Phần I: LỜI NÓI ĐẦU
I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Tư duy là một hình thức nhận thức lí tính của con người. Tư duy không tự
nhiên có mà do quá trình rèn luyện lâu dài, muốn phát triển tư duy thì cần được
rèn luyện thường xuyên, tất cả các môn học điều phát triển tư duy cho học sinh
nhưng môn toán có vai trò quan trọng hơn cả. Lứa tuổi của học sinh THCS đang
phát triển mạnh về tư duy nên giáo viên cần quan tâm không được xem nhẹ vấn
đề này đặc biệt là giáo viên toán. Qua một bài toán hình học có thể có thể phát
triển tư duy logic, tư duy trừu tượng, tư duy lí luận …của học sinh. Điều quan
trọng là là giáo viên truyền thụ tri thức như thế nào để phát triển tư duy cho học
sinh một cách tốt nhất.
Trong chương trình toán THCS đặc biệt là toán hình học, do tính chất trừu
tượng, đòi hỏi khả năng tư duy tích cực cho nên học sinh thường thụ động tiếp
thu kiến thức, gặp khó khăn trong việc tìm đường lối giải bài toán hình học, làm
bài tập một cách máy móc và chỉ dừng lại ở việc ra kết quả của bài toán. Nếu bài
toán đó được biến thành bài toán khác thì đa số học sinh không nhận ra, lúng
túng và không làm được. Đây là cách học hết sức nguy hiểm và không phát triển
tư duy. Đối với toán hình học các bài tập hết sức phức tạp và đa dạng, học sinh
không thể làm hết các bài tập mà chỉ cần nắm được dạng bài tập nên học sinh cần
hiểu được bản chất của bài tập phụ thuộc vào mức độ nhận thức của học sinh, sau
đó ra bài toán mới, dạng mới vừa hệ thống kiến thức vừa phát triển tư duy.
Chính vì những lí do trên nên tôi đã chọn đề tài nghiên cứu “Phát triển
năng lực tư duy cho học sinh thông qua dạy học chủ đề: Diện tích tam giác và
hệ thức lượng trong tam giác vuông”, giúp học sinh thay đổi cách nhìn về bài
toán, thay đổi cách học, hình thành được kĩ năng suy luận, bước đầu giúp học sinh
tự phân tích và tìm ra đường lối giải một bài toán, phát huy năng lực tư duy logic,
tư duy sáng tạo đem lại hiệu quả cao trong công tác giáo dục đào tạo và đổi mới
phương pháp dạy học ở trường THCS.
II. MỤC ĐÍCH ĐỀ TÀI:

1

Qua kiểm tra 15 phút của 35 học sinh lớp 9 tại trường THCS Hưng Hà, tỉ lệ
học sinh gặp khó khăn trong giải toán về diện tích tam giác và hệ thức lượng trong
tam giác vuông của 35 học sinh lớp 9 trong năm học 2014 – 2015 là 17/35 em
chiếm tỉ lệ 48,57%.
Trong bài kiểm tra 45 phút chương I –Đại số 9 của 35 học sinh lớp 9 trong năm
học 2014 – 2015 thì số học sinh gặp khó khăn trong giải toán về diện tích tam giác
và hệ thức lượng trong tam giác vuông là 19/35 em chiếm tỉ lệ 54,29%.
Trong bài kiểm tra HKI của 35 học sinh lớp 9 trong năm học 2014 – 2015 thì số
học sinh gặp khó khăn trong giải toán về diện tích tam giác và hệ thức lượng trong
tam giác vuông là 23/35 em chiếm tỉ lệ 65,71%.
Như vậy số lượng học sinh gặp khó khăn trong giải toán về diện tích tam giác và
hệ thức lượng trong tam giác vuông là tương đối cao, việc phát triển năng lực tư
duy của học sinh để các em tìm ra phương pháp giải các bài toán liên quan đến diện
tích tam giác và hệ thức lượng trong tam giác vuông trong những năm học tiếp theo
là một việc vô cùng quan trọng và cấp thiết trong quá trình giảng dạy bộ môn toán ở
trường THCS, nhất là học sinh khối lớp 9.
Kết quả nghiên cứu được thể hiện cụ thể qua bảng số liệu sau đây:

Năm học

2014-2015

Lớp

9

Sĩ

Hình thức


Kiểm tra 45’

19

54,29

16

45,71

Kiểm tra HKI

23

65,71

12

34,29

3


Qua bảng số liệu trên chúng ta thấy, số lượng học sinh không giải được các dạng
toán liên quan đến tích tam giác và hệ thức lượng trong tam giác vuông là rất cao so
với học sinh giải được các dạng toán trên. Lý do, năng lực tư duy của các em chưa
được chú ý phát triển nên gặp rất nhiều khó khăn khi giải một số bài toán hình học
phức tạp.
II. NỘI DUNG CẦN GIẢI QUYẾT:
Mỗi bài tập giáo viên đưa ra hệ thống câu hỏi và đưa ra bài toán tương tự giúp

A. Kiến thức cần nhớ
1. Diện tích tam giác
Diện tích tam giác bằng nửa tích Acủa một cạnh với chiều cao tương ứng
của nó
1
S = a.h
2

h

B

C

H

a

Diện tích của tam giác vuông bằng nửa tích hai cạnh góc vuông .
S=

1
a.b
2
a

b

- Hai tam giác bằng nhau thì có diện tích bằng nhau.
- Hai tam giác có cùng chiều cao và hai đáy tương ứng bằng nhau


Diện tích hình bình hành bằng tích của một cạnh với chiều cao
tương ướng với cạnh đó:

h

S = ah

5.

a

Diện tích tứ giác:

B
A

S ABCD = S ABC + S ADC
D
C

Đặc biệt:
a) Diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc bằng nửa tích độ
dài hai đường chéo.
b) Diện tích hình thoi bằng nửa tích độ dài hai đường chéo.
B. Hệ thống bài tập.
Bài 1: (Bài 18, SGK Toán 8 tập 1, trang 121)
Cho tam giác ABC và đường trung tuyến AM. Chứng minh:
S AMB = S AMC


A

GT

∆ABC , MA = MB

KL

SAMB = SAMC

B

H

M

C

Chứng minh:
Kẻ đường cao AH cắt BC tại H
Khi đó ta có:
1
BM . AH
2
1
= CM . AH
2

S AMB =
S AMC

1
1
EH . AD = .2.5 = 5 (cm 2 )
2
2

6. Để tính diện tích tam giác ADE ta cần tính độ dài cạnh nào nữa?
Tính cạnh AD
7. Vậy ta tính được x chưa? x bằng bao nhiêu?
Giải
E

Hình chữ nhật ABC D
S ABCD = 3S ADE , AH ⊥ AD
GT BC = 5cm, EH = 2cm
AB = x cm

2cm

A

D
H

x

KL

Tính x
B

B
H

5cm

D

4cm

C

2.2. Tìm x sao cho diện tích hình chữ nhất gấp 2 lần diện tích tam giác
ABE.
E

4cm

B

A
H
x

D

3cm

C

Bài 3: (Bài 24, SGK Toán 8 tập 1, trang 123)


a

Kẻ đường cao AH
1
2

1
2

Khi đó ta có: BH = HC = BC = a ( ∆ABC là tam giác cân)
Áp dụng định lí Pi-ta-go cho tam giác vuông AHB ta có:
a2
AH = AB − BH = b −
4
2

2

2

2

a2 1
⇒ AH = b −
=
4b 2 − a 2
4
2
2

H
K A

ABC, AB = 3AC
GT
BH ⊥ AC, CK ⊥ AB
KL

C

BH
=?
CK

B

Ta có:
1
1
AB.CK = AC.BH
2
2
⇒ AB.CK = AC.BH
BH AB
⇒
=
=3
CK AC
S ABC =


Cho tam giác ABC đều, ba đường cao AA’, BB’, CC’ và trực tâm H.
Chứng minh hệ thức sau:

HA" HB' HC ' 1
=
=
= ]
AA' BB' CC ' 3

2.2. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
Trên cơ sở các kiến thức về tam giác đồng dạng, định lí Py-ta-go giáo
viên cho học sinh tiếp cận các kiến thức về:
- Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông
- Tỉ số lượng giác của góc nhọn
-

Hệ thức giữa các cạnh và các góc trong tam giác vuông.

