khối chóp. Việc học hình học không gian ở lớp 11, các em mới chỉ dừng lại ở
bước quan sát hình vẽ được chiếu trên màn hình trong các tiết dạy có ứng dụng công nghệ
thông tin, mà ít được hướng dẫn cụ thể từng thao tác để vẽ hình. Do vậy, việc truyền đạt
kiến thức liên quan đến hình học không gian nói chung và tính thể tích khối chóp nói riêng
đòi hỏi người Thầy cần có sự chọn lọc nhất định khi lồng ghép các ứng dụng công nghệ
thông tin vào bài giảng, phải kiên nhẫn, hướng dẫn các thao tác theo một trình tự nhất
định, từng bước giúp các em chủ động thực hiện và tìm ra kết quả bài toán.
Hoạt động chủ đạo và thường xuyên trong quá trình học toán của học sinh là hoạt
động giải bài tập, thông qua đó hình thành kỹ năng, kỹ xảo và khắc sâu kiến thức. Do vậy
việc hướng dẫn học sinh giải toán không phải chỉ dừng lại ở việc cung cấp cho học sinh
những bài giải mẫu mà còn phải hướng dẫn cho học sinh suy nghĩ, nắm bắt được các mối
quan hệ ràng buộc giữa giả thiết và kết luận của bài toán, từng bước giúp học sinh độc lập
suy nghĩ và chủ động để giải bài tập và củng cố kiến thức.
Sách giáo khoa Hình học 12 (chuẩn và nâng cao) có nêu nội dung về “tính thể tích
khối đa diện”, phần lý thuyết thì rất đơn giản nhưng phần bài tập thì thật không hề đơn
giản đối với học sinh. Do kỹ năng giải toán hình học không gian nói chung và giải bài toán
liên quan đến tính thể tích khối chóp nói riêng còn nhiều hạn chế nên các em thường bị
mất điểm khi gặp những câu hỏi có liên quan đến nội dung này trong các đề thi tốt nghiệp
và tuyển sinh hàng năm.
Cảm thông với những băn khoăn , lo lắng của các em và từ thực tế giảng dạy, tôi đã
rút ra được một số kinh nghiệm trong việc thực hiện các bước cụ thể để hướng dẫn các em
tính thể tích khối chóp. Nhằm giúp các em chủ động ôn tập và tự tin chuẩn bị bước vào

từng bước giúp các em hình thành kỹ năng, kỹ xảo, chủ động giải quyết các tình huống
xảy ra trong quá trình giải toán, là cơ sở để các em khắc sâu kiến thức.
2. Thực trạng trước khi thực hiện các giải pháp của đề tài
ư
.
Trong đề tuyển sinh đại học – cao đẳng năm 2014 vừa qua, đề thi của khối A, A1, D
và cao đẳng đều có bài toán tính thể tích khối chóp. Các em đều có chung một cảm nhận là
câu này khó, không làm được!. Qua tìm hiểu và trao đổi với các em thì nguyên nhân chính
là vẽ hình chưa chuẩn xác, không xác định được đường cao của khối chóp và lúng túng
trong tính toán do nhớ sai công thức.
a.

2


Bài toán tính thể tích khối chóp rất đa dạng nên đã tạo ra không ít khó khăn trong
quá trình hướng dẫn, truyền đạt của giáo viên và việc tiếp thu kiến thức của học sinh. Tuy
nhiên nếu biết sắp xếp và phân tích cụ thể các yếu tố có liên quan của bài toán, biết gợi mở
thì sẽ phát huy được tính tích cực của học sinh, tạo được hứng thú cho học sinh khi giải
bài toán tính thể tích khối chóp
b. B

.
hắc phục những hạn chế nêu trên, cần có những bước đi thật cụ thể:

Các tiết bài tập cần chuẩn bị thật chu đáo, phải được thiết kế theo trình tự từ d đến khó,
chú vào các dạng toán cơ bản, tạo hứng thú cho học sinh, giúp các em quen dần với các
dạng toán có liên quan.
ài tập nêu trong sách giáo khoa thường rất phức tạp, do vậy khi hướng dẫn học sinh ta
cần điều chỉnh một số giả thiết cho ph hợp với khả năng nhận thức của các em.

