1. Phần mở đầu
1.1 Lí do chọn sáng kiến kinh nghiệm:
Toán học là môn học có vị trí quan trọng trong chương trình trung học cơ sở, là
nền tảng cho các môn học khoa học tự nhiên cũng như các môn khoa học xã hội. Toán
học không chỉ cung cấp cho con người những kĩ năng tính toán cần thiết, mà còn rèn
luyện cho con người một khả năng tư duy lôgíc, một phương pháp luận khoa học.
Dạy học toán là dạy cho học sinh phương pháp học toán và giải toán để vận
dụng kiến thức đã học vào giải toán thực tế cuộc sống. Nội dung kiến thức toán học
được trang bị cho học sinh trung học cơ sở ngoài việc dạy lí thuyết còn phải chú trọng
tới việc dạy học sinh phương pháp giải một số bài toán, nhưng để nắm vững cách giải
một dạng toán nào đó đòi hỏi học sinh phải biết vận dụng kiến thức đã học một cách
linh hoạt, sáng tạo, tính cẩn thận, kết hợp với sự khéo léo và kinh nghiệm đã tích luỹ
được để giải quyết các bài tập có liên quan. Thông qua việc giải bài tập các em được
rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức đã học vào giải bài tập, kĩ năng trình bày, kĩ
năng sử dụng máy tính bỏ túi, đồ dùng dạy học. Do đó nâng cao năng lực tư duy, óc
tưởng tượng, sáng tạo, rèn khả năng phán đoán, suy luận của học sinh.
Các bài toán ứng dụng hệ thức Vi – ét có một vị trí quan trọng trong chương
trình dạy học toán trung học cơ sở. Chính vì vậy bài toán này thường xuyên có mặt
trong các kì thi học sinh giỏi lớp 9, cũng như trong các kì thi tuyển sinh vào lớp 10.
Qua nhiều năm dạy toán lớp 9, tôi nhận thấy các em vận dụng hệ thức Viét vào
giải toán chưa thật linh hoạt, chưa biết khai thác và sử dụng hệ thức Viét vào giải
nhiều loại bài toán, trong khi đó hệ thức Viét có tính ứng dụng rất rộng rãi trong việc
giải toán. Tôi rất quan tâm vấn đề này chính vì vậy tôi mạnh dạn nghiên cứu và hoàn
thành sáng kiến kinh nghiệm này. Với thời gian hạn chế và mong muốn nghiên cứu
sâu hơn nên sáng kiến kinh nghiệm này chỉ tập trung vào vấn đề: “Rèn luyện kĩ năng
giải toán ứng dụng định lí Vi-ét”
1.2 Điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm
Có rất nhiều nguyên nhân đưa lại sự thành công của một tiết dạy, nhưng
nguyên nhân chủ yếu là cách truyền thụ kiến thức của giáo viên. Mỗi giáo viên lại có
một phương pháp truyền thụ kiến thức khác nhau. Sau nhiều năm giảng dạy môn toán
nói chung và môn toán 9 nói riêng, bản thân tôi đã đúc rút được một số kinh nghiệm

cho học sinh nhàm chán, thụ động và máy móc khi vận dụng.
+ Một số giáo viên chưa chủ động về kiến thức, khả năng phân tích, khai thác bài toán
còn hạn chế.
+ Giáo viên thiếu những điều kiện thuận lợi thiếu thời gian để phân tích, tìm tòi lời
giải, hệ thống bài toán giáo viên đưa ra còn dàn trãi không mang tính đặc trưng.
+Trình độ nhận thức của các em còn chậm và không đồng đều cùng với điều kiện học
tập chưa tốt cũng ảnh hưởng nhiều đến hoạt động dạy-học.
2.2. Các giải pháp
Trước khi giải bài tập cần yêu cầu học sinh học kỹ lí thuyết, nắm chắc định lí
Vi-ét và các hệ quả của định lí Vi-ét.
Muốn học sinh làm được các bài tập ứng dụng định lí Vi-ét thì giáo viên cần
phải hệ thống, chia nhỏ thành các dạng bài tập ứng dụng riêng, mỗi dạng học sinh
được học theo chuyên đề nhằm khắc sâu kiến thức , phương pháp và kĩ năng làm bài.
Các dạng bài tập ứng dụng định lí Vi-ét đưa ra từ dễ đến khó, từ đơn giản đến
phức tạp, phù hợp với trình độ học sinh. Qua mỗi dạng cần cho học sinh tự nêu ra
được kiến thức kiến thức cơ bản, kỹ năng cần rèn luyện của dạng đó nhằm giúp các
em hiểu bài và thành thạo kỹ năng làm bài.
Minh họa về thiết kế và điều hành tổ chức các hoạt động dạy học.
I.
Một số vấn đề lý thuyết
2


