ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Lời cảm ơn
Ngô Ngọc Minh

ỨNG DỤNG QUÁ TRÌNH BÁN
MARKOV VÀO MÔ HÌNH RỦI RO
TRONG BẢO HIỂM
Chuyên ngành: LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN HỌC
Mã số: 60 46 15

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. TÔ ANH DŨNG

TP. Hồ Chí Minh - 2009

Đầu tiên, tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, Phòng Đào tạo sau Đại học, Khoa
Toán - Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh, Bộ môn
Xác suất - Thống kê cùng tất cả Quý Thầy Cô đã tận tình giảng dạy, giúp đỡ tôi trong
suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn này.
Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến người thầy của mình: TS. Tô Anh Dũng,
Đại học Khoa Học Tự Nhiên TP. HCM. Tôi cảm ơn thầy về những lời khuyên, gợi ý và
sự hỗ trợ tận tình, chu đáo của thầy trong quá trình học tập và giúp tôi hoàn thành luận
văn này.
Đồng thời, tôi cũng xin được gởi lời cảm ơn đến PGS. TS Nguyễn Bác Văn, TS. Dương
Tôn Đảm. Các thầy đã trang bị cho tôi kiến thức, giúp tôi hiểu rõ hơn về xác suất, thống
kê và ảnh hưởng sâu sắc đến con đường học tập, nghiên cứu khoa học của mình.
TP. HCM - Ngày 20 tháng 06 năm 2009
Tác giả


4

1 Thuyết tái tạo
1.1 Mục đích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Định nghĩa chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Sự phân loại của các quá trình tái tạo . . . . . . . .
1.4 Phương trình tái tạo . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Sử dụng phép biến đổi Laplace . . . . . . . . . . .
1.5.1 Phép biến đổi Laplace . . . . . . . . . . . .
1.5.2 Phép biến đổi Laplace Stieltjes (L-S) . . . .
1.5.3 Một ứng dụng đối với hàm tái tạo . . . . . .
1.6 Ứng dụng của đẳng thức Wald . . . . . . . . . . . .
1.6.1 Đẳng thức Wald . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.2 Chặn dưới của hàm tái tạo R . . . . . . . .
1.7 Dáng điệu tiệm cận của quá trình N(t) . . . . . .
1.8 Các thời điểm hồi quy . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8.2 Hàm phân phối của số lần hồi quy . . . . .
1.8.3 Dáng điệu tiệm cận . . . . . . . . . . . . . .
1.9 Quá trình tái tạo trì hoãn và quá trình tái tạo dừng
1.10 Dạng số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.10.1 Phương pháp cầu phương tổng quát . . . . .
1.10.2 Một vài công thức đặc biệt . . . . . . . . . .
1.10.3 Ví dụ thực tế về tai nạn ô tô . . . . . . . . .

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

1
1
2
3
7
14
14
16
17
18
18
19
20
23
23
24
26
30
35
35

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.



MỤC LỤC

2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9

5

2.3.3 Trạng thái nhất thời và hồi quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Số lần chiếm giữ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tính xác suất hấp thu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dáng điệu tiệm cận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Một trường hợp trong bảo hiểm xã hội (Janssen (1966)) . . . . . . . . . .
Phương pháp số giải bài toán tiệm cận . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9.1 Thuật toán cho nghiên cứu xích Markov tiệm cận . . . . . . . . .
2.9.2 Mẫu dữ liệu tối giản thực tế trong bảo hiểm xe . . . . . . . . . .
2.9.3 Các ví dụ rút gọn được và không rút gọn được, dạng kết nối chính

. 51
. 54
. 55
. 56
. 60
. 63

82
82
83
83
86
87
88
91
92
92
92
92
94
95
98
98
99
100
101
103
103
104
106
107

4 Các Mô Hình Rủi Ro Trong Bảo Hiểm
4.1 Mô hình ngẫu nhiên cổ điển cho lý thuyết rủi ro
4.2 Mô hình rủi ro E.S Anderson hay G/G . . . . .
4.2.1 Mô hình . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Phí bảo hiểm . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .
. . . . . . . . .

sản
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.

4.5.5 Quá trình tiền đóng bảo hiểm . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.6 Quá trình rủi ro và rủi ro của vốn dự trữ . . . . . . . . . .
4.5.7 Mô hình rủi ro bán-Markov dừng . . . . . . . . . . . . . .
4.6 Xác suất phá sản của mô hình rủi ro bán-Markov tổng quát . . .
4.6.1 Xác suất phá sản và không phá sản . . . . . . . . . . . . .
4.6.2 Sự thay đổi mức phí bảo hiểm . . . . . . . . . . . . . . .
4.6.3 Giải pháp tổng quát cho vấn đề tiệm cận xác suất rủi ro .

6

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

123

tiên. Nếu N(t) là biến ngẫu nhiên ta vừa định nghĩa, với n ≥ 1 ta có:
N(t) > n − 1 ⇔ Tn ≤ t.

Chương 1

Thuyết tái tạo
1.1

(1.3)

Quá trình ngẫu nhiên (N(t), t ≥ 0), được thể hiện ở hình 1.1.
Mômen cấp một của N(t) sẽ cho số lượng trung bình của sự thay thế trong (0, t]. Đặc
biệt nếu tại thời điểm 0, người quản lý có đủ khả năng để thực hiện toàn bộ sự thay thế,
số lượng thay thế trung bình sẽ là kì vọng E(N(t)). Dĩ nhiên, nhà quản lý phải dự trữ
thêm để ngăn chặn sự gia tăng ngẫu nhiên. Vấn đề này sẽ được giải quyết trong mục 1.7.
Lĩnh vực nghiên cứu xác suất của các quá trình này được gọi là thuyết tái tạo. Nó được
sử dụng cho xác suất ứng dụng, một trong những chủ đề quan trọng để giải quyết một số
vấn đề trong cuộc sống.