Thông thường, bài toán về hình chóp được chia thành hai dạng như sau:
Hình chóp
Hì

Hình chóp có cạnh bên, mặt bên
vuông góc với mặ đ y
S

S

A

C

C

A

H

N
B

SA   ABC 

S

S

A

Hình chóp tứ giác đều

SH   ABC 

SO   ABCD 

- Tam giác vuông, tam giác cân

- Tam giác đều, tam giác thường
- Hình vuông, hình chữ nhật

- Hình thoi, hình bình hành, hình thang
HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Tam giác
Công thức tính di n tích tam giác:
1
1
1
bhb = chc
2
2
2
1
1
1
 bc sin A  ac sin B  ab sin C
2
2
2
abc

 Các tam giác đặc biệt:
Cho tam giác ABC vuông tại A
A

B

H

 S ABC

Tam giác vuông
Hệ thức lượng trong tam giác vuông:
 Định lí Pitago: BC 2  AB 2  AC 2

 BA2  BH .BC, CA2  CH .CB

 AB.AC  BC.AH

2
 AH  BH .CH



1
1
1


2
2

A

B

(

))
H

C

Cho tam giác ABC cân tại A

Tam giác cân
Gọi là trung điểm của BC  AH  BC

A

 AH  BH .tan B  CH .tan C
1
2

 Diện tích tam giác ABC: S ABC  AH .BC
B

)

(

C


D

S ABCD  AB 2  a 2
O
B

 Độ dài đường chéo hình vuông ABCD cạnh bằng a
AC  BD  AB 2  a 2
Hình chữ nhật
 Diện tích hình chữ nhật ABCD

C

A

D

S ABCD  AB.BC
O

 Độ dài đường chéo hình chữ nhật ABCD
AC  BD  AB2  BC 2

C

B

Hình thoi
 Diện tích hình thoi ABCD

B

 AH  DC
 A
 H  DC

 Dựng: 

C

H

1
AH  AB  DC 
2

là đường cao của hình

thang ABCD

3. Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P)
d
A

(

d’

M



 Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần
lượt năm trên hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao
tuyến tại một điểm
Thực hiện:
Bước 1. Xác định giao tuyến d của (P) và (Q)
Bước 2. Tìm trong P) đường thẳng a vuông góc với d và
trong Q) đường thẳng b vuông góc với d
Bước 2. hi đó, góc giữa hai mặtt phẳng (P) và (Q) là góc
giữa hai đường thẳng a và b

5. Thể tích khối chóp
1
3

S

Công thức tính thể tích khối chóp: V  Bh

A

Trong đó:  B là diện tích đa giác đáy
 h là chiều cao của hình chóp

C

H
B

6. Thể tích khối tứ diện đều

3 3
4
12

đvtt)

PHẦN HAI
Thực hiện bài toán tính thể tích khối chóp
A. Phương pháp thực hiện. Để giải bài toán tính thể tích khối chóp, cần thực hiện theo
các bước sau:
+ Bước 1. Đọc kỹ nội dung đề bài, phân tích và nhận dạng khối chóp
+ Bước 2. Xác định đường cao của khối chóp.
+ Bước 3. Dựng hình và thể hiện nội dung của giả thiết trên hình vẽ
+ Bước 4. Lập công thức tính thể tích khối chóp
+ Bước 5. Tính diện tích đa giác đáy và tính độ dài đường cao của khối chóp
B. Nội dung, biện pháp thực hiện các giải pháp của đề tài.
 Yêu cầu đối với giáo viên:
+ Các tiết bài tập cần chuẩn bị thật chu đáo, thiết kế theo trình tự từ d đến khó, cần
chú ý vào các dạng bài tập cơ bản, tạo hứng thú cho học sinh, giúp các em quen dần
với các dạng toán có liên quan.
+ Bài tập nêu trong sách giáo khoa thường rất phức tạp, do vậy khi hướng dẫn giải,
giáo viên cần điều chỉnh một số giả thiết cho phù hợp với khả năng nhận thức của học
sinh.
 Yêu cầu đối với học sinh:
+ Cần nắm vững phần lý thuyết, thuộc công thức và hoạt động tích cực trong các tiết
bài tập.
+ Qua mỗi dạng bài tập cần suy nghĩ để khắc sâu, làm cơ sở để hoàn thành các bài tập
theo yêu cầu của giáo viên.
C. Thực hiện bài toán tính thể tích khối chóp
1. Khối chóp có cạnh bên vuông góc với mặt đáy

