PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THẠCH HÀ

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
PHÁT HUY NĂNG LỰC TƯ DUY CỦA HỌC SINH THÔNG
QUA KHAI THÁC VÀ PHÁT TRIỂN BÀI TẬP TOÁN

Tổ trưởng: Nguyễn Thị Mai
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị: Trường THCS Nguyễn Thiếp

Thạch Hà, tháng 10 năm 2016

1


PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THẠCH HÀ

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
PHÁT HUY NĂNG LỰC TƯ DUY CỦA HỌC SINH THÔNG
QUA KHAI THÁC VÀ PHÁT TRIỂN BÀI TẬP TOÁN

Họ và tên: Nguyễn Thị Thanh Hoa
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị: Trường THCS Nguyễn Thiếp

Thạch Hà, tháng 10 năm 2016

2


A . ĐẶT VẤN ĐỀ:

lô gic.
IV. Giải pháp nghiên cứu
Từ những khó khăn trong việc giải bài tập của học sinh, đặc biệt là qua quá
trình làm bài thi trong các kì thi học sinh giỏi, tôi đã tiến hành phân tích nguyên
3


nhân dẫn đến kết quả học tập chưa cao của học sinh từ đó nghiên cứu tài liệu,
các đề thi học sinh giỏi hằng năm và đưa ra giải pháp khắc phục:
- Dạy tốt kiến thức cơ bản cho học sinh
- Tạo thói quen cho học sinh khai thác, mở rộng, tìm tòi các bài toán mới từ
các bài toán cơ bản.
V. Tính mới của đề tài
Để dạy phần chứng minh bất đẳng thức, so với trước đây là dạy lí thuyết
sau đó cho học sinh làm các tập vận dụng thì bây giờ hướng dẫn học sinh khai
thác để tạo ra các bài tập toán hay từ những bài tập quen thuộc. Vì thế rất nhiều
bài tập tưởng chừng như rất khó lại trở nên gần gũi với các em học sinh.
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ:
I. Cơ sở lý luận.
Học sinh được làm quen với bất đẳng thức ngay từ tiểu học dưới dạng các
bài toán so sánh hai số, đến lớp 8 các em được nghiên cứu về bất đẳng thức một
cách hệ thống hơn từ định nghĩa, các tính chất của bất đẳng thức:
a) Định nghĩa: Bất đẳng thức là hệ thức có dạng a < b (hay a > b, a ≥ b, a
≤ b)
b) Tính chất:
- Tính chất bắc cầu: Nếu a > b và b > c thì a > c.
- Tính chất cộng hai vế với cùng một số: a > b ⇔ a + c > b + c
- Tính chất nhân cả hai vế với cùng một số khác 0:
a > b ⇔ ac > bc với c > 0
a > b ⇔ ac < bc với c
c) a – ab + b = (a – ab + ) + b =  a − ÷ + b2 ≥ 0.
4
2 4
4


2

2

2

Tất cả 10 em đều làm tốt cả ba câu a, b và c.
Với câu d) chỉ có 2 em làm tốt, có 3 em đã biết cách biến đổi:
a4 + b4 + a3b + ab3 = (a + b)(a3 + b3) = (a + b)2(a2 – ab + b2) nhưng lại
quên đi bất đẳng thức a2 – ab + b2 ≥ 0, có 2 em chỉ biến đổi được:
a4 + b4 + a3b + ab3 = (a + b)(a3 + b3) mà không biết cách tách để đưa về
dạng (a + b)2(a2 – ab + b2), còn 3 em không định hướng được cách giải.
Không có em nào làm được câu e.
Thực chất đẳng thức ở câu d) và e) là hai đẳng thức rất gần với đẳng thức
ở câu c) nhưng tại sao các em vẫn làm bài không tốt. Điều làm tôi băn khoăn và
trăn trở nhất là sau một thời gian, bài tập này được ra lại thì các em làm bài cũng
không tốt lắm, các em đã quên đi các bước biến đổi cho dù trước đây tôi hướng
dẫn giải rất kĩ càng.
Tôi thiết nghĩ rằng tôi phải thay đổi cách truyền đạt kiến thức, thay đổi
cách hướng dẫn các em học tập. Tôi cần phải rèn luyện cho học sinh cách học
toán một cách đúng nghĩa để các em không lúng túng trước những bài toán có vẻ
như là mới lạ, không nhớ máy móc rập khuôn để rồi dễ dàng quên đi các bài
toán đã giải.
III. Biện pháp thực hiện

