MATHVN.COM | www.mathvn.com

CNG ễN TP HC K 1 MễN TON LP 10
Nm hc 2010- 2011
PHN I: I S
CHNG I. TP HP. MNH (Dnh cho phn trc nghim)
Bi 1: Cỏc mnh sau ỳng hay sai ? lp mnh ph nh ca mnh ú:
1/ " n ẻ N*, n2 + n + 1 là số nguyên tố.

2/ " x ẻ Z , x2 x .

3/ $ k ẻ Z , k2 + k + 1 là một số chẵn.

4/ " n ẻ N , n3 - n chia hết cho 3.

5/ " x ẻ R , x < 3 ị x2 < 9.

6/ $ x ẻ R ,

7/ $ x ẻ Q,

3x + 2
ẻZ .
x2 +1

2x
>1.
x +1
2

8/ "x ẻ N , x2 chia hết cho 3 ị x chia hết cho 3.

1) Hm s y = Q( x) : iu kin xỏc nh: Q(x) ạ 0.

2) Hm s y = R( x) : iu kin xỏc nh: R(x) 0.
Chỳ ý:
+ ụi khi ta s dng phi hp cỏc iu kin vi nhau.
+ iu kin hm s xỏc nh trờn tp A l A è D.
ỡAạ 0
+ A.B ạ 0 ớợ B ạ 0 .
www.MATHVN.com

1


MATHVN.COM | www.mathvn.com

VN 2. Xột tớnh chn l ca hm s
xột tớnh chn l ca hm s y = f(x) ta tin hnh cỏc bc nh sau:
ã Tỡm tp xỏc nh D ca hm s v xột xem D cú l tp i xng hay khụng.
ã Nu D l tp i xng thỡ so sỏnh f(x) vi f(x) (x bt kỡ thuc D).
+ Nu f(x) = f(x), "x ẻ D thỡ f l hm s chn.
+ Nu f(x) = f(x), "x ẻ D thỡ f l hm s l.
Chỳ ý:
+ Tp i xng l tp tho món iu kin: Vi "x ẻ D thỡ x ẻ D.
+ Nu $x ẻ D m f(x) ạ f(x) thỡ f l hm s khụng chn khụng l.
VN 3. S bin thiờn ca hm s
Cho hm s f xỏc nh trờn K.
ã y = f(x) ng bin trờn K "x1 , x2 ẻ K : x1 < x2 ị f ( x1 ) < f ( x2 )

"x1 , x2 ẻ K : x1 ạ x2 ị


ù-(ax + b)
ùợ

khi x -

y = ax b, ri xoỏ

2
VN 5. Hm s bc hai y = ax + bx + c (a ạ 0)

ã Tp xỏc nh: D = R
ã S bin thiờn:

ổ b
Dử
b
ã th l mt parabol cú nh I ỗố - 2a ; - 4a ữứ , nhn ng thng x = - 2a lm trc i xng, hng b
lừm lờn trờn khi a > 0, xuụng di khi a < 0.

www.MATHVN.com

2


MATHVN.COM | www.mathvn.com

Chỳ ý: v ng parabol ta cú th thc hin cỏc bc nh sau:
ổ b
Dử
Xỏc nh to nh I ỗố - 2a ; - 4a ữứ .

x - a +1

4) y =

1
x-a

3- x
x-4

5- x
2
x - 3 x - 10
x-a
; K = (0; +Ơ).
x + a -1

+ - x + 2a + 6 ; K = (1; 0).

