ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-----------------------

TRỊNH THỊ NGỌC

TÍNH ỔN ĐỊNH HỆ TUYẾN TÍNH
KHÔNG ÔTÔNÔM VÀ ỨNG DỤNG
TRONG ĐIỀU KHIỂN
Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số:
60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
GS.TSKH Vũ Ngọc Phát

Hà Nội – Năm 2015


Mục lục
MỞ ĐẦU

2

1 CƠ SỞ TOÁN HỌC
1.1 Hệ phương trình vi phân. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Hệ phương trình vi phân ôtônôm, không ôtônôm .
1.1.2 Các định lý tồn tại và duy nhất nghiệm . . . . . .
1.2 Tính ổn định hệ phương trình vi phân . . . . . . . . . . .

.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

6
6
6
7
7
7
10
12

.
.
.
.
.
.
.
.


định hệ phương trình vi phân. Chẳng hạn như: phương pháp thứ nhất
Lyapunov (hay còn gọi là phương pháp số mũ đặc trưng), phương pháp
thứ hai Lyapunov (hay còn gọi là phương pháp hàm Lyapunov), phương
pháp xấp xỉ, phương pháp so sánh, ... Mỗi phương pháp đều có ưu nhược
điểm riêng. Trong luận văn này, chúng tôi nghiên cứu tính ổn định hệ
tuyến tính không ôtônôm và ứng dụng trong điều khiển theo phương pháp
thứ hai: phương pháp hàm Lyapunov.
Luận văn được chia thành hai chương:
Chương 1. Cơ sở toán học. Chương này trình bày một số kiến thức
cơ sở chuẩn bị cho nội dung chính của luận văn. Cụ thể là trình bày những
2


MỞ ĐẦU

khái niệm cơ bản về hệ phương trình vi phân, bài toán ổn định, phương
pháp hàm Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định của các hệ phương trình
vi phân.
Chương 2. Tính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến
tính. Chương này trình bày một số kết quả về tính ổn định của hệ phương
trình vi phân. Nội dung chính của chương này là trình bày các điều kiện
cần và đủ tính ổn định của hệ tuyến tính không ôtônôm. Để chứng minh,
chúng tôi đã sử dụng phương pháp hàm Lyapunov và các kĩ thuật đánh
giá bất đẳng thức ma trận tuyến tính. Ngoài ra, chúng tôi còn trình bày
ứng dụng của hệ không ôtônôm trong bài toán ổn định hóa hệ điều khiển.
Đóng góp chính của chúng tôi trong luận văn là trình bày một cách hệ
thống bài toán ổn định, ổn định hóa hệ tuyến tính không ôtônôm với các
ví dụ minh họa mới.

3

Tập hợp các số thực không âm.
n×r
R
Không gian các ma trận n × r chiều.
T
A
Ma trận chuyển vị của ma trận A.
I
Ma trận đơn vị.
λ(A)
Tập tất cả các giá trị riêng của A.
λmax (A)
max {Reλ, λ ∈ λ(A)}.
A≥0
Ma trận A xác định không âm.
A>0
Ma trận A xác định dương.
+
BM (0, ∞)
Tập các hàm ma trận đối xứng, xác định không âm và
bị chặn trên (0, ∞)
C([a, b], Rn )
Tập tất cả các hàm liên tục trên [a, b] và nhận giá trị
n
trên R
A
Chuẩn phổ của ma trận A, A = λmax (AT A).
BC([0, ∞), Rn×m ) Tập tất cả các ma trận hàm cấp n × m, liên tục và
bị chặn trên [0, ∞).
BC + ([0, ∞), Rn×m ) Tập tất cả các ma trận hàm đối xứng, xác định


x(t)
˙
= f (x),

t ≥ 0,

trong đó x ∈ Rn ; f (.) : Rn → Rn . Hay nói cách khác, hệ phương trình vi
phân ôtônôm là hệ phương trình vi phân mà vế phải không phụ thuộc vào
biến thời gian t. Ngược lại, hệ phương trình vi phân không ôtônôm là hệ
phương trình vi phân mà vế phải phụ thuộc vào biến thời gian t, tức là
phương trình của nó có dạng

x(t)
˙
= f (t, x(t)),
6

t ≥ 0,

(1.1)


Chương 1. CƠ SỞ TOÁN HỌC

với x ∈ Rn ; f (.) : [0, +∞) × Rn → Rn .

