ii

Một số ứng dụng của
phép biến hình trong
không gian vào giải
toán


ii

MỤC LỤC


iii

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU
Kí hiệu

Chú thích

d
Đ(d)

Phép đối xứng qua đường thẳng

N( O, k )

O
Phép nghịch đảo tâm

k

V( O , k )

O
Phép vị tự tâm

ZO

k
(hoặc phương tích

k
với hệ số vị tự

O
Phép đối xứng qua tâm

(π)

)


4

MỞ ĐẦU
1. Tính cấp thiết của đề tài
Toán học là môn khoa học nghiên cứu về các số, cấu trúc, không gian
và các phép biến đổi. Nói một cách khác, người ta cho rằng đó là môn học về
“Hình và Số”. Theo quan điểm chính thống, nó là môn học nghiên cứu về các
cấu trúc trừu tượng được định nghĩa từ các tiên đề, bằng cách sử dụng lý luận
học (lôgic) và ký hiệu toán học. Do khả năng ứng dụng rộng rãi trong nhiều

biến hình trong không gian.
Nghiên cứu về các phép biến hình trong không gian và ứng dụng vào
giải toán với mong muốn góp phần giúp học sinh phổ thông một công cụ mới
để giải toán. Đồng thời, tạo ra tài liệu tham khảo hữu ích cho bạn đọc, học
sinh, sinh viên quan tâm đến phép biến hình trong không gian và ứng dụng
vào giải toán.
Vì những lí do trên, em mạnh dạn chọn đề tài “Một số ứng dụng của
phép biến hình trong không gian vào giải toán” làm Khóa luận tốt nghiệp
của mình.
2. Mục tiêu khóa luận
- Hệ thống, phân loại một số ứng dụng của phép biến hình trong không
gian vào giải toán.
- Xây dựng phương pháp chung và ví dụ minh họa cho từng ứng dụng.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Tìm hiểu về định nghĩa, tính chất cơ bản của các phép biến hình trong
không gian.
- Hệ thống, phân loại ứng dụng của các phép biến hình trong không
gian vào giải toán chứng minh, tìm quỹ tích, dựng hình và bài toán trong hệ
toạ độ Đề - các vuông góc Oxyz.
4. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu tự luận: Đọc và nghiên cứu tài liệu, giáo
trình có liên quan đến ứng dụng của phép biến hình trong không gian vào giải
toán.
- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Qua việc nghiên tham khảo tài
liệu, giáo trình từ đó rút ra kinh nghiệm để áp dụng vào việc nghiên cứu.


6

- Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Lấy ý kiến của giảng viên trực

1.1 Định nghĩa phép biến hình trong không gian
1.1.1 Định nghĩa
f.

Trong không gian cho một quy tắc

Với mỗi điểm

f

quy tắc
M

ta xác định được duy nhất điểm

M '.

Khi đó ta nói

biến

M

thành

M'

). Điểm

M

trong phép biến đổi

và

M 1'

khác

M 2' ,

M 1' , M 2'

thì

M1

tương ứng là ảnh của

và

M2

M 1, M 2

là hai điểm phân biệt.

f

Nếu


là một phép biến đổi một đối một (song ánh) hay vắn tắt là

1 − 1.

1.1.3 Phép biến đổi đồng nhất
f

Ta nói

f

là phép biến đổi đồng nhất, nếu

biến mọi điểm

không gian thành chính nó, và ký hiệu phép đồng nhất là

Id .

M

trong


8

Như vậy:

Id ( M ) = M , ∀M .


hay

là phép biến đổi có ngược, và ký hiệu :

Như vậy: Nếu

M '= f (M)

thì

M = f −1 ( M ' ) ,

là phép biến đổi ngược
g = f −1.

và

f −1 o f = f o f −1 = Id .

1.1.5 Tích của hai (hoặc nhiều) phép biến đổi
f

Cho hai phép biến đổi

g.

và

Với mỗi điểm

2 ) .

Tích của

n

phép biến đổi đã



Ta nói

và

nếu ảnh của mọi điểm

trùng nhau (hoặc bằng
M

trong không gian của
M, f :M a M '

hai phép biến đổi đó trùng nhau. Nghĩa là, với mọi điểm

và

g : M a M '.

Cho một tập hợp điểm
f

nếu

X.

f

Ta nói



O.