Bi 3: Xột tớnh chn, l ca hm s :
3) y = x 4 - 2 x + 5

1) y = 4x3 + 3x
2) y = x4 - 3x2 - 1
Bài 4. Xét tính đồng biến; nghịch biến của hàm số:
4
2) y = x x ; x ẻ (0;+Ơ )
x +1
Bi 5: Kho sỏt s bin thiờn v v th cỏc hm s sau:
1) y =


c/ y = -x2 + 2x - 3

e/ y = x2 + 3x + 4

f/ y = 2x2 x 1

g/ y = - x2 + 4x + 5

d) y = x2 + 2x
h/ y = -x2 + 4x

Bi 8: Tỡm ta giao im cỏc ca cỏc th hm s sau:
1/ y = x - 1

và y = x 2 - 2 x - 1

2/ y = - x + 3 và y = - x 2 - 4 x + 1

www.MATHVN.com

(KQ: (3;2), (0;-1))
(KQ: (-1;4), (-2;5))

3


MATHVN.COM | www.mathvn.com

3/ y = 2 x - 5 và y = x 2 - 4 x + 4

3. Phép biến đổi tương đương
· Nếu một phép biến đổi phương trình mà không làm thay đổi điều kiện xác định của nó thì ta được một phương
trình tương đương. Ta thường sử dụng các phép biến đổi sau:
– Cộng hai vế của phương trình với cùng một biểu thức.
– Nhân hai vế của phương trình với một biểu thức có giá trị khác 0.
· Khi bình phương hai vế của một phương trình, nói chung ta được một phương trình hệ quả. Khi đó ta phải
kiểm tra lại để loại bỏ nghiệm ngoại lai.
Bài 1: Giải các phương trình sau :
1/

x - 3 + x = 1+ x - 3

3/ x x - 1 = 2 x - 1
5/

x+4 =2

4/ 3 x 2 + 5x - 7 = 3x + 14
6/

3x 2 + 1
4
7/
=
x-1
x-1

x - 2 = 2 - x +1

2/


x -2 1
2
- =
x + 2 x x ( x - 2)
4


MATHVN.COM | www.mathvn.com

x2 + x - 2
= 10
6/ x - 3 x + 2 = 0
x+2
VẤN ĐỀ 2. Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối
Cách giải Để giải phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ ta tìm cách để khử dấu GTTĐ, bằng cách:
– Dùng định nghĩa hoặc tính chất của GTTĐ.
– Bình phương hai vế.
– Đặt ẩn phụ.
é ì f ( x) ³ 0
C1 ê í
C2 ì g( x) ³ 0
f ( x) = g( x)
ï
î
Û í é f ( x) = g( x)
· Dạng 1: f ( x) = g( x) Û ê ì f ( x) < 0
êí
ïî êë f ( x) = - g( x)
êë î- f ( x) = g( x)

f
(
x
)
=
g
(
x
)
Dạng 1:
Ûí
ïî g( x) ³ 0
ì f ( x) = g( x)
Dạng 2: f ( x) = g( x) Û íî f ( x) ³ 0 (hay g( x) ³ 0)
ìït = f ( x), t ³ 0
Dạng 3: af ( x) + b f ( x) + c = 0 Û í 2
ïîat + bt + c = 0

Bài 3: Giải các phương trình sau :
1/ 2 x + 1 = x - 3

2/ |2x - 2| = x2 - 5x + 6

3/ |x + 3| = 2x + 1

4/ |x - 2| = 3x2 - x - 2

5/ x -

6/ 2 x - 4 = x - 1

a¹0
a=0

www.MATHVN.com

(1)
Kết luận

b¹0
b=0

b
a

(1) vô nghiệm
(1) nghiệm đúng với mọi x

5


MATHVN.COM | www.mathvn.com

Bài 4: Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m :
1/ 2mx + 3 = m - x
2/ (m - 1)(x + 2) + 1 = m2
Bài 5: Giải các hệ phương trình sau :
ì2 x + 3 y = 5
a. í
î3 x + y = -3


