LỜI CẢM ƠN
Trước hết, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cô giáo Nguyễn Hải Lý,
giảng viên khoa Toán - Lý - Tin trường đại học Tây Bắc đã tận tình hướng dẫn, chỉ
bảo và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành khóa
luận tốt nghiệp. Tôi xin chân thành gửi lời cảm ơn tới phòng KHCN và QHQT, các
thầy cô trong khoa Toán - Lý - Tin đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi trong quá trình thực
hiện khóa luận tốt nghiệp.
Đồng thời tôi xin cảm ơn các bạn sinh viên lớp K52 ĐHSP Toán - Ly đã động
viên, đóng góp ý kiến và đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ tôi trong suốt thời gian tôi
làm khóa luận này.
Vì thời gian có hạn, khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót. Tôi rất mong
nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy cô giáo và các bạn để khóa luận
được hoàn thiện hơn.
Xin chân thành cảm ơn!
Sơn La, tháng 05 năm 2014
Người thực hiện
Phạm Thị Thu Phƣơng


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ................................................................................................................... 1
1. Lí do chọn khóa luận .............................................................................................. 1
2. Mục đích, nhiệm vụ của khóa luận. ...................................................................... 2
2.1. Mục đích nghiên cứu ........................................................................................... 2
2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu .......................................................................................... 2
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu. ......................................................................... 2
4. Phương pháp nghiên cứu ........................................................................................ 2
4.1. Phương pháp nghiên cứu lí luận.......................................................................... 2
4.2. Phương pháp điều tra quan sát ............................................................................ 2
4.3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm .................................................................... 2
5. Cấu trúc của khóa luận ........................................................................................... 3


MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn khóa luận
Trong chương trình đại số lớp 8, lớp9 dạng toán: “Giải bài toán bằng cách
lậpphướng trình và hệ phương trình” là dạng toán tương đối khó đối với học sinh.
Đặc trưng của dạng toán này là đề bài cho dưới dạng lời văn và có sự đan xen của
nhiều loại ngôn ngữ khác nhau như ngôn ngữ thông thường, ngôn ngữ toán học,
ngôn ngữ vật lí, ngôn ngữ hóa học…
Trong nhiều bài toán lại có nhiều dữ kiện ràng buộc lẫn nhau, ẩn ý dưới dạng lời
văn buộc học sinh phải có suy luận tốt mới tìm được mối liên hệ giữa các đại lượng
để dẫn đến lập phương trình, rồi lập hệ phương trình
Mặt khác loại toán này các bài toán đều có nội dung gắn liền với thực tế. Chính vì
thế mà việc chọn ẩn thường là những số liệu có liên quan đến thực tế. Do đó khi
giải học sinh thường mắc sai lầm là thoát li với thực tế dẫn đến quên điều kiện của
ẩn, hặc không so sánh đối chiếu kết quả với điều kiện của ẩn hoặc học sinh không
khai thác tất cả các mối liên hệ ràng buộc của thực tế. Mặt khác kĩ năng phân tích
tổng hợp của học sinh trong quá trình giải bài tập còn yếu. Với những lí do đó mà
học sinh rất sợ và ngại loại toán này. Mặt khác cũng có thể do quá trình giảng dạy
giáo viên mới chỉ truyền thụ cho học sinh những kiến thức theo tinh thần của sách
giáo khoa mà chưa chú ý phân loại các dạng toán, chưa khái quát được cách giải
cho mỗi dạng. Chính vì thế giải bài toán bằng cách lập phương trình và hệ phương
trình chỉ đạt kết quả tốt khi biết cách diễn đạt những mối quan hệ trong bài thành
những mối quan hệ toán học. Vì vậy, nhằm góp phần giúp học sinh định hướng cụ
thể từng dạng toán cơ bản, tạo điều kiện giúp học sinh học tập có hiệu quả hơn, tự
tin hơn khi gặp một số bài toán giải bằng cách lập phương trình và hệ phương trình
nên tôi quyết định chọn đề tài “Hƣớng dẫn học sinh THCS giải bài toán bằng
cách lập phƣơng trình và hệ phƣơng trình”

