MỘT SỐ BÀI TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG
THẲNG VỚI CÁC YẾU TỐ TRONG TAM GIÁC
ĐẶT VẤN ĐỀ
I. Lý do chọn đề tài
Bài toán về viết phương trình đường thẳng trong hình học phẳng là một
trong những bài toán rất quan trọng, trong đó bài toán viết phương trình các
đường trong tam giác khi biết các yếu tố liên quan là bài toán cơ bản rất hay ra
trong các sách nâng cao, đề thi chuyên đề, đề thi đại học, cao đẳng. Trong các
sách tham khảo hiện nay có một số bài toán đơn lẻ về các đường trong tam giác
mà chưa hệ thống thành phương pháp chung để giải các dạng bài tập này. Chính
vì vậy bài viết này của tôi nhằm mục đích tổng hợp một số dạng toán liên quan
đến hai đường trong tam giác, đưa ra phương pháp giải cho mỗi dạng toán cụ thể
qua đó giúp thầy và trò hệ thống, củng cố kiến thức, có cái nhìn thấu đáo về tính
chất của các đường trong tam giác, vận dụng làm được các bài toán liên quan
đến các đường trong tam giác. Từ đó trang bị kiến thức để làm được các bài tập
về phương trình đường thẳng có liên quan đến các đường trong tam giác. Bài
viết giới thiệu một số bài toán viết phương trình các cạnh của tam giác khi biết
một đỉnh và hai đường trong tam giác không chứa đỉnh đó.
II. Mục đích nghiên cứu
Chia sẻ với đồng nghiệp và các em học sinh kiến thức, kinh nghiệm để làm
được các bài tập về viết phương trình đường thẳng trong tam giác.
Bản thân nhằm rèn luyện chuyên môn và nâng cao nghiệp vụ sư phạm.
III. Phạm vi và đối tượng nghiên cứu
Đề tài áp dụng cho tất cả giáo viên dạy toán ở phổ thông tham khảo và các
em học sinh lớp 10, lớp 12 ôn thi đại học.
Phạm vi nghiên cứu bao gồm:
Đường cao, đường trung tuyến, đường phân giác trong tam giác
IV. Điểm mới trong kết quả nghiên cứu


Các vấn đề sử dụng tính chất các đường cao, đường phân giác, đường trung

Điểm A ( x0 ; y0 ) ∉ ( d1 ) , ( d 2 )

d2

B

Viết phương trình cạnh AC, AB
ur

Ta có ( d1 ) ⊥ AB ⇒ n1 ( A 1 ; B1 ) là 1 VTCP của AB

C


ur

x = x + At

0
1
Suy ra phương trình cạnh AB đi qua A với VTCP n1 ( A1 ; B1 ) là:  y = y + B t
0
1


Tương tự ta viết được phương trình cạnh AC.
Viết phương trình cạnh BC :
Xác định tọa độ đỉnh B (là giao của AB và ( d 2 ) ), tọa độ đỉnh C (là giao của AC
và ( d1 ) )
uuur

3 x − 5 y − 13 = 0
 x =1
⇔
⇒ C ( 1; −2 )
3 x + 8 y + 13 = 0
 y = −2

Tọa độ C là nghiệm của hệ 

Vậy phương trình cạnh AC là: 5 x + 2 y − 1 = 0 .
Chú ý: Khi bài toán không cho tọa độ 1 đình mà cho pt 3 đường cao và yếu
tố bán kính đường tròn ngoại tiếp có thể giải quyết bài toán bằng cách sau:
cùng với tính chất vuông góc của đường cao ta sử dụng tính chất đường Ơ-le:
[HSG 10-2013 Vĩnh Phúc] Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có
phương trình các đường cao kẻ từ đỉnh A, B, C lần lượt là x − 2 y = 0 , x − 2 = 0 ,


x + y − 3 = 0 . Tìm tọa độ các đỉnh, biết bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC bẳng 10 và đỉnh A có hoành độ âm.