Mục đích

Đặt (Xn , n ≥ 1) là một dãy biến ngẫu nhiên không âm, độc lập và có cùng phân phối được
xác định trên không gian xác suất (Ω, , P ).
Ta xét vấn đề về độ tin cậy như sau: tại thời điểm 0, hệ được xét bắt đầu với một
thành phần mới và sau đó nó bị hỏng tại thời điểm ngẫu nhiên T1 . Tại thời điểm này, một
thành phần mới khác lập tức được thay thế cho thành phần đầu tiên trong hệ, sau đó nó
cũng bị hỏng tại thời điểm c và cứ tiếp tục quá trình như vậy. Tất cả các thành phần này
đều cùng loại.
Ta gọi (Tn , n ≥ 0) là các thời điểm thay thế liên tiếp, ta có
T0 = 0.

ngẫu nhiên Xn mô tả khoảng thời gian đến giữa khách hàng thứ (n − 1) và thứ n.
2. Quá trình đến cũng được xét trong lý thuyết rủi ro. Ta xét một công ty bảo hiểm
bắt đầu tại thời điểm 0 với số vốn ban đầu u(u ≥ 0). Khách hàng đóng phí bảo hiểm và
công ty bảo hiểm phải trả tiền bồi thường khi khách hàng xảy ra tai nạn. Trong trường
hợp này, biến ngẫu nhiên Tn mô tả yêu cầu bồi thường bảo hiểm thứ n và công ty sẽ bắt
đầu xem xét chi trả tiền bồi thường với yêu cầu đầu tiên được gọi là yêu cầu bồi thường
0, biến ngẫu nhiên Xn là “khoảng thời gian đến” giữa sự bồi thường thứ (n − 1) và thứ n.
3. Trong lý thuyết đếm, ta xét các mẫu đến tại thời điểm Tn , n ≥ 0 với T0 = 0, biến
ngẫu nhiên Xn thỏa các điều kiện của thời điểm đến giữa 2 lần chuyển đổi liên tục.
Định nghĩa 1.2. Với mỗi dãy tái tạo, ta có thể kết hợp các quá trình ngẫu nhiên sau có
thời gian liên tục với các giá trị trong N :

khi đó
Hình 1.1: Đồ thị của N (t)

(1.6)

(N(t), t ≥ 0)
N(t) > n − 1 ⇔ Tn ≤ t,

n ∈ N0 .

Quá trình này được gọi là quá trình đếm kết hợp hoặc quá trình đếm tái tạo. N(t) mô
tả tổng số tái tạo trong (0, t].


1.3 Sự phân loại của các quá trình tái tạo

3



Đặt
Theo hệ thức 1.18, 1.16 và 1.13 ta có:
∞

Nếu
ta sẽ có trường hợp thông thường của các biến ngẫu nhiên thực.
Từ hệ thức 1.5, ta có:
P (N(t) > n − 1) = F

(n)

(t),

là tích chập n lần của hàm F với chính nó.
Từ đó với n ≥ 1

n≥1

R(t) = U0 (t) + H(t).
(1.10)

(1.11)

Áp dụng hệ thức 1.10 ta có:
P (N(t) = n) = F (n) (t) − F (n+1) (t),

n ≥ 1.

(1.12)

F (n) (t).
n=1

(1.21)

Sự phân loại của quá trình tái tạo dựa trên ba khái niệm: hồi quy, nhất thời và tuần hoàn.
Định nghĩa 1.5.
i) Một quá trình tái tạo (Tn ,n ≥ 1) là hồi quy nếu Xn < ∞ với mọi n, ngược lại nó
được gọi là nhất thời.
ii) Một quá trình tái tạo (Tn ,n ≥ 1) là tuần hoàn với chu kì δ nếu các giá trị có thể có
của các biến ngẫu nhiên Xn , n ≥ 1 có dạng tập hợp đếm được {0, δ, 2δ, . . .}, và δ là số lớn
nhất. Ngược lại, nếu không có δ nào dương thì quá trình tái tạo là không tuần hoàn.
Kết quả trực tiếp của định nghĩa này là đặc trưng của một kiểu quá trình tái tạo với
sự trợ giúp của hàm phân phối F.
Mệnh đề 1.6. Một quá trình tái tạo của hàm phân phối F là
i) Hồi quy khi và chỉ khi F (∞) = 1.
ii) Nhất thời khi và chỉ khi F (∞) < 1.
iii) Tuần hoàn với chu kì δ (δ > 0) khi và chỉ khi nếu F là hằng số nằm ngoài khoảng
[nδ,(n + 1)δ), n ∈ N và tất cả các bước nhảy của nó xảy ra tại các điểm nδ, n ∈ N.
Nếu t tiến đến +∞ hệ thức 1.16 cho:

nếu F (+∞) = 1
 +∞
F (+∞)
H(+∞) =
(1.22)
nếu F (+∞) < 1.

1 − F (+∞)
Hoặc tương đương với với hệ thức 1.20:


F (n) (t).

R(t) =

(1.9)

F (+∞) = 1

F

1.3 Sự phân loại của các quá trình tái tạo

(1.16)

R(+∞) =

F (+∞)
1
hoặc H(+∞) =
.
1 − F (+∞)
1 − F (+∞)

(1.24)


1.3 Sự phân loại của các quá trình tái tạo

5

P (L ≤ t) = (1 − F (+∞))R(t).

+∞

(1.29)

= F (+∞)
vì thế

1
với |x| < 1 (hay −1 < x < 1) có thể viết dưới dạng chuỗi lũy thừa:
Như hàm số
1−x
1
=
1−x

∞

(1.32)

xn .
n=0

∞

nxn−1 .

∞



Viết hệ thức 1.31 dưới dạng

theo 1.33 ta có:

0

(1.33)

n=1

E(N) = F (+∞)(1 − F (+∞)).

1−

(1.39)

Ví dụ 1.2 (Quá trình Poisson). Trong lý thuyết hàng đợi và lý thuyết rủi ro đã được
trình bày trong ví dụ 1.1, giả thiết cổ điển của quá trình đến là nó hình thành quá trình
tái tạo mà ở đó biến ngẫu nhiên Xn thường có hàm phân phối được cho bởi

Với x ∈ (−1, +1) và như vậy, lấy đạo hàm ta được
1
=
(1 − x)2

(1.38)

+∞


Hiển nhiên nếu F (+∞) = 1, ta có

E(N) =

P (Tn ≤ t, Xn+1 = +∞).

P (L ≤ t) = 1 − F (+∞) +

0

N = +∞.

n=0

Với Tn và Xn+1 độc lập nhau ta suy ra :

Định nghĩa 1.9. Tổng số lượng các tái tạo trong (0, ∞), có thể là vô hạn, được cho bởi

Trong lý thuyết độ tin cậy, biến cố {N = k} có nghĩa là thành phần thứ (k + 1) được
đưa vào hệ thống và sẽ có tuổi thọ là vô hạn. Phân phối xác suất của N được cho bởi công
thức
P (N = 0) = 1 − F (+∞),
(1.27)

6

k[F (+∞)]k−1

(1.34)


(1.44)

t

H(t) = F (t) +
(e−λx − e−λt )dx

=λ

(1.46)
(1.47)

= 1 − e−λt (1 + λt)

F (t − x)dH(x).

