PHẦN A: MỞ ĐẦU
I. Lý do chọn đề tài:
Cùng với sự phát triển của đất nước, sự nghiệp giáo dục cũng đổi mới
không ngừng. Các nhà trường càng chú trọng đến chất lượng toàn diện bên
cạnh sự đầu tư thích đáng cho giáo dục. Dạy như thế nào để học sinh không
những nắm chắc kiến thức cơ bản một cách có hệ thống mà phải được nâng
cao, phát triển để các em có hứng thú, say mê học tập là một câu hỏi mà mỗi
thầy cô chúng ta luôn đặt ra cho mình.
Thực tế trong quá trình dạy và học toán cụ thể như trong sáng kiến này
là số học 6 có rất nhiều bài toán mang tính điển hình, từ bài toán đó ta có thể
phát triển thêm các bài toán khác mang các thuộc tính tổng quát hơn. Những
bài này thường chứa đựng nhiều nội dung, nhiều mối liên kết lôgíc. có thể coi
là phần tử đại diện cho một lớp các bài toán có tính bản chất chung. Vì vậy
trong quá trình dạy theo tôi người dạy phải biết đâu là những bài toán mấu
chốt, đâu là những bài toán đại diện và vấn đề cơ bản của các bài toán ấy là vấn
đề gì. Từ đó học sinh có thể dễ dàng nắm bài toán một cách tổng quát. Chính
vì vậy theo tôi “Tổng quát hoá các bài toán trong dạy học toán” là việc hết
sức cần thiết đối với việc phát triển năng lực tư duy cho học sinh khi dạy học
đặc biệt là năng lực tư duy của học sinh lớp 6 đầu cấp học.
II. Mục đích nghiên cứu:
“Tổng quát hoá các bài toán trong dạy học toán” giúp học sinh hiểu
được tổng quát hoá là chuyển từ trường hợp đặc biệt sang trường hợp tổng
quát. Nhờ tổng quát hoá mà ta có thể đi đến công thức tổng quát, có thể sáng
tạo ra các bài toán mới, từ đó vận dụng để thực hiện những bài toán liên quan.
Qua đó học sinh được rèn luyện phương pháp, thói quen tìm lời giải
cho một bài toán cụ thể xét bài toán trong trường hợp tổng quát từ đó rèn
luyện cho học sinh phương pháp suy luận, tư duy để chuyển từ việc khảo sát
một tập hợp đối tượng đến tập hợp đối tượng lớn hơn chứa tập hợp ban đầu.

1




chú trọng việc giải thế nào để đi đến kết quả, bài toán có lời giải ngắn gọn.
Thực tế, đó cũng là việc làm rất cần thiết đối với học sinh, tuy nhiên chỉ dừng
lại ở đó thì học sinh không thể phát huy được tính sáng tạo qua các bài toán,
không mở rộng được bài toán, từ bài toán đó ta có thể phát triển thêm từ các
bài toán dễ đến các bài toán khác khó hơn, mang các thuộc tính tổng quát.
- Giáo viên: Vì thời gian trên lớp hạn chế và một số yếu tố khác nên
giáo viên thường là giải mẫu sẵn các bài toán từ dễ đến khó cho học sinh đa
phần chưa tổng quát hoá lên, chưa phát triển bài toán, chưa chỉ ra cho học
sinh sự liên quan ở các bài toán từ đó chưa sâu chuỗi kiến thức từ đó chưa
phát huy hết khả năng tư duy toán học của các em.
Để góp phần giải quyết thực trạng trên tôi đã mạnh dạn viết thành sáng
kiến kinh nghiệm. “Phát triển tư duy học sinh lớp 6 thông qua tổng quát
hoá các bài toán tính tổng trong số học”
III. Một số giải pháp tiến hành hướng dẫn học sinh tư duy trong dạy
học các bài toán tính tổng ở phần số học lớp 6
1.Hướng dẫn học sinh phân loại các bài toán:
Phân loại để định hướng lập kế hoạch giải bài toán là khâu hết sức quan
trọng. Do đó trong quá trình giảng dạy môn số học lớp 6 tôi đã hướng dẫn học
sinh phân loại các bài toán tính tổng các số tự nhiên và các bài toán liên quan
thành các dạng như sau:
1.1. Dạng toán liên quan đến tính tổng các số tự nhiên.
1.2. Dạng toán liên quan đến tính tổng các luỹ thừa với các cơ số và số
mũ là những số tự nhiên:
1.3. Dạng toán liên quan đến tính tổng các phân số với tử số và mấu số là
các số tự nhiên.
2. Hướng dẫn học sinh tóm tắt kiến thức cần vận dụng.
Trong quá trình hướng dẫn học sinh, tôi đã cho học sinh nhắc lại và
yêu cầu học sinh ghi nhớ các tính chất sau:.

