BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG
.................................................

Đỗ Thị Hiền

MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH
LƯỢNG GIÁC VÀ CÁCH GIẢI

LUẬN VĂN THẠC SĨ: TOÁN VÀ THỐNG KÊ

Hà Nội - 2016


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG
.................................................

Đỗ Thị Hiền - C00230

MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH
LƯỢNG GIÁC VÀ CÁCH GIẢI

LUẬN VĂN THẠC SĨ: TOÁN VÀ THỐNG KÊ
CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
MÃ SỐ: 60460113

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. Lê Thị Hà

Hà Nội - 2016

1.2.1   Các hệ thức cơ bản   .......................................................................   09 
1.2.2   Tính chất các cung có liên quan đặc biệt   .......................................   10 
1.2.3   Công thức lượng giác   ...................................................................   10 
CHƯƠNG 2. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC  ..................................   13 
2.1  

Phương trình lượng giác cơ bản   ....................................................   13 

2.1.1    Phương trình  sin x  m  ...................................................................   13 
2.1.2    Phương trình  cos x  m ...................................................................   15 
2.1.3    Phương trình  tan x  m ...................................................................   17 
2.1.4    Phương trình  cot x  m ...................................................................   18 
2.2     Một số dạng phương trình lượng giác  ............................................   20 
2.2.1    Phương trình lượng giác đưa về dạng cơ bản  .................................   20 
2.2.2    Phương trình lượng giác chứa ẩn ở mẫu  ........................................   36 
2.2.3    Phương trình lượng giác chứa dấu giá trị tuyệt đối  ........................   41 
2.2.4    Phương trình lượng giác chứa căn  .................................................   47 
2.2.5    Phương trình lượng giác chứa tham số  ..........................................   52 
KẾT LUẬN ...............................................................................................   78 
TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................   79 
 
Page 1


LỜI NÓI ĐẦU
Trong chương trình toán phổ thông lượng giác đã được bắt đầu đưa vào 
phần kiến thức từ lớp 10 những năm đầu của bậc  học. Các bài toán về phần 
này rất đa dạng và phong phú trong nhiều đề thi hiện nay. Trong đó phần kiến 
thức  về  phương  trình  lượng  giác  chiếm  vai  trò  không  nhỏ.  Tuy  nhiên  phần 
kiến  thức  này  luôn  là  những  vấn  đề  không  dễ  đối  với  nhiều  học  sinh  phổ 


Chương 2: Phương trình lượng giác
Page 2

Thang Long University Libraty


Trình bày các phương trình lượng giác cơ bản: sin x  m,cos x  m,
tan x  m,cot x  m , và một số dạng phương trình lượng giác đưa về dạng cơ

bản, trong đó có phương trình bậc nhất đối với sin và cos, phương trình bậc
hai đối với một hàm số lượng giác, phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sin
và cos, phương trình đối xứng đối với sin và cos, phương trình đối xứng với
tan và cot, phương trình chứa các biểu thức đối xứng với sin n x,cosn x , tiếp
theo tác giả giới thiệu dạng phương trình lượng giác chứa ẩn ở mẫu, phương
trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, phương trình lượng giác chứa căn và phương
trình lượng giác chứa tham số. Đặc biệt cuối chương tác giả trình bày phương
pháp lượng giác hóa áp dụng vào giải một số phương trình và hệ phương trình
trong đại số.
Để hoàn thành bản luận văn tốt nghiệp, em xin cảm ơn TS. Lê Thị Hà
người trực tiếp hướng dẫn và tận tình giúp đỡ em trong quá trình thực hiện
khóa luận. Đồng thời em cũng bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới tất cả các thầy
cô trong khoa Toán, Trường Đại học Thăng Long đã dạy bảo và giúp đỡ em
trong suốt quá trình học tập. Cuối cùng, em xin cảm ơn bạn bè đồng nghiệp
những người thân đã luôn bên cạnh và giúp đỡ em trong học tập và cuộc sống.
Mặc dù đã cố gắng, song do thời gian và trình độ còn hạn chế nên bản
luận văn vẫn còn nhiều thiếu sót. Rất mong các thầy cô và các bạn học viên
nhận xét, đóng góp ý kiến để bản luận văn được hoàn thiện hơn.
Hà Nội, ngày 07 tháng 06 năm 2016
Học viên


cos  

.

sin 

cos 
cos 

cot  
sin 
tan  







.  

