Giáo án Đại số đại cơng - 2005- Thái Minh
Chơng 1
nửa nhóm và nhóm

1. nửa nhóm
Mục đích yêu cầu:
Sinh viên nắm đợc khái niệm phép toán hai ngôi, nửa nhóm. Biết nhận biết các
khái niệm trên trong các trờng hợp cụ thể.
Sinh viên có kỹ năng vận dụng khái niệm trên giải các bài tập .
1.1.Phép toán hai ngôi:
Ví dụ: 1.xét tập số tự nhiên N, với phép toán cộng thông thờng. Ta thấy: a, b N
luôn có: a+b = c N. Có thể nói phép cộng trong N là một ánh xạ đợc không? Hãy
lập ánh xạ đó. ( +: NxN N
(a,b) c )
2.Cũng hỏi nh trên với Phép mũ hoá trong N? Phép trừ trong N ?phép nhân
trong N ?
T: NxN N
(a,b) c= a
b
)
các phép toán trên ( trừ phép trừ) đều là các phép toán hai ngôi.
Định nghĩa 1: SGK(37)
Để cho tiện từ nay về sau ta ký hiệu cái hợp thành của x và y là xy. Nếu không
có lý do nào khiến ta phải viết khác.
Định nghĩa 2: sgk(38)
A X đgl ổn định với phép toán hai ngôi trong X. x,y A xy A .
(Ta còn nói phép toán trên X đối với bộ phận ổn định A là phép toán cảm sinh trên
A )
Trong các ví dụ trên phép toán nào có các tính chất: kết hợp; Giao hoán ?
Định nghĩa 3: Tr 38.
Trong các phép toán trên hãy tìm các cặp phần tử có cái hợp thành chính là

1
x
2..
x
n-1
)x
n
gọi là tích của n phần tử lấy theo thứ
tự đó.
Định lý 2: (sinh viên tự CM) tr40.
Định nghĩa 6: X là nửa nhóm:
n N, n 0 a X ; a
n
gọi là tích của n phần tử bằng a.
Do tính kết hợp ta có:
a
m
.a
n
= a
m+ n
; (a
m
)
n
= a
m.n
( Sinh viên tự CM)
Nếu phép toán hai ngôi của X ký hiệu là + thì tổng của n phần tử đều bằng a gọi là
bội của n . Ký hiệu là: na. Hãy viết quy tắc trên dới dạng tổng:

b
n-1
Ta CM đúng với m = n.
Có (ab)
n
= (ab)
n-1
(ab) = a
n-1
b
n-1
(ab) = a
n-1
(b
n-1
b)a =a
n-1
b
n
a. (1)
Nh vậy nếu có b
n
a = ab
n
thì từ (1) suy đợc ra điều phải CM. Ta đi CM điều đó:
Bằng quy nạp theo n:
- Với n =1 ta có ab = ba
- Với m = n-1 giả sử có : a
n-1
b = ba

= a = a
2
b
2

Nhng: ab = a ba = b.
Bài 2:
Gọi X là tập thơng Z/nZ = {
0
,
1
,...
1

n
} ; ( a b (modn) . a và b chia cho
n có cùng số d. Hay : a - b chia hết cho n. ). Với mỗi cặp (
a
,
b
) cho tơng ứng với
lớp tơng đơng
ba
+
.
a). CM R có một ánh xạ từ X
2
đến X
b). X là một vị nhóm giao hoán đối với phép toán xác định ở câu a)
c) Nếu với mỗi cặp (

b
=
'
b
thì: b-b

chia hết cho n
Suy ra: (a+b)-(a

+b

) cũng chia hết cho n hay
ba
+
=
''
ba
+
Vậy ta có ĐPCM.
b)Ta ký hiệu phép tóan trên là +: X
2
X
(
a
,
b
)
ba
+
=

(a,b) S(c,d) <=> ad = bc .
Ta ký hiệu các phần tử C(a,b) của X bằng a/b, (a,b) ZxN
*
a). f: XxX X

(a/b , c/d) (ad+bc)/bd Là một ánh xạ.
b). CMR X là một vị nhóm giao hoán với phép toán ở câu a).
c). Nếu với mỗi cặp (a/b , c/d) cho tơng ứng với lớp tơng đơng ac/bd. CMR lúc đó X
cũng là một vị nhóm giao hoán.
Bài giải::
4
Giáo án Đại số đại cơng - 2005- Thái Minh
2. Nhóm
(Số tiết: 18 = 9 + 9)
Mục đích yêu cầu:
Sinh viên nắm vững khái niệm nhóm, biết nhận biết các nhóm . biết chứng
minh các tính chất về nhóm.
Sinh viên có kỹ năng vận dụng lý thuyết giải các bài tập về nhóm.
Phơng pháp:
Thuyết trình - Luyện tập.- Đàm thoại
Chuẩn bị: SGK- SBT môn ĐSĐC
Nội dung:
2.1. Nhóm:
2.1.1. Định nghĩa 1: X là nửa nhóm.
e X: x X : ex = x
x X , x
'
X : x
'
x = xx