(1.45)

0

= 1 − e−λt − λte−λt
và tổng quát:

(1.55)

0

Hoặc
F • H(t) = H • F (t)



= e−λt
n=1
∞
−λt

=e

λt
n=1

H(t) = λt.

(1.58)

∞

(1.51)

hoặc

H(t − x)f (x)dx.

Trong trường hợp này, ta có thể áp dụng tính hội tụ trội cho 1.16 chỉ ra sự tồn tại của
hàm mật độ h của H là:

(λt)n
(n − 1)!

(λt)n−1


n

(λt)k
(λt)k
(λt)n
− 1 + e−λt
= e−λt
.
k!
k!
n!
k=0

H(t) = F (t) +

(1.48)

Áp dụng kết quả 1.12 ta có:

f [n] (t)

h(t) =

(1.59)

n=1

với
(1.60)


Hệ thức này được gọi là phương trình tích phân của thuyết tái tạo, hoặc đơn giản là phương
trình tái tạo. Nó được viết như sau:

t

F (2) (t) = λ

1.4 Phương trình tái tạo

[n]

f (t) =
0

Từ hệ thức 1.58 hoặc 1.59 ta được phương trình tích phân cho h :

Phương trình tái tạo

h(t) = f (t) + f ⊗ h(t)

Trở lại hệ thức 1.16 ta sử dụng tính liên đới của tích chập ta có:
H(t) = F (t) + F (2) (t) + F (3) (t) + · · ·
(2)

= F + F • [F + F + · · · ](t)
= F (t) + F • H(t).

với


(1.67)

ở đó X là một hàm chưa biết, F và G là các hàm đo được bị chặn trên một khoảng hữu
hạn và • là tích chập.
Phương trình tích phân đó được gọi là thuộc kiểu tái tạo.
Khi G = F, ta được phương trình tái tạo. Các phương trình tích phân này đã được
nghiên cứu từ lâu gồm các đóng góp của Lotka (1940), Feller (1941), Smith (1954), Cinlar
(1969). Cinlar đưa ra hai mệnh đề sau:
Mệnh đề 1.10 (Sự tồn tại và tính duy nhất). Phương trình tích phân của kiểu tái tạo
1.67 có duy nhất một nghiệm được cho bởi
X(t) = R • G(t)

(1.68)

R được định nghĩa bởi hệ thức 1.20.
Chứng minh.
1. Sự tồn tại: Trong thành phần thứ hai của phương trình 1.67, ta thay X bởi biểu
thức 1.68:
G(t) + R • G • F (t).
(1.69)
Sử dụng tính chất giao hoán của tích chập ta có:

(1.70)

G(t) + R • G • F (t) = R • G(t).

(1.71)

Áp dụng phép quy nạp ta được:


G(∞) = lim G(t)

(1.79)

t→∞

cho ta giới hạn
t

tồn tại.
ii) Trường hợp hồi quy, ta có:
1
m

lim X(t) =

t→∞

∞

G(x)dx,

(1.80)

(1 − F (x))dx.

(1.81)

0



0

Vì vậy, hàm R • G(t) là một kết quả của phương trình kiểu tái tạo 1.67.
2. Tính duy nhất: Đặt X1 và X2 là hai nghiệm của phương trình 1.67, và Y được định
nghĩa bởi:
Y = X1 − X2
(1.72)
Khi đó ta có

10

∞

G(t) + R • G • F (t) = (U0 (t) + R • F (t)) • G(t).
Và bởi 1.21

1.4 Phương trình tái tạo

X(t) = R(t) −

t
.
m

(1.83)

Ta sẽ tính hàm G, như vậy phương trình tích phân này có giá trị.
Ta lấy:
(1.84)

t
− F (t) − F • H(t) +
G(t) = 1 + H(t) −
m
m

12

lấy tích phân từng phần ta được:

t

0

1.4 Phương trình tái tạo

F (t − x)dx.

∞

(1.87)

Áp dụng phương trình tái tạo 1.55 và trong thành phần thứ hai của tích phân đặt
x = t − x ta được:

σ 2 + m2 = 2

x (1 − F (x))dx.

(1.96)


Và như vậy:
G(t) = 1 −

Như vậy hệ quả 1.12 là hệ quả trực tiếp của kết quả (ii) của mệnh đề 1.11.

t

1
m

(1 − F (x))dx.

(1.89)

0

Từ

∞

m=

(1 − F (x))dx,

(1.90)

0

ta suy ra:


∞

G(t)dt =

∞

1
m

x (1 − F (x))dx.

0

(1.93)

0

(1.99)

H(t) −

t
m

σ 2 − m2
.
2m2

(1.100)

lim
= .
(1.103)
t→∞
t
m
Hệ quả 1.14 (Định lí Blackwell). Trường hợp quá trình tái tạo hồi quy với m trung bình
hữu hạn và với mỗi τ dương ta có:

và ta có:
∞

σ 2 + m2 =

m2 + σ 2
−1
2m2

2) Hai kết quả 1.82 và 1.100 thường được viết theo các dạng sau:

t

Dùng phép hoán đổi thứ tự tích phân (định lí Fubini). Ta được:

=

hoặc
t→∞

Kết luận: Hàm G được đưa ra trong hệ thức cuối là hàm duy nhất cho phương trình


(1.95)

τ
.
m

(1.104)

Chứng minh. Ta xét phương trình kiểu tái tạo 1.67 với hàm G được định nghĩa như sau:
G(t) =

1
, 0≤t≤τ
τ
0,
τ
τ
τ

k(t)dt = f (t)dt +

•

F (v ) (t)

(1.119)

v =1

∞

v=1

(1.110)

f (x)k(t − x)dt.
0

Từ phần duy nhất nghiệm của mệnh đề 1.10, với mọi t ≥ 0 ta được:
k(t) = h(t).

(1.111)

(1.112)

α2 (t) = E((N(t))2 ).


Để chỉ ra sự hữu ích của phép biến đổi Laplace trong việc giải phương trình tái tạo, ta giả
sử rằng hàm phân phối F đặc trưng cho quá trình tái tạo hồi quy được xét có hàm mật
độ là f . Ta dùng các kí hiệu tổng quát như sau: với bất kì hàm α nào trên [0, ∞), α
˜ sẽ mô
tả biến đổi Laplace của nó, với:
∞

(t)−
v=1

e−sx α(x)dx, (= ˜(α(x))).

