BM02-LLKHSKKN

SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC
I. THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN:
1. Họ và tên:

NGUYỄN THỊ THANH

2. Ngày tháng năm sinh:

20 - 04 - 1987

3. Nam, nữ: NỮ
4. Địa chỉ: Tổ 1, khu 3, TT Gia Ray, huyện Xuân Lộc, tỉnh Đồng Nai
5. Điện thoại: 0906992829
6. Fax:

- E-mail:

7. Chức vụ: Giáo viên
8. Nhiệm vụ được giao: giảng dạy môn Toán lớp 12C5, 11B9. 11B10.
9. Đơn vị công tác :

Trường THPT Xuân Hưng

II. TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO:
- Học vị (hoặc trình độ chuyên môn, nghiệp vụ) cao nhất: Đại học
- Năm nhận bằng:

2010


phương pháp giải nhưng trình bày còn lúng túng chưa gọn gàng, sáng sủa.
Vì vậy tôi mới tổng hợp một số dạng bài tập để giúp các em học sinh lớp 12
có thể tự học để nâng cao kiến thức, tự ôn tập để giải tốt các đề thi Đại học – Cao
đẳng –THCN.
II. THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP CỦA
ĐỀ TÀI:
1. Thuận lợi:
Học sinh được truyền thụ các kiến thức cơ bản về tích phân.
Được sự hỗ trợ của các giáo viên trong tổ.
2. Khó khăn:
Học sinh chưa có thói quen tìm tòi phương pháp giải khi gặp các bài toán
tổng quát.
Cần nhiều thời gian để tạo thói quen học tập cho học sinh.
3. Số liệu thống kê:
Đang áp dụng để giảng dạy cho học sinh 12.
2


III. NỘI DUNG ĐỀ TÀI:
1. Cơ sở lí luận:
- Nhiệm vụ trung tâm của trường THPT là hoạt động dạy của thầy và hoạt
động học của trò, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân
lực, bồi dưỡng nhân tài”. Giúp học sinh củng cố những kiến thức phổ thông đặc
biệt là bộ môn Toán rất cần thiết không thể thiếu trong đời sống của con người.
Môn Toán là một môn học tự nhiên quan trọng và khó với kiến thức rộng, đa phần
các em ngại học môn này.
- Muốn học tốt môn Toán các em phải nắm vững các tri thức khoa học ở
môn Toán một cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết linh hoạt vào từng dạng
bài tập. Điều đó thể hiện ở việc học đi đôi với hành, đòi hỏi học sinh phải có tư
duy logic. Giáo viên cần định hướng cho học sinh học và nghiên cứu nôm Toán

b
a

= F (b) − F ( a )

a

3


Chú ý:
a

∫ f ( x)dx = 0

+

b

a

a

b

∫ f ( x)dx = −∫ f ( x)dx

+

a

a

a

a

∫ [f ( x) ± g ( x)]dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx

b

f ( x)dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx

a

b

( a < c < b)

c

3. Bảng nguyên hàm:
Hàm sơ cấp

∫ dx = x + c
α
∫ x dx =

∫ kdx = kx + c

xα +1

ln a

∫ du = u + c

α
∫ (ax + b) dx =

1

1 (ax + b)α +1
+c
a α +1

1

∫ ax + b dx = a ln ax + b + c
1

∫ (ax + b)

2

dx = −

1 1
+c
a ax + b

ax +b
∫ e dx1 =


1

1

1

1

∫ cos (ax + b) dx = a tan(ax + b) + c
2

Hàm hợp

α
∫ u du =

uα +1
+c
α +1

1

∫ u du = ln u + c
1

∫u

2




1

∫ sin

2

x

dx = − cot x + c

∫ sin

2

1
1
dx = − cot(ax + b) + c
(ax + b)
a

1

∫ sin

2

u


1
2 x

( u )′ =

u′
2 u

(a x )′ = a x ln a

(a u )′ = a u ln a.u ′

(e x )′ = e x

(eu )′ = eu .u ′

(ln x)′ =

1
x

(log a x)′ =

(ln u )′ =

1
x ln a

u′
u

u′
= u ′(1 + tan 2 u )
2
cos u

(cot x)′ = −

u′
= −u′(1 + cot 2 u )
2
sin u
5


5. Phương pháp tích phân:
a. Phương pháp đổi biến:
Định lí 1: Cho hàm số f ( x) liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử hàm số
x = ϕ (t ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [α ; β ] sao cho ϕ (α ) = a, ϕ ( β ) = b và
a < ϕ (t ) < b với mọi t ∈ [α ; β ] . Khi đó:
b

