Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Voòng Vĩnh Sun

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI
Đơn vị: Trường THPT Nam Hà
Mã số: ……………….
(Do HĐKH Sở GD&ĐT ghi)

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN
MỘT MẶT PHẲNG

Người thực hiện: VOÒNG VĨNH SUN
Lĩnh vực nghiên cứu :
- Quản lý giáo dục : ……………
- Phương pháp dạy học bộ môn : Toán……
- Phương pháp giáo dục : ………………
- Lĩnh vực khác : …………………

Có đính kèm:
 Mô hình  Phần mềm

 Phim ảnh

 Hiện vật khác

Năm học: 2012 – 2013

Trang 1

TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO

- Học vị ( hoặc trình độ chuyên môn, nghiệp vụ ) cao nhất: C nh n
- Năm nhận bằng: 2001
- Chuyên ngành đào tạo: Toán

III.

KINH NGHIỆM KHOA HỌC
- Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Giảng dạy môn Toán
- Số năm c kinh nghiệm: 12
- Các sáng kiến kinh nghiệm đã c trong năm gần đ y:
Chuyên đề: MỘT S
HƯƠNG H
GIẢI
ÀI TO N VỀ H
I HÌNHVÀ H Đ NG ẠNG TRONG MẶT HẲNG
Chuyên đề : HƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA Đ THỊ
Chuyên đề: THỂ TÍCH KH I CHÓP
Chuyên đề: X
ĐỊNH ĐƯ NG AO HÌNH HÓ VÀ HÌNH LĂNG
TRỤ TỪ ĐÓ TÍNH THỂ TÍCH KH I CHÓP VÀ KH I
LĂNG TRỤ

Trang 2


Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Voòng Vĩnh Sun


Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Voòng Vĩnh Sun

NỘI UNG ĐỀ TÀI
PHẦN I : CÁCH TÌM KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG .
1)Trực tiếp xác định đoạn vuông góc kẻ từ điểm đến mặt phẳng rồi tính .
ần nhớ : Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( ) .
d(M,

) = MH ( MH vuông góc

tại H )

M

α)

H

Chú ý: Cách xác định đoạn MH như sau:
- Tìm một mặt phẳng (β) chứa điểm M và c giao tuyến với
- Trong mặt phẳng (β) dựng MH vuông g c với d tại H
- Ta có :

là d .

(  )  ( )


Suy ra AH vuông góc (SBC) tại H
Suy ra d(A,(SBC)) = AH

B

K
A

D
O

C

Ta có
Trang 4


Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Voòng Vĩnh Sun

Suy ra AH
3)Ta có
 SA  BD

 AC  BD
 BD   SAC 
  SBD    SAC 

Lại có  SBD    SAC   SO nên trong mặt phẳng (SAC)

Chứng minh :

AC đôi một vuông góc . Gọi h là

1
1
1
1



2
2
2
h
AS
AB
AC 2

Giải
Ta có SA  AB và SA  AC
Suy ra SA  (ABC)
Kẻ AK  BC tại K
Ta có BC  AK và BC  SA (do SA  (ABC))
Suy ra BC  (SAK)
Kẻ AH  SK tại H
Ta có AH  SK và AH  BC (do BC  (SAK))
Suy ra AH  (SBC)
Suy ra d(A,(SBC)) = AH = h.
Tam giác SAK vuông tại A và tam giác ABC vuông

C
K
B

(dpcm)

Trang 5


Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Voòng Vĩnh Sun

Ví dụ 3
Cho hình ch p S.A CD c đáy A CD là hình vuông cạnh bằng a t m O. Gọi M là trung
điểm cạnh A hình chiếu vuông g c của đỉnh S trên mặt đáy là trung điểm của đoạn
OM g c giữa mặt bên (SA ) và mặt đáy bằng 600.T nh th o a khoảng cách từ điểm O
đến mặt phẳng (SCD).
Hướng giải
-Gọi H là trung điểm OM
Suy ra SH vuông góc (ABCD)
-Gọi N là trung điểm của CD
 CD  ON