α
˜ (s) =

(v − 1) F

(v)

(t)

(1.115)

(1.123)

0

Với quy ước này và sử dụng tính chất của phép biến đổi Laplace
từ phương trình tái tạo ta có:


1.5.1

Vì vậy, xác suất được định nghĩa ở trên được cho bởi h(t)dt và tổng quát hơn là bởi
dH(t) với một sai số chính xác của O(dt).
2) Phương sai của N(t): Từ bổ đề Stein, ta biết rằng với mọi t thì N(t) có mô ment
bậc bất kì.
Đặt α2 (t) là mô men có tâm bậc 2 của N(t) :

k=1

∞

F (v) (t)

H (2) (t) =

t

k F

(1.118)

khi đó ta dễ dàng thấy rằng:
(1.109)

Chú ý 1.2.
1) Giải thích xác suất của hàm mật độ tái tạo. Đặt k(t)dt là xác suất có sự tái tạo
trong khoảng thời gian (t, t + dt) và phải thỏa mãn hệ thức sau, hệ thức này có được bởi
tham số xác suất đơn giản sử dụng tính độc lập của tuổi thọ liên tục:

G(x)dx = 1.

k=1
∞

(2v − 1)F (v) (t)

Bây giờ nếu ta tính H (2) (t) bởi trung bình của hệ thức:

∞

α2 (t) =

(1.116)

v=1

Theo định nghĩa 1.105 của hàm G ta có

và

[v 2 − (v − 1)2 ]F (v) (t)

v=1
∞

0

X(t) =


bởi mật độ tái tạo của nó hoặc bởi hàm tái tạo của nó. Như vậy, có sự tương ứng một-một
giữa hàm phân phối F của hàm tái tạo và hàm tái tạo H của nó.

x ≥ 0.

1.5.2

Phép biến đổi Laplace Stieltjes (L-S)

Phép biến đổi L-S tổng quát hơn phép biến đổi Laplace. Thực vậy, cho hàm α xác định
trên [0, ∞), α
¯ là phép biến đổi L-S của nó và có dạng:
∞

Với một hàm α sao cho
lim e−sx α(x) = 0

(1.137)

tích phân từng phần cho ta hệ thức giữa α
˜ và α
¯:
α(s)
¯
= −α(0) + sα(s).
˜

(1.138)

Hàm ¯ thỏa mãn tính chất sau:

Trường hợp này ta có phép biến đổi Laplace f˜ :
˜ =λ
f(s)

16

x→∞

Ví dụ 1.3 (Quá trình Poisson). Xét lại ví dụ 1.2. Từ hệ thức 1.43, ta được
f (x) = λe−λx ,

1.5 Sử dụng phép biến đổi Laplace

λ
.
s+λ

(1.130)

(1.131)

K
s

(1.132)

(K) =

hoặc:
¯

(1.143)

và vì vậy cho nên các hệ thức 1.141 và 1.126 là đồng nhất.
Ví dụ 1.4. Xét mô hình tất định với F = U1 . Từ

t

H(t) =

(1.141)

hệ thức trên tương đương với hệ thức 1.126 nếu ta không thừa nhận sự tồn tại hàm mật
độ của F . Hiển nhiên nếu tồn tại hàm mật độ thì từ 1.136 ta có:

và sử dụng tính duy nhất của phép biến đổi Laplace ngược ta suy ra:
h(t) = λ.

F¯ (s)
1 − F¯ (s)

(1.140)

h(x)dx

∞

(1.134)

F¯ (s) =


(1.146)
(1.147)

∞

e−ks .

=
k=1

(1.148)


1.5 Sử dụng phép biến đổi Laplace

17

1.6 Ứng dụng của đẳng thức Wald

Nhưng

Ta có thể viết:
∞

(1.149)

(k)

e−sx dUk (x) = ¯



,

x ≥ 0.

(1.153)

Nếu nhân H(t) với hằng số µ thì hàm

F¯α (s) = α
n=0

(1.155)

Tổng quát hơn, Daley (1965) xét vấn đề là nhân một hàm tái tạo H với hằng số α nếu
có thể, để mô tả đặc điểm cho một quá trình tái tạo mới. Ta có mệnh đề sau:
Mệnh đề 1.15 (Daley (1965)). Nếu H là một hàm tái tạo, thì hàm αH với hằng số α
thuộc [0, 1] vẫn là hàm tái tạo tương ứng với hàm phân phối Fα sau:
∞

(1 − α)n−1 F (n) (x),

x ≥ 0.

(1.156)

Chứng minh. Giả sử rằng Fα là hàm phân phối tương ứng với hàm tái tạo αH.
Hệ thức 1.140 vẫn đúng cho αH nên ta có:

Từ đó với 1.141:

1.6
1.6.1

Ứng dụng của đẳng thức Wald
Đẳng thức Wald

Chúng ta đều biết rằng
E(Sn ) = nm

(1.165)

Sn = X0 + . . . + Xn

(1.166)

E(N(t)) = R(t).

(1.167)

với
và

¯
αH(s)
¯ .
1 + αH(s)

(1.162)

∞

F¯α (s) = F¯ (s)
n=0

Fα (x) = α

(1.159)

αF¯ (s)
.
1 − (1 − α) F¯ (s)

Như vậy ta có thể sử dụng dạng mở rộng của hàm số (1 − x)

(1.152)

Uk (t).
k=1

1.5.3

1
.
αF¯ (s)
1+
¯
1 − F (s)

0 ≤ (1 − α) F¯ (s) ≤ (1 − α) < 1.

∞

19

1.7 Dáng điệu tiệm cận của quá trình N(t)

Chứng minh. Từ các định nghĩa tổng quát, ta có thể viết: nếu N(t) = n thì ta có N (t) =
n + 1 và do đó:

Chứng minh. Theo định nghĩa N (t), ta có:
t ≤ SN (t) .

(1.181)

t ≤ E SN (t) .

(1.182)

t ≤ mR(t)

(1.183)

n

SN (t) = Sn+1 =

Xk+1 I[Sn ≤t

k=0 n=0
∞

k

I[Sn ≤t
=
k=0

(1.177)

= mR(t)

SN (t) ≤ t ≤ SN (t)+1 .

(1.185)

N(t)
N(t)
N(t)


Chặn dưới của hàm tái tạo R

Hệ quả 1.17. Với mọi t dương ta có

(1.184)

Như một quá trình tái tạo hồi quy, ta sử dụng 1.30 để thấy rằng:

áp dụng kết quả 1.20.