1




5. Cấu trúc của khóa luận
Ngoài phần mở đầu, mục lục, danh mục tài liệu tham khảo và kết luận khóa
luận gồm 3 chương với những nội dung sau:
Chương 1. Cơ sở lí luận và thực tiễn
Chương 2. Hướng dẫn học sinh giải bài toán bằng cách lập phương trình và hệ
phương trình
Chương 3. Thực nghiệm sư phạm

3


CHƢƠNG 1: SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Quan niệm về bài toán
Ta có thể hiểu bài toán là một tình huống kích thích đòi hỏi một lời giải đáp
không có sẵn ở người giải tại thời điểm tình huống đó được đưa ra.
1.2. Vị trí chức năng của bài tập toán
Ở trường THCS, bài tập có vai trò quan trọng trong môn toán, dạy toán là dạy
hoạt động toán học. Điều căn bản là bài tập có vai trò giá mang hoạt động của học
sinh, các bài toán ở trường THCS là một phương tiênh rất có hiệu quả và không thể
thay thế được trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy và hình
thành kĩ năng, kĩ xảo, ứng dụng toán học vào thực tiến. Thông qua việc giải bài tập,
học sinh phải thực hiện những hoạt động nhất định, bao gồm cả nhân dạng và thể
hiện định nghĩa, định lí, quy tắc hay phương pháp, những hoạt động toán học phức
hợp, những hoạt động trí tuệ phổ biến trong toán học, những hoạt động trí tuệ
chung và những hoạt động ngôn ngữ. Hoạt động của học sinh liên hệ mật thiết với
mục tiêu, nội dung và phương pháp dạy học. Chính vì vậy mà vai trò của bài tập
toán học được thể hiện trên cả ba bình diện:
Thứ nhất: Trên bình diện mục tiêu dạy học, bài tập toán học ở trường THCS là

- Xây dựng, chọn lọc hệ thống bài tập bao gồm:
+ Bài tập tương tự với bài tập SGK dành cho học sinh trung bình
+ Bài tập tổng hợp nhằm ôn lại, hệ thống hóa các kiến thúc.
+ Bài tập mở có tính chất khái quát mà bài tập trong SGK là một trường hợp
riêng dành cho học sinh khá giỏi.
- Thực hiện các bước tìm lòi giải.
- Tiến hành tổ chức, hướng dãn học sinh giải bài tâp theo quy trình bốn bước
của G.Pôlya.
1.3. Phƣơng pháp chung tìm lời giải bài toán
Một số người có tham vọng muốn có một thuật giải tổng quát để giải mọi bài
toán. Điều đó là ảo tưởng. Ngay cả đối với những bài toán riêng biệt cũng có
5


trường hợp có, trường hợp không có thuật giải. Tuy nhiên, trang bị những hướng
dẫn chung, gợi ý cách suy nghĩ, tìm tòi, phát hiện cách giải bài toán lại là có thể và
cần thiết.
Dựa trên những tư tưởng tổng quát cùng với những gợi ý chi tiết của G.Pôlya
về cách giải bài toán đã được kiểm nghiệm trong thực tiễn dạy học, có thể nêu lên
phương pháp chung để giải bài toán gồm 4 bước như sau:
Bƣớc 1: Tìm hiểu nội dung đề bài
Trước hết, phải yêu cầu học sinh đọc kĩ đề toán để thấy được “toàn cảnh” của
bài toán, càng sáng sủa, rõ ràng càng hay, không vội đi vào chi tiết, nhất là các chi
tiết rắc rối. Cần “khoanh vùng” phạm vi của đề toán: Bài toán này thuộc vùng kiến
thức nào? Sẽ cần có những kiến thức, kĩ năng gì? Nếu giải được thì sẽ giải quyết
được vấn đề gì?
Sau đó, cần phân biệt cái đã cho và cái phải tìm, phải chứng minh; phát biểu
đề bài dưới những dạng hình thức khác nhau để hiểu nội dung bài toán; có thể dùng
công thức, hình vẽ, kí hiệu để hỗ trợ cho việc diễn tả đề bài.
Cần trình bày bài toán sao cho tự nhiên và gợi được hứng thú cho học sinh,