Sau đó giáo viên cho học sinh vận dụng các kiến thức này vào việc giải
các bài tập từ dễ đến khó nhằm rèn cho học kỹ năng vẽ hình, khả năng tư
duy logic, phân tích giả thiết và kết luận của bài toán để đi đến kết quả,
trong đó giáo viên đóng vai trò là người hướng dẫn, giúp đỡ học sinh phát
hiện và giải quyết vấn đề, qua đó phát triển tư duy cho học sinh.
§1. Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông.
A. Kiến thức cần nhớ.

A

Cho tam giác ABC vuông tại A.
c

cạnh huyền bằng tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh
huyền.
h 2 = b'.c '

 Định lí 3: Trong một tam giác vuông, tích hai cạnh góc vuông bằng tích
của cạnh huyền và đường cao tương ứng.
bc = ah
 Định lí 4: Trong một tam giác vuông, nghịch đảo của bình phương
đường cao ứng với cạnh huyền bằng tổng các nghịch đảo của bình phương
hai cạnh góc vuông.
1
1
1
= 2 + 2
2
h
b
c

3. Định lí Py-ta-go: Trong một tam giác vuông, bình phương cạnh huyền
bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông.
a2 = b2 + c2

B. Hệ thống bài tập.
Bài 1: ( Bài 5, SGK Toán 9 Tập 1, trang 69)
Trong tam giác vuông ABC với các cạnh góc vuông có độ dài là 3 và 4.
Kẻ đuờng cao AH ứng với cạnh huyền . Hãy tính đường cao này và độ
dài các đoạn thẳng mà nó định ra trên cạnh huyền.
Câu hỏi:
1. Em hãy vẽ hình và cho biết giả thiết và kết luận của bài toán là gì?


H

C

Tam giác ABC vuông tại A có AB = 3; AC = 4.
Theo định lí Py-ta-go, ta có:
BC 2 = AB 2 + AC 2 = 9 + 16 = 25
⇒ BC = 5

Mặt khác, AB 2 = BH .BC , suy ra
AB 2 3 2
BH =
=
= 1,8
BC
5

CH = BC – BH = 5 – 1,8 = 3,2
Ta có AH.BC = AB.AC, suy ra
AH =

AB. AC 3.4
=
= 2,4
BC
5

Đề xuất bài toán mới:
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH =

∆ ABC có đường trung tuyến AO =

Do đó AH2 = BH.CH hay x2 =a.b
Cách 2 :

∆ DEF có đường trung tuyến DO =

1
EF ⇒ ∆ DEF vuông tại D
2

Do đó DE2 = EI.EF hay x2 =a.b
Bài 3 : (Bài 9, SGK Toán 9 Tập 1, trang 70)

16


Cho hình vuông ABCD. Gọi I là một điểm nằm giữa A và B. Tia DI và
tia CB cắt nhau ở K. Kẻ đường thẳng d vuông góc với DI. Đường thẳng
này cắt đường thẳng BC tại L. Chứng minh rằng :
a. Tam giác DLI là một tam giác cân.
b. Tổng

1
1
+
không thay đổi khi I thay đổi trên cạnh AB.
2
DI
DK 2

DK 2

AB nên ta cần biến đổi tỉ số này về một tỉ số không phụ thuộc vào vị trí
của điẻm I và có giá trị không đổi.
- Em có nhận xét gì về tam giác DKL?
- DL và DK liên hệ với nhau qua biểu thức nào?
- DL và DI có quan hệ như thế nào? Vì sao?
- Ta được điều phải chứng minh chưa?
Giải:

17


Hình vuông ABCD; I ∈ AB

K

DI ∩ CB = { K } ; d ⊥ DI
d ∩ BC = { L}

GT

A

a) ∆ DLI cân
KL b) 1 + 1 = const
DI 2 DK 2

I



Suy ra ∆ DIL cân tại D
1
1
+
không thay đổi khi I thay đổi trên cạnh AB
2
DI
DK 2

b. Tổng
Ta có:

1
1
1
=
+
2
2
DC
DL
DK 2

(DC là đường cao của ∆ DKL)

Mà DL = DI (chứng minh trên)
⇒

1

Vì tỉ số giữa hai cạnh góc vuông là 3: 4 nên nếu mộ cạnh góc vuông có độ
dài là 3a thì cạnh kia có độ dài là 4a.
Theo định lí Pitago ta có:

( 3a ) 2 + ( 4a ) 2 = 125 2
⇒ 25a 2 = 125 2
⇒ a = 25

Vậy độ dài hai cạnh góc vuông là 75 cm và 100 cm.
Hình chiếu của hai cạnh góc vuông ta có:
AB 2 75 2
=
= 45 cm
BC 125
AC 2 100 2
CH =
=
= 80 cm
BC
125
BH =

Đề xuất bài toán mới:
Cho tam giác ABC vuông cân tại A, biết BC = 8 . Tính độ dài các cạnh
góc vuông và hình chiếu của chúng định ra trên cạnh huyền.
Bài 5 : (Những Bài Toán cơ bản và Nâng Cao 9 Tập 1-NXB ĐHSP)
Cho tam giác ABC, góc A nhọn. Kẻ đường cao CH, H ∈ BC . Chứng
minh BC 2 = AB 2 + AC 2 − 2 AB. AH
Câu hỏi:
1. Vẽ hình và cho biết giả thiết, kết luận của bài toán là gì?

HC 2 = AC 2 − AH 2 (2)

Vì Aˆ là góc nhọn nên H nằm giữa hai điểm A và B
Suy ra: AB = AH + HB ⇒ HB = AB – AH (3)
Thay (2) và (3) vào (1) ta được:
BC 2 = AC 2 − AH 2 + ( AB − AH )

2

⇒ BC 2 = AB 2 + AC 2 − 2 AB. AH

Đề xuất bài toán mới:
5.1. Cho tam giác ABC, góc A là góc tù. Kẻ đường cao CH, H ∈ AB .
Chứng minh BC 2 = AB 2 + AC 2 + 2 AB. AH .
5.2. Cho tam giác ABC, đường cao AH, H ∈ AB và M là trung điểm của
cạnh BC. Chứng minh AB 2 + AC 2 = 2. AM 2 +

BC 2
.
2

Bài 6: (Những Bài Toán cơ bản và Nâng Cao 9 Tập 1-NXB ĐHSP)

20


Cho hình vuông ABCD. Qua A kẻ đường thẳng cắt BC, cắt đường
thẳng DC lần lượt tại E và F. Đường thẳng Ax vuông góc với AF cắt
đường thẳng DC tại G. Chứng minh :
a. ∆ADG = ∆ABE

1
+
=
2
2
AE
AF
AD 2

b1. Em hãy cho biết tam giác AGF là tam giác gì?
b2. Hai đoạn thẳng AD và GF có quan hệ như thế nào?
b3. Hệ thức liên hệ giữa các cạnh AG, FA với đường cao AD là gì?
b4. Em hãy so sánh hai cạnh AG và AE?
b5. Ta được điều phải chứng minh chưa?
Giải

21


Hình vuông ABCD, qua A kẻ đường
GT

thẳng cắt BC và DC tại E và F;

A

Ax ⊥ AF ; Ax ∩ DC = { G}

B



(1)

Ta có: AD = AB (ABCD là hình vuông)