 Tính độ dài cạnh góc vuông BC
 Tính diện tích tam giác ABC
 Tính độ dài đường cao SA

BC  AC 2  AB2  3a 2  2a 2  a

Diện tích tam giác ABC:
1
a2 2
AB.BC 
2
2
SA   ABC   SA  AB
S ABC 

Tam giác SAB vuông tại A:
 Tính thể tích khối chóp S.ABC

SA  SB2  AB2  3a 2  2a 2  a
1
a3 2
VS . ABC  SA.S ABC 
đvtt)
3
6

Bài toán 2. Cho hình chóp S.A C có đáy A C là tam giác vuông cân tại B, cạnh bên SA
vuông góc với mặt đáy. iết AC  a 2, SB  a 3 với 0  a ¡ . Tính thể tích khối chóp
S.ABC theo a
Hướng dẫn


2 AB 2  AC 2  2a 2  AB  a

Diện tích tam giác ABC: S ABC 
SA   ABC   SA  AB

1
a2
AB 2 
2
2

Tam giác SAB vuông tại A:
SA  SB2  AB2  3a2  a2  a 2
1
a3 2
VS . ABC  SA.S ABC 
đvtt)
3
6

 Tính thể tích khối chóp S.ABC
Bài toán 3. Cho hình chóp S.A C có đáy A C là tam giác đều cạnh bằng 2a với 0  a ¡ ,
cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy. iết SB  a 5 . Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a
Hướng dẫn
Nhận xét: ài toán 3 tương tự bài toán 1, chỉ
khác: đáy là tam giác đều ABC cạnh 2a

Xác định đường cao của khối chóp
 SA vuông góc với mặt đáy

AM 
2

 Tính diện tích tam giác ABC
 Tính độ dài đường cao SA

 AM  BC

trung điểm của BC  
2a 3
a 3
 AM 

2

Diện tích tam giác ABC:
1
AM .BC  a 2 3
2
SA   ABC   SA  AB
S ABC 

Tam giác SAB vuông tại A:
 Tính thể tích khối chóp S.ABC

SA  SB2  AB2  5a 2  4a 2  a
1
a3 3
VS . ABC  SA.S ABC 
đvtt)


1
3

Thể tích khối chóp S.ABC: VS . ABC  SA.S ABC
Tam giác ABC vuông cân tại B:
a
2

 Tính độ dài cạnh góc vuông  AB  BC 

2 AB 2  AC 2  a 2  AB 

 Tính diện tích tam giác ABC

Diện tích tam giác ABC: SABC 

 Xác định góc giữa SB với (ABC)

SA   ABC   AB là hình chiếu vuông góc của

 Tính độ dài đường cao SA

SB trên (ABC)
·  600
 góc giữa SB với (ABC) là SBA
Tam giác SAB vuông tại A:
·  tan 600 
tan SBA


Nhận xét: ài toán 5 tương tự bài toán 3, chỉ
thêm: góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và
(ABC) bằng 600

S

Xác định đường cao của khối chóp
 SA vuông góc với mặt đáy
 SA là đường cao của khối chóp

A

C

0

60 (

M
B

 Đáy là tam giác đều ABC cạnh a
Bài gi i.
 Lập công thức tính thể tích khối chóp

1
3

Thể tích khối chóp S.ABC: VS . ABC  SA.S ABC
Trong tam giác đều ABC cạnh a , gọi M là