1. Hệ thức Vi – ét:
2
- Nếu x1 ; x2 là hai nghiệm của phương trình bậc hai : ax + bx + c = 0 ( a ≠ 0 )
thì

b



Như vậy khi biết tổng và tích hai số thì ta sẽ tìm được hai số đó thông qua việc
giải phương trình bậc hai. Điều kiện để có hai số là: S2 - 4P ≥ 0
II. Ứng dụng của hệ thức Vi-ét vào giải các bài tập
Dạng I: Ứng dụng hệ thức Vi-ét vào việc nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai
ax 2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) khi biết các hệ số a; b; c.
2
Hệ quả 1: Nếu phương trình ax + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) có a + b + c = 0 thì phương trình

c
.
a
2
Hệ quả 2: Nếu phương trình ax + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) có a - b + c = 0 thì phương trình có

có một nghiệm x1 = 1 còn nghiệm kia là x2 =

c
.
a

một nghiệm x1 = - 1 còn nghiệm kia là x2 = -

2
Chú ý: Nếu phương trình ax + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) có x1 + x2 = −

b
c
và x1 x2 = thì x1 , x2 là
a


trình có một nghiệm x1 = −1 còn nghiệm kia là x2 = − .
- Khi đó các em đều nhận thấy cách vận dụng hệ thức Vi– ét vào nhẩm nghiệm của
phương trình bậc hai các em đã trình bày lời giải như sau:
Giải:
a) - 5x2 + 3x + 2 = 0 (a = - 5; b = 3; c = 2)
2
5

Vì a + b + c = ( −5 ) + 3 + 2 = 0 ⇒ phương trình có hai nghiệm là x1 = 1; x2 = − .
b) 2008x 2 + 2009 x + 1 = 0 (a = 2008; b = 2009; c = 1)
Vì a - b + c = 2008 - 2009 + 1 = 0 ⇒ phương trình có hai nghiệm là: x1 = −1 ; x2 = −
2
c) 3x - ( 1 - 3 ) x - 1 = 0

{a =

(

}

)

1
.
2008

3; b = - 1 - 3 ; c = - 1

Vì a − b + c = 3- - ( 1 - 3 )  + ( - 1) = 0

x2 = -4
b, Ta có 3 + 4 = 7 và 3.4 = 12 nên phương trình có hai nghiệm là x1 = 3; x2 = 4
Các phần c,d,e tương tự học sinh có thể nhẩm.
Sau khi tính được nghiệm của phương trình xong tôi đã yêu cầu các em sử dụng
máy tính bỏ túi Casio giải phương trình để kiểm tra các nghiệm vừa tìm được ở phần
a và b.
Lưu ý:

4


- Khi giải một phương trình bậc hai ta cần chú ý vận dụng hệ thức Vi-ét để tính
nhẩm nghiệm của phương trình nếu có thể. Nếu không tính nhẩm được nghiệm của
phương trình thì ta mới dùng công thức nghiệm để giải.
- Việc vận dụng hệ quả của hệ thức Vi-ét và tính toán cho phép tính nhanh chóng
nghiệm của phương trình.
Dạng II: Ứng dụng của hệ thức Vi-ét vào việc tìm 2 số khi biết tổng và tích của
chúng:
Nếu hai số u và v có tổng u + v = S và tích u.v = P thì hai số u và v là hai nghiệm
của phương trình bậc hai: x 2 - Sx + P = 0 Điều kiện để có hai số là: S2 - 4P ≥ 0
Ví dụ 1: a) Tìm 2 số biết tổng của chúng bằng 27 và tích của chúng bằng 180.
b) Tìm 2 số biết tổng của chúng bằng 1 và tích của chúng bằng 5.
Hướng dẫn cách giải:
Tìm 2 số biết tổng của chúng bằng 27 và tích của chúng bằng 180.
 x1 + x2 = 27
. Nếu áp dụng hệ thức Vi-ét đảo thì x1
 x1.x2 = 180

Tức là ta cần tìm 2 số x1 và x2 biết 


b) Tìm các cạnh của hình chữ nhật có chu vi là 20 cm và diện tích bằng 32cm2
Hướng dẫn cách giải:
- Bài toán cho biết gì ? cần tìm gì?
 2. ( a + b ) = 100 
÷
÷.