 T





.


   ta chỉ cần khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên   0;  , sau đó lấy đối xứng đồ 

thị  qua trục Oy,  ta được đồ thị trên đoạn    ;  , cuối cùng  tịnh tiến  đồ thị 
vừa  thu  được  sang  trái  và  sang  phải  theo  trục  hoành  những  đoạn  có  độ  dài
2 ,4 ,...  

 
Đồ thị hàm số y  cos x

c. Hàm số y  tan x
 Hàm số  y  tan x  là hàm số lẻ vì  tan   x    tan x .



Tập xác định:  D   \   k , k    . 
2

Tập giá trị:   . 
 Hàm số  y  tan x  tuần hoàn với chu kỳ    nên ta có: 
tan  x  k   tan x, k  . 

Page 6

Thang Long University Libraty


Do đó muốn khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số  y  tan x trên 

 
 ta chỉ cần khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên  0;  , sau đó lấy đối xứng đồ 

 Hàm số  y  cot x  tuần hoàn với chu kỳ    nên ta có: 
 

cot  x  k   cot x, k  .  
 
 
Do đó muốn khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số  y  cot x  trên    

 
ta chỉ cần khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên  0;  , sau đố lấy đối xứng đồ thị 
 2
   
qua gốc O, ta được đồ thị trên đoạn   ;  , cuối cùng tịnh tiến đồ thị vừa 
 2 2
thu  được  sang  trái  và  sang  phải  theo  trục  hoành  những  đoạn  có  độ  dài 

 ,2 ,...  

Đồ thị hàm số y  cot x

Đồ thị hàm số  y  cot x   nhận mỗi đường thẳng  x  k , k   làm một 
đường tiệm cận. 
1.1.3 Dấu các hàm số lượng giác 

Page 8

Thang Long University Libraty


 


– 

+ 

– 

+ 

– 

+ 

– 

1.1.4 Giá trị các hàm lượng giác của một số góc (cung) đặc biệt

Hàm
số lượng
giác 

0 

0  
0 

1 
0 
|| 


 
2

1
 
2

√3

√2
 
2

 

√3 

1 
1 

CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

√3
 
2
√3 
1

√3


k 

 ) tan x.cot x  1,  x 
;
2 



1
, ( x   k );
2
cos x
2
1
,  x  k  .
 ) 1  cot 2 x 
sin 2 x
 ) 1  tan 2 x 

Page 9


1.2.2 Tính chất các cung liên quan đặc biệt
a. Cung đối

 ) sin   x    sin x;

 ) tan   x    tan x;

 ) cos   x   cos x;



 ) tan   x   cot x;
2




) cos   x   sin x;
2




) cot   x   tan x.
2


1.2.3 Công thức lượng giác
a. Công thức cộng

 ) cos  a  b   cos a cos b  sin a sin b;
 ) sin  a  b   sin a cos b  cos a sin b;

 ) cot  a  b  

cot a cot b  1
,  a , b  k  ;
cot a  cot b


2
1  tan a 
4 2


cot 2 a  1
 ) cot 2a 
,
2cot a

k


, k   .
a 
2



Từ công thức cộng và công thức nhân đôi ta có công thức nhân ba sau
đây:
 ) sin 3a  3sin a  4sin 3 a;
 ) cos3a  3cos a  4cos3 a;

 k
3tan a  tan 3 a 
 ) tan 3a 
, a  
2
1  3tan a 

 

a
a
3sin
sin
3
;
) tan 3 a 
3cos a  cos3a
3cos a  cos3a
.
 ) cot 3 a 
3sin a  sin 3a

