1

Một số ứng dụng của phép
biến hình trong mặt phẳng
vào giải toán

Nguyễn Thị Giang


iii2
MỤC LỤC
TRANG PHỤ BÌAi
LỜI CẢM ƠN..................................................................................................ii
MỤC LỤC iii
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU v
Một số ứng dụng của phép biến hình trong mặt phẳng vào giải toán....................................1
MỤC LỤC..............................................................................................................................2
LỜI CẢM ƠN ii.....................................................................................................................2
MỞ ĐẦU................................................................................................................................1
1. Tính cấp thiết của đề tài.....................................................................................................1
2. Mục tiêu khóa luận.............................................................................................................2
3. Nhiệm vụ nghiên cứu.........................................................................................................2
4. Phương pháp nghiên cứu....................................................................................................2
Phương pháp nghiên cứu tự luận: Đọc và nghiên cứu tài liệu, giáo trình có liên quan đến
ứng dụng của các phép biến hình trong mặt phẳng rồi phân hóa, hệ thống các kiến thức.....2
5. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu......................................................................................3
6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn............................................................................................3
7. Bố cục khóa luận................................................................................................................3
CHƯƠNG 1: CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG..........................................4
1.2. Phép đẳng cự...................................................................................................................5
1.2.1.Phép tịnh tiến.................................................................................................................5

c) Các bài toán dựng hình cơ bản.........................................................................................50
d) Các bước giải một bài toán dựng hình............................................................................51
e) Ứng dụng các phép biến hình vào giải bài toán dựng hình..............................................51
2.3.2. Ví dụ minh họa...........................................................................................................52
Cách dựng:...........................................................................................................................54
Gọi .......................................................................................................................................62
KẾT LUẬN..........................................................................................................................64
TÀI LIỆU THAM KHẢO.......................................................................................................i

Nguyễn Thị Giang


4

v
DANH MỤC VIẾT TẮT
Kí hiệu

Chú thích

Tur

r
Phép tịnh tiến theo vec tơ u

Đa

Phép đối xứng qua đường thẳng a

QOϕ , Q( O ;ϕ )

∆ABC

Nguyễn Thị Giang

Vec tơ chỉ phương
Vec tơ pháp tuyến
Phương trình
Phương trình chính tắc
Phương trình tổng quát
Sách giáo khoa
Tam giác ABC


1

MỞ ĐẦU
1. Tính cấp thiết của đề tài
Môn Toán trong trường phổ thông giữ vai trò, vị trí hết sức quan trọng,
là môn học đòi hỏi học sinh phải tư duy trừu tượng, lập luận một cách chặt
chẽ logic, nếu học tốt môn Toán thì những tri thức trong Toán cùng với những
phương pháp làm việc trong Toán sẽ trở thành công cụ để học tốt những môn
học khác. Ngoài ra môn Toán góp phần phát triển nhân cách, ngoài việc cung
cấp cho học sinh hệ thống kiến thức, kỹ năng toán học cần thiết môn Toán
còn rèn luyện cho học sinh đức tính, phẩm chất của người lao động mới: Cẩn
thận, chính xác, có tính kỉ luật, đức tính phê phán, tính sáng tạo, bồi
dưỡng óc thẩm mỹ,...
Trong nhà trường phổ thông Hình Học là môn học có tính chất chặt
chẽ, tính logic và tính trừu tượng hóa cao, đòi hỏi học sinh phải nắm chắc
kiến thức, biết tư duy logic, biết vận dụng những kiến thức đã học vào thực
tiễn đời sống,...

Với những lí do trên, chúng tôi lựa chọn đề tài: “Một số ứng dụng của
phép biến hình trong mặt phẳng vào giải toán” cho khóa luận tốt nghiệp đại
học của mình.
2. Mục tiêu khóa luận
- Hệ thống một số ứng dụng của phép biến hình trong mặt phẳng
vào giải toán.
- Đưa ra các ví dụ minh họa cho từng ứng dụng, kèm theo các ví dụ là
những hướng dẫn, nhận xét hỗ trợ việc giải các bài toán tương tự.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Tìm hiểu về định nghĩa, tính chất của các phép biến hình trong mặt phẳng.
- Hệ thống một số ứng dụng của phép biến hình trong mặt phẳng vào
giải một số bài toán trong hệ tọa độ Oxy, bài toán dựng hình, bài toán quỹ tích.
4. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu tự luận: Đọc và nghiên cứu tài liệu, giáo
trình có liên quan đến ứng dụng của các phép biến hình trong mặt phẳng rồi
phân hóa, hệ thống các kiến thức.
 Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Qua việc nghiên cứu tham khảo
tài liệu, giáo trình từ đó rút ra kinh nghiệm để áp dụng vào việc nghiên cứu.