 BC  SA
 BC   SAM   BC  SM

 BC  AM

 SBC    ABC   BC

 SM   SBC  , SM  BC  góc giữa hai mặt

 AM   ABC  , AM  BC
·  600
phẳng (SBC) và (ABC) là SMA

Tam giác SAM vuông tại A:
 Tính độ dài đường cao SA

·
tan SMA
 tan 600 

Hướng dẫn

Hình vẽ

SA
3a
 SA  AM .tan 60 0 
AM
2
3


 Lập công thức tính thể tích khối chóp
 Tính diện tích hình vuông ABCD

Bài gi i.
Thể tích khối chóp S.ABCD:
1
VS . ABCD  SA.S ABCD
3

Diện tích hình vuông ABCD:
SA   ABCD   SA  CD

 Xác định góc giữa hai mặt phẳng (SCD)
và (ABCD)

S ABCD  a 2

CD  SA
 CD   SAD   SD  CD

CD  AD

 SCD    ABCD   CD

 SD   SCD  , SD  CD  góc giữa hai mặt

 AD   ABCD  , AD  CD
·  600
phẳng (SCD) và (ABCD) là SDA


Xác định đường cao của khối chóp
 SA vuông góc với mặt đáy
 SA là đường cao của khối chóp
 Đáy là hình vuông A CD cạnh 2a

A

D
600

B

(
C

Bài gi i.
1
3

 Lập công thức tính thể tích khối chóp

Thể tích khối chóp S.ABCD: VS . ABCD  SA.S ABCD

 Tính diện tích hình vuông ABCD

Diện tích hình vuông ABCD: S ABCD  4a 2
AC là đường chéo của hình vuông ABCD cạnh
bằng 2a  AC  2 2a
SA   ABCD   AC là hình chiếu vuông góc của

(Trích đề tuyển sinh khối D năm 2013)
·  tan 600 
tan SCA

Hướng dẫn
Nhận xét:

Hình vẽ
S
A
0

120

B

)600

D

A

M

D
0

120

C


 Tam giác SAM vuông cân tại A

·  450
Tam giác SAM vuông tại A và có SMA
 SA  AM 

 Tính thể tích khối chóp S.ABCD

a2 3
2

VS . ABCD

a 3
2

1
a3
 SA.S ABCD 
3
4

đvtt)

Bài toán 9. Cho hình chóp S.A CD có đáy A CD là hình thang vuông tại A và D,
AD  CD  a, AB  3a với 0  a ¡ , cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy, cạnh bên SC
tạo với đáy một góc bằng 450 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a
Hướng dẫn
Nhận xét:



Bài gi i.
1
3

 Lập công thức tính thể tích khối chóp

Thể tích khối chóp S.ABCD: VS . ABCD  SA.S ABCD

 Tính diện tích hình thang ABCD

Diện tích hình thang ABCD:

 Tính độ dài đường cao SA

S ABCD 

1
AD  AB  CD   2a 2
2

ADC vuông

tại D  AC  AD2  DC 2  a 2

SA   ABCD   AC là hình chiếu vuông góc của

 Tam giác SAC vuông cân tại A


SD trên mặt phẳng (SAB)
 Cần chứng minh: AD   SAB 

S
300

A

D

B

 Lập công thức tính thể tích khối chóp
 Tính diện tích hình vuông ABCD

C

Bài gi i.
1
3

Thể tích khối chóp S.ABCD: VS . ABCD  SA.S ABCD
Diện tích hình vuông ABCD: S ABCD  a 2

 Tính độ dài đường cao SA

SA   ABCD   SA  AD 

  AD   SAB 
AB  AD

3
3

2. Khối chóp có mặt bên vuông góc với mặt đáy
Bài toán 11. Cho hình chóp S.A C có đáy A C là tam giác vuông cân tại A, mặt bên SBC là
tam giác đều cạnh a với 0  a ¡ và mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể
tích khối chóp S.ABC theo a
( Trích đề tuyển sinh khối D năm 2014)

Hướng dẫn
Xác định đường cao của khối chóp

Hình vẽ
S

 Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau và
cắt nhau theo một giao tuyến, đường thẳng
nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với
giao tuyến thì nó vuông góc với mặt phẳng
kia.