- Nếu gọi các cạch của hình chữ nhật là a và b ta có điều gì? .  
 a.b = 621

5


 a + b = 50
thì a và b là 2 nghiệm của phương trình bậc hai
 a.b = 621

- Vậy 

nào?

(

x 2 - 50x + 621 = 0 )

Với gợi ý trên tôi cho các em thảo luận 5 phút và đại diện 1 em trình bày lời giải.
Giải:
 2. ( a + b ) = 100
⇔


1
2

b, 1 − 5 và 1 + 5

Hướng dẫn cách giải:- Muốn tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng ta làm ntn?
(Nếu hai số u và v có tổng u + v = S và tích u.v = P thì hai số u và v là hai nghiệm của
phương trình bậc hai: x 2 - Sx + P = 0 ; Đ/K S 2 ≥ 4 P )
Giải:
1
2

3
1 1
và P = 1× = .
2
2 2
3
1
Do đó phương trình cần lập là x 2 − x + = 0 hay 2 x 2 − 3x + 1 = 0
2
2

a, Ta có S = 1 + =

Vậy phương trình cần tìm là 2 x 2 − 3x + 1 = 0

b, Ta có S = ( 1 − 5 ) + ( 1 + 5 ) = 2 và P = ( 1 − 5 ) ( 1 + 5 ) = 1 − 5 = −4
Do đó ta có phương trình là x 2 − 2 x − 4 = 0

1) Xét phương trình 2 x 2 − 7 x + 4 = 0
2
Ta có: ∆ = ( −7 ) − 4.2.4 = 49 − 32 = 17 > 0 ⇒ Phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1 ; x2

áp dụng đinh lí Vi – ét ta có:

7

 x1 + x2 =
2

 x1.x2 = 2

3
2
2
3
2
2
3
3
b) Ta có: x1 + x2 = ( x1 + 3x1 .x1 + 3x1 x2 + x2 ) − ( 3x1 .x1 + 3x1 x2 ) = ( x1 + x2 ) − 3x1 .x2 ( x1 + x2 )
3

3

343 42 343 − 168 175
7
7
−

2
2

⇒ u+v =

47
4

2
2
3
3
3
3
Mà: u . v = ( x1 − x2 ) . ( x2 − x1 ) = x12 .x22 - ( x1 + x2 ) - x1.x2 = ( x1 x2 ) - ( x1 + x2 ) - x1.x2
2

= 22 -

175
175 16 − 175 −159
=
=
- 2 = 2−
8
8
8
8

7

4
8

Nhận xét: Khi lập phương trình bậc hai khi biết trước một nghiệm và các hệ số là
số nguyên. Ta cần thay nghiệm của phương trình vào phương trình ban đầu và xét các
hệ số nguyên đó.
Phương pháp chung:
+) Muốn lập phương trình bậc hai có nghiệm là hai số cho trước ta làm như sau:
- Bước 1: Tính tổng và tích của hai số đó.
- Bước 2: áp dụng hệ thức Vi-ét đảo để tìm phương trình cần lập. ta tính tổng và tích
của chúng rồi áp dụng hệ thức Vi-ét đảo để xác định phương trình cần lập.
+) Trong trường hợp phương trình bậc hai cần lập biết trước một nghiệm và các hệ số
là các số nguyên thì ta thay nghiệm đó vào phương trình ban đầu rồi tìm các hệ số đó.
Qua ví dụ này chúng ta đã vận dụng điều kiện để phương trình bậc hai có 2
nghiệm phân biệt rồi áp dụng hệ thức Vi-ét cho phương trình thứ nhất thay thế vào
phương trình thứ hai thì ta được điều cần tìm.
Ví dụ 2: Cho phương trình x2 – (m+1)x + m – 5 = 0
 x1 − x2 = 4
Xác định tham số m để phương trình có hai nghiệm x , x thỏa mãn  x3 − x3 = 32
 1
2
1