β

a

α

∫ f ( x)dx = ∫ f (ϕ (t )).ϕ ′(t )dt
Định lí 2: Cho hàm số f ( x) liên tục trên đoạn [a; b]. Nếu hàm số
u = u ( x ) có đạo hàm liên tục trên [a; b] và α ≤ u ( x ) ≤ β , ∀x ∈ [a; b] sao cho

a

b
a

b

− ∫ vdu
a

6. Công thức lượng giác:
a) Công thức cộng
sin(a ± b) = sina.cosb ± sinb.cosa
cos(a ± b) = cosa.cosb sina.sinb
tan(a ± b) =

tana ± tanb
1 mtana.tanb
6


b) Công thức nhân
sin2a = 2sina.cosa
cos2a = cos2a – sin2a = 2cos2a – 1 = 1 – 2sin2a.
tan2a =

2tana
1 − tan 2 a

sin3a = 3sina – 4sin3a,

tan a =

2t
1− t2

e) Công thức biến đổi tích thành tổng
sina.cosb =

1
[sin(a – b) + sin(a + b)]
2

cosa.cosb =

1
[cos(a – b) + cos(a + b)]
2

sina.sinb =

1
[cos(a – b) – cos(a + b)]
2

f) Công thức biến đổi tổng thành tích
sina + sinb = 2sin

a+b
a−b
cos

tana ± tanb =

sin(a ± b)
cosa.cosb

B. BÀI TẬP
I. MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN TÍNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI
BIẾN THƯỜNG GẶP:
b

1. Đổi biến loại 1:

∫ f ( x)dx
a

Phương pháp:
+ Đặt x = ϕ (t ) ⇒ dx = ϕ ′(t )dt
+ Đổi cận: x = a ⇒ t = α ; x = b ⇒ t = β
+

b

β

a

α

∫ f ( x)dx = ∫ f (ϕ (t )).ϕ ′(t )dt
β


1

b) J =

∫

4 − x 2 dx

0

Giải:
 π π
a) Đặt x = sin t ( t ∈  − ;  ) ⇒ dx = cos tdt
 2 2
8


Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0; x =
π
6

I =∫
0

1
π
⇒ t = . Ta có:
2
6

2

0

0

π
2

J = ∫ 4 − (2sin t ) 2 .2 cos tdt = ∫ 4sin 2 t .2 cos tdt
π
2

π
2

0

0

π

= ∫ 4sin t cos tdt = ∫ 2sin 2tdt = − cos 2t 02 = 2
β

∫ (a

Dạng 2:

2

Giải:
a) Đặt x = tan t , t ∈ (−

π π
; ) ⇒ dx = (1 + tan 2 t ) dt
2 2
9


Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0; x = 1 ⇒ t =
π
4

π
4

π
4

π
4

(1 + tan 2 t )dt
π
I=∫
= ∫ dt = t =
2
1 + tan t
4
0

6

6

3
27
I = ∫ [9 + (3tan t ) 2 ] (1 + tan 2 t )dt =
(1 + tan 2 t)(1 + tan 2 t )dt
∫
5
5 π
π

=

π
4

π
4

27
27
1
36 − 10 3
(1 + tan 2 t)d (tan t ) =
(tan t + tan 3 t ) =
∫
π
5 π


ϕ (b )

f (t ) dt = F (t ) ϕ ( a )

10


β

Dạng 1:

∫ (ax + b)

n

dx (n ≠ −1; a ≠ 0)

