Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Nguy n Bá Tu n)

PP

Nguyên hàm – tích phân

A VÀO D U VI PHÂN + PP TÍCH PHÂN T NG PH N
ÁP ÁN BÀI T P T LUY N
Giáo viên: NGUY N BÁ TU N

Các bài t p trong tài li u này đ

c biên so n kèm theo bài gi ng PP đ a vào d u vi phân + tích phân t ng ph n thu c

khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Nguy n Bá Tu n – Phan Huy Kh i – Tr n Ph
s d ng hi u qu , B n c n h c tr

website Hocmai.vn.

ng) t i

c Bài gi ng sau đó làm đ y đ các bài t p trong tài li u này.

a vào d u vi phân
2

Bài 1.

2


4

2
 x x  9dx    x  9 d
0

1

0

 13 



x2  9 

x2  9



34
0



2
3

4
1




3

3

  t anx-cotx  dx   











Bài 5.

 

1

1  x2   1  x2

2

0






sin 2 x



  ln sin 2 x 3 0


6

6

1
d  e x  e x 
e2  1
e x  e x
x
x 1
e
e




ln
ln

ex  1

e

x

x

e 1
x

0

 ln e x  1

   2 e 

1

x

x

4

1

ln 2
0





d  e x  1

dx   2d e

e

Bài 10.

4

ln 2




cosx
cosx
cosx
 e s inxdx =- e d  cosx     e  2  e  1
2

2

0

0




1  ln
dx
1
dx
x
ln
1
e
dx


0 1 e x
0 1  ex
0  1  ex 
0
0
1 e
1

Bài 12.

Tích phân t ng ph n
D ng 1:

 P  x e dx  P  x e   e dP  x

Bài 1.


1

0

0

1

Bài 2. I   x3e x dx
2

0

1

Ta có I   x3e x dx 
2

0

1

1

1 2 x2
1
x e d ( x2 )   tet dt (1)

20
20


1

2

1
1
Ta có I   (2 x)2  2 x  1e2 xd (2 x)   (t 2  t  1)et dt (1)
20
20

t u  t 2  t  1  du  (2t  1)dt ; dv  et dt  v   et dt  et
2

V y  (t  t  1)e dt  (t  t  1)e
2

t

2

0

t

2
0

2



ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Nguy n Bá Tu n)

Nguyên hàm – tích phân

2

Thay (3) vào (2) và có  (t 2  t  1)et dt  2 (4)
0

Thay (4) vào (1) và có I = -1
1

Bài 4. I =  (4 x2  2 x  1).e2 xdx .
0

(8 x  2)dx  du
2

4 x  2 x  1  u 
t  2 x


1
1
1 2 x
3 1
.(4
1)
2
e
x


e2 xdx = 2  .
I=

0 0
2
2e 2

1 1 3 1 2
1 1
  J = 2   2   2 1
2
2e 2 2e 2 2e
2e 2

V yI=


Bài 5. I1   e x . sin xdx
0


x

0

0

0

Th vào (1) ta đ

c : 2 I 1  e  1  I 1 

e  1
.
2


2

Bài 6. I   e3 x sin 5 xdx
0

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 3 -





1 3x
3 2 3x
1 32 3
V y I   e cos5 xdx  e sin 5 x 2   e sin 5 xdx  e  I (2)
5
50
5
5
0
0
2

3x

1 3  1 32 3 
Thay (2) vào (1) ta có I    e  I 
5 55
5 
3

34
1 3 3
5 3 3 5  3e 2
 I   e2 I   e2 
25
5 25


2
2
2 
2




x

x

x

x

x

x
(1
)
(1
)
1
(1
)
1
(1
)

1 x 1
e
ex
1 x
1 
dx
.e 
.e dx 
J=
1  x 0 0 1  x
2
1 x
0
1

I=

1

1
 e
 e
ex
ex
1
dx
dx




0
0
0
2

Hocmai.vn – Ngôi tr

x

2

x

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 4 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Nguy n Bá Tu n)

Nguyên hàm – tích phân



ex
0 1  cosxdx .
2

2 dx
J = e x .tan 2   e x .tan dx  e 2   e x .

x
x
2
2
2
0
0
cos
2cos
0 0
2
2







2

sin

2




0
2

x

2

1  sin x
u

t 1  cosx
e x dx  dv


Cách khác:

D NG 2:

 P  x sin xdx;  P  x cosxdx

2

Bài 1.