1
= −
.
n(n + 1) n n + 1

Để đếm số hạng của 1 dãy số mà 2 số hạng liên tiếp của dãy cách nhau
cùng 1 số đơn vị , ta có thể dùng công thức:
Số số hạng = ( số cuối – số đầu) : ( khoảng cách ) + 1
3. Hướng dẫn học sinh giải các dạng toán:
3.1.Dạng 1: Dạng toán liên quan đến tính tổng các số tư nhiên
Ở số học lớp 6 thì việc làm các bài toán thực hiện phép tính tổng rất
thân quen với các em, tuy nhiên thông thường thì các em chỉ dừng lại ở việc
tính toán mà ít tư duy để khái quát các bài toán đó, đưa bài toán về dạng tổng
quát, vận dụng kết quả bài toán. Chính vì vậy khi dạy giáo viên cần hướng
các em đi từ những ví dụ nhỏ, quen thuộc để từ đó hình thành cách tính tổng
quát, vận dụng nó một cách hiệu quả trong các dạng toán liên quan.

4


Ví dụ 1. Tính nhanh (Bài tập 31c trang 17 SGK toán 6 tập 1)
20 + 21 + 22 +…+ 29 + 30
Tuy đây là bài toán quen thuộc nhưng học sinh vẫn hay bị vướng mắc
trong cách giải như: Nhóm các cặp số không logic, nhầm lẫn số lượng hạng
tử, lạm dụng máy tính bỏ túi một cách máy móc không khoa học...vì vậy khi
thực hiện ví dụ này giáo viên có thể định hướng cho học sinh cách giải như
sau:
Đặt S = 20 + 21 + 22 +…+ 29 + 30 (1)
S = 30 + 29 + ...+ 21 + 20



Trước hết giáo viên hướng dẫn học sinh phát hiện tìm ra được số hạng
đầu tiên m = 15, khoảng cách giữa số hạng đầu tiên và số hạng cuối cùng
k=85 từ đó hướng dẫn học sinh sử dụng kết quả của bài toán tổng quát 1 ta
tính được tổng S =

(2.15 + 85)(85 + 1)
= 105.43 = 4945
2

Từ việc tính tổng này giáo viên có thể hướng dẫn cho học sinh tự tư
duy để khai thác bài toán bằng những câu hỏi liên quan khác.
Ví dụ: Chứng minh S + 43, sử dụng máy tính bỏ túi tính

S
, tìm 3
S + 55

ước lớn hơn 40 của S, hoặc so sánh S và 5000;....
Ngoài việc vận dụng tính tổng trực tiếp giáo viên có thể hướng dẫn học
sinh sử dụng kết quả của bài toán tổng quát 1 thực hiện các bài toán liên quan
khác đến dãy số một cách dễ dàng, chẳng hạn:
Bài 2: Tìm x biết 15 +16 + ... + 99 + x = 5000
Để thực hiện bài toán này trước hết giáo viên hưóng dẫn cho học sinh
tính tổng

15+16+...+98+99 =

(2.15 + 84)(84 + 1)
= 4845

liên tiếp (Bài toán gau-xơ trang 19 SGK toán 6 tập 1). Vấn đề nảy sinh lúc
này chính là cách tính tổng n số tự nhiên đầu tiên liên tiếp, từ đây giáo viên
hướng dẫn học sinh hình thành trường hợp đặc biệt của bài toán tổng quát 1.
Tính tổng: S = 1 + 2 +3 + ...+ (n-1) + n.