α

Phương pháp: Đặt t = ax + b ⇒ dt = adx ⇒ dx =

1
dt
a

Ví dụ: Tính các tích phân sau:
1

1


1
1
I = ∫ t 3 dt = t 4
4
16
−3

5

= 34
−3

1

1

1
dx = ∫ (−2 x + 3) −5 dx
b) J = ∫
5
(−2 x + 3)
0
0
Đặt t = −2 x + 3 ⇒ dt = −2dx ⇒ dx = −

1
dt
2


Phương pháp: Đặt t = ax + b ⇒ dt = anx dx ⇒ x dx =

1
dt
an

Ví dụ: Tính các tích phân sau:
1

a) I =

∫x

2

2

c) K = ∫

(2 x + 1) dx
3

4

−1

1

2 xdx
x2 + 1

3

1
1
I = ∫ t 4 dt = t 5
6
30
−1

3

=
−1

122
15

1

∫

b) J = x 2 − x dx
2

0

Đặt t = 2 − x ⇒ dt = −2 xdx ⇒ xdx = −
2

1


12


2

∫

c) K =

1

2 xdx
x2 + 1

Đặt; t = x 2 + 1 ⇒ dt = 2 xdx
Đổi cận: x = 1 ⇒ t = 2; x = 2 ⇒ t = 5
5

K =∫
2

5

5

1
1
−
dt

x
1
e

b) J =

∫
1

c) K =

ln xdx

∫ x(2 + ln x)

2

1

4 + 5ln xdx
x

Giải:
e

ln 2 xdx
a) I = ∫
x
1
Đặt t = ln x ⇒ dt =


5
1
1
dx ⇒ dx = dt
x
x
5

Đổi cận: x = 1 ⇒ t = 4; x = e ⇒ t = 9
9

9

9

1
1 12
2 23
38
J =∫
tdt = ∫ t dt = t =
5
54
15 4 15
4
e

c) K =


a)

∫ f (sin x).cos xdx

α

Phương pháp: Đặt t = sin x
β

b)

∫ f (cos x).sin xdx

α

14


Phương pháp: Đặt t = cos x
Ví dụ: Tính các tích phân sau:
π
2

∫

d) K =

π
3


f) M =
∫

c) J = e 2sin x .cos xdx

0

0

1 + 3cos x
sin 2 x

cos 2 x + 4sin 2 x

dx

Giải;
π
2

∫

a) I = sin 3 x.cos xdx
0

Đặt: t = sin x ⇒ dt = cos xdx
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0; x =

π
⇒ t =1

15


Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 5; x =
3

π
⇒t =3
3
5

5

1
1 12
1 32
5 5 −3 3
J = ∫−
tdt = ∫ t dt = t =
4
43
6 3
6
5
π
6

∫

c) J = e2sin x .cos xdx

2

π
2

sin 2 x
2sin x.cos x
dx
=
∫0 4 − cos 2 x ∫0 4 − cos 2 x dx

Đặt: t = cos x ⇒ dt = − sin xdx ⇒ sin xdx = − dt
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1; x =
0

π
⇒t =0
2

1

1

2t
2t
1
1
K = ∫−
dt
=

e)

16


π
2

π
2

π
2

sin 2 x + sin x
2sin x cos x + sin x
(2 cos x + 1) sin x
dx = ∫
dx = ∫
dx
1 + 3cos x
1 + 3cos x
1 + 3cos x
0
0
0

L=∫

3sin x

+ 1)( − dt ) = ∫ (2t 2 + 1)dt = ( t 3 + t ) =
3
3
91
9 3
27
1
2
f) M =

π
2

π
2

sin 2 x

∫

cos 2 x + 4sin 2 x

0

dx = ∫
0

sin 2 x
1 + 3sin 2 x


3 t 3 1 3
1 + 3sin 2 x
1
β

Dạng 5:

∫ f (e ).e dx
x

x

α

Phương pháp; Đặt t = e x

17


Ví dụ: Tính các tích phân sau:
ln 2

a) I =

∫ (e

x

1


(e x + 1) 2 e x dx

0

Đặt: t = e x ⇒ dt = e x dx
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1; x = ln 2 ⇒ t = 2
2