 ) sin 2 a 

Công thức biến đổi theo t  tan

 ) sin a 

2t
;
1 t2

 ) sin 3 a 

a
2


2
2
ab
ab
cos
.
) sin a  sin b  2sin
2
2
ab
a b
sin
.
) sin a  sin b  2cos
2
2
sin  a  b 
.
) tan a  tan b 
cos a cos b
sin  b  a 
.
) cot a  cot b 
sin a sin b
) cos a  cos b  2cos

 
 Biến đổi tích thành tổng 

1

sin x  sin   
, k  .  
 x      k 2

Ngoài ra ta có thể viết như sau: 
 x  arcsin m  k 2
, k  .  

 x    arcsin m  k 2

Trong cả 2 trường hợp ta đều kết luận phương trình có 2 họ nghiệm. 
Các trường hợp đặc biệt:

 sin x  0  x  k , k  .
 sin x  1  x 



2

 sin x  1  x  

 k 2 , k  .  


2

II. Bài tập minh họa

Page 13

2
4
x 
 k 2

4
Vậy phương trình có hai họ nghiệm. 

1
1
b) Vì     1;1  nên ta có thể đặt    sin  . Khi đó ta có: 
3
3
 x    k 2
sin x  sin   
, k  .






2
x
k

 
 
Vậy phương trình có hai họ nghiệm.


Page 14

Thang Long University Libraty


b) sin(3 x  500 )  cos( x  600 )  0  sin(3x  500 )   cos( x  600 )
 sin(3x  500 )  cos(1800  x  600 )
 sin(3x  500 )  sin( x  1500 )
3 x  500  x  1500  k 3600

, k  .
0
0
0
0
3 x  50  180  x  150  k 360
 
 
0
0
 x  50  k180
, k  .

0
0
95
90


x


 

 

 x    k 2
cos x  cos  
, k  .  
 x    k 2

Ngoài ra ta có thể viết như sau:  
 

 

 

 x  arccos m  k 2
 x   arccos m  k 2 , k  .  


Trong cả hai trường hợp ta đều kết luận phương trình có hai họ nghiệm. 
Các phương trình đặc biệt  

Page 15


 

 


 

 k

x



3

24
2
a ) cos 4 x 
 cos 4 x  cos  
2
6
 x     k

24 2

, k  .  

Vậy phương trình có hai họ nghiệm. 

b) cos3 x  sin 2 x  0  cos3 x  sin 2 x


 cos3 x  cos   2 x 
2


Vậy phương trình có hai họ nghiệm. 
Bài tập 2. Giải phương trình: 

cos5 x  sin(2  x)  0.  
 
                       
Biến đổi phương trình về dạng: 

Giải

 

Page 16

Thang Long University Libraty


cos5x  sin  2  x 


 cos5 x  cos   x  2 
2




5 x  2  x  2  k 2

, k  .

tan x  tan   x    k , k .  
 Nếu  m  không  biểu  diễn  được  qua  tan  của  góc  đặc  biệt  ,  khi  đó  đặt    
m  tan   ta được: 

tan x  tan   x    k , k .  

Ngoài ra ta có thể viết   x  arctan m  k , k .  
Trong cả 2 trường hợp ta đều kết luận phương trình có một họ nghiệm. 
II. Bài tập minh họa
Bài tập 1. Giải phương trình: 

tan  x  500   3.  
Giải
Page 17


tan  x  500   3  tan  x  500   tan 600
 x  500  600  k1800 , k  
 x  1100  k1800 , k  .
Vậy phương trình có một họ nghiệm. 
Bài tập 2. Giải phương trình:  

tan 2 x  tan

2
 0.  
7

Giải


dạng 

cot x  cot   x    k , k  . 
 Nếu  m  không  biểu  diễn  được  qua  cot  của  góc  đặc  biệt     khi  đó  đặt 
m  cot   ta được 

cot x  cot   x    k , k .  
Ngoài ra ta có thể viết   x  arc cot m  k , k .  
Trong cả 2 trường hợp ta đều kết luận phương trình có một họ nghiệm. Như 
vậy tức là với mọi giá trị của tham số phương trình luôn có nghiệm. 