1.6.2

N(t)
1
= .
t
m

Chứng minh. Với bất mẫu đường dẫn của một quá trình tái tạo, ta có:

∞

E SN (t) =

20

N(t)
,t > 0
SN (t)



21

N(t) + 1 N(t)
N(t)
=
.
SN (t)+1
SN (t)+1 N(t) + 1

1.7 Dáng điệu tiệm cận của quá trình N(t)
Bây giờ ta xét sác suất của thành phần đầu tiên trong đẳng thức 1.195. Ta có:

(1.191)
P (N(t) ≥ n) = P

theo kết quả 1.187, lập luận tương tự ta cũng có:
lim

t→∞

1
N(t)
=
SN (t)+1
m

(1.192)

n−t m


σ 2 t m3

N(t) − t m
σ 2 t m3

(1.194)

=

nm − t √
√
m
σ t

=

nm − t
√
σ n

≥ −y

lim P

N(t) − t m
σ 2 t m3

=P


lim

t→∞
n→∞

t
√ = +∞.
σ n

(1.198)
(1.199)

Hoặc

một ứng dụng của kết quả 1.199 chỉ ra rằng lý thuyết giới hạn có vai trò quan trọng:
nm
lim
= 1.
t→∞
t
n→∞

(1.201)

(1.204)

(1.205)

= Φ(y).


√
≤ 1.65
60 8000 1000000

∼
= 0.95.

(1.210)

√
P N(8000) ≤ 80 + 165.0.6. 0.008 ∼
= 0.95.

(1.211)

P (N(8000) ≤ 80 + 9) ∼
= 0.95.

(1.212)

P
(1.200)

nm
.
t

là kết quả của sự rút gọn của 1.122.

Tương tự vậy

Theo định nghĩa 1.2 ta chuyển từ dãy Tn sang quá trình N(t):
(1.195)

n−t m

Kết quả cuối cùng có nghĩa là:

t→∞

P (N(t) ≥ n) = P (Tn ≤ t)

≥

Nếu n → ∞ và t → ∞, theo hệ thức 1.197 và 1.201 thì lượng bên trên sẽ tiến đến −y:

trong đó Φ là hàm phân phối chuẩn.
Chứng minh. Ta biết rằng các tuổi thọ X1 , X2 , ..., Xn , ... liên tiếp của quá trình tái tạo là
độc lập cùng phân phối và có phương sai hữu hạn. Như vậy, ta có thể áp dụng định lí giới
hạn trung tâm cổ điển cho dãy tổng riêng (Tn , n ≥ 0), khi đó:

N(t) − t m

trong đó

Như vậy kết quả của mệnh đề là do từ 1.188 và từ kết quả giới hạn cổ điển của dãy.

t→∞

22


Định nghĩa

Xét quá trình tái tạo (Tn , n ≥ 0) được đặc trưng bởi hàm phân phối F của giá trị trung
bình m. Tại thời điểm t dương, ta biết rằng tuổi thọ của XN (t)+1 hoặc XN (t) là:
SN (t) ≤ t ≤ SN (t)+1 .

(1.219)

Fδ(t) =

(1.220)

[1 − F (t − u)] dH(u).
[t−s,t]

Mệnh đề 1.21 (phân phối của tuổi thọ còn lại). Nếu Fγ(t) là hàm phân phối của γ(t),
với mọi x dương ta có:
Fγ(t) (x) =

và thời gian mà thành phần này phải đợi đến khi bị hư hỏng là γ(t), được cho bởi:
γ(t) = SN (t)+1 − t.

(1.218)

Fδ(t) (x) − Fδ(t) (t − 0) = 1 − F (t),

(1.213)

Trong giới hạn của quá trình thay thế, thành phần chịu tác động tại thời điểm t có độ
tuổi δ(t) cho bởi

[0,t]

Hình 1.2: Tuổi, tuổi thọ còn lại và thời gian tồn tạo

Các biến ngẫu nhiên này hay chính xác hơn là các quá trình ngẫu nhiên này thì có ích
cho nhiều ứng dụng. Ví dụ, ta có thể tính toán được xác suất mà thiết bị bắt đầu hoạt
động tại thời điểm t và không hư hỏng trong suốt khoảng thời gian [t, t + τ ], ta tính phải
tính được xác suất sau:
P (γ(t) > τ ).
(1.217)

Chú ý 1.8. Để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của Fγ(t) , hệ thức 1.222 được sử dụng dưới
một dạng khác. Dạng này có được do ta thay F bằng 1 − F c trong tích phân 1.221 , trong
đó F c (x) mô tả
F c (x) = P (Xn > x).
(1.223)
Ta có
[F c (t − u) − F c (t − u + x)] dH(u).

P (γ(t) ≤ x) = F (t + x) − F (t) +
[0,t]

(1.224)


1.8 Các thời điểm hồi quy

25

Hoặc tương đương:

khoảng thời gian từ u đến u + du, ta phải tính xác suất mà thành phần này có tuổi thọ
trong khoảng (t − u, x). Kết quả này kết hợp với chứng minh xác suất của hàm tái tạo cho
ta tích phân của 1.229. Hiển nhiên, nếu x ≤ t thì nhất thiết sẽ có ít nhất một sự tái tạo
trước hoặc tại thời điểm t và xác suất của biến cố XN (t)+1 ≤ x được cho bởi tích phân.
Chú ý 1.10. Áp dụng hàm tái tạo R được xác định bởi hệ thức 1.20, ta có kết quả của
1.227 như sau
t

FXN(t)+1 (x) =

[0,t]

Chú ý 1.9. (Kì vọng của γ(t)) Sử dụng kết quả 1.179 kết hợp với 1.215 ta được:
E (γ(t)) = m [H(t) + 1] − t.

[F (x) − F (t − u)] dR(u).

(1.230)

t−x

(1.227)

Kết quả này cho ta giá trị chính xác của kì vọng khi ta biết được H(t). Áp dụng kết
quả 1.227 cho quá trình Poisson ta có:
E (γ(t)) = m

26

(1.228)


 F (x) − F (t) + [F (x) − F (t − u)]dH(u) nếu x > t

β(x)

(1.232)

K(u, x)du

λ(x) =
α(x)
β(x)

∂
K(u, x)du + β (x)K(β(x), x) − α (x)K(α(x), x).
∂x

λ (x) =

0

(1.233)

α(x)

1.8.3

Dáng điệu tiệm cận

Trong nhiều trường hợp thực tiễn, ta giả sử rằng quá trình tái tạo được quan sát sẽ tiếp


lim FX(t)+1 (x) =

t→∞

1
m

udF (u).
0

(1.235)


1.8 Các thời điểm hồi quy

27

1.8 Các thời điểm hồi quy

28

với

Chứng minh.
(i) Từ biểu đồ 1.2 ta có thể viết
P (δ(t) ≤ x) = P (γ(t − x) ≤ x)

(1.236)



(1.247)

F¯XN(t)+1 (x) = K(x, t).