I   x 2 .cos xdx
0

u  x2  du  2 xdx
t: 
dv  cos xdx  v  sin x

1

0




2

V y:

2

u  x  du  dx
t: 
dv  sin xdx  v   cos x

2





2



2




Nguyên hàm – tích phân

u  x  du  dx

t: 
1
dv 
dx  v  tan x

cos 2 x


x
I
dx
cos 2 x
0




4

2
x


4  tan xdx 
4 

4

Bài 2. I   xcos 2 xdx
0




du  dx

14
x
u  x

t 

 I1  sin 2 x 4   sin 2 xdx
1
v  cos 2 xdx v  sin 2 x
2
20

 
0

2





xc
c
x
sin
2
os2x
os2xdx=
sin
2




t:
4
1
0 


 dv  sin 2 xdx  v   cos2x
2
2
4
4
0
0 0
2

2


2

2

2

2

2


2 
 2  2  s inx
  2  2  0  4
0

2

Bài 5. I 

4



xcos x dx

0

t : t  x  dt 


2


2

2



2

sin  J 
xcos x dx   2t 2costdt=  2t 2 d  sin t   2t 2 sin t 2   4t sin tdt 
 J (1)
2
2
2
0
0
0
0

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 6 -









2

2
4

V y thay vào (1) ta có :



xcos x dx 

0

D NG 3:

2
2

4

 P  x lnxdx
e



I   x2 ln 2 xdx
1

2ln xdx
x3
2
2
t u  ln x  du 
; dv  x dx  v   x dx 
3
x
2

e
e 2e
1
1
2
V y I  x3 ln 2 x   ln x.x2 dx  e3   x2 ln xdx (1)
1 31
3
3
31

t u  ln x  du 

dx
x3
; dv  x2 dx  v   x2 dx 

1
I  e3   e3    e3  e 3 

e 

(5e3  2)
3
39
9 3
27
27 27
27 27
e

Bài 3.

x

3

ln 2 xdx

1

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12


du
'
ln
'

e 1e
e4 1 1 e e4 1
1
3e4  1
x
t: 
 J  x4 ln x   x3dx   . x4    e 4  1 
1 41
4
4 4 4 1 4 16
16
 dv '  x3dx  v '  1 x4

4

Thay các k t qu vào (1) ta có : I 

e4 1  3e4  1  e4  1
 

4 2  16 
32

e


2

x
x
e

Bài 5.

I   cos  ln x  dx
1

1

u  cosln x  du   sin ln xdx
t: 
x

dv  dx  v  x
e

e





V y : I 3   cosln xdx  x. cosln x1   sin ln xdx   e  1  J
e

1


Bài 6.

I   x.ln  x2  x  1 dx
0

1 1 1 x2  2 x  1
1 31
1 2
1
1 2
dx
2
0 x.ln  x  x  1 dx  2 x .ln  x  x  1 0  2 0 x2  x  1 dx  2 ln 3  2  x  x 0  4 0 x2  x  1
1

2

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 8 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Nguy n Bá Tu n)
1

 3
3
 3
  
. V y : I  ln 3 
.

tan t , t   ;   J 
dt 

2 2
3 
9
4
12
6 3

t : x

6

e 1

I

Bài 7.


0





 x  1  1.ln( x  1) dx  e1 ln( x  1)  ln( x  1)  dx

 

x 1

0

0

x  1 

ln( x  1)
dx  I1  I 2
x 1

 1
dx  du
ln( x  1)  u 
t 
  x 1
dx  dv

v  x

Tính I1 :


0

x  1 1
dx  e  1 
x 1

e 1



1 

 1  x  1  dx
0

1.

e 1

Tính I2 : I2 =

e 1

ln 2 ( x  1) e  1 1
 .
0
2
2

1 1

1 2 e 1

1 x 1 ln xd (ln x)  2 ln x 1  2 (2)

t u  ln x  du 

Hocmai.vn – Ngôi tr

dx
x2
; dv  xdx  v   xdx 
2
x

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 9 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Nguy n Bá Tu n)

Nguyên hàm – tích phân

e

e 1e
1 2


1  sin 2 x

2

dx







1
14
1
 1

dx
x
dx
.
.



4


0 1  sin 2 x2


 1 2
1 1
2 

  .
tan  x   4    .
 0  1   .
16 2 2
4
16 2 2
4 16

0

Giáo viên: Nguy n Bá Tu n
Ngu n

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

:

Hocmai.vn

- Trang | 10 -