4
4
2
4

2

2

bằng xảy ra khi và chỉ khi m = n = 0.
Với bài tập trên, nếu ta thay đổi một chút giả thiết ta sẽ có các bài toán
mới lạ như sau:
Nhận xét 1: Từ bất đẳng thức (*), nếu cho m = x – 1, n = y – 1, ta có:
(x – 1)2 – (x – 1)(y – 1) + (y – 1)2 ≥ 0
⇔ x2 – 2x + 1 – xy + x + y – 1 + y2 – 2y + 1 ≥ 0
⇔ x2 + y2 –x - y – xy ≥ 0
Ta có bài toán mới sau:
Bài 1: Chứng minh rằng: x2 + y2 - x - y – xy ≥ 0
Nhận xét 2: Từ bất đẳng thức (*), nếu cho m = x – 1, n = 1 – y, ta có:
(x – 1)2 – (x – 1)(1 – y) + (1 – y)2 ≥ 0
⇔ x2 – 2x + 1 + xy - x - y + 1 + y2 – 2y + 1 ≥ 0
⇔ x2 + y2 –3x - 3y + xy ≥ 0
Ta có bài toán sau:
Bài 2: Chứng minh rằng: x2 + y2 + xy – 3x - 3y + 3 ≥ 0
Bằng cách thay đổi tương tự như vậy, học sinh sẽ đưa ra được các bài toán
khác nhau. Bây giờ ta sẽ thay đổi bài toán dưới một góc khác:
Nhận xét 3: Ta có bất đẳng thức (*): a2 - ab + b2 ≥ 0
Mà (a + b)2 ≥ 0 với mọi a, b nên ta có:
(a + b)2(a2 - ab + b2) ≥ 0
⇔ (a + b)(a + b)(a2 - ab + b2) ≥ 0


3

⇔ x8 + y8 ≥ x 6 y 2 + x 2 y 6
⇔
⇔

x8
2

x y

x6
y

2

2

+

+

y6
x

2

y8
2

4
2 + 2 ≥ x +y
y x

(Đây chính là bài tập ở câu e phần II)
Nhận xét 6: Cũng từ bài toán 4: a4 + b4 ≥ a3b + ab3, nếu cho a = x2; b = y2
với x, y khác 0 ta có:
( x 2 )4 + ( y 2 ) 4 ≥ ( x 2 ) 3 y 2 + x 2 ( y 2 )3

⇔ x8 + y8 ≥ x 6 y 2 + x 2 y 6
⇔

x8
y8
x6y2 x2y6 (Chia cả hai vế cho số dương x4y4)
+
≥
+
x4 y4 x4 y4 x4 y4 x4 y2

⇔

x4 y4 x 2 y 2
+ ≥
+
y4 x4 y 2 x 2

Ta có bài toán sau:
Bài 6: Chứng tỏ rằng với x, y khác 0 ta luôn có:
7

2

2
2
y khác 0, ta có: ( x − xy + y ).

⇔

( x − y)2

x2 y 2

2

x2 y2

2

≥ 0 với x,

≥0

x 2 − xy + y 2 x 2 − 2 xy + y 2
.
≥0
xy
xy
x y x y

+ − 1÷.  + − 2 ÷ ≥ 0

y2 x2
 y x

Nhận xét 9: Từ bất đẳng thức (*): x – xy + y ≥ 0, mà
2

y khác 0, ta có: ( x − xy + y )
2

⇔

2

( x + y)2

x2 y 2

2

( x + y)
x2 y 2

2

≥ 0 với x,

≥0

x 2 − xy + y 2 x 2 + 2 xy + y 2
.

+ + + ≥0
y2 x2 y x
Nhận xét 10: Từ bất đẳng thức (*): x2 – xy + y2 ≥ 0 ta có bất đẳng thức:
x + xy + y ≥ 0 (**), mà
2

2

(x 2 + xy + y 2 ).