Ta nói đường thẳng
f,

nếu mọi điểm thuộc
Ta nói mặt phẳng

nếu mọi điểm thuộc

( P)

d

d

là đường thẳng bất động của một phép biến đổi
f.

là điểm bất động của

( P)

f,

là mặt phẳng bất động của một phép biến đổi
f.

là điểm bất động của

d

(hoặc mặt


10

Rõ ràng, nếu đường thẳng
f,

phép biến đổi

thì

d

d

(hoặc mặt phẳng

(hoặc mặt phẳng

( P)

( P)

) là bất động đối với
f.

) là bất biến đối với


( F ')

hoặc

( F ') = { M '/

}

f : M a M ' M ∈( F ) .

1.1.9 Hai hình trùng nhau
Ta nói hai hình trong không gian

( F1 )

và

( F2 )

trùng nhau, nếu mọi

điểm của hình này thuộc hình kia và ngược lại. Hai hình trùng nhau được ký

hiệu là

( F1 ) ≡ ( F2 ) .

Nếu mọi điểm của



M'

định điểm

Nếu

M'

Với mỗi điểm
sao cho

O
M

O,

M
trùng với

thì

Hình 1.1


11

M'

O.

Cho một hình

ZO

biến đổi

xứng với

( F).

Tập hợp ảnh của mọi điểm thuộc

lập thành một hình

( F)

qua

O.

Nếu

tâm đối xứng. Ta ký hiệu

( F)

( F ')

và



có một điểm bất động duy nhất là điểm

ZO

là phép biến đổi 1 – 1 và có phép biến đổi ngược cũng

.
A ', B '

Tính chất 3: Nếu

ZO ,

thì

O.

A, B

lần lượt là ảnh của

trong phép biến đổi

uuuur uuur
A ' B ' = − AB.
A, B, C , D

Tính chất 4: Nếu


A, B, C.
A ', B ', C '

Khi đó

Vì

x, y

không thẳng hàng và tồn tại các số thực
uuur uuur uuur
AD = x AB + y AC.

sao cho

uuuuur uuur uuuuur uuur uuuur uuur
A ' D ' = − AD, A ' B ' = − AB, A ' C ' = − AC ,

nên
uuuuur uuuur uuuur
A ' D ' = x A ' B ' + y A ' C '.

Hệ thức đó chứng tỏ

D'

A ', B ', C '

thuộc mặt phẳng đi qua ba điểm


là phép đối xứng qua tâm

( P ')

O

trùng

xác định

( P) .

trong

ii) Nửa mặt phẳng

( P ')

( P)

( P ')

và

( P)

( P)

thành nửa mặt phẳng


( P)

thành hai nửa mặt

r uur
d
0 IA
I
Trên ta lấy một điểm và dựng các vectơ khác :


13

nằm trên

uur
d IB

,

nằm trong

( P1 )

x, y

tại cặp số thực

sao cho


trong đẳng thức (*).

d

I
A
B
•

M

P
Thật vậy, nếu

hình chiếu của

M

M

trên

thuộc
d

và

( P1 )
IB


, nên ta suy ra

y >0
.

Hình 1.2

M 1, M 2

là

nếu và chỉ


14

Ta chứng minh Hệ quả ii).
r
uur
uur
uur
0
IA
IB
IA
Ta xét các vectơ
và
khác , trong đó
nằm trên bờ của nửa


I ' A'

Gọi

và điểm

thuộc

( P)

và

B'

uur
IB

( P)

( P ')

vuông góc với bờ của nửa mặt phẳng

phép biến đổi

ZO

I , A, B, M

biến

I ' M ' = − IM , I ' A ' = − IA, I ' B ' = − IB
I ' M ' = xI ' A ' + yI ' B '.
và (*) ta suy ra
Đẳng thức này chứng tỏ
Ngược lại, nếu

M'

M'

là ảnh qua phép đối xứng
iii) Góc nhị diện

thuộc nửa mặt phẳng

thuộc

ZO

, thì tồn tại điểm

.

M

thuộc

( P)

nhận

( N ')
( N)

thành mặt cầu

( S ', R ')

; hình nón

( N)

thành hình

có bán kính đáy và độ dài đường sinh bằng các yếu tố tương ứng

(T)

; hình trụ

thành hình trụ

sinh bằng các yếu tố tương ứng của

( T ')

(T)

có bán kính đáy và độ dài đường

.

uuuur uuur uuuur uuuur uuuur uuur
− AO ' = AO, − BO '' = BO ', CO '' = −CO.

và
Ta có:
uuuur uuuur uuur uuuur
uuur uuuur
BO ' = − BO '' ⇔ BA + AO ' = − BC + CO ''
uuur uuur uuuur uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
⇔ BA + BC = O ' A + O '' C = AO + CO = AB + BO + BO − BC
uuur uuur
uuur
⇔ 2 BA + BC = 2 BO
uuur uuur uuur
⇔ BO = BA + BC.