(1.248)

m=
0

ta có điều cần chứng minh.
(ii) Xét

Trong cách đặt điều kiện cho giá trị của X1 (gọi là y), ta có

nếu y > max{x, t}
 1
P XN (t)+1 > 1,X1 = y =
K(x, t − y) nếu y ≤ t

0
nơi khác.

(1.249)

Lấy kì vọng toán học cho cả hai thành phần ta được:
t

0


=

(1.242)

0

Ta có thể sử dụng mệnh đề 1.11 để chỉ ra rằng
lim P (γ(t) > x) =

t→∞

Bây giờ, áp dụng kết quả 1.80 của mệnh đề 1.11 ta có dáng điệu tiệm cận của K(x, t)
với t → ∞:
∞
1
[1 − F (max{x, u})] du.
(1.252)
lim K(x, t) =
t→∞
m
0

Áp dụng tích phân từng phần và với khai triển sau đây, tích phân này được biến đổi
thành:
∞

∞

1
m

t→∞

∞

1
m

F c (u)du.

(1.244)

Với giá trị trung bình hữu hạn m cho ta:
t→∞

Từ hệ thức 1.223 ta có:

(1.245)

Fc = 1 − F
lim P (γ(t) ≤ x) = 1 −

1
m

do đó, với hai số hạng đầu đối nhau, ta có:

[1 − F c (u)] du.

(1.246)


(1.251)

K(x, t) = (1 − F (max{x, .}) • R(.)) (t).

t

0

Vì vậy, kết quả 1.235 có được từ 1.252.

x

(1.256)


1.8 Các thời điểm hồi quy

29

1.9 Quá trình tái tạo trì hoãn và quá trình tái tạo dừng

Hệ quả 1.25. Nếu m hữu hạn thì :
(i) Phân phối hữu hạn Fδ của Fδ(t) và Fγ(t) có hàm mật độ fδ được cho bởi
fδ (u) =

1 − F (u)
m

Áp dụng hệ thức 1.222, ta được
P (γ(t) > x,δ(t) > y) = 1 − F (t + x) −

x+y

t−y
c

0

c

F (t − u + x) dH(u) + F (t + x).

lim P (γ(t) > x,δ(t) > y) = 1 −

(1.259)

t→∞

=

lim P (γ(t) > x,δ(t) > y) =

1
m

1
m

[1 − F (u)]du

(1.267)

∞

[1 − F (u)] du.

(1.260)

với

x+y

∞

m=

Chứng minh.
(i) Biểu đồ bên dưới chỉ rõ sự tương đương của các biến cố

0

1.9

(1.269)

[1 − F (u)] du.

Quá trình tái tạo trì hoãn và quá trình tái tạo dừng

Khái niệm quá trình tái tạo dừng là một phần của quá trình tái tạo trì hoãn. Quá trình
tái tạo trì hoãn A cũng là một quá trình tái tạo nhưng biến ngẫu nhiên đầu tiên X1 không
cùng phân phối với các biến ngẫu nhiên khác dù chúng vẫn độc lập nhau.

và nếu đặt điều kiện là X1 = x, thì ta có:
Hd (t|X1 = x) =

0
1 + H(t − x)

nếu x > t
nếu x ≤ t

(1.272)

trong đó H là hàm tái tạo kết hợp với hàm phân phối F . Khi đó, với định nghĩa:
Hd (t|X1 ) = E(N(t)|X1 )

(1.273)


1.9 Quá trình tái tạo trì hoãn và quá trình tái tạo dừng

31

ta được:

1.9 Quá trình tái tạo trì hoãn và quá trình tái tạo dừng

32

Từ 1.277 và tính chất của phép biến đổi L-S, ta được:
(1.274)



[1 − F (u)]du;

x ≥ 0.

G(s) =

Quá trình như vậy được gọi là quá trình tái tạo dừng.
Hai kết quả chính, liên quan đến quá trình tái tạo dừng, có liên quan đến hàm tái tạo
H và hàm phân phối tuổi thọ còn lại.
Mệnh đề 1.27. Với mỗi quá trình tái tạo dừng được đặc trưng bởi hàm phân phối (G, F )
với giá trị trung bình hữu hạn m cho f , với mọi t ta có:
t
Hs (t) =
m

Chứng minh. Nếu áp dụng phép biến đổi Laplace Stieltjes cho cả hai vế của 1.276 ta được:

với quy ước:

(1.279)

∞

e−sx dK(x).

K(s) =

(1.280)


1−
m
s
1 − F (s)

(1.286)

11
.
ms

(1.287)

Hs (s) =
Ta biết rằng

∞

1
e−sx dx = .
s

(1.288)

0

Như vậy, theo đó phép biến đổi Laplace Stieltjes ngược của 1.287 cho ta:
Hs (t) =

(1.278)

0

hoặc:

1
m

t
.
m

(1.289)

Mệnh đề 1.27 có ý nghĩa quan trọng. Thực vậy, giá trị Hs là tiệm cận đúng cho mọi
quá trình tái tạo, nhưng ở đây với trường hợp quá trình tái tạo dừng, biểu thức tiệm cận
này đúng với mọi t.
Bây giờ, đặt γs (t) là tuổi thọ còn lại tại thời điểm t với quá trình tái tạo dừng và khi
đó:
(1.290)
Fγcs (t) (x) = 1 − Fγs (x).

Mệnh đề 1.28.
(i) Mỗi quá trình tái tạo dừng được đặc trưng bởi hàm phân phối (G, F ) có giá trị trung
bình hữu hạn m cho F và với mọi t ta được:
P (γ(t) ≤ x) = G(t + x) −

[1 − F (t + x − u)] dHd (u).

(1.291)


γs (t) =

nếu t < X1
nếu t ≥ X1

X1 − t
γ(t − X1 )

1.9 Quá trình tái tạo trì hoãn và quá trình tái tạo dừng
Thay u = t − u được:

(1.293)

Fγcs (t) (x) = 1 − G(t + x) +

Từ đó, với t > x:
1 − G(y)
1 − G(t)

P (X1 > y|X1 > t) =
và từ 1.293 ta suy ra:

(1.294)

Fγcs (t) (x) = 1 −

= [1 − G(t)] .

1 − G(t + x)
+

x+t

[1 − F (u)]du +
0

[1 − F (t − u − x)] dH(u).

[1 − F (u)]du.