2

(t + 1)3
19
2
I = ∫ (t + 1) dt = I =
=
3 1 3
1
ln 5

ln 5

1
ex
dx = ∫ 2 x
dx
b) J = ∫ x
−x
x
e
+

−
3
t
+
2
(
t
−
1)(
t
−
2)
t
−
2
t
−
1
3
3
3
5

= (ln t − 2 − ln t − 1) 3 = ln 3 − ln 2
1

e x (1 + x)
dx
c) K = ∫
x

1

= ln(1 + e)

Dạng 6:
β

a)

∫

f (tan x).

α

1
dx
2
cos x

Phương pháp: Đặt t = tan x
β

b)

1

∫ f (cot x). sin

α

dx
cos 2 x

6

Giải:

a) I =

π
4

∫
0

1 + tan x
dx
cos 2 x

Đặt: t = 1 + tan x ⇒ dt =

1
dx
cos 2 x

Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1; x =

π
⇒t =2
4

Đặt: t = cot x ⇒ dt = −
Đổi cận: x =

1
1
dx ⇒
dx = −dt
2
sin x
sin 2 x

π
π
⇒ t = 3; x = ⇒ t = 1
6
4

1

3

3

2
7
I = ∫ −(3 − 2 t )dt = ∫ (3 − 2 t )dt = (3t − t 3 ) = 3 −
3 1
3
1
3


β

c)

∫α P( x) cos axdx

Phương pháp:

, P(x) là một đa thức của x

Đặt u = P( x) , dv = cos axdx

20


Ví dụ: Tích các tích phân sau:
π
2

1

∫

2x
c) I = ( x − 2)e dx

∫

a) I = ( x + 1) cos xdx

0

u = x + 1
du = dx
⇒
. Ta có:
dv = cos xdx  x = s inx

Đặt 

π
2

π

π
2

I = ∫ ( x + 1) cos xdx = ( x + 1) sin x 02 − ∫ sin xdx =
0

0

π
π
π
+ 1 + cos x 02 =
2
2


2
20
0
0
π
1 3
5
= + sin 2 x 04 =
2 4
4

21


1

∫

2x
c) I = ( x − 2)e dx
0

du = dx
u = x

⇒
Đặt 

1 2x
2x

5
= − e2 +
4
4
π
2

π
2

π
2

0

0

0

∫

∫

∫

d) I = ( x + sin 2 x ) cos xdx = x cos xdx + sin 2 x cos xdx = I + I
1
2
π
2

2
2

π
2

+ I = sin 2 x.cos xdx
2
∫
0

Đặt t = sin x ⇒ dt = cos xdx
Đổi cận: x =
1

π
⇒ t = 1; x = 0 ⇒ t = 0
2
1

t3
1
2
I 2 = ∫ t dt =
=
30 3
0
22



1 + ln(1 + x)
∫1 x 2 dx

Giải:
3

∫

a) I = ln( x − x )dx
2

2

2x −1

u = ln( x 2 − x ) u = 2
⇒
Đặt 
x − x . Ta có
dv
=
dx

v = x
3

3

3


1 + ln(1 + x)
∫1 x 2 dx

23


1

u = 1 + ln(1 + x) u =


1+ x
⇒
Đặt 
. Ta có
1
1
dv
=
dx

v = −
x2

x
3

3

3


2 2
− ln 2 + ln 3
3 3

Dạng 3:
β

a)

1

∫ P( x) sin

α

2

x

dx , P(x) là một đa thức của x.

Phương pháp: :
β

b)

∫ P ( x)

α


π
2

x+2
∫π sin 2 x dx
6

24


Giải:

a) I =

π
4

x

∫ cos

2

0

x

dx


− I1
2
∫
0
cos x
4
0
0

I=∫

π
4

π
4

0

0

∫

+ Tính I = tan xdx =
1

sin x

∫ cos x dx


=

1
ln 2
2

π
π 1
− I1 = − ln 2
4
4 2

π
2

x+2
∫π sin 2 x dx
6

25