luận chặt chẽ, phải kiểm nghiệm lại từng chi tiết. Phải chú ý đến trình tự các chi
tiết, đến tính chính xác của từng chi tiết, đến mối liên hệ giữa các chi tiết trong từng
đoạn của lời giải và trong toàn bộ lời giải. Không có chi tiết nào “bỗng nhiên” xuất
hiện mà không căn cứ vào những kiến thức đã học những chi tiết mà ta đã trình bày
trước đó.
Trình tự các chi tiết mà ta đã sử dụng trong việc tìm tòi lời giải có thể rất khác
với trình tự đã sử dụng khi trình bày lời giải để sắp xếp các việc phải làm thành một
chương trình gồm các bước theo một trình tự thích hợp và thực hiện các bước đó và
lời giải phải được trình bày gọn gàng, mạch lạc, sáng sủa, dễ đọc.
Bƣớc 4: Kiểm tra, nghiên cứu sâu lời giải
Bao gồm một số việc như sau:
+ Kiểm tra lời giải bài toán cả về mặt định tính và mặt định lượng.
+ Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải.
7


+ Nghiên cứu những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề.
Kết luận: Phương pháp chung để giải bài tón không phải là thuật giải bài toán.
Một câu hỏi đặt ra là làm thế nào để học sinh hiểu được và vận dụng được phương
pháp chung để giải toán vào việc giải những bài toán cụ thể mà họ gặp trong
chương trình. Học phương pháp chung để giải toán là học những kinh nghiệm giải
toán mang tính tìm chất tìm tòi, phát hiện.
Nói chung, cách thức dạy học sinh phương pháp chung để giải bài toán như sau:
- Thông qua việc giải những bài toán cụ thể, cần nhấn mạnh để học sinh nắm
được phương pháp chung 4 bước và có ý thức vận dựng 4 bước này trong quá trình
giải toán.
- Cũng thông qua việc giải nhưngc bài toán cụ thể, cần đặt ra cho học sinh
những câu hỏi gợi ý đúng tình huống để học sinh dần dần biết sử dựng câu hỏi này
như những phương tiện kích thích suy nghĩ tìm tòi, dự đoán, phát hiện để thực hiện
từng bước của phương pháp chung giải toán. Những câu hỏi này lúc đầu do giáo

Đây là một yêu cầu về giáo dục tiếng mẹ đẻ đặt ra cho tất cả các bộ môn. Việc
dạy học cũng phải tuân thử yêu cầu này.
5i) Trình bày rõ rang, đảm bảo tính mĩ thuật
Yêu cầu này đặt ra với cả lời văn, chữ viết, hình vẽ, cách sắp xếp các yếu tố
(chữ, số, hình, kí hiệu…) trong lời văn.
6i) Tìm ra nhiều cách giải chọn cách giải ngắn gọn, hợp lí nhất trong số các
cách giải đã tìm được
Trong quá trình dạy học, cần khuyến khích học sinh tìm ra nhiều cách giải
trong một bài toán, hướng dẫn học sinh phân tích - tìm lời giải, so sánh để tìm ra lời
giải ngắn gọn, hợp lí nhất.
7i) Nghiên cứu những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề
Bốn yêu cầu từ i) đến 4i) là các yêu cầu cơ bản: 5i) là các yêu cầu về mặt trình
bày: 6i) 7i) là yêu cầu đề cao.

9


1.5. Phƣơng pháp giải bài toán bằng cách lập phƣơng trình và hệ
phƣơng trình.
Giải bài toán bằng cách lập phướng trình và hệ phương trình gồm các bước sau:
Bƣớc 1: Lập phương trình
+) Chọn ẩn và xác định điều kiện cho ẩn ta có hai cách chọn ẩn là chọn ẩn trực
tiếp và chọn ẩn gián tiếp (chú ý ghi rõ đơn vị của ẩn)
+) Biểu thị các số liện chưa biết qua ẩn
+) Tìm mối liên quan giữa các số liệu để lập phương trình (hệ phương trình)
Bƣớc 2: Giải phương trình (hệ phương trình)
Bƣớc 3: Chọn kết quả thích hợp và kết luận
Ở các bước trên thì bước 1 là quan trọng nhất vì có lập phương trình phù hợp
với đề bài thì mới có được kết quả của bài toán đưa ra.
Để có thể giải đúng, nhanh bài toán giải bài toán bằng cách lập phương trình