(n∈ N)

Với cách giải như ví dụ 1 học sinh có thể dễ dàng thực hiện được. Tuy
nhiên ngoài cách giải trên giáo viên có thể hướng dẫn học sinh giải bằng
những cách khác chẳng hạn:
S = 1 + 2 +3 + ...+ (n-1) + n
⇒ 2S = 1.2 + 2.2 +3.2 + ... + n.2

⇔ 2S = 1.2 + 2.(3 – 1) +3.(4 – 2) + ... + n.[(n+1) – (n – 1)]
⇔ 2S = 1.2 – 1.2 + 2.3 – 2.3 + 3.4 - … - (n – 1)n + n (n + 1)
⇔ 2S = n ( n + 1) ⇒ S =

n( n + 1)
2

Nếu khoảng cách giữa 2 số liên tiếp của dãy là số m bất kỳ (m ∈ N) thì
cách thực hiện bài toán như thế nào. Từ vấn đề đó giáo viên hướng dẫn học
sinh tìm ra bài toán mới và tổng quát bài toán lên.
Bài toán tổng quát 2: Tính tổng
S = m+(m+k)+(m + 2k)+...+{m +(n-1)k}+(m + nk)

(m;n;k∈ N)

Với cách thực hiện tương tự cách giải của ví dụ 1 giáo viên hướng dẫn
cho học sinh tính được.

Với cách thực hiện như bài trên những bài toán liên quan đến tính tổng
dãy số tự nhiên với khoảng cách giữa 2 số liên tiếp của dãy là số m bất kỳ,
tìm số hạng thứ k của một dãy số trở nên đơn giản đối với các em.
Giáo viên tiếp tục hướng dẫn học sinh tư duy theo hướng thay đổi hạng
tử trong dãy thành tích của 2 số tự nhiên liên tiếp để học sinh tìm ra bài toán
mới từ đó hình thành bài tổng quát.
Ví dụ 2: Tính tổng S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ...+ 98.99
Vấn đề đặt ra cho học sinh lúc này là hướng giải quyết bài toán. Với
cách giải ở trường hợp đặc biệt của bài toán tổng quát ta nhân 2 vế với 2 (số
số hạng +1). Với ví dụ này số số hạng trong mỗi tổng là 2 từ đó giáo viên
hướng dẫn học sinh nhân 2 vế với 3(số số hạng +1) và thực hiện tương tự ta
có được.
3A = 1.2.3 + 2.3.3 + ... + 98.99.3

8


⇔ 3A = 1.2.3 + 2.3.(4 – 1) +...+98.99.(100 – 97)
⇔ 3A = 1.2.3 – 1.2.3 + 2.3.4 +...- 97.98.99 + 98.99.100
⇔ 3A = 98.99.100 ⇒ A =

98.99.100
= 323400
3

Từ ví dụ trên học sinh dễ dàng tổng quát được bài toán
Bài toán tổng quát 3: Tính tổng
S = 1.2 + 2.3 +3.4 + ... + n.(n+1)

(n∈ N)

Để thực hiện bài toán này giáo viên hướng dẫn cho học sinh áp dụng
trực tiếp kết quả của bài toán tổng quát 3 có ngay được:

9


S=

n.( n + 1)(n + 2)
từ đó học sinh nhận ra ngay 3S = n(n+1)(n+2)
3

Từ kết quả trên giáo viên có thể hướng dẫn cho học sinh khai thác tìm
ra những câu hỏi liên quan từ đó tìm ra hướng vận dụng cho những bài toán
cụ thể khác
Ví dụ: Với n < 3 So sánh S và (n+1)(n+2); chứng minh S < (n+1)(n+2)
Bài 2. Cho A =5.6+6.7+7.8+...+19.20+20.21; C= A+21.22; Tính giá trị C.
Giáo viên hướng dẫn học sinh nhận ra được
C = 5.6+6.7+7.8+...+19.20+20.21+21.22
Vấn đề đặt ra ở đây là dãy số không bắt đầu từ 1.2 mà là từ 5.6 vì vậy
giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh thực hiện từng bước theo như cách giải
ở ví dụ 2.
3C = 5.6.3+6.7.3+...+20.21.3+21.22.3.
Tách và biến đổi tương tự ví dụ 2 học sinh tính ra được
3C = 5.6.7-4.5.6+6.7.8-5.6.7+...+20.21.22-19.20.21+21.22.23-20.21.22
⇒C =

21.22.23 − 4.5.6
= 3502
3

= 166650
2
3
6

Từ đây cho học sinh tự tư duy để tổng quát hoá bài toán
Bài toán tổng quát 4: Tính tổng:
S = 1.n + 2(n – 1) + 3(n – 2) + ...+ (n – 1)2 + n.1

(n∈ N)