Phân tích: - Tìm trực tâm của tam
giác ABC
- Tham số hóa tọa độ các điểm
A, B, C.
- Khai thác yếu tố vuông góc của
đường cao, AH ⊥ BC và BH ⊥ AC
- Khai thác tính chất đường
uuur
uuur
đường thẳng Ơ – Le, OH = 3OG

Vì A, B, C lần lượt thuộc 3 đường cao nên A ( 2a; a ) , B ( 2; b ) , C ( c;3 − c )
uuur
uuur
uuur
uuur
Từ đó: AH ( 2 − 2a;1 − a ) , BC ( c − 2;3 − b − c ) , BH ( 0;1 − b ) , AC ( c − 2a;3 − a − c )
uuur uuur
 AH .BC = 0
( 1 − a ) ( c − b − 1) = 0
⇔
Vì H là trực tâm tam giác ABC nên  uuur uuur
( 1 − b ) ( 3 − a − c ) = 0
 BH . AC = 0
c − b − 1 = 0
Vì A, B không trùng với H nên hệ tương đương với 
a + c − 3 = 0
2a + c + 2 a + b − c + 3 
;
÷
3
3


uuur
uuur
 2a + c a + b − c + 2 
;
Ta chứng minh được OG = 3OH nên O 
÷.
2


KL: A ( −2; − 1) , B ( 2;3) , C ( 4; − 1)
Dạng 2: Cho tam giác ABC biết tọa độ 1 đỉnh và phương trình 2 đường trung
tuyến không đi qua đỉnh đó. Hãy lập phương trình các cạnh của tam giác ABC.
Phương pháp chung :


A
N

M

B

C

Giả sử tam giác có 2 trung tuyến:

( d1 ) : A1 x + B1 y + C1 = 0 qua B, ( d 2 ) : A2 x + B2 y + C2 = 0 qua C .
Điểm A ( x0 ; y0 ) ∉ ( d1 ) , ( d 2 ) .
Bước 1: Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC. Tham số hóa tọa độ của
M, N thep pt 2 đường trung tuyến.
Bước 2: Do M là trung điểm AB suy ra tọa độ B theo M, mà B thuộc d 2 từ đó
suy ra tọa độ B. Tương tự N là trung điểm AC suy ra tọa độ C theo N, mà N
thuộc d1 từ đó suy ra tọa độ C.
Bước 3: Viết pt các cạnh AB, AC, BC.
Ví dụ2: Cho tam giác ABC có A(1; 3), hai đường trung tuyến có phương trình:

( d1 ) : x − 2 y + 1 = 0 , ( d 2 ) : y − 1 = 0 . Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC.
Giải:

D
I
C

B
K

H

·
·
+ Ta có HCI
(Tính chất đối xứng)
= CIA
·
·
·
·
Mà BCI
(Tính chất phân giác) Suy ra HCI
= CIA
= BCI
⇒ H ∈ BC .

Tương tự K ∈ BC .
Theo bài toán tìm điểm đối xứng qua đường thẳng suy ra tọa độ H, K từ đó
suy ra pt cạnh BC đi qua H, K.
- Xác định tọa độ B là giao của BC và BD, C là giao của BC và CE
Từ đó suy ra phương trình các cạnh AB, AC.
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có A(2; -1), hai đường phân giác trong:

x − 2 y +1 = 0


( t ∈¡ )

x = 1

⇔  y = 1 ⇒ J ( 1;1) ,
t =1


Do J là trung điểm của AA2 nên ta có A2 ( 0;3) .
Tương tự trên ta xác định được tọa độ I ( 0; −3) ⇒ A1 ( −2; −5) .
Vậy phương trình cạnh BC qua A1 , A2 : 4x-y+3=0.
- Lập phương trình cạnh AB, AC :
5

 x = − 7
4 x − y + 3 = 0
 5 1
⇔
⇒ B− ; ÷
+ Ta có tọa độ B là nghiệm của hệ: 
 7 7
 x − 2 y +1 = 0
 y=1

7

Suy ra phương trình cạnh AB: 8 x + 19 y + 3 = 0 .


