A. MỞ ĐẦU :
TÊN ĐỀ TÀI
KINH NGHIỆM GIẢNG DẠY:
GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ
1) LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:

Qua quá trình giảng dạy, tôi nhận thấy: Có nhiều bài toán giải bất phương trình bằng phương pháp
đồ thị rất ngắn gọn và dễ hiểu, vì học sinh có thể nhìn vào hình vẽ suy luận đưa ra kết quả rất
nhanh, mà trong chương trình toán lớp 10 ít đề cập đến.Chính vì vậy mà tôi chọn đề tài này,nhằm
trang bị thêm cho học sinh vốn kiến thức khi làm toán; đồng thời giúp cho học sinh biết tổng hợp,
khái quát các kiến thức đã học và vận dụng vào việc giải bài tập một cách năng động sáng tạo.

2) ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU:
Các bài toán giải bất phương trình áp dụng được phương pháp đồ thị.Nhằm củng cố cho học sinh
kiến thức để phát triển tư duy ,óc sáng tạo ,đồng thời bổ sung vào vốn kiến thức của các em để
chuẩn bị sau này cho các kì thi tuyển sinh Đại học,Cao đẳng, học sinh giỏi.

3) PHẠM VI NGHIÊN CỨU:
Trong chương trình toán lớp 10

4) PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:
Tham khảo các ý kiến của đồng nghiệp, các ý kiến của học sinh.
Trong quá trình giảng dạy khối lớp 10, chúng tôi đã cho học sinh làm một số bài giải bất phương
trình bằng phương pháp đồ thị; nhất là trong một số giờ tự chọn tôi đã lồng các bài tập này cho
các em.
Nghiên cứu các tài liệu các sách giáo khoa, sách tham khảo và chọn lọc một số bài có tính đặc
trưng, quen thuộc mà các em có thể giải quyết được.

B. NỘI DUNG:
1) CƠ SỞ LÝ LUẬN:
-Chọn hệ trục tọa độ và trên đó vẽ đồ thị của các đường.Tìm miền nghiệm của từng bất phương


(x2-4⋅x)+3

3

1

o

y=a
x2

1

x4

x1

x3

x

Dựa vào đồ thị ta biện luận như sau:
• Với a ≤ 0 , bất phương trình vô nghiệm
• Với 0 〈 a〈1 , bất phương trình có nghiệm là : (
• Với a = 1, bất phương trình có nghiệm là

x2 , x4 ) ∪ ( x3 , x1 )

( 2−

y = −2 x − m = 
2 x − 2m khi x〈 m
Vẽ đồ thị hàm số (V):

2

(1)


(d2) h(x) = 2 ⋅x-8

y

(d1)g(x) = -2 ⋅x

f(x) = (x2 -4⋅x)+1

1
2

o

x

-3

y=-2x+2m

Ta có:


( I ) 2
2
u + v = 2a (2)

3


v

C
A
o

B

D
u

• (1) là tập hợp các điểm ở trên đoạn AB của đường thẳng ∆ : u+v=a
• (2) là tập hợp các điểm thuộc cung CD của đường tròn (C) : u2+v2=2a có bán kính R = 2a
Vậy hệ (Ι) có nghiệm khi và chỉ khi:
d (O , ∆ ) ≤ 2 a
⇔

−a

≤ 2a
2
⇔ a 2 − 4a ≤ 0
⇔0≤a≤4



Vẽ hệ trục tọa độ Oxm.

4

có nghiệm.


1 13
1 13
(− ; − )
I( ; )
2
Vẽ các parabol: m = f(x)= x +x-3 có đỉnh S 2 4 , m = g(x) = -x +x+3 có đỉnh 2 4 và
2

qua A(0;3).
Các điểm thỏa mãn hệ bất phương trình được biểu diễn bằng miền gạch ( không có biên ) như
trong hình vẽ.
m
f(x) = (x2 +x)-3

3

-1
2

x


2
2
( x − 1) + y = a + 4

Nếu a〉 − 4 thì y = x(2 − x) + a + 3 có đồ thị là nửa đường tròn (Ca) tâm
(1 ; 0) và bán kính bằng a + 4 .
y

4

x
O

1

Tâm của nửa đường tròn và đỉnh của parabol cùng nằm trên đường thẳng x = 1, dựa vào đồ thị bất
phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi :
a + 4 ≥ 4 ⇔ a ≥ 12
Vậy : a ≥ 12 .