Với cách thực hiện như ví dụ 3 học sinh dễ dàng thực hiện được
S = (1.n + 2.n + 3.n +...+ n.n) – [1.2 + 2.3 + 3.4 + ...+ (n -1)n]
⇔ S = n(1 + 2 +3 +...+ n) - [1.2 + 2.3 + 3.4 + ...+ (n -1)n]
Sử dụng kết quả bài toán tổng quát 1, tổng quát 3 ta được.
S= n

n( n + 1) (n − 1)n(n + 1)
n( n + 1)( n + 2)
⇒S =
3
6
2

* Hướng phát triển tư duy cho học sinh:
Ngoài những dạng toán vận dụng đã nêu trên ta có thể hướng dẫn cho
học sinh vận dụng kết quả thực hiện những dạng liên quan phức tạp hơn.
Chẳng hạn:
Bài 1. Tìm số tự nhiên x biết: 1.20 + 2.19 + ... + 19.2 + 20.2 −


cơ số và số mũ là những số tự nhiên:
Ví dụ 1: Tính tổng
S = 12 + 22 + 32 + ...+972 + 982
Giáo viên hướng dẫn học sinh thực hiện bước giải theo chiều ngược lại
với bài toán vừa nêu trên để đưa bài toán xuất hiện những dạng quen thuộc.
S = 1(2 -1) + 2(3 - 1) + 3(4 - 1) + ...+ 97(98 - 1) + 98(99 - 1)
⇔ S = (1.2 + 2.3 + ...+ 97.98 + 98.99) - (1 + 2 + ...+ 97 + 98)
Lúc này bài toán đã trở nên quen thuộc đối với học sinh. Sử dụng kết
quả ví dụ 2 ở dạng 1 và bài toán tổng quát 1 hoặc trường hợp đặc biệt của
boặctongr quát 1 học sinh tự mình thực hiện được
S=

98.99.100 98.99
−
= 323400 – 4851 = 318549
3
2

Từ ví dụ này học sinh có thể dễ dàng tổng quát bài toán.
Bài toán tổng quát 1: Tính tổng
S = 12 + 22 + 32 + ... + n2

(n ∈ N )

Thực hiện tương tự ví dụ trên học sinh tính được
S=

n(n +1)(2n +1)
n( n + 1)( n + 2) n( n + 1)
−

hoán đổi vị trí giữa luỹ thừa và cơ số của bài toán từ đó giáo viên hình thành
cho học sinh bài toán mới và tổng quát bài toán lên.
Ví dụ 2: Tính tổng S = 2 + 22 + 23+ 24
Học sinh có thể có nhiều lựa chọn cho lời giải. Để thực hiện nhanh
hiệu quả và cách giải không chỉ bó hẹp trong mình ví dụ này giáo viên có thể
hướng cho thực hiện lập tổng 2S tương tự như ví dụ 1 ở dạng 1. Ta có
2S = 22 + 23+ 24+ 25
⇔ 2S – S = 25 – 2 = 30 ⇒ S = 30
Từ đây học sinh có thể dễ dàng tổng quát được bài toán
Bài toán tổng quát 2: Tính tổng S = 2 + 22 + 23+…+ 2n (n∈ N*)
Với cách thực hiện tương tự học sinh dễ dàng tính được.
2S = 22 + 23+…+ 2n + 2n+1
⇔ 2S – S = 2n+ 1- 2 ⇒ S = 2n+ 1- 2
* Hướng phát triển tư duy cho học sinh:
Ngoài những dạng trên giáo viên hướng dẫn học sinh sử dụng kết quả
bài toán tổng quát thực hiện một vài dạng toán liên khác quan chẳng hạn:
Bài 1: Tính tổng: S = 24+25+...+29+210
Điểm khác với bài toán tổng quát là trong bài toán trên luỹ thừa không

13


bắt đầu từ mũ 1. Vẫn cách thự hiện như trên giáo viên cho học sinh tự thực
hiện bài toán.
2S = 25+26+...+210+211 ⇒ S = 2S -S = 211-24.
Qua bài toán trên giáo viên có thể tiếp tục cho học sinh tự mình tổng
quát bài toán lên,
Bài 2. Tính tổng S = 2m + 2m+ 1 + …+ 2n-1 + 2n

(m;n∈ N*)



viên cần hướng dẫn học sinh biến đổi để đưa bài toán về dạng quen thuộc từ
đó học sinh tư duy và tính ra được.
A = 101–1+102 – 1 + 03 – 1+ ... +1010 –1
= ( 101+ 102 + 103+ 104 + ... + 1010 ) – 10. Áp dụng kết quả của bài 3
1010+1 − 101
học sinh dễ dàng thực hiên được A =
− 10
10 − 1
Bằng việc sử dụng máy tính hoặc tính toán thông thường thì bài toán
lúc này cũng trở nên đơn giản hơn đối với các em.
A=