Trước đây 7 năm tuổi con là x  7
Trước đây 7 năm tuổi mẹ là 3x  7
Vì trước đây 7 năm tuổi mẹ bằng 5 lần tuổi con cộng thêm 4 nên ta có
phương trình:
3x  7  5  x  7   4
 3x  5 x  35  4  7
 2 x  24
 x  12

Vậy năm nay con 12 tuổi và mẹ 36 tuổi
Nghiên cứu sâu lời giải
Ngoài việc giải bài toán bằng cách lập phương trình ta có thể giải bài toán
bằng cách lập hệ phương trình như sau:
Gọi tuổi mẹ hiện nay là x điều kiện x  0, x  N
Gọi tuổi con hiện nay là y điều kiện y>0, y  N

11


Theo bài ra ta có:
- Bảy năm trước tuổi mẹ bằng 5 lần tuổi con cộng thêm 4 nên ta có phương
trình: x  7  5( y  7)  4 (1)
- Hiện nay tuổi mẹ gấp 3 lần tuổi con nên ta có phương trình: x  3 y (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
 x  7  5( y  7)  4
 x  5 y  24
 x  12





ST
T
1

2

3

4

Hệ đào tạo

Tuổi
nghề

Thạc
sĩ
Lê Mạnh

Dưới 10

Hùng

năm

Trần Quốc

Trên 10


+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

Nhận xét: Qua điều tra cho thấy đa số giáo viên trẻ tuổi mới bước vào nghề,
chưa có kinh nghiệm, chưa hình thành phương pháp và kĩ năng giải toán cho học
sinh.
Về trình độ đào tạo có 2 giáo viên đạt trình độ đại học và hai giáo viên đạt
trình độ cao đẳng.
Về chất lượng giảng dạy đa số giáo viên đạt chất lượng giảng dạy loại giỏi,
tuy số lượng còn ít và chưa nhiều giáo viên đạt danh hiệu các cấp nhưng đội ngũ
giáo viên luôn trau dồi kiến thức và nghiệp vụ sư phạm, nhiệt tình trong giảng dạy.


1

24

15

0

2

8B

19

26

20

5

18

25

0

3

9A


0

13


Nhận xét: Về phía học sinh, qua điều tra và quan sát tôi có một số nhận định
như sau: Đa số các em là người dân tộc, các em chưa có phương pháp học tập tốt.
Bên cạnh đó là hạn chế về tài liệu tham khảo, điều kiện học tập, đa số các em còn
phải vừa học vừa giúp đỡ gia đình. Các em chủ yếu là học sinh trung bình nên khả
năng làm một số bài toán có lời văn nhất là những bài toán có những dữ liệu phức
tạp còn nhiều hạn chế. Vì vậy việc chọn vấn đề nghiên cứu “Hướng dẫn học sinh
THCS giải bài toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình” là cần thiết và
phù hợp với thực tiễn.

14


CHƢƠNG 2: HƢỚNG DẪN HỌC SINH THCS GIẢI BÀI TOÁN
BẰNG CÁCH LẬP PHƢƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH
Trong chương trình THCS “Giải bài toán bằng cách lập phương trình và hệ
phương trình” là dạng toán tương đối khó đối với học sinh. Đặc trưng của các bài
toán lập phương trình và hệ phương trình là đề bài cho dưới dạng lời văn có sự đan
xen của nhiều loại ngôn ngữ khác nhau như ngôn ngữ thông thường, ngôn ngữ toán
học, ngôn ngữ vật lí..Trong quá trình dạy học ta thường gặp một số bài toán liên
quan đến chuyển động, bài toán liên quan đến năng suất lao động, bài toán tìm số
và chữ số, bài toán có nội dung hình học.
2.1. Bài toán chuyển động
Để giải được những bài toán chuyển động ta có một số công thức sau:
- Quãng đường = vận tốc X thời gian ( s  v.t )