A

C
H
B

Bài gi i.
Trong tam giác đều SBC cạnh a , gọi H là trung
 SH  BC

a 3
 Tính thể tích khối chóp S.ABC
VS . ABC  SH .S ABC 
đvtt)
3
24
ABC  300 , mặt bên
Bài toán 12. Cho hình chóp S.A C có đáy A C là tam giác vuông tại A, ·

S C là tam giác đều cạnh a với 0  a ¡ và mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng đáy.
Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a
( Trích đề tuyển sinh khối A và A1 năm 2013)
Hướng dẫn
Nhận xét:

Hình vẽ
S

 ài toán 9 tương tự bài toán 8
 Đáy là tam giác vuông tại A
A

( B

H

14


 Cần khai thác giả thiết: Đáy là tam giác


 Xác định đường cao của khối chóp
Tính độ dài đường cao SH

AB
a
 AB  BC.s in300 
BC
2
Tam giác ABC là nửa tam
a 3
a
AC
a 3
giác đều cạnh BC  a
ABC  cos 300 
 AC  BC.cos 300 
 cos ·
2
BC
2
C
A
2
1
a 3
Diện tích tam giác ABC: S ABC  AB. AC 
2
8
3


 Xác định đường cao của khối chóp

0

B

) 30

H

C

A

Bài gi i.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên BC
 SH  BC

 SBC    ABC 

 SBC    ABC   BC  SH   ABC 

 SH   SBC  , SH  BC

15


 Lập công thức tính thể tích khối chóp
Tính độ dài đường cao SH


2a

O

D

C

A

 Cần nắm vững tính chất của hình thoi để
tính diện tích đáy

H

D
O

B

C

Bài gi i.
Trong tam giác đều SAB , gọi
 Xác định đường cao của khối chóp

 Lập công thức tính thể tích khối chóp
 Tính diện tích hình thoi ABCD


1
2a 3 15
VS . ABCD  SH .S ABCD 
3
3

a 15
2

đvtt)

Bài toán 15. Cho hình chóp S.A C có đáy A C là tam giác đều cạnh bằng 2a với 0  a ¡ .
Biết SA  SB , mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tính thể tích khối chóp
S.ABC theo a
(Trích đề kiểm tra học kỳ I lớp 12 năm học 2014 – 2015 của Tỉnh Đồng Nai)
Hướng dẫn
Hình vẽ
S
 Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau và

16
A

C


cắt nhau theo một giao tuyến, đường thẳng
nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với
giao tuyến thì nó vuông góc với mặt phẳng
kia.

3
Bài toán 16. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng a với 0  a ¡ , mặt bên

SA là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính thể tích
khối chóp S.ABCD theo a
( Trích đề tuyển sinh khối B năm 2013)
Hướng dẫn
Nhận xét:

Hình vẽ
S

 Mặt bên SA là tam giác đều và nằm trong
mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD).
( d dàng xác định đường cao của khối chóp)

A

D

H
B

 Xác định đường cao của khối chóp
Tính độ dài đường cao SH

 Lập công thức tính thể tích khối chóp
 Tính diện tích hình vuông ABCD

C

6

đvtt)

3. Khối chóp đều
Bài toán 17. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a 3 , cạnh bên bằng 2a
với 0  a ¡ Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a
Hướng dẫn
Hình vẽ
Nhận xét: ình chóp tam giác đểu là hình
chóp đều có đáy là tam giác đều, tâm H của
đáy là hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên
đáy
 AB  BC  CA  a 3

S

A

C


H

 SA  SB  SC  2a

M
B

 Xác định đường cao của khối chóp


 Tính diện tích tam giác ABC
Tính độ dài đường cao SH
 Tính thể tích khối chóp S.ABC

1
2

Diện tích tam giác ABC: S ABC  AM .BC 

3a 2 3
4

Tam giác SHA vuông tại H.
SH  SA2  AH 2  4a 2  a 2  a 3
1
a3 3
VS . ABC  SH .S ABC 
đvtt)
3
4