(1.306)

x

Fγs (t) (x) = 1 −

[1 − F (u)] du

(1.307)

hoặc 1.292.
Phần (ii) trong mệnh đề 1.28 cho kết luận tương tự như định lí trước: trong trường hợp
dừng, phân phối tiệm cận của tuổi thọ còn lại γ(t) là phân phối đúng với mọi t. Kết quả
này đưa ra một số hệ quả quan trọng.
Hệ quả 1.29. Với mỗi quá trình tái tạo dừng và với mọi t ta có:
(i)

(1.298)

c
Fδ(t)


(1.303)

hoặc
Sử dụng hàm tái tạo Hs và áp dụng hệ thức 1.276 thì 1.302 trở thành:

đây là điều phải chứng minh.
(ii) Với mệnh đề 1.27, trong trường hợp dừng, hệ thức 1.303 trở thành:
t

0

du
F¯x (t − u) .
m

∞

1
m

[1 − F (u)] du.

(1.309)

udF (u).

(1.310)

x+y

Fγcs (t) (x) = 1 − F (t + x) +

F¯x (u)du.
0

x

Hoặc:
Fγcs (t) (x) = 1 − G(t + x) +

t

1
m

Với hàm G trong 1.277 ta có:

t

P (γs (t) > x) = [1 − G(t)] P (X1 − t > x|X1 > t) +

34

P XN (t)+1 ≤ x =

x

1
m
0


[1 − F (u)] du

(1.313)

1.10 Dạng số

36

Ngoài ra, N là số sao cho hk = t,hN = Y và 0 ≤ t ≤ Y , Y mô tả độ dài thời gian
horizon.
Phương pháp cầu phương tổng quát có nghĩa là giá trị của trọng số wk,l phụ thuộc vào
đa thức được sử dụng để xấp xỉ hàm lấy tích phân.
Áp dụng kết quả 1.316, ta có hệ thức xấp xỉ kết quả của 1.58 như sau:

vì biến cố {ω : t > X1 (ω)} là tiệm cận của xác suất 1. Như vậy hàm phân phối của XN (t)+1
độc lập với t, kết quả 1.310 tương đương với 1.313.

k

ˆ
H(kh)
= F (kh) +

Chú ý 1.11. Với biến ngẫu nhiên hai chiều (X, Y ), ta có
P (X ≤ x,Y ≤ y) = 1 − P (X > x) − P (Y > y) + P (X > x,Y > y) .

l=0

(1.314)

Dạng số

Phương trình tái tạo 1.57 có thể được giải trực tiếp (như đã trình bày trong các phần
trước) trong một số trường hợp đặc biệt hoặc được giải bằng phép biến đổi Laplace hay
Laplace Stieltjes cho các trường hợp còn lại.
Bằng cách này, có thể giải phương trình tích phân 1.57 bằng phép giải tích. Nhưng
trong phần lớn các ứng dụng thực tế phương trình giải được bằng mô hình thì không giải
được bằng các phương pháp giải tích. Với các trường hợp này ta cần sử dụng phép xấp xỉ
số để giải phương trình tái tạo tổng quát 1.57 trong khoảng thời gian horizon bị chặn.
Một cách để giải quyết vấn đề này là sử dụng phép biến đổi Laplace nhưng khi đó ta
cần phép biến đổi Laplace ngược để có được nghiệm của phương trình, nhưng ta biết rằng
phép biến đổi ngược này không ổn định về mặt số học. Vì vậy, cách tốt nhất để giải 1.57
là áp dụng phương pháp số cho phương trình tích phân mà không sử dụng phép biến đổi
Laplace.
1.10.1

Ta thừa nhận hàm mật độ f của F tồn tại. Do đó ta phải giải phương trình tích phân
được cho bởi 1.58.
Công thức của phép cầu phương tổng quát được viết dưới dạng:
kh

ˆ
H(h)
ˆ
H(2h)
.
.
.
ˆ
H(kh)

.
.

.
.
.

ˆ
w1,1 H(0)f
(h) + F (h)
=
.

.

.
···
.

.

ˆ
w2,2 H(0)f
(2h) + F (2h)
.
.
.
ˆ
−wk,k−1 H(h)f
((k − 1)h)


(1.319)

k = 1, . . . , N.

Có một định lí được thiết lập bởi Baker (1977) đưa ra điều kiện rằng nếu h → 0 thì
H → H.
Trước khi đưa ra định lý 1.316 ta xét hai bổ đề với các số thực sau và được chứng minh
trong Baker (1977).
Bổ đề 1.30. Nếu
r−1

q≥1

(1.320)

|ξr | ≤ (Aξ + B)(1 + A)r−q ,r = q,q + 1,...q ≥ 1.

(1.321)

ˆ ≤ 0 và ph = x ≥ 0
A = hL

(1.322)

|ξr | ≤ A
trong đó A > 0, B > 0 và

i=0
q−1

Bằng cách này, hệ tuyến tính sau có:

Bổ đề 1.31. Giả sử

Phương pháp cầu phương tổng quát

ˆ
wk,l H(kh
− lh)f (lh);

wk,l f (lh)

(1.316)

l=0

Trong đó h là độ dài bước nhảy, k ≤ N, k, N ∈ N, wk,l là các trọng số liên quan
đến công thức phép cầu phương 1.316. Chúng là các hàm được tính giá trị tại cả điểm đầu
và điểm cuối.

|ξr | ≤ (Aξ + B) (1 + A)r−q ≤ (Aξ + B) eLx = hLξ + B eLrh .
Định lý 1.32. Đặt
F : [0, Y ] → R, H : [0, Y ] → R

và q ∈ {1, ...,N} , N ∈ N, như vậy Nh ≤ Y .

