Phát huy tích cực tính ứng dụng của phép dời hình trong giải toán hình học
A - MỞ ĐẦU
I. Lý do chọn đề tài:
Môn Toán trong trường trung học phổ thông giữ một vai trò, vị trí hết sức
quan trọng, nếu học tốt môn Toán thì những tri thức trong Toán cùng với phương
pháp làm việc sẽ trở thành công cụ để học tốt những môn học khác. Môn Toán góp
phần phát triển nhân cách, ngoài việc cung cấp cho học sinh hệ thống kiến thức, kĩ
năng toán học cần thiết còn rèn luyện cho học sinh đức tính cẩn thận, chính xác, có
tính kỉ luật, tính phê phán, bồi dưỡng tính sáng tạo và thẩm mĩ.
Thực tế ở trường THPT Thanh Khê chúng tôi hiện nay, chất lượng vào đầu
cấp còn khá thấp so với mặt bằng chung của thành phố, đặc biệt đa số các em xuất
thân từ các gia đình kinh tế khó khăn, ít có điều kiện học tập, bị hổng kiến thức từ
lớp dưới rất lớn, thêm vào đó, lượng kiến thức đưa ra là nặng đối với phần lớn học
sinh ở đây nên việc truyền tải và phát triển khả năng nhận thức, tư duy cho phù hợp
với từng đối tượng học sinh gặp nhiều trở ngại. Đặc biệt, học sinh khối 11 khi học
về phép biến hình trong mặt phẳng rất vất vả để tiếp thu và áp dụng. Vì vậy để ít
nhiều giúp học sinh học tốt một phần của chương trình này, tôi đã chọn đề tài “Phát
huy tích cực tính ứng dụng của phép dời hình trong giải toán hình học”.
II. Mục đích nghiên cứu:
Tạo hứng thú học tập, tìm ra phương pháp dạy học phù hợp với học sinh
trường THPT Thanh Khê. Làm cho học sinh hiểu, phân biệt rõ các phép dời hình và
ứng dụng của nó trong việc giải toán. Từ đó nâng cao chất lượng học tập của học
sinh cũng như chất lượng giảng dạy trong các tiết học.
III. Cấu trúc của đề tài:
A – MỞ ĐẦU
Lý do chọn đề tài
Mục đích nghiên cứu
Cấu trúc của đề tài
B - NỘI DUNG
Cơ sở lí luận
Thực trạng của đề tài

- Học sinh còn lúng túng khi tìm ảnh của một hình qua một phép dời hình.
- Kiến thức cơ bản nắm chưa chắc.
- Khả năng tưởng tượng, tư duy lôgíc còn hạn chế.
- Ý thức học tập của học sinh chưa thực sự tốt.
- Đa số học sinh có tâm lí sợ học môn hình học.
Đây là môn học đòi hỏi sự tư duy, phân tích. Thực sự là khó không chỉ đối
với học sinh mà còn khó đối với cả giáo viên trong việc truyền tải kiến thức. Người
dạy cần nắm rõ đặc điểm, tình hình từng đối tượng học sinh để có biện pháp giúp
đỡ, việc này cần thực hiện ngay trong từng tiết học bằng biện pháp rèn luyện tích
cực, như
• Trang bị cho học sinh kiến thức cơ bản về các phép dời hình.
• Hướng dẫn học sinh ghi nhớ bằng cách phân biệt sự giống nhau và
khác nhau về định nghĩa, biểu thức tọa độ, các tính chất giữa các phép
dời hình.
• Phân dạng bài tập, phương pháp và các bước thực hiện chung.
• Khai thác triệt để bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập cho đối
tượng trung bình, yếu và một số bài tập đòi hỏi tư duy cao dành cho đối
tượng khá giỏi.
III. Giải quyết vấn đề:
1. Định nghĩa, biểu thức tọa độ của phép dời hình:
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho véctơ
( , )v a b
r
, các điểm:
( ) ( )
; , ; ,M x y M x y
′ ′ ′
( )
;M x y
′′ ′′ ′′

′
= ⇔

′
= +

r
( )
Trần Thị Phước Vinh Trường THPT Thanh Khê
4
Phát huy tích cực tính ứng dụng của phép dời hình trong giải toán hình học
Phép đối
xứng trục
d
§
Phép đối
xứng trục
d
§
( )
0 0
0§ ( )
′
=
′
⇔ = −
′

b
§ ( )
;
§ ( )
.
′
=

′
= ⇔

′
= −

′′
= −

′′
= ⇔

′′
=

Ox
Oy
x x
M M
y y
x x
M M

= −

′′
= −

′′
= ⇔

′′
= −

§ ( )
§ ( )
Phép quay
( )
,I
Q
α
Phép quay
( )
,I
Q
α
( )
( )
,α
′
=
I
Q M M

′
= ± − +


m
I
x y y x
M Q M
y x x y
( )
( )
( )
( )