0 – 10 =

00

Trước khi thực hiện câu b giáo viên có thể chỉ ra cho học sinh thấy
được mối liên hệ giữa câu a và câu b từ đó hướng dẫn cho học sinh thực hiện
bước sau:
9B = 9.(1+11+111+1111+ ...+

9B =

) = 9+ 99 + 999 + ... +

00 ( Theo kết quả của câu a)

Vậy B = = 1234567900

2

(Câu 2b đề 13 trang 51 kiểm tra

đánh giá thường xuyên và định kỳ toán 6)
Giáo viên hướng dẫn học sinh tư duy và nhận thấy được :
1
1
1
1
1
1
1
=
=
;
=
; Từ đây giáo viên hướng dẫn học sinh
2 1. 2
1
2 2. 3
2
3

tổng quát lên được: Với n ∈ N ; n ≠ 0 . Thì

1
1
1
= −

4
1 2
2
19 20

sinh tính được B =

1
1
99
=
1 100 100

Từ đây học sinh có thể dễ dàng tổng quát được bài toán
Bài toán tổng quát 1:
1

1

1

Tính tổng : S = 1. 2 + 2.3 + ... + n(n + 1) .

(n ∈ N * )

Với cách thực hiện tương tự như ví dụ 1 học sinh xẽ tính được.

16



1
1 1
9
⇒S= −
− + − + ... + − + −
=
5 50 50
5 6 6 7
48 49 49 50

Trong bài toán này số hạng đầu tiên không phải

1
nên nếu học sinh
1 .2

tính được n = 49 và áp dụng kết quả bài toán tổng quát thì kết quả xẽ sai lệch.
Vì vậy giáo viên cần lưu ý cho học sinh và tổng quát bài toán lên cho học
sinh ở một mức cao hơn nữa mà hạng tử đầu tiên là
S=

1
; (m ∈ N * )
m( m + 1)

1
1
1
+
+ ... +

2
1 1 2
1 1
2
1
1
= − ;
= + ;....
=
−
3.5 3 5 5.7 5 7
97.99 97 99

17


Từ đây học sinh tự lập được
M =

1 1 1 1
1
1
1 1 32
⇒M = −
− + − + ... +
−
=
3 5 5 7
97 99
3 99 99

...
m m + k (m + k )(m + 2k ) m + k m + 2k
k
1
1
=
−
[m + nk ][m + (n + 1)k ] m + nk m + (n + 1)k
S=

1
1
(n + 1)k
−
=
m m + (n + 1)k
m[m + (n + 1)k ]

*Hướng phát triển tư duy cho học sinh:
Ngoài những dạng toán đã nêu trên ta hướng cho học sinh thực hiện
thêm những dạng liên quan khác chẳng hạn:
Tính tổng S =

3
3
3
+
+ ... +
5.9 9.13
21.25

a
a
a
+
+ ... +
m.( m + k ) (m + k )(m + 2k )
[m + nk ][m + ( n + 1) k ]
(m ∈ N * ; n ∈ N * ; k ∈ N * ; a ≠ 0)

18


Với cách thực hiện như bài toán trên ta có.
kS = a{

k
k
k
+
+ ... +
}
m.(m + k ) (m + k )(m + 2k )
[m + nk ][m + (n + 1)k ]

Áp dụng kết quả bài toán tổng quát 2 ta có được
kS = a.

( n + 1) k
(n + 1)
S=a


Học lực
Giỏi
Khá
TB
Yếu

Trước khi vận dụng SKKN
0%
18%
74%
8%

Sau khi vận dụng SKKN
6%
26%
64%
4%

20


PHẦN C. KẾT LUẬN:
I. Bài học kinh nghiệm
Với sự hỗ trợ của tài liệu và từ vài kinh nghiệm nhỏ rút ra qua quá trình
giảng dạy cũng như sự giúp đỡ của các bạn đồng nghiệp, bản thân nhận thấy:
- Khi dạy cần cho học sinh tiếp nhận kiến thức một cách thoải mái, chủ
động, rõ ràng, có hệ thống, học sinh phải phân biệt và nhận dạng được các bài
toán, tổng hợp và khái quát bài toán, sau khi giải giáo viên nên chỉ ra một đặc
điểm, một hướng giải quyết nào đó để khi gặp bài tương tự, học sinh có thể tự