(1.324)
(1.325)



Bằng cách này, ta được các hệ thức sau:

(1.327)

k

ˆ
H(kh)
= F (kh) + h
τ =1

(1.328)

k

H(kh − τ )f (τ )dτ −
0

u=0

ˆ
wku H(kh
− uh)f (uh)

τ (h) = τN (h) = max σ k (h)

(1.331)

q≤k≤N


τ =1

ˆ − τ )(F (τ ) − F (τ − 1)).
H(k

Hơn nữa, đặt:

trong đó mhwN c1 < 1.
1.10.2

(1.338)

k

Hơn nữa, nếu ta thừa nhận |f (t)| ≤ c1 với t ∈ [0, Y ] thì
mc1 wN kh
τ (h) + mhwN c1 ξ(h) 1−mhw
N c1 ,
η (h) ≤
e
1 − mhwN c1

ˆ
H(kh
− τ h)(F (τ h) − F ((τ − 1)h)),

τ =1

Trong 1.338 ta giả sử h = 1 thì:



(1.329)

σ (h) = t (h)

k

ˆ
H(kh
− τ h)f (τ h).

k−1

ˆ
H(kh)
= F (kh) + h
τ =0

kh

tk (h) =

|wku |

H(kh − 2τ h)f (2τ h) + H(0)f
+
3 τ =1
3

H(k) = F (k) +
τ =1

(1.342)

đó là phương trình tái tạo với thời gian rời rạc xem Feller (1957 trang 330). Trong quyển
sách của Freiberger và Grenander (1971), có xấp xỉ nghiệm số của quá trình tái tạo nhưng
không có bất kì sự chứng minh nào về phương pháp này.
Bây giờ ta đặt H là hàm tái tạo với thời gian liên tục và {Tn } là các thời điểm tái tạo.
Nếu ta đặt:
Tn
h
(1.343)
Tnh =
h
và

(1.334)

H(k − τ )v(τ )

h
N h (t) = n nếu Tnh ≤ t < Tn+1

(1.344)

(1.345)

Quá trình tái tạo Tnh được xác định trong cùng không gian xác suất (Ω, F, P ) của Tn .
Cho w ∈ Ω, ta có kết quả sau.


1.10 Dạng số

39

Định lý 1.33. Quá trình Tnh hội tụ đến Tn với ∀w khi h → 0.

Chứng minh. Theo các định nghĩa đã được nêu trong mục 1.10.2 và hệ thức 1.345 ta có:
P

N h (t) = n

= P (N(t) = n)

h→0

∀n.

(1.346)

Công thức 1.346 cho:
hcc
Tnh −−→
h→0


được xác minh sau n − 1 và trước n năm kể từ tai nạn lần thứ hai. Cuối cùng, phần tử
thứ n của hai vector sẽ đưa ra số tai nạn trong suốt năm thứ n từ năm trước đó.
Kết quả thu được sẽ được trình bày trong bảng 1.1. Ví dụ, số 1.576 ở hàng thứ ba
trong bảng mô tả số tai nạn lần thứ hai xảy ra sau hai năm và trước năm thứ ba kể từ tai
nạn đầu tiên và tương tự số 226 mô tả số tai nạn lần thứ ba xảy ra sau hai năm và trước
năm thứ ba sau tai nạn lần thứ hai.
Số năm
1
2
3
4
5

1-2
153
695
1 576
1 549
1344

2-3
88
126
226
224
172

1-2 + 2-3
241
821

61
200
12
101
33
134
13
77
21
98
14
40
15
55
15
36
16
52
16
15
7
22
17
11
3
14
18
11
4
15

4
29
3
3
30
5
5
31
3
3
32
2
2
33
1
1
34
35
1
1
36
37
1
1
Tổng
8228 1578
9 806
Bảng 1.1: Số tai nạn xảy ra trong một năm
Trong bảng 1.2 ta trình bày số lượng trung bình và phương sai hằng năm liên quan đến
ba phân phối của bảng 1.1

11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37

1-2
0.018595

0.000243
0.000122
0
0.000122
0
0.000122
Bảng 1.3:

2-3
0.055767
0.079848
0.143219
0.141952
0.108999
0.111534
0.087452
0.067807
0.054499
0.043726
0.038657
0.020913
0.013308
0.009506
0.010139
0.004436
0.001901
0.0002535
0.001901
0.001267
0.000634

0.000305935
0.000509892
0.000305935
0.000203957
0.000101978
0
0.000101978
0
0.000101978
Phân phối tần số

Quan sát dữ liệu dẫn đến các vấn đề cần xem xét sau:

1.10 Dạng số

42

i) Cả ba phân phối đều có cùng dạng.
ii) Các phân phối này có dạng Poisson nhưng phương sai xấp xỉ gấp đôi giá trị trung
bình.
iii) Giá trị trung bình và phương sai của hai cột đầu tiên trong bảng 1.1 là tương tự
nhau.
Do đó, ta có thể nói rằng giả thiết tái tạo là chấp nhận được vì chúng đồng dạng và có
cùng tham số của hai phân phối đầu tiên. Ta có thể giả sử rằng sau một tai nạn quá trình
được tái tạo và chế độ của người được bảo hiểm là giống nhau. Để có được dữ liệu đáng
tin cậy hơn ta gộp các phân phối thứ nhất và thứ hai lại với nhau ta sẽ có cột thứ ba cho
mỗi bảng.
a) Phân phối kết quả

Bây giờ ta xét tần số trong cột cuối cùng của bảng 1.3 như xác suất mà một tai nạn mới

Khi đó với ý nghĩa của định lí Bayes, ta xây dựng lại xác suất ρ [Dn ] để có xác suất
của tai nạn đầu tiên sau một năm, hai năm,. . . Các kết quả này được trình bày trong cột
thứ ba của bảng 1.4.


1.10 Dạng số

Năm
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22

0.016118
0.077198
0.011052
0.050275
0.007198
0.03712
0.005314
0.02631
0.003767
0.020396
0.00292
0.013665
0.001956
0.009994
0.001431
0.005609
0.000803
0.005303
0.000759
0.002244
0.000321
0.001428
0.000204
0.00153
0.000219
0.001326
0.00019
0.000918
0.000131
0.00153

0
0.000102
1.46E-05
Bảng 1.4: kết quả tái

Tần Số Số lượng trung bình
0.003519
0.003519
0.015505
0.01551738
0.041814
0.14191078
0.067699
0.06812506
0.089832
0.09107341
0.10595
0.10866922
0.117002
0.12175334
0.1242
0.13130704
0.129514
0.13903198
0.133281
0.14506757
0.136201
0.15000748
0.138157
0.15371498

0.142931
0.16648298
0.142975
0.16658543
0.143048
0.16670596
0.143092
0.16679003
0.143121
0.16685396
0.143136
0.16690042
0.143136
0.16692826
0.14315
0.16696609
0.14315
0.16698588
0.143165
0.16701685
tạo của tai nạn

Trong cột thứ tư của bảng này, hàm phân phối tăng có được bởi các thành phần của
cột thứ ba. Trong trường hợp này, thành phần thứ n mô tả xác suất xảy ra tai nạn đầu
tiên trong vòng n năm. Các dữ liệu này mô tả hàm phân phối trong phương trình tái tạo
với thời gian rời rạc để ước tính số lượng tai nạn trung bình của một người có bảo hiểm
trong 1, 2, ..., n năm. Giải phương trình tái tạo với thời gian rời rạc (36) ta được kết quả

1.10 Dạng số