( 2)

Từ (1) và (2) suy ra ∆ADG = ∆ABE (g.c.g)
b. Chứng minh:

1
1
1
+
=
2
2
AE
AF
AD 2

Trong tam giác GAF thì

1
1
1
+
=
2
2

3 AB 2

Bài 7: (Toán nâng cao hình học 8 – T.s. Đậu Thế Cấp – NXB Đà Nẵng)
Cho hình thang ABCD (AB // CD), đường cao BH = 4cm, đường chéo
BD = 5cm. Hai đường chéo AB và BD vuông góc với nhau. Tính diện
tích hình thang ABCD.
Câu hỏi:
1. Hãy vẽ hình và ghi giả thiết, kết luận của bài toán?

22


2. Có mấy công thức diện tích của hình thang ABCD?
3. Ta cần tính độ dài của cạnh nào?
4. Nếu từ B kẻ đường thẳng BE song song với AC cắt DC tại E. Khí đó
em có nhận xét gì về tứ giác ABEC?
5. Hai cạnh AC và BE có mối quan hệ như thế nào?
6. Tam giác DBE là tam giác gì? Vì sao?
7. Em hãy viết hệ thức liên hệ giữa BD và BE với BH?
8. Ta tính được BE bằng bao nhiêu?
9. Vậy diện tích hình thang ABCD bằng bao nhiêu?
Giải
Hình thang ABCD(AB//CD)
GT

KL

A

BH ⊥ DC , AC ⊥ BD

BH
BD
BE 2
1
1
1
BD 2 − BH 2
⇒
=
−
=
BE 2 BH 2 BD 2
BH 2 .BD 2
BH 2 .BD 2
BH .BD
⇒ BE 2 =
⇒ BE =
=
2
2
BD − BH
BD 2 − BH 2

Mà BE = AC =

20
3

23


Bài 8: (Bài 20, SBT Toán 9 Tập 1 , trang 92)
Cho tam giác ABC. Từ một điểm M bất kì trong tam giác. Kẻ MD,
ME, MF lần lượt vuông góc với các cạnh BC, CA, AB (h.8). Chứng
minh rằng: BD 2 + CE 2 + AF 2 = DC 2 + EA 2 + FB 2
Câu hỏi:
1. Giả thiết và kết luận của bài toán là gì?
2. Điều phải chứng liên quan đến độ dài các đoạn thẳng nên ta cần thiết
lập mối quan hệ giữa các đoạn thẳng này.
3. Nối MA thì các tam giác AFM và AME là tam giác gì?
4. Em có nhận xét gì về độ dài các đoạn thẳng MA với các đoạn thẳng
MFvà AF, với đoạn thẳng ME và AE?
5. Tương tự em hãy biểu diễn dộ dài các đoạn MB và MC?
6. Từ các điều trên ta được điều phải chứng minh chưa?
∆ABC ; M là điểm bất kì

Giải
GT

KL

Ta có:

nằm trong tam giác
MD ⊥ BC ; ME ⊥ CA; MF ⊥ AB

BD 2 + CE 2 + AF 2
= DC 2 + EA 2 + FB 2

MA 2 = AF 2 + MF 2 = AE 2 + ME 2


4. Trong tam giác vuông EDC thì ba cạnh liên hệ với nhau qua công thức
nào? Khi đó ta có EC 2 bằng bao nhiêu?
5. Tương tự em hãy tính EB 2 ?
6. Khi đó ta được EC 2 - EB 2 bằng gì?
7. Em hãy so sánh AD và BD? Vì sao?
8. Điều phải chứng minh tiếp theo là gì? ( CD 2 − AD 2 = AC 2 )
9. Tại sao CD 2 − AD 2 = AC 2 ?
10. Em hãy chứng minh bài toán bằng cách khác.
Giải
A

∆ABC Vuông tại A
GT

KL

D

DA = DB, DE ⊥ BC
AC 2 = EC 2 − EB 2

C
E

25

B