(

(

)

Hệ thức đó chứng tỏ điểm cố định

có

ZA : M a M '

O ' a O '',


, ta

và

do đó


16

uuuuur uuuuuur
OM ''' = −O '' M ''.

Từ các kết quả trên ta suy ra

uuuuur uuuur
OM ''' = −OM .

Đây là điều cần

chứng minh.
1.2.4 Phép đối xứng tâm trong hệ tọa độ Đề - các vuông góc Oxyz
I ( a , b, c ) .

Cho điểm
ảnh của

M

M ( x, y , z )


I.

xứng qua

1.3 Phép đối xứng qua một đường thẳng
(Phép đối xứng trục)
1.3.1 Định nghĩa
Cho trước một đường thẳng
M

điểm

sao cho
Nếu

M

ta nói
M'

không thuộc
d

Với mỗi

ta xác định điểm

là đường trung trực của đoạn

thuộc


MM '.

Khi đó

qua

d

Hình 1.3

hoặc

qua phép đối xứng đó và được ký hiệu Đ(d):

được gọi là trục đối xứng.

M a M '.


17

Nếu quy tắc đó được xác định cho mọi điểm trong không gian, thì ta có
một phép đối xứng qua một đường thẳng

d

trong không gian, hay nói ngắn

gọn hơn là một phép đối xứng trục.

trong phép biến đổi đó. Nếu

(H)

và

( H ')

là hình có trục đối xứng.

1.3.2 Tính chất
Tính chất 1: Phép biến đổi Đ(d) có một đường thẳng bất động duy nhất
là

d

và Đ(d) có phép biến đổi ngược. Phép biến đổi ngược của Đ(d) là chính nó.
A ', B '

Tính chất 2: Nếu
biến đổi Đ(d), thì

KH ⊥ AA '

là ảnh của hai điểm

H

và



·uuur uuur ·uuuur uuuur
AH , KB = A ' H , KB ' ,

Vì

tương ứng qua phép

A ' B ' = AB.

Chứng minh: Gọi
có

A, B

(

) (

)

Từ các kết quả trên ta suy ra

nên

uuur uuur uuuur uuuur
AH .KB = A ' H .KB '.

AB 2 = A ' B '2


tia

Ox

thành tia

xOy

Ox ';

đoạn

x 'O ' y '

góc

thành góc

và

·x ' O ' y ' = xOy
· .

iii) Mặt cầu

( O, R )

( O ', R ) .

thành mặt cầu


đi qua ba điểm đó. Gọi

cạnh tam giác, chẳng hạn

thuộc

nên

D'

thuộc

Trường hợp 2: Nếu
giác

ABC.

A, B, C

là mặt phẳng đi qua

qua phép biến đổi Đ(d). Ta chứng minh

Trường hợp 1: Nếu

( P ') ,

( P)



B ' C '.

Vì

B 'C '

( P ') .
D

không thuộc các đường thẳng chứa ba cạnh tam
A, B, C

với các điểm

và giả sử đường thẳng

AD

cắt


19

BC

N.

tại


cũng thuộc

Hệ quả:
i) Phép đối xứng Đ(d) biến một mặt phẳng

( P ')

( P)

và

trùng với

( P ')

, khi

d

thuộc

( P)

thành một mặt phẳng

( P ) ( P ) ( P ') ,
;

//


khi đó

( P)

không thuộc

( P)

thuộc

X

và

( P ') .

d '.

( P)

( P ')

MM '

và giả sử

Với mỗi điểm

X'


( P ')

M

là điểm bất kỳ thuộc

MM '

thuộc

, nên

X'

thuộc

là điểm chung của

trùng nhau hay

d

thuộc

( P) .

( P)

d


( P ')

và

M'

và

theo một giao tuyến

phép đối xứng qua

( P)

( P)

( P)

( P ') ,

X'

nên

Điều đó chứng tỏ

Mâu thuẫn đó chứng tỏ

( P)


, thì

M

M'

A ', B '

thuộc

. Ký hiệu

O'x'

nằm trên

và

d'

d'

AB

O'x'

chứa

và


Nếu

có các đầu mút thuộc tia

tương ứng, khi đó
M

d

là ảnh của

A ', B '

(ảnh của

và điểm

xác định một nửa mặt phẳng

A, B

là ảnh của
AB,

với bờ là đường thẳng

là điểm bất kỳ thuộc

, thì ta xét đoạn



M'

với
M

không
và

Vì

d.