Page 18

Thang Long University Libraty


II. Bài tập minh họa
Bài tập 1. Giải các phương trình: 
a) cot  3 x  2   1;

b) sin 3 x  3 cos3 x  0.  

Giải

a ) cot  3 x  2   1  cot  3 x  2   cot
 3x  2 
x


4

 

3

k
, k .
3

Vậy phương trình có một họ nghiệm. 
Bài tập 2. Giải phương trình:  

x 
x 

 cot  1  cot  1  0.  
3 
5 

Giải
Điều kiện  sin

x
x
 0,sin  0 . Khi đó ta có: 
3
5

x
x


 x     k
 5
4
3

x

 k 3

4

, k  .  

5
x  
 k 5

4
Các nghiệm này thỏa mãn điều kiện của phương trình. Vậy phương trình đã 
cho có hai họ nghiệm. 
2.2 MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
2.2.1 Phương trình lượng giác đưa về dạng cơ bản 
I. Phương pháp
Bước 1: Dùng công thức lượng giác, biến đổi phương trình đã cho về dạng cơ 
bản. Trong quá trình biến đổi, nếu phát hiện thừa số chung thì đưa về 
dạng phương trình tích số rồi giải tiếp. 
Bước 2: Dùng ẩn phụ nếu phương trình có dạng quen thuộc và tìm điều kiện 
cho ẩn phụ đó. 
II. Bài tập minh họa
Bài tập 1. Giải phương trình: 

4
2

 
Page 20

Thang Long University Libraty


2

  1 
  1
2

 cos  x    cos  2 x    1  1  sin 2 x   
4 4 
2 
4

4

Từ đó ta đưa phương trình đã cho về dạng:  

 

 

 


  x  arcsin  k
, k  .

2
3

 1
2
 x   arcsin  k

2 2
3
2

Vậy phương trình có ba họ nghiệm. 
Bài tập 2. Giải phương trình:  
cos 2 2 x  cos 2 3 x  cos 2 5 x  1.  

Giải

cos 2 2 x  cos 2 3 x  cos 2 5 x  1
cos 4 x  1 cos 6 x  1


 cos 2 5 x  1
2
2
 cos 4 x  cos6 x  1  2cos 2 5 x  1  
 2cos5 x cos x  2cos 2 5 x  0
 2cos5 x  cos x  cos5 x   0


 

2 tan 2 x  cot x  tan x.  
Giải

cos x  0
k

Điều kiện:  sin x  0  sin 4 x  0  x 
, k  ฀฀
*
4
cos 2 x  0

Biến đổi phương trình đã cho về dạng: 
cos x sin x

sin x cos x
cos 2 x  sin 2 x
 2 tan 2 x 
sin x cos x
cos 2 x
 2 tan 2 x 
1
sin 2 x
2
2 tan 2 x 

 

17
2

2

1
 1   4 
 cos  ,
Vì  
 
  1 nên ta đặt 
17
 17   17 
 

4
 sin   
17

Khi đó ta có:  

sin 2 x cos   cos 2 x sin   sin10 x
 sin  2 x     sin10 x

 

 2 x    10 x  k 2
, k  .

 2 x      10 x  k 2

5
11
sin x  cos x  sin 2 x 
cos 2 x  
2
2
6
6

 
2

2
5
11
 5   11 
 sin  .  
Vì     
  1  nên tồn tại α sao cho   cos  ,
6
6
6  6 

Khi đó ta có: 

sin x cos
                  


6