2

2
2
HD: ∆ = (m + 1) − 4(m − 5) = (m − 1) + 20 > 0∀m

Theo Vi- ét ta có S= x1 + x2 =m+1; P = x1.x2 = m – 5

+ Biểu thức A có giá trị là một số xác định với mọi m thỏa mãn điều kiện
Cụ thể:
8


Để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thì
m ≠ 1
a ≠ 0
m − 1 ≠ 0

⇔
⇔
4

∆ ≥ 0
5m − 4 ≥ 0
m ≥ 5
2m

 x1 + x2 = m − 1
Theo định lí Vi-et ta có: 
x x = m − 4
1 2
m −1

2m
m−4
0
+ 2.
−8 =

 x 2 + y 2 = 25
 y 2 + x 2 = 25
⇔ 2
Ví dụ: Hệ phương trình đối xứng loại I:  2 2
2
 x + y − xy = 13
 y + x − yx = 13

* Cách giải hệ phương trình đối xứng loại I.
+) Biểu diễn từng phương trình qua x + y ; xy
+) Đặt S = x + y ; P = xy ta được hệ phương trình mới chứa các ẩn S và P
+) Giải hệ phương trình tìm S và P
+) Các số x và y là nghiệm của phương trình t 2 − St + P = 0 (Vận dụng hệ thức Vi –ét
đảo- Tìm 2 số khi biết tổng và tích của chúng)
(Hệ đã cho có nghiệm khi hệ phương trình theo S và P có nghiệm thỏa mãn S2 − 4 P ≥ 0
)
Tùy theo yêu cầu của bài toán ta giải hoặc biện luận phương trình theo tham số từ
đó suy ra nghiệm hoặc kết luận cần thiết cho hệ phương trình.
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình
9


5 ( x + y ) + 2 xy = −19
a) 
( x + y ) + 3 xy = −35

 x 2 − xy + y 2 = 7
b) 
x + y = 5


5S + 2 P = −19
15S + 6 P = −57
13S = 13
S = 1
S = 1
⇔ 
⇔
⇔
⇔
⇔
 S + 3P = −35
 2S + 6 P = −70
 S + 3P = −35
1 + 3P = −35
 P = −12
 x + y = 1 theo định lí Vi – ét thì x; y là nghiệm của phương trình bậc hai
⇔
 x. y = −12
X 2 − X − 12 = 0 giải phương trình này ta được 2 nghiệm là X 1 = 4 và X 2 = −3 .

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm là ( 4; −3) và ( −3; 4 ) .
- Hoặc các em có thể biến đổi trực tiếp hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại
x + y = 1
từ đó áp dụng hệ thức vi- ét để
 x. y = −12

số (không đặt ẩn phụ) ta cũng tính được 
giải hệ phương trình tìm x; y.

x = a


10

rồi giải hệ phương trình này.


- Khi đó các em đều nhận thấy cách vận dụng hệ thức Vi-ét vào nhẩm nghiệm của
phương trình bậc hai các em đã trình bày lời giải như sau:
Giải:
a)

 xy = 5 − ( x + y )
( x + y ) + xy = 5
 x + y + xy = 5
⇔
⇔
 2


2
2
2
 x + y + xy = 7
( x + y ) − xy = 7
( x + y ) − 5 − ( x + y )  = 7

 xy = 5 − ( x + y )
⇔
2
( x + y ) − ( x + y ) − 12 = 0

phương trình bậc hai t 2 − 2t + 3 = 0 (2)
Giải pt (2) ta có ∆ ' = ( −1) − 1.3 = 1 − 3 = −2 < 0 nên phương trình (2) vô nghiệm
2