Nguyễn Thị Giang


3

 Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Lấy ý kiến của giảng viên trực
tiếp hướng dẫn, các giảng viên khác để hoàn thiện về mặt nội dung và hình thức
của khóa luận.
5. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
 Đối tượng: Các phép biến hình trong mặt phẳng.
 Phạm vi: Hệ thống các kiến thức và ứng dụng cuả phép biến hình

Điểm M ' gọi là ảnh của điểm M qua quy tắc f , điểm M được gọi là tạo
ảnh cuả điểm M ', f được gọi là một phép biến hình trong mặt phẳng.
Kí hiệu: M ' = f ( M ) hoặc f ( M ) = M '. Khi đó, ta còn nói phép biến hình f
biến điểm M thành điểm M '.
Với mỗi hình H ta gọi hình H' gồm các điểm M ' = f ( M ) , trong đó M ∈ H,
là ảnh của H qua phép biến hình f và viết H' = f ( H ) .
b)Phép biến hình đồng nhất:Nếu f ( M ) = M với mọi M thuộc mặt phẳng thì

f được gọi là phép biến hình đồng nhất.
c)Phép biến hình đảo ngược:Nếu có phép biến hình f , f ( M ) = M ' và phép
biến hình g , g ( M ') = M thì g được gọi là phép biến hình đảo ngược của
phép biến hình f .
Kí hiệu: g = f −1.
d)Điểm bất động, đường thẳng bất động:
Điểm M 0 được gọi là điểm bất động (điểm bất biến hoặc điểm kép) của phép
biến hình f nếu f ( M 0 ) = M 0 .
Đường thẳng d được gọi là đường thẳng bất động (đường thẳng kép) của
phép biến hình f nếu f ( d ) = d .
Nếu mọi điểm của đường thẳng d là điểm kép thì d gọi là đường thẳng cố
định hoặc đường thẳng kép hoàn toàn.
e) Phép biến hình đối hợp:Phép biến hình f được gọi là phép biến hình có
tính chất đối hợp nếu f ( M ) = M ', f ( M ') = M '' thì M '' ≡ M .

Nguyễn Thị Giang


5

1.2. Phép đẳng cự
a) Định nghĩa


Vectơ u được gọi là vectơ tịnh tiến.
Hình 1.1

Nguyễn Thị Giang


6

b) Tính chất
Tính chất 1:Nếu phép tịnh tiến biến hai điểm M và N lần lượt thành
hai điểm M ' và N ' thì M ' N ' = MN .
Chứng minh
Nếu M ' = Tur ( M ) , N ' = Tur ( N ) thì theo định nghĩa của phép tịnh tiến ta có:
uuuuur r uuuur r
MM ' = u , NN ' = u
uuuuur uuuur
Do đó MM ' = NN '. Theo định ngĩa hai vec tơ bằng nhau ta có M ' MN ' N là
hình bình hành, như vậy M ' N ' = MN .
Tính chất 2:Phép tịnh tiến biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm
thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó.
Chứng minh
Giả sử phép tịnh tiến biến ba điểm A, B, C thành ba điểm A ', B ', C '.
Theo tính chất 1, ta có A ' B ' = AB, B 'C ' = BC và A ' C ' = AC.
Nếu A, B, C thẳng hàng, B nằm giữa A vàC thì AB + BC = AC.
Do đó ta cũng có A ' B '+ B ' C ' = A ' C ', tức là A ', B ', C ' thẳng hàng, trong đó B '
nằm giữa A ', C '.
r
r
Tính chất 3: Phép tịnh tiến Tur (với u khác vectơ 0 ):

c) Biểu thức tọa độ
r

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho phép tịnh tiến theo vectơ u .
r
'
'
'
Biết tọa độ của u ( a; b ) . Giả sử điểm M ( x; y ) biến thành điểm M ( x ; y ) .
'

x = x + a
Khi đó ta có  '

y = y + b

r
Công thức trên gọi là biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến theo vectơ u ( a; b ) .
1.2.2. Phép đối xứng trục
a) Định nghĩa
Trong mặt phẳng cho một đường thẳng a cố định. Phép biến hình của
mặt phẳng biến mỗi điểm M thành điểm M ' sao cho đọan thẳng MM ' nhận a
là đường trung trực nếu M ∉ a, M ≡ M ' nếu M ∈ a gọi là phép đối xứng trục
a.