2
0
2
;
( )
tan /
;
tan /
α
α
α
α
±
−

′

I M M=
Phép dời
hình F
( )
( )
F M M
M N MN
F N N
′
= 

′ ′
⇔ =

′
=


- Nếu có phép dời hình biến một hình H thành hình H’ thì H và H’ là hai hình bằng
nhau.
- Thực hiện liên tiếp hai ( hay nhiều ) phép dời hình ta được một phép dời hình.
Bổ đề 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng
: 0ax by c∆ + + =
, điểm
( )
,M x y
. Gọi
( )
, § ( )M x y M
∆

( )
0 0 0
sao cho ,
′ ′
= ∆ ∩ ⊥ ∆M x y MM MM
.
Trần Thị Phước Vinh Trường THPT Thanh Khê
5
Phát huy tích cực tính ứng dụng của phép dời hình trong giải toán hình học
( ) ( )
0
0 0
0 0
0
0
2
0
2
ax by c
x
ax by c
a
a x x b y y
by ax c
y
b
− −

=


a
y y y ax c
y
b
− −

′
=

′
= −


⇒ ⇔
 
′
= − − −


′
=


Vậy (I ) được chứng minh.
Bổ đề 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm
( )
,M x y
và số thực
0
0 90

tan
,
α
α
α
±
−

′
=

′ ′
= ⇔ =
′


′ ′
= −

m
m
O
y
y x
x
M Q M k II
k
x y
y k x
Chứng minh:


0 0
, , , 0 ;90
2
Ox
α
′ ′
∆ ∆ = ± ∆ ≠
,
′
∆
có hệ
số góc
( )
( )
( )
tan , tan tan tan
2 2 2
tan ,
2
1 tan , .tan 1 tan tan
2 2 2
y
Ox y x
a
x
k Ox
y
b
Ox x y

= ⇒ ∆ ≡ = ⇒ = ∆ = ±
.
Gọi
( )
( )
( ) ( )
Đ
;
,
O
M x y Q M M M
α
′
∆
±
′ ′ ′ ′
= ⇒ =
. Áp dụng bổ đề 1, ta có
by c b
y
x x y
x
a a
k
ax c a
y k x
y y x
b b
− − −
 

/ 2
α
x
O
y
′
∆
∆
M
′
/ 2
α
−
M
Phát huy tích cực tính ứng dụng của phép dời hình trong giải toán hình học
*) Trường hợp suy biến: - Nếu
( ) ( )
Đ
0
, 0 : 0
Ox
Ox Ox y M M
′ ′ ′
∆ = ⇒ ∆ ≡ = ⇒ =
.
- Nếu
( ) ( )
Đ
0
, 90 : 0

biết qua một phép dời hình.
Dạng 4: Dùng phép dời hình để giải một số bài toán quỹ tích
Phương pháp: Chứng minh tập hợp điểm cần tìm là ảnh của một hình đã biết qua
một phép dời hình.
<*> Yêu cầu chung:
Để thực hiện giải một bài toán, tôi yêu cầu học sinh cố gắng phân tích kỹ đề
và thực hiện theo các bước:
Bước 1: Đọc và tìm hiểu kỹ đề.
Bước 2: Xác định dạng bài tập.
Bước 3: Tìm kiến thức sử dụng và cách giải quyết các vướng mắc để giải bài tập đó.
Bước 4: Hoàn thành bài giải.
* Tìm cách giải khác (nếu có).
BÀI TẬP
Bài 1: Cho hình thoi ABCD có tâm O. Xác định ảnh của các đỉnh
, , ,A B C D
qua
1) Phép tịnh tiến
AB
T
uuur
; 2) Phép đối xứng trục
§
AB
;
Trần Thị Phước Vinh Trường THPT Thanh Khê
7
Phát huy tích cực tính ứng dụng của phép dời hình trong giải toán hình học
3) Phép đối xứng tâm
§
O

uuur uuur
uuur uuur

2)
( )
=§ ;
AB
AB AB
( )
( )
= ⇔ = −
= ⇔ = −
uuur uuur
uuuur uuur
1 1
1 1
§ ;
§ .
AB
AB
C C BC BC
D D AD AD