S

Ta có CD  ON
 CD   SHN 

CD  SH

64
a
 OQ 
4
a
Vậy d  O,(SCD)  .
4
Nhận xét : HK / /OQ

OQ  (SCD)



j

K
Q
D

A

H

O

N

M

B

1
1
1
1



2
2
2
h
AS
AB
AC 2

Kết quả 2:

d ( S , ( ABC )) 

3VS . ABC
S ABC

Kết quả 3:
Điểm M và điểm A cùng thuộc đường thẳng d song song ( ) suy ra
d(M,
) = d(A,
)
Kết quả 4:
M và A cùng thuộc đường thẳng d và d giao với ( ) tại C suy ra
2.2 ác ví dụ

Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Voòng Vĩnh Sun
S

Thay AB = 3 cm, SA = AC = 4 cm vào hệ thức trên ta
t nh được h 

6 34
cm
17

A

C

B

Ví dụ 5
Cho hình ch p S.A CD c đáy A CD là hình vuông cạnh bằng a ,cạnh bên SA bằng
a 2 và vuông góc mặt phẳng đáy .
1) Tính d(A,(SBD)).
2) Tính d(C,(SBD)).
Chú ý : câu 1 của ví dụ 5 chính là câu 3 của ví dụ 1, ở đây bài giải sẽ được trình bày
bằng cách dùng kết quả 1.
Giải
1)Do ABCD là hình vuông nên suy raAB AD

S


1
1
5



 2
2
2
2
2
h
AS
AB
AD
2a
a 10
h
5

2)Gọi O là giao điểm của AC và BD .
AC giao với mặt phẳng (SBD) tại O là trung diểm AC
nên
d (C , ( SBD)) OC

1
d ( A, ( SBD)) OA
 d (C , ( SBD))  d ( A, ( SBD)) 

a 10


60

C

1
1
1
1



2
2
2
h
OS
OC
OD 2

Hình chiếu vuông góc của SC trên (ABCD) là OC do
đ g c giữa SC và (ABCD) là góc
600.
Tam giác SOC vuông tại O ,ta có:


tan S C O 

SO
a 6

Giải

Trang 9


Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Voòng Vĩnh Sun

Do A C.A’ ’C’ là khối lăng trụ đứng nên
AA’ vuông g c với AB và AC
Lại có tam giác ABC vuông tại A nên AB
vuông góc với AC
Vậy tứ diện A’.A C c ba cạnh AA’ A AC
đôi một vuông góc nên gọi h là khoảng cách từ
A đến mặt phẳng (A’ C) thì h được xác định
bởi hệ thức sau

A’
’

C

A

1
1
1
1


Gọi I là trung điểm AD .
Ta có IA  ID  IC  a
Suy ra tam giác ACD vuông tại C
nên CD  AC
(1)
Mặt khác CD  SA (do SA  ( ABCD))
Từ (1) và (2) suy ra CD  SC

S

(2)

H

A

I

D

Suy ra tam giác SCD vuông tại C.
B

C

Trang 10


Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng


h2 SH 2
2
Suy ra

  h2  h1
h1 SB 3
3

Ta có : h1 

3VB.SCD SA.S BCD

S SCD
S SCD

1
a2
S BCD  S BCA  BA.BC 
2
2
1
1
SSCD  SC.CD  SA2  AB 2  BC 2 . ID 2  IC 2  a 2 2
2
2
a
Suy ra h1 
2
Vậy khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD) là :
h2 


Ta có

N

Tương tự ta c
M

Do đ

VM . ABN  VS . ABC  VS . AMN  VN . ABC

1
a3 7
 VS . ABC 
4
12

Gọi h khoảng cách từ M đến mặt phẳng ( ABN) .
Ta có

A

C

B

nên suy ra

 AB  AC

SH  ( SBC )


SH  BC

Ta có SH

1
S ABC  BA.BC  6a 2
2
1
VS . ABC  SH .S ABC  2a3 3
3
Trang 12


Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

 Tính khoảng cách từ

Voòng Vĩnh Sun

đến (SA ) theo a.