*Kí hiệu và thuật ngữ
Phép đối xứng qua đường thẳng a thường được kí hiệu là Đa .
Phép đối xứng qua đường thằng thường được gọi đơn giản là phép đối
xứng trục.
Đường thẳng a được gọi là trục của phép đối xứng hay đơn giản là trục

y

'

'

'

Công thức trên gọi là biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua trục Ox.
- Biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua trục Oy
+ Nếu phép đối xứng qua trục Oy biến điểm M ( x; y ) thành điểm
 x ' = − x
M ( x ; y ) thì  '
.
y
=
y

'

'

'

Công thức trên gọi là biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua trục Oy.
1.2.3. Phép quay
a) Định nghĩa
Trong mặt phẳng cho một điểm O cố định và góc lượng giác ϕ không
đổi. Phép biến hình biến điểm O thành điểm O, biến mỗi điểm M khác O
'

giác, ta có:

( OM , ON ) = ( OM , OM ') + ( OM ', ON )
= ( ON , ON ') + ( OM ', ON )
= ( OM ', ON ') .

Hình 1.4

·
· ' ON '.
Suy ra MON
=M
Như vậy hai tam giác MON và M ' ON ' bằng nhau, do đó M ' N ' = MN .
Trường hợp O, M , N thẳng hàng ta thấy ngay M ' N ' = MN .
+ Trong góc quay tâm O với góc quay ϕ ≠ 0 chỉ có tâm O là điểm kép
duy nhất, nếu đường thẳng a đi qua tâm thì đường thẳng ảnh a ' của nó cũng
đi qua tâm.
Nguyễn Thị Giang


10

ϕ
O

+ f = Q thì f

−1

uuur uuuur

uuuur
uuur
uuur
+ Biến vectơ AB thành vectơ đối của nó: A ' B ' = − AB.
+ Biến một đường thẳng d qua tâm I thành chính nó.
+ Biến một đường thẳng d không đi qua tâm I thành một đường thẳng
d ' song song với d và cũng không đi qua tâm I .
Vậy qua một phép đối xứng tâm ĐI , một đường thẳng d là bất biến khi và
chỉ khi d đi qua tâm I .
+ Tính chất 4: Phép đối xứng tâm ĐI có điểm bất động duy nhất là tâm
đối xứng ĐI và tích của phép đối xứng tâm I với chính nó là một phép đồng nhất.
+ Tính chất 5: Tích của phép đối xứng tâm ĐI với phép đối xứng tâm
uur
ĐJ là một phép tịnh tiến theo vectơ 2 IJ , tích đó không giao hoán được.
Ngược lại, mỗi phép tịnh tiến có vô số cách phân tích thành tích của hai phép
Nguyễn Thị Giang


11

đối xứng tâm.
+ Tính chất 6: Tích của một
phép tịnh tiến và một phép đối
xứng tâm là một phép đối xứng tâm.

Hình 1.5
+ Tính chất 7:Phép đối xứng tâm hoàn toàn được xác định nếu biết tâm
đối xứng.
c) Biểu thức tọa độ
Trong hệ tọa độ Oxy cho điểm I ( a; b ) . Nếu phép đối xứng tâm ĐI biến


12

Tính chất 1:Nếu phép vị tự tỉ số k biến hai điểm M và N
uuuuur uuuur
lầnlượtthành hai điểm M ' và N ' thì M ' N ' = k MN và M ' N ' = k MN .
Chứng minh
uuuur uuuur
Nếu O là tâm của phép vị tự thì theo định nghĩa, ta có OM ' = kOM ,
uuuur uuuur
ON ' = kON .
uuuuuur uuuur uuuur uuur uuuur
uuur uuuur
uuuur
Vậy M ' N ' = ON ' − OM ' = kON − kOM = k ON − OM = k MN .