3)
( ) ( )
§ ;§
O O
A C B D= =
.
4)

2
; 90
=


= ⇔

=


O
OB OB
Q B B
OB OB
( )
( )
( )
0
2
2
0
;90
2
; 90
=


= ⇔

=

′ ′ ′ ′
ABCD A B C D
( như hình vẽ ) có
′ ′
=AB A B
. Tìm
một phép dời hình biến hình vuông
thành
′ ′ ′ ′
ABCD A B C D
.
Hướng dẫn giải
- Thực hiện phép tịnh tiến cho hình vuông
ABCD
theo
′
=
r uuur
v AA
( như hình vẽ ) ta
được ảnh của nó là hình vuông
1 1 1
′
A B C D
.
- Thực hiện quay hình vuông
1 1 1
′
A B C D
tâm

C
D
′
D
A
B
C
A’
B’
C’
D’
1
B
1
C
1
D
α
A
O
C
D
1
C
B
1
D
2
A
A

T
±
uuuuur
,
- phép đối xứng tâm
O
Đ

(O là trung điểm của
1 2
O O
),
- phép quay I, với
∈∆I
,
- phép đối xứng trục
∆
Đ
.
Bài 1: 1/ Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho điểm
( )
1
;4 , 3;5
2
 
= −
 ÷
 
r
M v

( )
1
1
1
= +

= ⇔

= +

r
v
x x a
T M M
y y b
, ta có:
( )
1
1
1 5
3
2 2
4 5 9

= + − = −



= + =


2
2
2
1
§
2
4
Ox
x x
x
M M
y y
y

=
=

= ⇔ ⇔
 
= −


= −

Vậy điểm ảnh của M qua
§
Ox
là
2
1

x
M M
y y
y

= −
= −

= ⇔ ⇔
 
=


=

Trần Thị Phước Vinh Trường THPT Thanh Khê
9
∆
O
Phát huy tích cực tính ứng dụng của phép dời hình trong giải toán hình học
Vậy điểm ảnh của M qua
§
Oy
là
3
1
; 4
2
 
−


= −
= −

= ⇔ ⇔
 
= −


= −

Vậy điểm ảnh của M qua
§
O
là
4
1
; 4
2
 
− −
 ÷
 
M
.
2/ Cách 1: Gọi
( )
( )
0
;90

4;3
′
−A
.
Cách 2: Theo biểu thức tọa độ phép quay
( )
( )
( )
0
0 0
90
0 0
;
( )
.
′

= − − +

′
= ⇔

′
= − +


I
x y y x
M Q M
y x x y

, đường thẳng d có phương trình
2 4 0.x y− + =
a) Tìm ảnh của M, (C), d qua phép đối xứng trục Ox.
b) Tìm ảnh của M, (C), d qua phép đối xứng trục
: 1 0x y∆ − + =
.
Hướng dẫn giải
1/ Gọi
( ) ( ) ( )
, ;
v v
M x y T M d T d
′ ′ ′ ′
= =
r r
.
Cách 1:
Chọn
( ) ( ) ( )
1;0 3;3
′ ′
− ∈ ⇒ = − ∈
r
v
M d T M M d
.
Vì d’//d nên
:3 5 0
′
− + =d x y C


= −

x x
y y
Thay vào phương trình của d ta được:
3 5 24 0.x y
′ ′
− + =
Vậy phương trình đường thẳng ảnh d’ là:
3 5 24 0.x y− + =
Cách 3 :
Lấy
,M N
bất kì thuộc d, tìm ảnh M’,N’ tương ứng của M và N qua phép tịnh tiến
theo vectơ
v
r
. Khi đó đường thẳng d’ là đường thẳng M’N’.
2/ a) Gọi
( )
1 1 1
, ,M C d
lần lượt là ảnh của
( )
, , M C d
qua phép đối xứng trục
Đ
Ox
.