Bài 6:
Cho bất phương trình :

log x 2 + y 2 ( x + y ) ≥ 1 (1)
6


a/ Tìm nghiệm nguyên của bất phương trình( 1)
b/ Trong tất cả các nghiệm của bất phương trình( 1).Hãy tìm nghiệm có tổng
x+2y lớn nhất.

phía trên của đường tròn (C2) : x + y − x − y = 0 .
Vậy nghiệm cần tìm là tọa độ của tiếp điểm tương ứng.
1

 x = 2 +

y = 1 +
Giải bài toán giải tích,ta được :  2

1
10
2
10

ỨNG DỤNG GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP TRONG SÁCH GIÁO KHOA ĐẠI SỐ 10:
GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẲNG PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ :
Bài 1:

Biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình : 2 x + y ≤ 3

• Vẽ đường thẳng ( d ) : 2 x + y = 3

Giải :

• Xét O ( 0;0 ) không nằm trên (d)
Ta có 0 ≤ 3 (đúng)
Vậy miền nghiệm là nửa mặt phẳng không bị gạch kể cả bờ

8


b) x - 2m + 1

a) (2x - 2 )(x - m)〉 0

Giải :
Ta có : (2 x − 2)( x − m)〉 0 (1)

a)

2 x − 2 〉 0

⇔

 x − m〉 0

2 x − 2 〈 0

x − m〈 0
hoặc 

Vẽ hệ trục tọa đđộ Oxm. Trên cùng một hệ trục tọa độ vẽ hai đường thẳng
x-m = 0 và 2 x − 2 = 0 . Giao của hai đường thẳng là

A(

2 2
;
)
2 2 .


10


m

x=

2
2
x-m=0

2
2 O

A(

2
2

;

2
2

)

x

3−x
≤0


m〉

m〈

3 +1
2
bất phương trình có nghiệm là : x ≠ 3
3 +1
2 bất phương trình có nghiệm là : x ≤ 3 hoặc x 〉 2m − 1 .
3 +1

2

bất phương trình có nghiệm là : x 〈2m − 1 hoặc x ≥ 3 .

11


m

x= 3

x-2m+1=0
3 +1
2

A( 3 ;

3 +1

Học sinh sẽ tường minh hơn về việc giải bất phương trình và hệ bất phương trình bằng
phương pháp đồ thị.
Học sinh vận dụng được kiến thức của mình trong việc giải bất phương trình và hệ bất
phương trình bằng phương pháp đồ thị.
C. Kết luận:
1) Bài học kinh nghiệm:
Giáo viên thể hiện được tinh thần đổi mới phương pháp giảng dạy của mình qua các tiết
ôn tập là lấy học sinh làm trung tâm .Thầy chủ đạo còn trò chủ động.
Giáo dục cho học sinh được tính độc lập suy nghĩ, tính kiên trì, biết tìm tòi vấn đề, phát
hiện vấn đề trong quá trình tự ôn tập.Nhất là phát huy được khả năng phân tích và tổng hợp
một vấn đề.
Đây là kinh nghiệm được tích lũy trong quá trình dạy toán của chúng tôi, qua phương
pháp này chúng tôi đã cung cấp thêm một phần kiến thức ngoài sách giáo khoa cho học
sinh để chuẩn bị cho các kì thi tuyển sinh, chọn học sinh giỏi.
Qua đề tài này mong các quý đồng nghiệp giúp đỡ , bổ sung để sáng kiến kinh nghiệm
mang lại hiệu quả tốt hơn, thiết thực hơn.
2) Hướng nghiên cứu tiếp của đề tài:
Qua đề tài này, nếu được hội đồng khoa học ngành chấp nhận.Hướng nghiên cứu tiếp của
chúng tôi với đề tài: hệ phương trình và hệ bất phương trình bằng phương pháp tọa độ.


Tài liệu tham khảo:

 Sách giáo khoa nâng cao lớp 10
 Toán nâng cao hình học giải tích –PHAN HUY KHẢI
 Phương trình ,bất phương trình-PHAN HUY KHẢI
Biên hòa , ngày 06 tháng 12 năm 2012
Người viết

NGUYỄN THỊ THANH TRANG