Bài toán 18. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a , cạnh bên bằng a 3 với
0  a ¡ . Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a
Hướng dẫn
Hình vẽ
Nhận xét: Hình chóp tứ giác đểu là hình
chóp đều có đáy là hình vuông, tâm O của
đáy là hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên
đáy


Diện tích hình vuông ABCD: S ABCD  4a 2

1
3

AC là đường chéo hình vuông cạnh 2a
 AC  2a 2 . Dó đó: OA 

AC
a 2
2

Tam giác SOA vuông tại O.
Tính độ dài đường cao SO
 Tính thể tích khối chóp S.ABCD

SO  SA2  OA2  3a2  2a2  a
1
4a 3
VS . ABCD  SO.S ABCD 
đvtt)
3
3

Bài toán 19. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a với 0  a ¡ , cạnh bên
tạo với đáy một góc 450 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a
Hướng dẫn
Nhận xét:



Thể tích khối chóp S.ABCD: VS . ABCD  SO.S ABCD

Diện tích hình vuông ABCD: S ABCD  4a 2
 Xác định góc giữa một cạnh bên với đáy SO   ABCD   BO là hình chiếu vuông góc của
cạnh bên SB trên (ABCD)
· là góc giữa SB và (ABCD); SBO
·  450
 SBO
Tính độ dài đường cao SO

Tam giác SOB vuông tại O.
 Tính thể tích khối chóp S.ABCD

SO
 SO  OB  a 2
OB
1
4a 3 2
 SO.S ABCD 
đvtt)
3
3

·  tan 450 
tan SBO

VS . ABCD

Bài toán 20. Tính thể tích khối tứ diện đều ABCD cạnh bằng a với 0  a ¡

Bài gi i.
Trong tam giác đều BCD cạnh a , gọi M là trung
 BM  CD

điểm của CD  
a 3
 BM 

2
Gọi H là trọng tâm của BCD  AH   BCD 

Thể tích khối tứ diện ABCD:
VABCD  VA.BCD 

 Tính diện tích tam giác BCD

Tính độ dài đường cao AH
 Tính thể tích khối tứ diện ABCD

1
AH .S BCD
3

 H  BM


2
2 a 3 a 3

 BH  BM  .

Bài toán 21. Cho hình chóp S.A CD có đáy A CD là hình vuông cạnh bằng 2a , với
0  a ¡ . Hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng A CD) là trung điểm H của
cạnh AB. Góc giữa mặt phẳng (SCD) và mặt phẳng (ABCD) bằng 600 . Tính thể tích khối
chóp S.ABCD theo a
(Trích đề kiểm tra học kỳ II lớp 12 năm học 2014 – 2015 của Tỉnh Đồng Nai)

Hướng dẫn
Hình vẽ
Nhận xét:
 Hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên

S

mặt phẳng A CD) là trung điểm H của
cạnh AB
dàng xác định
 SH   ABCD  (d

A

D
600

H
B

(

M



 SCD    ABCD   CD

·
 SM   SCD  , SM  CD  SMH là góc giữa

 HM   ABCD  , HM  CD
·
 600
hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD); SMH

Tam giác SHM vuông tại H:
Tính độ dài đường cao SH
 Tính thể tích khối chóp S.ABCD

·
tan SMH
 tan 600 
1
VS . ABCD  SH .S ABCD
3

SH
 SH  HM .tan 600  2a 3
HM
8a 3 3

đvtt)
3



SH   ABC 

 Lập công thức tính thể tích khối chóp

1
3

Thể tích khối chóp S.ABC: VS . ABC  SH .S ABC
Trong tam giác đều ABC cạnh a , gọi M là trung điểm
CM  AB

của AB  
a 3
CM 

2

21


 Tính diện tích tam giác đều ABC
 Xác định góc giữa SC và (ABC)
 MA  MB
AB a
 MH 


6
6

a 7
VS . ABC  SH .S ABC 
đvtt)
3
12

Tam giác MHC vuông tại M: CH  CM 2  MH 2 
Tính độ dài đường cao SH
 Tính thể tích khối chóp S.ABC