Ta có: x
-1
(xy) = x
-1
(xz) hay (x
-1
x)y = (x
-1
x)z hay ey = ez hay y = z.
3. trong một nhóm X phơng trinh ax = b và ya = b có nghiệm duy nhất
x= a
-1
b ( y = ba
-1
)
CM:
Ta có: ax = a(a
-1
b) = (aa
-1
) b = eb =b hay x = a
-1
b là nghiệm. Nghiệm này là
duy nhất vì Nếu có c là một nghiệm khác tức: ac = b thì: ax = ac = b thực hiện luật
giản ớc ta đợc: x = c.
5
Giáo án Đại số đại cơng - 2005- Thái Minh
4. X là nhóm: x , y X ta có (xy)
-1
= y

Vậy có (xy)
-1
= y
-1
x
-1
Tổng quát: (x
1
.x
2
..x
n
)
-1
= x
n
-1
x
-1
n-1
..x
2
-1
x
1
-1
.
Đặc biệt (a
n
)

X: x

x

= e
Ta có: xx

= exx

= x

x

xx

= x

ex

= x

x

= e .
Mặt khác: xe = xx

x = ex = e
Vây : X là nhóm.
Sinh viên tự phát biểu và cm cho trờng hợp ứng với phần tử đơn vị phải.
6. Một nửa nhóm khác rỗng X là một nhóm khi và chỉ khi:

mặt khác do x X nên ex = x ( với e là trung lập của X) Do đó: bx = ex áp dung luật
giản ớc trong nhóm ta có: b = e.
3. x A giả sử có x

A mà x

x = e ta cũng có x
-1
x = e nên x

x = x
-1
x hay:
x

= x
-1
.
Ngợc lại nếu A là một bộ phận của X Thoả các điều kiện 1, 2, 3 thì A là một nhóm
( tính chất 5), do đó là một nhóm con của nhóm X.
Định lý 1: X là một nhóm; A X
1. x, y A, xy A
A là nhóm con của X Khi và chỉ khi 2. e A, với e là phần tử TLập của X
3. x A, x
-1
A
Hệ quả:
X là một nhóm. A , A X các mệnh đề sau là tơng đơng
a) A là một nhóm con của X a)
b) x, y A, xy A, x

Giao của một họ bất kỳ các nhóm con của nhóm X là một nhóm con của nhóm X
7
Giáo án Đại số đại cơng - 2005- Thái Minh
CM:
Gọi A = A
i
, trong đó A
i
I là họ các nhóm con tuỳ ý của nhóm X
- A vì e A
i
i I nên e A
- x, y A, nên x , y A
i
i I suy ra xy
-1
A
i
i I ( do A
i
là các nhóm
con ) từ đó xy
-1
A (theo hệ quả đ/l 1). cho đpcm.
* Giả sử U là một bộ phân của một nhóm X thế thì U chứa trong ít nhất một nhóm
con của X ( chẳng hanj chính nhóm con X) theo đ/l 2 giao A của tất cả các nhóm con
của X chứa U cũng là một nhóm con của X chứa U. Đó là nhóm con bé nhất của X
chứa U.
định nghĩa 3:
U X, X là một nhóm; A là nhóm con bé nhất của X chứa U .Khi ấy A gọi là

X gọi là nhóm xyclic X ={ a
k
: k Z ; a X}; phần tử a gọi là phần tử sinh của X
Ví dụ1: Cho nhóm các phép thế bậc ba: S
3
e = (1) ; f
1
= (1 2 3); f
2
= (1 3 2 )
f
3
= (1 2 ) ; f
4
= (1 3 ) f
5
= (2 3 )
Tìm các nhóm con là xyclic sinh ra bởi : e; f
1
; f
2
; f
3
; f
4;
f
5
.
Giải:
Giả sử A = { f

f
1
r
= e
q
f
1
r
= f
1
r
trong đó 0 r < 3. Từ đó suy ra
A = { f
1
k
: k Z } = {f
1
0
= e ; f
1
1
= f
1
; f
1
2
= f
2
}
( các trờng hợp còn lại sinh viên tự CM)

