Chương III : PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG
KHÔNG GIAN
Bài 1 :

HỆ TỌA ĐỘ TRONG
KHÔNG GIAN
Click


I. Tọa độ của điểm và của vectơ
1) Hệ tọa độ :
z

Trong không gian cho 3 trục x’Ox ; y’Oy
r ;rz’Oz.
r
vuông góc với nhau từng đôi một . Gọi i ; j ; k
là các véc tơ đơn vị trên các trục đã cho
Hệ trục như vậy gọi là hệ trục tọa độ Đề
các vuông góc Oxyz trong không gian
Đơn giản gọi : Hệ tọa độ Oxyz
Điểm O gọi là gốc tọa độ

x’

O
y’

Các mặt phẳng (Oxy) ; (Oyz) ; (Ozx) ;
Đôi một vuông góc được gọi là các mặt
x


z

theo 3 véc tơ

z

M (x ; y ; z )

Trongr không
r r gian Oxyz , cho 1 điểm M tùy ý .
Vì i ; j ; k không đồng phẳng nên có 1 bộ
ba số ( x ; y ; z) duy nhất sao cho
uuuu
r
r
r
OM = x.i + y. j + z.k

r O
i

Ngược lại với bộ ba số ( x ; y ; z) ta có một
điểm M duy nhất trong không gian thỏa :
uuuu
r
r
r
OM = x.i + y. j + z.k


sao cho : a = a1.i + a2 . j + a3 .k Vậy : tọa độ của véctơ a = ( a1 ; a2 ; a3 )
uuuu
r
Click
Do đó M(x ; y ;z) ⇔ OM = ( x; y; z )


Ví dụ minh họa : Trong không
Oxyz
,u
cho
uuu
rgianuu
ur u
ur hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’
r r r có
điểm A trùng với gốc O , có AB ; AD ; AA ' theo thứ tự cùnguu
hướng
với
u
r uuu
r uiu;uu
rj ; kuuuu
r
và có AB = a ; AD = b ; AA’ = c . Hãy tính tọa độ các véc tơ : AB ; AC ; AC ' ; AM
trong đó M là trung điểm của C’D’ .
uuu
r
AB = ( a; 0; 0)
uuur


C’

r
k
r
j

Dy

b

C
x

Thầy trò cùng đi tìm ….?

Click


II. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ
Định lí :

r
r
Trong không gian cho 2 vectơ a = ( a1 ; a2 ; a3 ) & b = ( b1 ; b2 ; b3 )
r
r
a ) a + b = ( a1 + b1 ; a2 + b2 ; a3 + b3 )
r



Hệ quả :
a) Cho 2 vectơ

r
r
a = ( a1 ; a2 ; a3 ) & b = ( b1 ; b2 ; b3 )

Ta có :

a1 = b1
r r

a = b ⇔ a2 = b2
a = b
 3 3

r
b) Vectơ 0 = ( 0;0;0 )
r r
r r
c) Vectơ b ≠ 0 thì hai vectơ a & b cùng phương khi và chỉ khi có số k
sao cho : a1 = kb1 ; a2 = kb2 ; a3 = kb3 .

d) Trong không gian Oxyz , nếu cho 2 điểm A(xA ; yA ; zA) và B(xB ; yB ; zB)
uuu
r uuu
r uuu
r


r
r
a = ( a1 ; a2 ; a3 ) & b = ( b1 ; b2 ; b3 ) được xác định bởi :
r r
a. b = a1b1 + a 2b 2 + a 3b 3

Chứng minh :

Áp dụng :

r r
r
r
r
r
r
r
a b = a1 i + a2 j + a3 k b1 i + b2 j + b3 k
r2
= a1b1 i + ... +???
r 2 r2 r2
r r r r rr
i = j = k = 1 và
i . j = k . j = k .i = 0 Có đpcm

(

2. Ứng dụng .
a) Độ dài của một vectơ

cos ϕ = r r
và góc ϕ giữa 2 vectơ
a.b
là :
r r
a1b1 + a 2b 2 + a 3b 3
Ta có : cosϕ = cos a;b =
a12 + a 22 + a 32 . b12 + b 22 + b 32
r r
a ⊥ b ⇔ a1b1 + a2b2 + a3b3
Qua đó suy ra

(

)

Bài tập cùng làm tại lớp :
r
r
r
Vơi hệ Oxyz cho a = ( 3;0;1) ; b = ( 1; −1; −2 ) ; c = ( 2;1; −1)
r r r
r r
Hãy tính :
a. b + c & a + b
r r
r r r
a + b = ( a1 + b1 ; a2 + b2 ; a3 + b3 )
a b + c = 3.3 + 0.0 + 1. ( −3) = 6
r r


(

)

)

)

)

Click


IV. Phương trình mặt cầu .
Định lí : Trong không gian Oxyz , mặt cầu (S) có tâm I (a ; b ; c) ,
bán kính r có phương trình :
(x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = r2

Chứng minh :
Giả sử điểm M thuộc mặt cầu (S) tâm I bán kính r
uuur
Nên có M ∈(S) ⇔ IM = r

( x − a) + ( y − b) + ( z − c) = r
2
2
2
⇔ ( x − a) + ( y − b) + ( z − c) = r 2
2

Click


Ví dụ :
Xác định tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình :
x2 + y2 + z2 + 4x – 2y + 6z + 5 = 0

Giải :
Ta có :

(S) : x2 + y2 + z2 - 2ax - 2by - 2cz + d = 0
−2a = 4

−2b = −2
−2c = 6


d = a2 + b2 + c2 – r2

 a = −2

⇔ b = 1
Vậy tâm
 c = −3


I ( -2 ; 1 ; -3)

Nên r2 = (-2)2 +12 +(-3)2 – 5 = 9 ⇒ r = 3


a.c = 1
rr
2
CC cos b.c =
6

( )

r r
BB a & c cung phuong
r r r r
DD a + b + c = 0

uuu
r r uuu
r r
3) Cho hình bình hành OADB có OA = a ; OB = b

(O là gốc tọa độ ) > Tọa độ của tâm hình bình hành OADB là :

A

(0 ; 1 ; 0)

C

(1 ; 0 ; 1)

B


D

1 1 1
G ; ; ÷
2 2 2

2. Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có bán kính là :

A

2

C

3

B

3
4

D

3
2

Click


V. Bài tập :