M

thuộc

( P ') .
Mỗi miền đa giác lồi là phần chung của các nửa mặt phẳng mà bờ là
các đường thẳng chứa các cạnh của đa giác, vì vậy ảnh của các phần chung
của nó là một đa giác lồi.
Mỗi hình tròn là thiết diện của một hình cầu và một mặt phẳng. Vì vậy
ảnh của thiết diện này là một hình tròn, xác định bởi thiết diện là tương giao
của mặt cầu ảnh và mặt phẳng ảnh (của mặt cầu và mặt phẳng tạo ảnh).
ii) Phép đối xứng Đ(d) biến góc nhị diện thành một góc nhị diện và số
đo các góc phẳng của hai nhị diện đó bằng nhau.
iii) Phép đối xứng Đ(d) biến hình nón

( N)


x

ảnh của

Gọi
của

H

trùng với trục
M

Ox.

Với điểm

ta ký hiệu

qua phép đối xứng đó. Ta tìm tọa độ của

là hình chiếu của

MM ',

M ( x0 , y0 , z0 )

M

trên




.

Hệ phương trình đó xác định một phép đối xứng qua trục
Oy

luận tương tự phép đối xứng qua

biến

M

 x ' = − x0

 y ' = y0 .
z ' = −z
0

1.4 Phép đối xứng qua một mặt phẳng
(Phép đối xứng mặt)

thành

M'

Ox.

Bằng cách lập



sao cho
Nếu

thuộc

M'
, thì

Khi đó ta nói

M
là điểm đối xứng của

M'

phẳng

P

( P)

qua

M

là ảnh của

( P)



( P)
( F)

hay

S( P )

( F).

Tập hợp ảnh của mọi điểm thuộc

lập thành một hình

( F ')

là ảnh của

( F)

( F ')

. Nếu

( F)

qua phép

được gọi là hình đối xứng của


Chứng minh : Giả sử
M

Với điểm

bất kỳ thuộc

chứng tỏ

( P ')

và

( P ')

MM .

phẳng trung trực của

( P)

( P ')

là mặt phẳng bất động khác

,

S( P )

biến


M

Tính chất 3 : Nếu

biến đổi

, thì

thuộc

( P)

là mặt

. Mâu thuẫn đó

M 2M '

M '.

có cùng một ảnh là

( P) .

( P)

.

tại

M

của

S( P )

trùng nhau.

Tính chất 2 : Phép biến đổi

M 1M '

M

( P)

H

trùng với

Khi đó,

nằm trên

là trung điểm

M 2.

A, B



A ' ( 0,0, − z1 )


24

và

B ' ( x2 ,0, − z2 )

A

là các ảnh tương ứng của

và

B.

Từ đó ta suy ra được

A ' B ' = AB.

S( P )

Hệ quả: Phép biến đổi

biến:

i) Ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo tồn thứ tự của
ba điểm đó.


thành góc
iii) Mặt cầu

và hai goác bằng nhau.

( I , R)

thành mặt cầu

Tính chất 4: Phép biến đổi

S( P )

( I ', R ) .

biến bốn điểm cùng nằm trong một mặt

phẳng thành bốn điểm cùng nằm trong một mặt phẳng.
A, B, C , D

Chứng minh: Giả sử

là bốn điểm cùng nằm trong một mặt

A ', B ', C ', D '

phẳng.

lần lượt là ảnh của chúng qua phép biến đổi

, thì

cũng
D'

cũng không

A ', B ', C ', D '

điều đó chứng tỏ bốn điểm

thuộc một


25

mặt phẳng. Nếu
thuộc

AB

thuộc

AB

, thì

D'

thuộc

không thẳng hàng. Khi đó

không thẳng hàng và chúng xác định mặt phẳng

thuộc

không

là ảnh của

A, B, C

D'

E

( A ' B ' C ') .

Thật vậy, nếu
ABC ,

chứa ba cạnh tam giác

thì

D

D'

( A ' B ' C ') .

thẳng

cắt

A' D '

BC

tại

E.

Gọi

E'

E,

là ảnh của

có hai điểm chung

A'

và

E'

khí đó


( Q ')

song song hoặc cắt nhau theo một giao tuyến trên

và hai mặt phẳng đó hoặc

( P) .

Nửa mặt phẳng thành

nửa mặt phẳng. Miền đa giác phẳng thành miền đa giác phẳng. Nhị diện thành
một nhị diện và số đo các góc phẳng của chúng bằng nhau.