= e
a gọi là có cấp m nếu A có cấp m .
Khi ấy m là số nguyên dơng bé nhất sao cho: a
m
= e
2.2.3.Nhóm con chuẩn tắc- nhóm thơng:
X là một nhóm; A là nhóm con của X. Ta định nghĩa quan hệ ~ trong X nh
sau: x, y A, x~y x
-1
y A.
Bổ đề 1: Quan hệ ~ trong X là một quan hệ tơng đơng.
CM:
-Phản xạ: x A , x
-1
x = e A x~x
- đối xứng: x, y A, x ~ y tức x
-1
y A. ta có: (x
-1
y)
-1
A hay y
-1
x A y~x
-Bắc cầu: x~y, y~z , tức x
-1
y A, y
-1
z A (x
-1

Định nghĩa 6:
Các bộ phận xA gọi là các lớp trái của nhóm con A trong X; tơng tự các lớp
phải Ax của nhóm con A trong X là tập gồm các phần tử có dạng ax với a A
Tơng tự cũng có x ~y xy
-1
A
Hệ quả: X là một nhóm, x, y X khi ấy:
+ xA = yA x
-1
y A
+ xA yA = x
-1
y A
Tập hợp thơng của X trên quan hệ tơng đơng ~ gọi là tập thơng của nhóm X trên
nhóm con A, Kí hiệu: X/A. các phần tử của X/A là các lớp trái xA
Định lý 3: ( đ/l Lagrănggiơ)
Cấp của một nhóm X hữu hạn là bội của cấp mọi nhóm con của nó.
CM:
Giả sử X có cấp n, A là nhóm con của X và có cấp là m.
A = { x
1
, x
2
,.,x
m
} khi ấy x X, mọi lớp trái xA có đúng m phần tử dạng:
xx
1
, xx
2

ax A, a A và x X
Định lý 4:
X là một nhóm, A là nhóm con chuẩn tắc của X, thì:
i) Quy tắc sau là một ánh xạ: X/A xX/A X/A
(xA, yA) xyA
ii) X/A cùng với phép toán hai ngôi: (xA, yA) xyA là một nhóm, gọi là nhóm th-
ơng của X/A.
CM:
i)
Giả sử có xA = x
1
A và yA = y
1
A ta phải CM: xyA = x
1
y
1
A.
Theo hệ quả bổ đề 2 ta có: x
-1
x A, y
-1
y A .
Nên (xy)
-1
(x
1
y
1
) = y

+ xA X/A ta có: x
-1
A.xA = x
-1
xA = eA = A. Vậy xA nhận x
-1
A là phần tử nghịch
đảo trái
Định lý 4: X là một nhóm, A là nhóm con của X. Khi ấy:
A là chuẩn tắc xA = Ax , x X
CM: : xa xA ( a A) do A là chuẩn tắc nên: y
-1
ay A , y X, lấy y = x
-1

thì: xax
-1
A, đặt xax
-1
= a

xa = a

x Ax Vậy xA Ax
ax Ax, ( a A) do A là chuẩn tắc nên: x
-1
ax A, đặt x
-1
ax = a


a a
2). f: X X ( tự động cấu đồng nhất)
x x
3). Log : R
+
R ; R
+
: là nhóm nhân các số thực dơng; ( đẳng cấu)
x logx R :nhóm cộng các.số thực
4). A là nhóm con chuẩn tắc của nhóm X. ánh xạ: h : X X/A ( toàn cấu)
x h(x) = xA
5) X, Y là hai nhóm tuỳ ý:
f: X Y
x e , e là đơn vị của Y ( là đồng cấu tầm thờng)
6) f: X Y là một đẳng cấu từ nhóm X đến nhóm Y. Hỏi f
-1
: Y X có là đẳng cấu
không ? (f
-1
là song ánh. Mặt khác: y, y
1
Y , đặt x = f
-1
(y) ; x
1
= f
-1
(y
1
). Ta có:

y
tơng ứng là các phần
tử trung lập của nhóm X, nhóm Y. Ta ký hiệu:
Imf = f(X)
Kerf = { x X { f(x) = e
y
} = f
-1
( e
y
)
Gọi imf là ảnh của đồng cấu f; còn Kerf là hạt nhân của đồng cấu f
Các tính chất của đồng cấu:
Định lý 5:
X,Y, Z là các nhóm . f: X Y; g: Y Z là các đồng cấu. Thế thì ánh xạ tích
gf: X Z là một đồng cấu.
CM: a, b X ta có: gf(ab) = g(f(ab)) = g(f(a).f(b)) = g(f(a))g(f(b)) = gf(a)gf(b)
Định lý 6:
f: X Y là một đồng cấu từ nhóm X đến nhóm Y. Thế thì:
i) f(e
x
) = e
y
ii) f(x
-1
) = [f(x)]
-1
, x X
CM:
i) x X ta có: f(x). f(e