( x − y)
x2 y 2

2

≥ 0 với x, y khác 0, ta có:

(x - y) 2
≥0
x 2 y2

x 2 + xy + y 2 x 2 − 2 xy + y 2
⇔
.
≥0
xy
xy
x y x y

+ + 1÷.  + − 2 ÷≥ 0

2

2

( x + y)
x2 y 2

2

≥ 0 với

x, y khác 0, ta có:
(x 2 + xy + y 2 ).

(x + y) 2
≥0
x 2 y2

9


⇔

x 2 + xy + y 2 x 2 + 2 xy + y 2
.
≥0
xy
xy

x y x y

a3 + b3 ≥ a2 + b2
Trên đây chỉ là một số bài tập được khai thác từ bất đẳng thức a2 – ab + b2
≥ 0. Bằng cách tương tự chúng ta có thể tạo ra nhiều bài tập có nội dung phong
phú hơn nữa.
IV. Kết quả đạt được
Sau khi tôi hướng dẫn cho học sinh cách khai thác bài toán cơ bản như trên
tôi nhận thấy rằng các em rất hứng thú trong học tập nói chung và trong giải
toán nói riêng. Các em thấy được tầm quan trọng của việc nắm vững kiến thức
cơ bản cũng như có một cái nhìn sâu sắc hơn về các bài tập. Với cách tìm tòi
khai thác như thế này các bài tập toán trở nên dễ dàng hơn với các em, môn toán
học không khô khan như người ta thường hay nói. Từ việc khai thác sâu bài toán
cơ bản, biết xâu chuỗi các bài toán nhỏ lại với nhau, các em đã tự tin để giải
được nhiều bài toán khó, còn tự sáng tạo ra nhiều bài tập hay hơn không những
với bất đẳng thức mà cho các chuyên đề khác. Cụ thể:
+ 100% học sinh định hướng được phương pháp giải các bài toán tương tự.
10


+ Có đến 80% học sinh tự mình sáng tạo ra những bài toán mới bằng cách
thay đổi giả thiết và kết luận của bài toán cơ bản.
+ Các em có cái nhìn sâu sắc hơn về giải toán, luôn có thói quen tìm tòi,
khai thác bài toán, mối liên hệ giữa bài toán đang xét với bài toán đã học, …
C. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
1. Kết luận
Trong quá trình dạy học toán, việc tìm lời giải các bài toán không chỉ là
mục đích mà còn là cơ sở để đề xuất các bài toán mới. Phát triển kết quả là một
công việc cực kỳ thú vị đối với người làm toán. Từ một kết quả đơn giản ban
đầu, bằng sự phát triển thông minh và sáng tạo, ta có thể đi đến những kết quả
bất ngờ và sâu sắc.
Sáng kiến kinh nghiệm này được hoàn thành nhờ việc nghiên cứu từ các

Cần tăng cường tự đọc và nghiên cứu tài liệu nhằm tìm tòi và xâu chuỗi các
bài tập cùng dạng để bước đầu hình thành năng lực tổng hợp,khái quát từ đó phát
triển tư duy sáng tạo để khai thác bài tập cơ bản theo nhiều khía cạnh khác nhau.
* Đối với các cấp quản lý giáo dục:
Tăng cường hơn nữa việc triển khai các chuyên đề mang tính định hướng
khai thác kiến thức cơ bản để xây dựng hệ thống bài tập tương ứng, nhằm giúp
các thầy cô giáo và các em học sinh có cái nhìn xuyên suốt và hệ thống các bài
tập trong chương trình Toán phổ thông.
Trên đây là một số cách khai thác và phát triển bài tập toán từ một bài
toán cho trước với mong muốn đóng góp một phần nhỏ vào quá trình đổi mới
nội dung, phương pháp dạy học toán ở trường Trung học cơ sở nhằm giúp học
sinh phát triển tư duy toán học cho học sinh. Do trình độ có hạn cũng như kinh
nghiệm chưa nhiều nên chắc chắn đề tài còn có những hạn chế, thiếu sót, rất
mong được sự đóng gớp ý kiến của quý thầy cô và bạn đọc để đề tài này được
hoàn thiện và có tác dụng hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!

12