Ox
:
' '
' '
x x x x
y y y y
= =
 
⇔
 
= − = −
 
Thay vào phương trình của d ta được:
’ 2 ’ 4 0.x y+ + =
Vậy phương trình của
1
d
là
2 4 0.x y+ + =
b) Biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục:
§ ( )
.
∆
− −

′
=


′

= =

 −
1.5 1
4
1
1.1 1
2
1
x
y
Vậy
( ) ( )
2
Đ 4;2M M
∆
=
.
Từ biểu thức tọa độ
, ta có
by c c by
x x
a a
M M
ax c c ax
y y
b b
∆
′
− − −

a b
Vậy
+ + =
2
: 2 7 0.d x y
+ Pt đường tròn
( )
2
C
ảnh của (C) qua
Đ
∆
là
Trần Thị Phước Vinh Trường THPT Thanh Khê
11
Phát huy tích cực tính ứng dụng của phép dời hình trong giải toán hình học
( )
2 2
2
2
1 2 9 1 9
′ ′
− −
   
′ ′
− + + = ⇔ + + =
 ÷  ÷
   
c by c ax
x y

4; 2 , 2; 3BA CD x y= − − = − −
uuur uuur
.
Do đó:
2 4 2
3 2 1
x x
y y
= − = −
 
⇔
 
= − =
 
.
Vậy
( )
2;1 .D −
Bài 1: 1) Hai thôn nằm ở vị trí A, B cách nhau một con sông (Xem hai bờ sông là
hai đường thẳng song song). Người ta dự định xây một chiếc cầu MN bắc qua sông
(cầu vuông góc với bờ sông) và làm hai đoạn đường AM, NB (như hình vẽ). Hãy xác
định vị trí chiếc cầu MN sao cho AM+NB ngắn nhất.
2) Có ba thành phố
, ,A B C
tạo thành một tam giác nhọn trên một vùng đồng
bằng. Tìm vị trí I trong
ABC∆
sao cho có thể xây dựng một sân bay chung mà tổng
khoảng cách từ I tới các trung tâm thành phố đó là ngắn nhất.
Hướng dẫn giải

. Nối A’, B có
A B b N
′
∩ =
.
- Từ N hạ đường thẳng d
⊥
a tại M. Khi đó MN là vị trí xây cầu.
2) Thực hiện phép
( )
0
;60
: ;
B
Q I J A A
′
a a
. Ta có
( ) ( )

′
= = −
0 0
; 60 ; ; 60 .BI BJ BA BA
( ) ( ) ( )
′ ′
= − =
0
; ; 60 ;BI BA BI BA BJ BA
BIA BJA AI A J

Q
.
- Trên A’C dựng các điểm I, J sao cho BIJ là tam giác đều.
Nên I chính là điểm cần dựng.
Thật vậy, ABC là tam giác nhọn nên A’, A cùng phía so với BC; A’, B cùng phía
so với AC. Lúc đó A’C cắt AB tại điểm nằm trong đoạn thẳng AB.
Mặt khác
·
0
60CBA
′
>
và
·
0
60ABA
′
=
nên I phải nằm trong
ABC∆
.
Nên
, , ,A I J C
′
thẳng hàng và J ở giữa A’ và I, I ở giữa J và C và
IA IB IC JA IJ IC
′
+ + = + +
ngắn nhất.
Bài 2: Cho hai dây cung không cắt nhau AC, BD của một đường tròn (O) và điểm P

⇒ A N S
thẳng hàng và
, ,
′ ′
B M S
thẳng hàng.
Trần Thị Phước Vinh Trường THPT Thanh Khê
13
A
′
J
A
C
B
I
P
A
B
C
D
O
N
S
M
P
S’
B’
A’
Phát huy tích cực tính ứng dụng của phép dời hình trong giải toán hình học
Mặt khác, góc nội tiếp

MN M N l
′ ′
+ =
cho trước.
Kéo dài MN về phía N lấy điểm
1
M
sao cho
1
MM l=
đặt
1
MM l=
uuuuur r
.
Thực hiện
( ) ( )
1
:
l
T O O
r
a
với
1
OO l=
uuuur r
.
Thực hiện
( ) ( )

2
O O d
′
⇒ ⊥
( d là trung trực của đoạn
1
OO
).
Vậy cát tuyến
∆
phải tìm là đường thẳng đi qua giao điểm của 2 đường tròn
( ) ( )
và
1 2
O O
, song song với d. Bài toán có một hoặc hai nghiệm hình (tùy thuộc
2
l
R R R R
′ ′
− ≤ ≤ +
).
Bài 4: Cho hai đường thẳng song song a và b. Với một điểm C không nằm trên hai
đường thẳng đó, hãy tìm các điểm
,A a B b∈ ∈
sao cho
ABC∆
là tam giác đều.
Hướng dẫn giải
Trần Thị Phước Vinh Trường THPT Thanh Khê