Bài toán 23. Cho hình chóp S.A CD có đáy A CD là hình vuông cạnh bằng a , với
là giao điểm của CN và DM.
0  a ¡ . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của A và AD;
Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH  a 3 . Tính thể tích khối chóp
S.CDNM theo a
(Trích đề tuyển sinh khối A năm 2010 )
Hướng dẫn
Nhận xét:
 Tính thể tích khối chóp S.CDNM

Hình vẽ
S

 Dựa vào hình học phẳng để tính diện tích
tứ giác CDNM
A

N

D

 SH  a 3
Diện tích tứ giác CDNM
 SCDNM  S ABCD   SAMN  SBMC 
1
1

 AB 2   AM 2 . AN 2  BM 2 .BC 2 
2
2

2
2
2
 a a  5a
 a2     
4
8
 8

 Tính thể tích khối chóp S.CDNM

VS .CDNM

1
5a 3 3
 SH .SCDNM 
3
24

đvtt)

H

M

N

C


H

60

C

0

(
M

B

Bài gi i.
 Lập công thức tính thể tích khối chóp
 Tính diện tích tam giác ABC
Sử dụng công thức Hêrông:

S

p  p  a  p  b  p  c 

 HM  BC
 SBC    ABC   BC

 SM   SBC  , SM  BC  góc giữa hai mặt phẳng

 HM   ABC  , HM  BC
·
 600
(SBC) và (ABC) là SMH

Ta có:
SABC  pr  p.HM  HM 

SABC 12a 2 3a


p
8a
2

Tam giác SHM vuông tại H
 Tính thể tích khối chóp S.ABC

SH  HM .tan 600 

3a 3
2

1
VS . ABC  SH .S ABC  6a 3 3



H

300 (

C

B

Bài gi i.
Ta có: SH   ABC  ; SH  a 2
1
3

Thể tích khối chóp S.ABC: VS . ABC  SH .S ABC
 Tính diện tích tam giác ABC
1
AB.BC
2
1
 AC.BC sin 300
2

SABC 
S ABC

 Tính thể tích khối chóp S.ABC

Tam giác ABC vuông tại B, ta có:

 Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau

S

theo giao tuyến d và cùng vuông góc với
mặt phẳng (R) thì d   R 
 SAB    SAC   SA
  SAB    ABC 
 SA   ABC 

A



 SAC    ABC 

C
300

(

M
B

 Xác định đường cao của khối chóp

Bài gi i.

 Lập công thức tính thể tích khối chóp


 AM .BC 
2
4

SA   ABC   AB là hình chiếu vuông góc của SB
·  300
trên (ABC)  góc giữa SB và (ABC) là SBA

Tam giác SAB vuông tại A: SA  AB.tan 300 
Tính độ dài đường cao SA
 Tính thể tích khối chóp S.ABC

1
a3
VS . ABC  SA.S ABC 
3
12

a
3

đvtt)

5. Bài tập áp dụng.
Đề bài

Đáp án

Bài 1. Cho hình chóp S.A C có đáy A C là tam giác vuông cân tại đỉnh
C, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy. iết SA  a, SB  a 5 , với

VS . ABC 

a3
4

VS . ABC 

a3
2

(Hướng dẫn: Gọi H là hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên (ABC), vì SA  SB  SC
nên OA  OB  OC )

Bài 5. Cho hình chóp S.A C có đáy A C là tam giác vuông tại B,
AB  a , AC  2a với 0  a ¡ , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng
đáy, mặt phẳng (SBC) tạo với mặt đáy một góc 600 .Tính thể tích khối
chóp S.ABC theo a
Bài 6. Cho hình chóp S.A CD có đáy A CD là hình vuông cạnh bằng
a , với 0  a ¡ . Hình chiếu vuông góc H của đỉnh S là một điểm thuộc
BD sao cho HD  3HB . Góc giữa cạnh bên SC với mặt đáy bằng 600 .Tính
thể tích khối chóp S.ABCD theo a

VS . ABCD 

a 3 30
12

25