1.1.2

Các định lý tồn tại và duy nhất nghiệm

f (t, x) ≤ M1 + M0 x ,

∀t ∈ R+ , x ∈ Rn ,

f (t, x) − f (t, y) ≤ M2 x − y ,

∀t ∈ R+ , x ∈ Rn .

Khi đó, với bất kì điểm x0 ∈ Rn , t0 ∈ R+ , tồn tại duy nhất một nghiệm
x(t) của bài toán Cauchy của phương trình (1.2) trên toàn khoảng R+ .

1.2
1.2.1

Tính ổn định hệ phương trình vi phân
Bài toán ổn định hệ phương trình vi phân

Xét hệ phương trình vi phân không ôtônôm

x(t)
˙
= f (t, x(t)),
7

t ≥ 0,

(1.3)


Chương 1. CƠ SỞ TOÁN HỌC

Định nghĩa 1.3. Nghiệm tầm thường x = 0 được gọi là ổn định mũ nếu
∃M > 0, α > 0 sao cho với mọi nghiệm x(t) của phương trình (1.1) thỏa
mãn:
x(t)
M x(t0 ) e−α(t−t0 ) , ∀t ≥ t0 .
Ta quy ước thay vì nói nghiệm tầm thường của hệ (1.1) là ổn định ( ổn
định tiệm cận, ổn định mũ ) ta nói rằng hệ (1.1) là ổn định ( ổn định tiệm
cận, ổn định mũ ).
Ví dụ 1.1. Xét hệ phương trình vi phân sau trong Rn

x(t)
˙
= αx(t),
8

t ≥ 0.


Chương 1. CƠ SỞ TOÁN HỌC

Nghiệm x(t), với x(t0 ) = x0 cho bởi công thức

x(t) = x0 eαt ,

t ≥ 0.

Khi đó hệ ổn định (tiệm cận, mũ) nếu α < 0. Nếu α = 0 thì hệ là ổn định.

Ví dụ 1.2. Xét phương trình vi phân



t→∞

t0

Để giải bài toán ổn định các hệ phi tuyến, Lyapunov đã đưa ra hai
phương pháp:
- Phương pháp thứ nhất: Nội dung chính của phương pháp này là nghiên
cứu tính ổn định thông qua số mũ Lyapunov hoặc thông thường hơn là
dựa vào hệ xấp xỉ tuyến tính. Nếu vế phải đủ tốt thì tính ổn định sẽ được
rút ra từ tính ổn định của xấp xỉ tuyến tính.
- Phương pháp thứ hai: Phương pháp hàm Lyapunov, phương pháp này
được xem là cách tiếp cận chính khi nghiên cứu về tính ổn định. Nội dung
của phương pháp này là dựa vào sự tồn tại của một lớp hàm toàn phương
đặc biệt (gọi là hàm Lyapunov) mà tính ổn định của hệ đã cho được kiểm
tra trực tiếp qua dấu của đạo hàm (dọc theo quỹ đạo đang xét) của hàm
Lyapunov tương ứng. Hiện nay chưa có một thuật toán tổng quát để tìm
được hàm Lyapunov cho tất cả các phương trình. Sau đây chúng tôi xin
trình bày những kết quả chính của phương pháp này.
9


Tài liệu tham khảo
[1] Nguyễn Thế Hoàn và Phạm Phu, Cơ sở phương trình vi phân và lý
thuyết ổn định, NXB Giáo Dục, 2000 .
[2] Vũ Ngọc Phát , Nhập môn lý thuyết điều khiển toán học , NXB Đại
học Quốc gia Hà Nội, 2001.
[3] A. Bensoussan et al, Representation and Control of Infinite- Dimensional System , Vol. II, Birkhauser, Boston, 1993.
[4] P. Finsler, Uber das Vokommen definiter und semidefiniter Formen
in Scharen quadratischer Formen, Comment. Math. Helv. 9 (1973),