Bài 1: Một ôtô đi từ Hà Nội lúc 8 giờ sáng dự kiến đến Hải Phòng lúc 10h30’.
Nhưng mỗi giờ ôtô lại đi chậm hơn so với dự kiến là 10 km nên mãi đến 11h20’ xe
mới đến Hải Phòng. Tính quãng đường từ Hà Nội đến Hải Phòng.
Phân tích:
Đây là bài toán có một chuyển động tham gia, yêu cầu ta phải tính quãng
đường . Muốn tính được quãng đường ta phải sử dụng công thức: s  v.t
Trong bài toán trên ta đã biết thời gian nhưng gồm hai thời gian là thời gian dự
kiến và thời gian thực tế. Nên quãng đường đi được bằng vận tốc dự kiến nhân thời
gian dự kiến hay cũng bằng vận tốc thực tế nhân thời gian thực tế
Lời giải:

1 5
Ta có thời gian dự kiến xe đi là: 10h30’ – 8h = 2h30’ = 2  (giờ)
2 2
1 10
Thời gian thực tế xe đi là: 11h20’ – 8h = 3h20’ = 3 
(giờ)
3 3

Gọi quãng đường từ à Nội đến Hải Phòng là x km ( x  0 )
Vận tốc dự định mà xe dự kiến đi là

Vận tốc thực tế là:

x 2x

 km / h 
5 5
2



Ta đã biết vận tốc của xe vậy để tính quãng đường và thời gian dự định đi ta
sẽ biểu diễn hai đại lượng chưa biết thông qua quãng đường
Lời giải
Gọi x là thời gian dự định đi lúc đầu, điều kiện x  0
Gọi y là độ dài quãng đường AB, điều kiện y  0
Theo đầu bài ta có:
Nếu xe chạy với vận tốc 35km/h thì đến chậm mất 2 giờ, ta được
y
 x  2  35 x  y  70
35

(1)

Nếu xe chạy với vận tốc 50km/h thì đến sớm 1 giờ, ta được
y
 x  1  50 x  y  50
50
35 x  y  70
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: 
50 x  y  50

17

(2)
(I)


35 x  y  70  x  8
Giải hệ phương trình (I) 

Thời gian ô tô đi theo dự định là

120
 h
x

18


Sau 1giờ xe chạy được 1.x  x  km 
Quãng đường còn lại là 120  x  km 
Vận tốc mới của ô tô là x  6
Thời gian ô tô đi nốt quãng đường còn lại là:

120  x
x6

Theo đầu bài ta có phương trình:

120
1 120  x
1 
x
6
x6
2
 x  42 x  4320  0
 x  48

 x  90

20 4

60 3

20 1

60 3

Gọi x là thời gian dự định, điều kiện x  0
Gọi y là độ dài quãng đường, điều kiên y  0
Với giả thiết
- Xe đạp đi với vận tốc trung bình là 12km/h ta được 12x  y (1)
- Sau khi đi được
bằng

1
y
quãng đường (bẳng ) với vận tốc 12km/h (thời gian đi
3
3

y
1
giờ) thì xe bị hỏng do đó phải chờ 20 phút ( bằng giờ). Quãng đường
3.12
3

còn lại ( bằng

2y

Vậy quãng đường người đó phải đi là 45 km

20


Nghiên cứu sâu lời giải
Ngoài việc thiết lập hệ phương trình hai ẩn, bài toán trên ta có thể giải bằng
cách lập phương trình một ẩn.
Giả sử quãng đường người đó đi là AB và điểm hỏng của xe là C. Gọi quãng
đường AB là x , điều kiện x  0
Suy ra thời gian dự định là

x
12

Từ giả thiết
+ Quãng đương AC bằng

x
x
x
và đi với thời gian bằng

3.12 36
3

+ Quãng đường CB bằng

2x 2x
2x

Quãng đường xe tải chạy trong 5 giờ là: 5x
Quãng đường xe con chạy trong

16
16
giờ là:
y
5
5

Ta có tổng quãng đường hai xe đi được = quãng đường AB hay
5x 

16
y  360  25 x  16 y  1800 (1)
5

Thời gian xe tải đi cho đến lúc gặp xe con là:

16 y
giờ
5x

Thời gian xe con đi cho đến lúc gặp xe tải là:

5x
giờ
y

Ta được phương trình:

quay ngay về A với vận tốc riêng không đổi hết tất cả 2 giờ 15 phút. Khi ca nô đó
khởi hành từ A thì cùng lúc đó, một khúc gỗ cũng trôi tự do từ A theo dòng nước

22