Ta có n1 ( A1 ; B1 ) là VTPT của
ur
BH mà BH ⊥ AC ⇒ n1 là VTCP

H

B

của AC, từ đó suy ra phương
trình cạnh AC.
- Lập phương trình cạnh BC, AB:
+ Gọi M là trung điểm AB, tham số hóa tọa độ M theo pt (CM),

C


+ Có M là trung điểm AB ta suy ra tọa độ điểm B theo M, lại có B thuộc
(BH) suy ra tọa độ điểm B suy ra phương trình cạnh AB
+ Xác định tọa độ C:
 pt (CM )
⇒ C ( xC ; yC ) suy ra pt cạnh AC.
 pt ( AC )

Tọa độ C là nghiệm của hệ pt 

Ví dụ 4: Cho tam giác ABC có C ( 3;5 ) , đường cao BH, trung tuyến AM có
phương trình: ( BH ) : 5 x + 4 y − 1 = 0, ( AM ) : 8 x + y − 7 = 0 . Lập phương trình các
cạnh tam giác ABC.
Giải:

1

t = −
2


Suy ra phương trình cạnh AB: 4 x + 149 y − 445 = 0 .
Nhận xét : Với những kiến thức của dạng toán trên ta có thể giải được
bài toán sau :
[KA-2010] Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC cân tại A ( 6;6 ) , đường
thẳng qua trung điểm 2 cạnh AB, AC có phương trình d : x + y − 4 = 0 . Tìm tọa độ
các đỉnh B, C, biết điểm E ( 1; − 3) thuộc đường cao kẻ từ đỉnh C.


Phân tích:
- Đường thẳng d song song với
cạnh đáy BC.
- Đường thẳng d vuông góc và cắt
đường cao AH tại trung điểm của
nó nên ta viết được phương trình
AH, tìm được tọa độ I và H, viết
được phương trình BC.
- Do H là trung điểm BC nên chỉ
cần tham số hóa B thì có được
tọa độ C. Từ đó khai thác tính
chất điểm E ( 1; − 3) nằm trên
đường cao ta tìm được tham số và
kết luận.

A

b = 0 ⇒ B ( 0; −4 ) ; C ( −4;0 )
⇔
b = −6 ⇒ B ( −6; 2 ) ; C ( 2; −6 )
Kl: Vậy B ( 0; −4 ) ; C ( −4;0 ) hoặc B ( −6; 2 ) ; C ( 2; −6 ) .

Dạng 5: Cho tam giác ABC có A ( x0 ; y0 ) , đường cao ( BH ) : A1 x + B1 y + C1 = 0 ,
đường phân giác ( CD ) : A2 x + B2 y + C2 = 0 . Lập phương trình các cạnh của tam
giác ABC.
Phương pháp chung:

A

- Lập phương trình cạnh AC:
ur
BH mà BH ⊥ AC ⇒ n1 là VTCP

của AC, từ đó suy ra phương trình cạnh AC.

H

D

ur
Ta có n1 ( A1 ; B1 ) là VTPT của

I
B
E

C

)
(
 x + x ' = 2x

x

A
I
Do I là trung điểm AA ' nên ta có:  y + yA = 2 y ⇒  yA
I
 A
A
 A
'

'
'

( AC )

+ Tọa độ của C là nghiệm của hệ phương trình  CD ⇒ C
)
(
Suy ra phương trình cạnh BC đi qua C và E.
- Lập phương trình cạnh AB:
 ( BC )

Tọa độ B là nghiệm của hệ  BH ⇒ B
)
(

Do AA ' vuông góc với CD nên có n2 ( 1;1) là VTCP của AA '
x = 2 + t

( t ∈¡ ) .
suy ra phương trình của AA ' : 
y = 2+t
+ Gọi I là giao điểm của AA ' và CD suy ra tọa độ I thỏa mãn hệ :
 x = 2+t
 x =1


 y = 2 + t ⇔  y = 1 ⇒ I ( 1;1)
x + y − 2 = 0
t = −1


 x + x ' = 2x

x ' = 0

A
I
'
A
A
+ Do I là trung điểm của AA ' nên ta có:  y + y = 2 y ⇔  y = 0 ⇒ A ( 0;0 )
I
 A
A
 A

