A. ĐẶT VẤN ĐỀ
Môn toán ở cấp THCS là môn học cung cấp kiến thức nền để các em học tập
tốt các bộ môn khác, cũng như làm nền tảng để các em học tốt ở cấp THPT.
Trong những năm qua nhìn chung chất lượng môn toán của học sinh trường
THCS Thiệu Thành được nâng lên qua các kì thi học sinh giỏi cũng như thi vào
THPT.
Trong chương trình Đại số 9 thì phương trình vô tỉ là dạng toán tương đối
khó đối với học sinh .
Dạng toán giải phương trình vô tỉ có nhiều cách giải, vì vậy đòi hỏi học sinh
phải biết vận dụng kiến thức một cách linh hoạt. Có những lời giải xem ra “thiếu
tự nhiên” nhưng thật ra rất độc đáo. Với phương trình vô tỉ, các em chỉ được làm
quen ở lớp 9 dưới dạng đơn giản. Toán giải phương trình vô tỉ trong chương
trình đại số 9, được đề cập nhiều trong các loại sách tham khảo, do vậy giáo viên
rất khó trong việc sưu tầm, tuyển chọn.
Để góp phần vào việc giải quyết các vấn đề khó khăn trên, tôi mạnh dạn thực
hiện việc sưu tầm, tuyển chọn một số dạng bài bài tập về phương trình vô tỉ và
phương pháp giải áp dụng cho từng dạng để viết thành đề tài “Hướng dẫn học
sinh lớp 9 một số phương pháp giải phương trình vô tỉ” giúp cho việc dạy và học
đạt kết quả cao.
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I. Cơ sở lý luận.
Căn cứ vào thực tế dạy và học hệ thống bài tập về giải phương trình vô tỉ
của chương trình đại số 9 tôi thấy hệ thống bài tập trong sách giáo khoa, sách
bài tập do bộ GD&ĐT ấn hành còn đơn giản, chưa đáp ứng đầy đủ yêu cầu của
dạng toán này bởi trên thực tế bài tập về phương trình vô tỷ rất đa dạng, phong
phú và là một thể loại toán khó của đại số THCS. Khi dạy phần này, nhất là đối
với học sinh khá giỏi đòi hỏi giáo viên phải tự biên soạn, sưu tầm và lựa chọn
các dạng bài phù hợp có thể đề cập và khai thác trong các kỳ thi. Vì thế mà nội
dung giảng dạy chưa thống nhất.
Là giáo viên chúng ta luôn mong muốn cung cấp cho học sinh “chiếc chìa
khoá” để giải từng dạng cụ thể của phương trình. Song không phải dạng phương

phương trình vô tỉ kết hợp với tham khảo nghiên cứu tài liệu của học sinh, qua
kết quả khảo sát đánh giá của giáo viên cho thấy các em đã vận dụng được vào
giải một số phương trình chứa căn thức bậc hai ở các dạng cơ bản theo sự phân
dạng của giáo viên .
Kết quả khảo sát với lớp 9B trong năm học 2012 – 2013 như sau:
Sĩ số
Giỏi
Khá
Trung bình
Yếu
30
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
7
23.3
10
33.4
7
23.3
6
20
Sau thời gian vận dụng một số phương pháp giải phương trình vô tỉ trong
năm 2012 – 2013, sang năm học này tôi đã và đang tiếp tục vận dụng đề tài
“Hướng dẫn học sinh lớp 9 một số phương pháp giải phương trình vô tỉ” trong

+ Đối chiếu kết quả tìm được với tập xác định và kết luận nghiệm.
Chú ý: Với những phương trình có TXĐ là ∀x ∈ R (trong quá trình biến đổi
không đặt điều kiện) khi tìm được nghiệm phải thử lại.
2.1.3. Các kiến thức cơ bản về căn thức:
+ Số âm không có căn bậc chẵn
+ Muốn nâng lên luỹ thừa bậc chẵn cả hai vế của phương trình để được phương
trình tương đương, phải đặt điều kiện để hai vế không âm.
+ Với hai số a, b không âm, ta có: a = b ⇔ a = b
+ Với A là một biểu thức, ta có:

A2 = A

2.2. Phương pháp nâng lên lũy thừa giải một số dạng phương trình vô tỉ
chứa căn thức bậc hai.
2.2.1. Dạng 1:

f ( x ) = g ( x)

(1)

Cách giải: - Tìm ĐKXĐ của PT: g ( x) ≥ 0 (2)
- Bình phương hai vế PT (1) ta được: f ( x) = [ g ( x)] 2 (3)
- Giải PT (3), chọn nghiệm thỏa mản ĐK (2). Suy ra nghiệm của PT (1)
Chú ý: Trong quá trình giải lưu ý học sinh không cần lấy điều kiện để f ( x) ≥ 0 .
Ví dụ 1: Giải phương trình 2 x − 1 = 3
HD: Ta có 2 x − 1 = 3 ⇔ 2 x − 1 = 9 ⇔ x = 5 .
Vậy PT có một nghiệm duy nhất x = 5
Ví dụ 2: Giải PT: 2 x − 1 = 8 − x (1)
HD: ĐKXĐ: x ≤ 8
Bình phương hai vế rồi rút gọn PT (1), được PT: x 2 − 18 x + 65 = 0 (2)


+ Nếu h(x) = 0, ta có:

(I)

Nếu hệ (I) có nghiêm thì PT(1) có nghiệm.
+ Nếu h(x) > 0. Tìm ĐKXĐ của PT: f ( x) ≥ 0 và g ( x) ≥ 0 (2)
Bình phương hai vế PT(1), biến đổi được PT:
2
[
h( x ) ] − f ( x ) − g ( x )
f ( x ).g ( x) =

(3)
2
Phương trình (3) có dạng 1 nên giải theo phương pháp của dạng 1.

Chú ý: Tượng tự, giải phương trình dang
thêm ĐK:

f ( x ) − g ( x ) = h( x )

f ( x ) ≥ h( x )

Ví dụ 1: Giải phương trình.

x − 3 + x 2 − 9 = 0 (1)

HD: ĐKXĐ: x ≥ 3
 x − 3 = 0


4


HD: ĐKXĐ − 4 ≤ x ≤

1
2
2 x + 1 ≥ 0

Ta có: (1) ⇔ x + 4 = 1 − 2 x + 1 − x ⇔ 2 x + 1 = 2 x 2 − 3x + 1 ⇔  2
x + 7 x = 0
⇔ x = 0 (nhận) hoặc x = −7 (loại). Vậy PT(1) có một nghiệm x = 0.
2.2.5. Dạng 5:
f ( x) + g ( x) ± f ( x).g ( x) = c (1)
Cách giải: Tìm ĐKXĐ của PT: f ( x) ≥ 0 và g ( x) ≥ 0
Đặt ẩn phụ: y = f ( x) + g ( x) (với y ≥ 0 ) (2)
⇒

c 2 − f ( x) − g ( x)
f ( x).g ( x) =
(3)
2

Thay vào (1) được phương trình bậc hai ẩn y. Giải PT bậc hai ẩn y, chọn nghiệm
y thích hợp, thay vào (2) được phương trình dạng 2.
Giải phương trình thu được. Suy ra nghiêm của PT(1)
Ví dụ: Giải phương trình x + 4 + 3x + 1 + 2 3x 2 + 13x + 4 = 51 − 4x (1)
−1
51

x
)
≥
0


 p ( x ) ≥0
Bình phương 2 vế phương trình (1) đưa về dạng:

F ( x) + G ( x) = H ( x)

Tuỳ theo từng trường hợp cụ thể để có cách giải phương trình vô tỷ phù hợp.
Chú ý: Nếu f(x) – g(x) = a và h(x) – p(x) = b với a,b ∈ R thì ta nhân và chia mỗi
vế của PT(1) với biểu thức liên hợp của chúng
Ví dụ: Giải phương trình 2 x + 1 + 2 x + 16 = 2 x + 4 + 2 x + 9 (1)
Ai quan tâm xin kích cào đấy nhé:

5


http://123doc.org/document/3104663-skkn-mo-t-so-kinh-nghie-m-nang-caocha-t-luo-ng-bu-a-an-va-pho-ng-cho-ng-suy-dinh-duo-ng-cho-tre-o-truongmam-non.htm

6