Phát huy tích cực tính ứng dụng của phép dời hình trong giải toán hình học
Giả sử đã dựng được
ABC∆
đều thỏa mãn các điều kiện của bài toán.
Với phép quay
( )
0
; 60C
Q
−
điểm A có ảnh là B, đường thẳng a có ảnh là a’ cũng đi qua
B nên suy ra cách dựng như sau:
Cách dựng:
- Dựng đường thẳng
( )
( )
0
; 60C
a Q a
−
′
=
bằng cách kẻ
CH a⊥
tại H, tìm ảnh
H
′
của H qua phép quay này. Vẽ được đường thẳng
a
′

( )
( )
0 0
;90 ;90
; = =
A A
Q N B Q C Q

( )
( )
0
;90A
Q NC BQ⇒ =
.
Vậy :
; ⊥ =NC BQ NC BQ
.
H
N
M
P
Q
C
B
A
b)
( ) ( )
( )
{ } { }
0

−
=
(1)
Trần Thị Phước Vinh Trường THPT Thanh Khê
15
H
N
M
P
Q
C
B
A
Phát huy tích cực tính ứng dụng của phép dời hình trong giải toán hình học
( )
( )
( )
( )
0 0
; 120 ; 120
;
G G
Q C B Q B A
− −
= =
⇒
( )
( )
0
; 120G

qua C. Tìm quỹ tích của điểm M
3
.
Hướng dẫn giải
D
M3
M2
M1
M
O
C
B
A
Gọi D là trung điểm của MM
3
thì ABCD là hình bình hành. Do đó điểm D cố
định;
( )
3D
Đ M M=
.
Do đó quỹ tích điểm M
3
là ảnh của đường tròn (O) qua phép đối xứng tâm D.
Bài 2: Cho hai điểm phân biệt B,C cố định (BC không phải là đường kính) trên
đường tròn (O), điểm A di động trên (O). Chứng minh rằng khi A di động trên (O)
thì trực tâm tam giác ABC di động trên một đường tròn.
Hướng dẫn giải
Cách 1: Áp dụng phép tịnh tiến
Gọi H là trực tâm tam giác ABC, M là trung điểm của BC.

.
Vì
OM
uuuur
không đổi
⇒
T
2
OM
uuuur
(A) =H.
Vậy khi A di chuyển trên đường tròn (O) thì H di chuyển trên đtròn (O’) là
ảnh của (O) qua phép
2OM
T
uuuur
.
Cách 2: Áp dụng phép đối xứng trục
H'
I
H
O
B
C
A
D
Gọi H là trực tâm tam giác ABC. Gọi I, H’ lần lượt là giao điểm của tia AH
với đoạn thẳng BC và đtròn (O).
Ta có:
·

D
Gọi H là trực tâm tam giác ABC, I là trung điểm của BC. Tia AO và BO cắt
(O) lần lượt tại M và D.
Theo chứng minh ở cách 1, ta có
2AH DC OI= =
uuur uuur uur
.
Trong
AHM∆
có OI//AH và OI =
1
2
AH
⇒
OI là đường trung bình của tam giác AHM
⇒
I là trung điểm của HM
⇒
H và M đối xứng nhau qua I. Vì BC cố định nên I cố
định.
Vậy khi A di động trên (O) thì M di chuyển trên (O). Do đó khi A di động trên
(O) thì trực tâm
ABC∆
di động trên một đường tròn (O’) là ảnh của (O) qua phép
I
Đ
.
Bài 3: Cho tam giác ABC có hai đỉnh B, C di động trên đường thẳng cố định
∆
. Biết

′
⇒
cố định.
Rõ ràng do
, P H
′
cùng nằm trên đường tròn
( )
O
, suy ra tâm O nằm trên đường
trung trực của
PH
′
.
Vậy quỹ tích O là đường trung trực của đoạn
PH
′
, với
( )
HĐ H
∆
′
=
.
Trần Thị Phước Vinh Trường THPT Thanh Khê
18
H
∆
A
H

( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
⇔ + + + = − +
⇔ + + + + + = + +
⇔ + + + + = + +
⇔ + + + + = − + +
⇔ + + + = −
⇔ + + + + − − = −
⇔ + + + + − =
2 2
2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 4 2
2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
1 . 1
1 1 1
1 1
2 1 2 1
2 1 2
1 2 1 2

AD
T B C=
uuur
.
Vậy quỹ tích điểm C là đường tròn
( )
; 2C AD
.
Bài 5: Trên đường tròn
( )
;O R
cho hai điểm cố định A, B. Đường tròn
( )
;O R
′ ′
tiếp
xúc ngoài với
( )
;O R
tại A. Một điểm M di động trên
( )
;O R
sao cho MA cắt
( )
;O R
′ ′
tại điểm thức hai
1
A
. Qua

Phát huy tích cực tính ứng dụng của phép dời hình trong giải toán hình học
Vẽ tiếp tuyến chung
xx
′
của hai đường tròn
( ) ( )
và ; ;O R O R
′ ′
tại A.