+ Tọa độ B là nghiệm của hệ 
9 3
9 x − 3 y − 4 = 0
y = − 2

3

Suy ra phương trình cạnh AB: 3x − 2 y − 2 = 0.
Nhận xét: Với kiến thức trên ta có thể giải quyết được bài toán sau:
[Khối B-2008]. Trong mặt phẳng Oxy, xác định các đỉnh của tam giác ABC
biết hình chiếu vuông góc của đỉnh C lên AB là điểm H(-1; -1), đường phân
giác trong của góc A có pt: x-y+2=0, đường cao kẻ từ B có pt: 4x+3y-1=0.
Phân tích đề - Khai thác tính đối xứng của đường phân giác tìm tọa độ điểm
K đối xứng với H qua đường phân giác.
-Khai thác tính chất vuông góc của đường cao viết phương trình
AC, suy ra tọa độ A và phương trình HC ⇒ tọa độ C = HC ∩ AC .
Hướng dẫn:


Gọi K là điểm đối xứng với H qua
phân giác góc A ⇒ HK : x + y + 2 = 0
Gọi M là giao của HK và phân giác
góc A ⇒ M (−2;0) ⇒ K (−3;1) .
Đường AC qua K và vuông góc với
đường cao kẻ từ B, suy ra:

A

K



E

- Lập phương trình cạnh AC:
Ta có M ∈ BM ⇒ A1 xM + B1 yM + C1 = 0
Có C ∈ CD ⇒ A2 xC + B2 yC + C 2 = 0

(1)
(2)

 x + x = 2x

 x = 2x − x

A
C
M
C
M
0
Mà M là trung điểm AC ta có  y + y = 2 y ⇒  y = 2 y − y (3)
C
M
M
0
 A
 C

Thế (3) vào (2) ta có : A2 ( 2 xM − x0 ) + B2 ( 2 yM − y0 ) + C2 = 0 (4)
 xM = a

2


 x = x0 + A2t

Gọi I = AE ∩ CD , tọa độ I thỏa mãn hệ  y = y0 + B2t ⇒ I ( xI ; yI )
A x + B y + C = 0
2
2
 2
 x + x ' = 2x

A
I
'
A
Do I là trung điểm của AE nên ta có:  y + y = 2 y ⇒ A ( m; n ) .
I
 A
A
'

 A3 x + B3 y + C3 = 0

⇒C
Tọa độ C là nghiệm của hệ 
 A2 x + B2 y + C2 = 0

Từ đó ta viết được phương trình cạnh BC (qua C và E).
- Lập phương trình cạnh AB:

2
y
y
=
2
y
 A
B
M
 A
M −2

Thế (3) vào (2) ta được xM − yM − 1 = 0 (4).
x + 4 y + 9 = 0

 x = −1

M
M
⇔ M
Từ (1), (4) ta có: 
x
−
y
−
1
=
0
 M M
 yM = −2

 x = 1+ t
x = 3


 y = 2 − t ⇔  y = 0 ⇒ I ( 3;0 )
x − y − 3 = 0
t = 2


 x ' + x = 2x

 x ' = 2x −1 = 5

B
I
I
'
Mà I là trung điểm BB ' nên ta có:  y B + y = 2 y ⇒  y B = 2 y − 2 = −2 ⇒ B ( 5; −2 )
B
I
I
 B
 B
'

'

x − y − 3 = 0
 x = −3
⇔

Hướng dẫn
A

M
G
B'
H
C

B
D

uuuu
r

uuu
r

Gọi M là trung điểm của AC, G là trọng tâm tam giác ABC ⇒ 2GM = −GB ⇒
7 
M  ;1÷
2 