Cách 1:
BH  SB.cos300  3a; HC  BC  BH  a

AC  BA2  BC 2  5a
Tam giác ABH vuông cân tại B nên
Tam giác SHA vuông tại H


d
(
B
,(
SAC
))
CB
4
4HC
 d ( B,(SAC ))  4d ( H ,( SAC ))

S

Kẻ
HD  AC(D  AC) , HK  SD(K  SD)
 HK  ( SAC )
 HK  d ( H , ( SAC ))
d ( B, ( SAC ))  4d ( H , ( SAC ))
 4 HK  4.

SH .SD
SH 2  SD 2

C



6a 7
7

và d2 chứa trong
thì d( d1 ,d2 ) = d(d1, ) = d(M,
) ,( M d1)
2) Các ví dụ
Ví dụ 11 :
Cho khối lăng trụ đứng A C.A’ ’C’c đáy A C là tam giác vuông tại A ; AB = 3 cm ,
AA’ = AC = 4 cm .
a) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (A’ C).
b) Tính khoảng cách giữa ’C’ và (A’ C)
Giải
a) Do A C.A’ ’C’ là khối lăng trụ đứng nên
A’
C’
AA’ vuông góc với AB và AC
Lại có tam giác ABC vuông tại A nên AB vuông góc
’
với AC
Vậy tứ diện A’.A C c ba cạnh AA’ A AC đôi một
vuông góc nên gọi h là khoảng cách từ A đến mặt
C
A
phẳng (A’ C) thì h được xác định bởi hệ thức sau
1
1
1
1



2

Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Voòng Vĩnh Sun

Ví dụ 12 : (Trích đề tuyển sinh đại học năm 2008 – khối )
Cho khối lăng trụ đứng A C.A’ ’C’c đáy A C là tam giác vuông ; AB = BC = a ,
cạnh bên AA’= a . Gọi M là trung điểm cạnh BC.Tính theo a khoảng cách giữa hai
đường thẳng AM và ’C.
Nhận xét :
Nếu việc dựng và tính đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng AM và B’C tương đối
khó thì ta nên nghĩ đến việc chuyển bài toán này thành bài toán tìm khoảng cách từ một
điểm đến một mặt phẳng.
Giải
’

Gọi E là trung điểm
’ . Khi đ ’C song song EM
nên suy ra ’C song song (AEM) do đ
d(AM ’C)=d( ’C (AEM))=d(C (AEM))
Nhận thấy BC giao với mặt phẳng (AEM) tại trung
điểm của BC nên
d(AM ’C)=d( ’C (AEM))=d(C (AEM))=d(B,(AEM))
Từ giả thiết suy ra tam giác ABC vuông tại B
Lại c lăng trụ A C.A’ ’C’ là hình lăng trụ đứng nên
’ vuông g c với AB và BC
Vậy tứ diện E.ABC có ba cạnh E A C đôi một
vuông góc nên gọi h là khoảng cách từ đến mặt
phẳng (AEM) thì h được xác định bởi hệ thức sau

C’

a 7
 d ( B ' C , AM )  h 
7

Trang 15


Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Voòng Vĩnh Sun

Ví dụ 13:
Cho hình ch p S.A C c đáy A C là tam giác vuông tại C, AB = 5a, BC = 4a. Cạnh bên
SA vuông góc với đáy và góc giữa cạnh bên SC với mặt đáy (A C) bằng 60 . Gọi D là
trung điểm của cạnh AB .Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và BC .
Nhận xét :
Nếu việc dựng và tính đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng SD và BC tương đối
khó thì ta nên nghĩ đến việc chuyển bài toán này thành bài toán tìm khoảng cách từ một
điểm đến một mặt phẳng.
Giải
Gọi E là trung điểm AC mà D là trung điểm AB nên
DE là đường trung bình trong tam giác ABC
Suy ra BC // DE  BC // (SDE)
Lại có SD  (SDE) nên
d  BC , SD   d  BC ,  SDE    d  B,  SDE    d  A,  SDE  