Theo tính chất tiếp tuyến, ta có
·
·
·
·

2 1 1
;ABM xAM AA A x AA
′
= =
Do
·
·
1
x AA xAM
′
=
(đối đỉnh)
·
·

1
B
là đường tròn
( )
;O R
′′ ′
ảnh của
( )
;O R
′ ′
qua
Đ
∆
,
( )
;O R
′′ ′
tiếp xúc ngoài với
( )
;O R
tại B.
*/. Một số bài tập tham khảo:
Bài 1: 1) Cho các đường thẳng
: 2 3 3 0d x y− + =

, :2 3 5 0x y∆ − − =
. Tìm vectơ
v
r
sao cho ảnh của d qua phép tịnh

; 30O
Q
−
.
Bài 2: Cho góc nhọn
·
xOy
, điểm A thuộc miền trong của góc đó. Hãy tìm một đường
thẳng đi qua A, cắt Ox, Oy lần lượt tại M và N sao cho A là trung điểm của MN.
Bài 3: Cho ABCD là một tứ giác nội tiếp một đường tròn cho trước. Từ M, N, P, Q
lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA vẽ các đường thẳng vuông góc
với cạnh đối diện tương ứng. Chứng minh các đường thẳng này đồng quy.
Bài 4: Cho hai đường tròn (Q), (Q') và một đường thẳng d . Xác định hình vuông
ABCD có A, C lần lượt nằm trên (Q), (Q'), còn B, D nằm trên d?
Bài 5: Cho ∆ABC và một điểm P nằm trong tam giác. Dựng ∆ cân đỉnh P có đáy
song song với BC và có 2 đỉnh làn lượt thuộc AB,AC của ∆ABC.
Bài 6: Cho 2 đường thẳng cắt nhau x, y và 2 điểm A, B không nằm trên x, y. Xác
định 2 điểm C, D lần lượt nằm trên 2 đường thẳng x,y sao cho tứ giác ABCD là hình
thang cân có AB là cạnh đáy.
Trần Thị Phước Vinh Trường THPT Thanh Khê
20
O
′
2
A
1
A
M
O
′′

đòi hỏi ở hình cần dựng đã xuất hiện những yếu tố có mối liên hệ đáng chú ý đến
một phép biến hình cụ thể nào đó. Chẳng hạn có dữ kiện
Trần Thị Phước Vinh Trường THPT Thanh Khê
21
Phát huy tích cực tính ứng dụng của phép dời hình trong giải toán hình học
- đoạn thẳng có độ dài và phương chiều cố định, hình bình hành nghĩ đến
phép tịnh tiến;
- trung điểm của một đoạn nghĩ đến phép đối xứng tâm;
- đường trung trực của một đoạn nghĩ đến phép đối xứng trục;
- các góc có số đo không đổi nghĩ đến phép quay.
Cuối cùng hy vọng đề tài có tính ứng dụng, giúp học sinh và giáo viên nhẹ
nhàng tiếp thu và truyền đạt kiến thức chương phép biến hình và dời hình trong mặt
phẳng của chương trình hình học 11. Rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến xây
dựng của đồng nghiệp.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
- Sách giáo khoa hình học lớp 11.
- Sách giáo viên hình học lớp 11.
- Để học tốt hình học lớp 11 .
- Phương pháp dạy học môn toán.
- Một số vấn đề phát triển hình học 11.
- Toán nâng cao hình học cho học sinh THPT – Tập 1 – Phan Huy Khải.
- Tuyển tập 200 bài thi vô đich toán – Tập 4 – Đào Tam, Nguyễn Quý Dy, Nguyễn
Văn Nho, Lưu Xuân Tình.
- Các bài toán về hình học phẳng – Tập 1 – V.V Praxolop, Bản dịch tiếng Việt của
Hoàng Đức Chính và Nguyễn Đễ.
- Tạp chí toán học tuổi trẻ.
- Thư viện trực tuyến Violet.
Trần Thị Phước Vinh Trường THPT Thanh Khê
22