Gọi B’ là điểm đối xứng của B qua đường thẳng d → phương trình đường thẳng
BB’: 1( x + 4 ) + 1( y − 1) = 0 ⇔ x + y + 3 = 0 .
Gọi H là giao điểm của BB’ và d. Suy ra tọa độ của H là nghiệm của
x − y −1 = 0
 x = −1
⇔


và phương trình đường cao

( AH ) : 3x − y − 7 = 0 , phân giác ( AD ) : x − y + 1 = 0 . Lập phương trình các cạnh
của tam giác ABC.
5. Cho tam giác ABC có A ( 3;1) và phương trình phân giác ( BD ) : x + y − 2 = 0 ,
trung tuyến ( CM ) : −4 x + y + 7 = 0 . Lập phương trình các cạnh của tam giác
ABC.
6. Cho tam giác ABC có A ( 4;6 ) và phương trình đường trung tuyến

( CK ) : 6 x − 13 y + 29 = 0 , đường cao ( BM ) : −3x + 19 y − 52 = 0 . Lập phương
trình các cạnh của tam giác ABC.
7. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có đường cao

( AH ) : 3x + 4 y + 10 = 0 , phân giác trong ( BE ) : x − y + 1 = 0 . Điểm
thuộc đường thẳng AB và cách C một khoảng bằng

M ( 0; 2 )

2 . Tính diện tích

tam giác ABC.
8. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có A ( 1; 2 ) , đường cao và đường
trung tuyến đỉnh B lần lượt có phương trình: 2 x + y − 5 = 0 và y − 1 = 0 . Tính
bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
9. Trong mặt phẳng Oxy, hãy xác định tọa độ đỉnh C của tam giác ABC biết
rằng hình chiếu vuông góc của C trên AB là điểm H ( −1; −1) , đường phân
giác trong của góc A có phương trình x − y + 2 = 0 và đường cao kẻ từ B có
phương trình 4 x + 3 y − 1 = 0 . (Đề TSĐH KB-2008)


42

Số HS đạt yêu cầu
29
30

Đạt tỷ lệ %
72,5
71,4

Tuy kết quả chưa thật như mong đợi, nhưng tôi mong muốn học trò của mình
sẽ bớt lúng túng, khó khăn và sợ khi gặp bài gặp bài toán hình học phẳng, đặc biệt
là các bài toán liên quan đến các đường trong tam giác.
II. Kết luận
17


Khi dạy học sinh về phần đường thẳng và các bài toán liên quan đến các
đường trong tam giác, việc giúp học sinh nắm vững tính chất các đường trong
tam giác, hệ thống các dạng bài tập có ý nghĩa rất lớn giúp các em giải quyết các
bài toán dạng này một cách dễ dàng hơn. Khi chưa được hệ thống các dạng bài
tập liên quan đến các đường trong tam giác thì phần lớn học sinh có cảm giác
sợ học hình học phẳng, chưa định hình được cách giải các bài toán có liên quan.
Qua quá trình giảng dạy tôi nhận thấy rằng có khá nhiều học sinh còn
hổng các kiến thức về tính chất các đường trong tam giác ở cấp II, một số tính
toán khá chậm và thiếu chính xác dẫn đến viêc tiếp thu kiến thức và vận dụng
làm các bài tập tương tự còn hạn chế.
Cũng qua thực tế giảng dạy tôi thấy việc đưa vào giảng dạy các dạng toán
trên một cách hệ thống đã giúp các em thấy yêu thích học hình hơn đặc biệt là
các bài toán hình học phẳng liên quan đến các đường trong tam giác. Giúp các


1

III. Phạm vi và đối tượng nghiên cứu ………………………

1

IV. Điểm mới trong kết quả nghiên cứu………………………

1

B. PHẦN NỘI DUNG ………………..…..………………………..

2

I. Cơ sở lý luận …………………………………………………

2

II. Cơ sở thực tiễn………….……………………………………

2

III. Nội dung nghiên cứu
1. Dạng 1……………………………………………………

2

2. Dạng 2……………………………….……………………



IV. Tài liệu tham khảo ………………………………………...

19

20