(vì D là trung điểm AB)
 DE , BC  ( ABC )
 DE  AC
 DE / / BC , BC  AC

SA
AE
13

Vậy d  BC , SD  

3 39a
13

Trang 16


Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Voòng Vĩnh Sun

Ví dụ 14: Đề tuyển sinh đại học năm 2012 – khối A và khối A1.
Cho hình chóp S.ABC có đáy A C là tam giác đều cạnh a.Hình chiếu vuông góc của S
trên mặt phẳng (ABC ) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA=2HB. Góc giữa SC và mặt
phẳng (ABC) bằng 600 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a .
Giải
S

-Kẻ Ax//BC. Gọi N và K lần lượt là hình chiếu
vuông góc của H trên Ax và SN.
3
2

Ta có BC//(SAN) và BA  HA
K

3
2
HC  AC 2  AH 2  2 AC. AH .cos 600
AH 

 HC 

a 7
3

a 21
3
a 3
HN  AH sin 600 
3
SH .HN
a 42
KH 

2
2
12
SH  HN

SH  HC.tan 600 

Vậy
d  SA, BC  

3

có
cạnh C = 2a M là trung điểm của SA .T nh khoảng cách từ M đến
mặt phẳng (S C).
Bài 4 : Cho hình ch p S.A CD c đáy A CD là hình vuông cạnh bằng a, SA vuông góc
với đáy. Góc tạo bởi SC và mặt phẳng (SAB) bằng 300. Gọi E là trung điểm của BC.
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DE, SC theo a.
Bài 5: Cho hình ch p S.A C c đáy A C là tam giác vuông c n tại A, BC = 2a. Gọi I là
trung điểm của BC, hình chiếu vuông góc H của S lên mặt đáy (A C) thỏa mãn
uur
uur
IA  2IH ; góc giữa SC và mặt đáy (A C) bằng 60°.
a) Tính thể tích khối chóp S.ACH và khoảng cách từ A đến (SCH).
b) Tính khoảng cách từ trung điểm K của SB tới (SAH).
Bài 6: Đề tuyển sinh đại học năm 2012 – khối
Cho hình hộp đứng A CD.A’ ’C’D’ c đáy là hình vuông tam giác A’AC vuông c n
A’C = a . Tính thể tích khối tứ diện A ’C’ và khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( CD’)
theo a .
Bài 7: Đề tuyển sinh đại học năm 2011 – khối A
Cho hình ch p S.A C c đáy A C là tam giác vuông c n tại B , AB = BC = 2a , SA
vuông g c (A C ). M là trung điểm AB ; mặt phẳng ( P) qua SM và song song BC cắt
AC tại N . Góc giữa mặt phẳng (S C) và đáy bằng 600 . Tính thể tích khối chóp S.BCNM
và khoảng cách giữa AB và SN theo a .
Bài 8: Đề tuyển sinh đại học năm 2007 – khối
Cho hình chóp tứ giác đều S.A CD c đáy là hình vuông cạnh bằng a. E đối xứng với D
qua trung điểm của SA M là trung điểm AE N trung điểm BC . Chứng minh MN vuông
BD và tính khoảng cách giữa hai đường MN và AC.
Trang 18


Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

____________
________________________

iên Hòa ngày 16 tháng 12 năm 2012

PHIẾU NHẬN X T, Đ NH GI S NG KIẾN KINH NGHIỆM
Năm học: 2012 - 2013
__________
Tên sáng kiến kinh nghiệm :
KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG
Họ và tên tác giả : VOÒNG VĨNH SUN
Đơn vị ( Tổ ) : Toán -Tin
Lĩnh vực : Giảng dạy
Quản lý giáo dục

Phương pháp dạy học bộ môn : Toán

Phương pháp giáo dục  Lĩnh vực khác :

1. Tính mới
- Có giải pháp hoàn toàn mới

- Có giải pháp cải tiến , đổi mới từ giải pháp đã có

2. Hiệu quả
- Hoàn toàn mới và đã triển khai áp dụng trong toàn ngành có hiệu quả cao

- Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ những giải pháp đã có và đã triển khai áp
dụng tại đơn vị có hiệu quả