(

)

Từ đó suy ra M ' N ' = k MN .
Tính chất 2:Phép vị tự biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng
hàng và không làm thay đổi thứ tự của ba điểm thẳng hàng đó.
Chứng minh
Giả sử ba điểm A, B, C thẳng hàng mà B nằm giữa A và C , tức là
uuur
uuur
BA = mBC với m < 0.
Nếu phép vị tự tỉ số k biến A, B, C lần lượt thành A ', B ', C ' theo tính chất 1,
uuuur uuur uuuur uuur

)

A ', B ', C ' thẳng hàng với B ' nằm giữa A ' và C '.
Tính chất 3:Phép vị tự tỉ số k biến đường tròn bán kính R thành
đường tròn có bán kính k R .
Chứng minh
Giả sử V là phép vị tự tâm O tỉ số
k và ( I ; R ) là đường tròn đã cho.
Gọi I ' là ảnh của I và M ' là ảnh
của điểm M bất kì thì ta có:
I ' M ' = k IM .

Nguyễn Thị Giang

Hình 1.6


13

Bởi vậy IM = R khi và chỉ khi I ' M ' = k R hay là M ' thuộc đường tròn

( I '; R ')

với R ' = k R.

Đó chínhlà ảnh của đường tròn ( I ; R ) qua phép vị tự V .
Tính chất 4:Phép vị tự tỉ số k biến đường thẳng thành đường thẳng
song song (hoặc trùng) với đường thẳng đó, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng
thành đoạn thẳng mà độ dài được nhân lên với k , biến tam giác thành tam
giác đồng dạng với tỉ số đồng dạng là k , biến góc thành góc bằng nó.

tam giác đồng dạng với tỉ số k , biến đường tròn bán kính R thành đường tròn
có bán kính kR , góc thành góc bằng nó.
1.4. Phép nghịch đảo
a) Định nghĩa
Trong mặt phẳng cho một điểm O cố định và một số k ≠ 0. Với mỗi
điểm M ( M ≠ O ) ta cho tương ứng với điểm M ' nằm trên đường thẳng OM
uuuur uuuur

sao cho OM .OM ' = k. Phép tương ứng như vậy gọi là phép nghịch đảo.
* Kí hiệu và thuật ngữ
Phép nghịch đảo tâm O tỉ số k được kí hiệu là f ( O, k ) .
Điểm O được gọi là tâm (cực) của phép nghịch đảo, k được gọi là tỉ số
(phương tích) của phép nghịch đảo.
b) Tính chất
+ Phép nghịch đảo có tính chất đối hợp: M → M ' thì M ' → M .

(

+ Nếu k > 0 thì những điểm M nằm trên đường tròn O, k

(

)

sẽ biến

)

thành chính nó. Đường tròn O, k trong trường hợp đó được gọi là đường
tròn nghịch đảo.

x2 + y 2

1.5. Tích hai phép biến hình
1.5.1. Tích hai phép biến hình cùng loại
a) Tích của hai phép đối xứng tâm
+ Tích của hai phép đối xứng tâm có tâm trùng nhau là phép đồng nhất,
do đó ( ĐO ) −1 = ĐO .
+ Tích của hai phép đối xứng tâm có tâm khác nhau là phép tịnh tiến:
r.
ĐB ĐA = T2 uuu
AB

Ngược lại mọi phép tịnh tiến đều có thể phân tích thành tích theo nhiều cách
của hai phép đối xứng tâm với khoảng cách giữa hai tâm bằng nửa độ dài
1 r uuur 1 r
vectơ tịnh tiến Tur = ĐA ĐB với AB = u , AB = u.
2
2

Tổng quát: Tích của một số chẵn phép đối xứng tâm là phép tịnh tiến.
Tích của một số lẻ phép đối xứng tâm là phép đối xứng tâm.
b) Tích của hai phép đối xứng trục
+ Tích của hai phép đối xứng trục có trục trùng nhau là phép đồng nhất,
do đó ( Đ∆ ) −1 = Đ∆ .
+ Tích của hai phép đối xứng trục có trục song song với nhau là phép
r
r
tịnh tiến, Đ∆1 Đ∆2 = Tur với u có hướng từ ∆1 đến ∆ 2 , u ⊥ ∆1 , u = 2d ( ∆1 , ∆ 2 ) .
Nguyễn Thị Giang


= QO−α .