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm là ( 1; 2 ) và ( 2;1) .
Phương pháp chung:
Như vậy từ những bài toán giải hệ phương trình đối xứng loại I rất phức tạp xong
nếu biết biến đổi linh hoạt và vận dụng hệ thức Vi-ét về tìm hai số khi biết tổng và
tích của chúng ta sẽ đưa bài toán trở về dạng đơn giản hơn từ đó tìm được nghiệm của
hệ phương trình.
Khi giải hệ phương trình mà vế trái là những đa thức đối xứng thì ta có thể coi các
ẩn đó là nghiệm của một phương trình rồi sử dụng hệ thức Vi-ét để thiết lập phương
trình mới này. Nghĩa là ta đã chuyển việc giải hệ phương trình n ẩn về giải một
phương trình bậc n một ẩn, nếu phương trình này giải được thì đó là nghiệm của hệ n
phương trình đã cho.
* Kết quả đạt được
Trước khi chưa áp dụng cách dạy học như trình bày ở trên, tôi nhận thấy nhiều học
sinh nhìn nhận, định hướng giải chưa đúng, vận dụng định lí Vi-ét và các hệ quả của
định lí Vi-ét chưa thành thạo. Sau khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm “ Rèn luyện kĩ
năng giải toán ứng dụng Vi-ét” vào giảng dạy , các nhược điểm của học sinh nêu trên
đã giảm rất nhiều. Nhìn chung các em đều có kĩ năng vận dụng tương đối thành thạo
các kiến thức thức đã học vào giải quyết một số bài tập tương tự và nâng cao cũng
như các ứng dụng thực tế đã tạo nên hứng thú học tập cho học sinh.
11


Qua tiến hành dạy tiết 58 “ Luyện tập ” lớp 9 4 trường THCS Tiến Hóa (tôi đã vận
dụng SKKN) thu được kết quả như sau:
Lớp


3. Phần kết luận
3.1.Ý nghĩa của sáng kiến kinh nghiệm:
Sau một thời gian nghiên cứu kết hợp với kinh nghiệm giảng dạy cũng như
trong kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi và giảng dạy ôn thi vào trung học phổ
thông hằng năm cùng với sự giúp đỡ của bạn bè đồng nghiệp tôi đã hoàn thành sáng
kiến kinh nghiệm : “ Rèn luyện kỹ năng giải toán ứng dụng định lí Vi-ét”. Tôi thấy
rằng đa số các em đều tự giác, tích cực trong học tập vận dụng tương đối linh hoạt
những ứng dụng của hệ thức Vi-ét vào giải các bài tập có liên quan; các bài tập tương
tự và nâng cao cũng như các ứng dụng thực tế của toán học trong cuộc sống.
Dù là người truyền đạt lại những kiến thức khoa học, nhưng giáo viên phải tâm
huyết trong giảng dạy. Đặc biệt là giáo viên dạy môn Toán học, khi hướng dẫn các
em giải toán đối với mỗi dạng bài tập giáo viên cần phải có lời giải mẫu cùng với sự
phân tích để các em hiểu và nắm bắt và vận dụng được phương pháp làm bài. Từ một
bài tập cụ thể giáo viên cần phải khai thác các cách giải cũng như mở rộng kiến thức
(khái quát hoá)
Khi xây dựng đề tài giáo viên phải chọn lọc và sắp xếp phân loại các bài tập
theo trình tự lôgíc từ dễ đến khó từ đơn giản đến phức tạp, Giáo viên cần khái quát
cách giải từng dạng bài tập đó vận dụng linh hoạt các phương pháp dạy học cũng như
các hình thức tổ chức dạy học phù hợp sao cho hiệu quả nhất. Cần đầu tư thời gian,
với sự tìm tòi lựa chọn xây dựng hệ thống bài toán, phân dạng bài tập, xây dựng cách
giải tổng quát thì trong quá trình giảng dạy sẽ rèn luyện được kĩ năng vận dụng, trình
bày lời giải. Xây dựng cho các em niềm đam mê, hứng thú trong học tập, tôn trọng
những suy nghĩ, ý kiến sáng tạo của các em. Cần thường xuyên kiểm tra, đánh giá kết
quả học tập, bổ sung thiếu sót kịp thời, dạy sâu, dạy chắc và kết hợp nhần nhuyễn,
logíc giữa các bài toán khác nhau.
Tuy nhiên trong quá trình thực hiện đề tài mặc dù đã cố gắng song chắc hẳn
không tránh khỏi thiếu sót kính mong được sự góp ý xây dựng của các đồng nghiệp
để đề tài ngày càng phong phú và đầy đủ hơn tạo được hứng thú học tập của học sinh
phát huy được tính tích cực chủ động của các em trong quá trình học tập. Từ đó giúp
các em thêm yêu thích môn Toán.