α
α
+ Tích của hai phép quay khác tâm QO11 và QO22 là phép quay tâm O
α
α
α
góc quay α , QO11 QO 2 = QO , trong đó α = α1 + α 2 nếu α1 + α 2 ≠ k 2π với k ∈ ¢ ,

nếu α1 + α 2 = k 2π thì nó là phép tịnh tiến.
Tâm quay O được xác định theo hình vẽ sau:

Nguyễn Thị Giang


17

Hình 1.7
e) Tích của hai phép dời hình
+ Tích của phép dời hình là một phép dời hình.
+ Mọi phép dời hình có 3 điểm bất động không thẳng hàng đều là phép
đồng nhất.
+ Mọi phép dời hình có 2 điểm bất động đều là phép đồng nhất hoặc
phép đối xứng trục.
f) Tích của hai phép vị tự
+ Xét phép vị tự VOk1 ,VOk2 với k1 , k2 ≠ 1. Đảo ngược của phép vị tự (VOk )

( )


+ Mọi phép đồng dạng đều có thể xem là tích của một phép vị tự và
một phép dời hình hoặc tích của một phép dời hình và phép vị tự.
1.5.2. Tích các phép biến hình khác loại
Nguyễn Thị Giang


18

+ Tích của một phép đối xứng tâm và một phép tịnh tiến hoặc tích của
phép tịnh tiến và một phép đối xứng tâm là một phép đối xứng tâm.
+ Tích của phép đối xứng trục và phép tịnh tiến hoặc tích của phép tịnh
tiến và phép đối xứng trục có vectơ tịnh tiến vuông góc trục đối xứng là phép
đối xứng trục.
+ Tích của phép đối xứng trục và phép quay có tâm quay nằm trên trục
đối xứng hoặc tích của phép quay và phép đối xứng trục với trục đi qua tâm
quay là phép đối xứng trục.
+ Tích của phép tịnh tiến và phép quay hoặc ngược lại là phép quay
hoặc phép tịnh tiến.
r
+ Với k ≠ 1 thì tích của một phép tịnh tiến theo vectơ u và phép vị tự

VOk cũng là phép vị tự.
+ Tích của một phép đồng dạng nghịch với chính nó là một phép vị tự
hoặc phép tịnh tiến.

CHƯƠNG 2: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN HÌNH
TRONG MẶT PHẲNG VÀO GIẢI TOÁN
2.1. Ứng dụng các phép biến hình trong mặt phẳng vào giải một số bài
toán trong hệ tọa độ Oxy.
2.1.1. Một số kiến thức liên quan

y' = −y
x ' = −x
+) ĐOy ( M ) = M ' thì 
.
y' = y

*Biểu thức toạ độ của phép đối xứng tâm:
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho I ( a, b), M ( x; y ) , M ' ( x '; y ') .
 x ' = 2a − x
Khi đó nếu ĐI ( M ) = M ' thì 
.
 y ' = 2b − y

2.1.2. Ví dụ minh họa
Phương phápchung:
-Sử dụng định nghĩa.
-Sử dụng biểu thức toạ độ của phép biến hình.
-Sử dụng các tính chất của phép biến hình.
Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Cho điểm M ( 2;3) tìm tọa độ điểm N
đối xứng với M qua đường thẳng d : y = x.
Hướng dẫn: Đây là một bài toán cơ bản đối với việc giải toán tọa độ. Chúng
ta thường giải bằng các bước:
- Lập phương trình đường thẳng d ' qua M và vuông góc với d .
- Xác định tọa độ giao điểm H của d và d ' .
- Xác định tọa độ N sao cho H là trung điểm MN .
Giải

r
r
Gọi u là VTCP của đường thẳng d ⇒ u ( 1;1) . N ( x; y ) là điểm đối xứng với

2
x + y = 5  y = 2
⇔
⇒
⇔ N = ( 3;2 )
x
=
y
+
1
x
=
3


2
2
Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn ( C ) :( x − 4 ) + ( y − 4 ) = 8 và

hai đường thẳng ( ∆ ) : x − y + 3 = 0; ( d ) : x = 2. Tìm điểm M thuộc ( ∆ ) và N
thuộc ( C ) sao cho M , N đối xứng qua d .
Hướng dẫn: Viết pt đường thẳng ( ∆ ') đối xứng ( ∆ ) qua d .
N ∈ ( C ) và N đối xứng với M qua d mà M ∈ ( ∆ ) nên N ∈ ( ∆ ')
⇒ N ∈ ( C ) ∩ ( ∆ ')
Tìm được tọa độ N ⇒tọa độ M .
Giải

M và N đối xứng qua ( d ) ⇒ tồn tại phép đối xứng trục §d : M → N .
Gọi ( ∆ ') là đường thẳng đối xứng với ( ∆ ) qua ( d ) ⇒ ( ∆ ') : x + y − 7 = 0.
Ta có: M ∈ ( ∆ ) ⇒ N ∈ ( ∆ ') .

2

Nguyễn Thị Giang

2



2

2