D>0

(1) có 2 nghiệm phân biệt x1,2 =

D=0

(1) có nghiệm kép x = -

D

uuur
· Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ, kí hiệu AB .
r
0
· Vectơ – không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, kí hiệu .
· Hai vectơ đgl cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.
· Hai vectơ cùng phương có thể cùng hướng hoặc ngược hướng.
· Hai vectơ đgl bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài.
r r
a
Chú ý:
+ Ta còn sử dụng kí hiệu , b ,... để biểu diễn vectơ.
r
0
+ Qui ước: Vectơ cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ.
r
Mọi vectơ 0 đều bằng nhau.
2. Các phép toán trên vectơ
a) Tổng của hai vectơ

uuur uuur uuur
= AC .
· Qui tắc ba điểm: Với ba điểm A, B, C tuỳ ý, ta có: AB + BC uuu
r uuur uuur
AB
+ AD = AC .
· Qui tắc hình bình hành: Với ABCD là hình bình hành, ta có:
r
r

· Tính chất:
;
;
b) Hiệu của hai vectơ
r
r r r
r
r
r
a
b
a
· Vectơ đối của là vectơ sao cho + b = 0 . Kí hiệu vectơ đối của a là - a .
r r
· Vectơ đối của 0 là 0 .
r r r ( r)
a
· - b = a + -b .
uuur uuur uuur
OB
- OA = AB .
· Qui tắc ba điểm: Với ba điểm O, A, B tuỳ ý, ta có:
c) Tích của một vectơ với một số
r
r
· Cho vectơ a và số k Î R. ka là một vectơ được xác định như sau:
r
r
r
r

a
¹
0
cuø
n
g
phöông
Û
$
k
Î
R
:
b
= ka
· Điều kiện để hai vectơ cùng phương:
uuur
uuur
AB
=
kAC
· Điều kiện ba điểm thẳng hàng: A, B, C thẳng hàng Û $k ¹ 0:
.
r r
r
a
· Biểu thị một vectơ theo hai vectơ không cùng phương: Cho hai vectơ không cùng phương , b và x tuỳ ý.
r
r
r

+
GB
+
GC
=
0
OA
+ OB + OC = 3OG (O tuỳ ý).
G là trọng tâm DABC Û
Û

www.MATHVN.com

7


MATHVN.COM | www.mathvn.com

II/ TA
1. Trc to

r
ã Trc to (trc) l mt ng thng trờn ú ó xỏc nh mt im gc O v mt vect n v e . Kớ hiu
(O; er ) .
r
r
r
u = a.e .
ã To ca vect trờn trc: u = (a ) uuur
r

u = ( x; y) u = x.i + y. j .
ã To ca vect i vi h trc to :
uuur
r
r
M
(
x
;
y
)

OM
=
x
.
i
+
y
.
j.
ã To ca im i vi h trc to :
r
r
 Â
ã Tớnh cht: Cho a = ( x; y), b = ( x ; y ), k ẻ R , A( xA; yA), B( xB ; yB ), C ( xC ; yC ) :
ỡù x = xÂ
r r
r r
r

xA + xB

; yI =

2
xA + xB + xC

yA + yB
2

; yG =

3
xA - kxB

+ To im M chia on AB theo t s k ạ 1: xM = 1 - k
uuur
uuur
MA
=
kMB
( M chia on AB theo t s k
).

.

yA + yB + yC

; yM =


e) AC+ DE - DC - CE + CB = AB

uuur uur uuur uur uur
uuur uuur uuur

uuur uuur uuur

uuur uuur uuur

f ) AD + BE + CF = AE + BF + CD = AF + BD + CE

Bi 2: Cho tam giỏc MNP cú MQ l trung tuyn ca tam giỏc . Gi R L trung im ca MQ. Cmr

uuur uuur uur r

a ) 2 RM + RN + RP = 0

uuur

uuur uur

uur

b) ON + 2OM + OP = 4OR, "O bất kì
c) Dng im S sao cho t giỏc MNPS l hỡnh bỡnh hnh. Chng t rng
www.MATHVN.com

8




b) Chng minh rng hai tam giỏc MNP v tam giỏc SQI cú cựng trng tõm .
c) Gi M L im i xng vi M qua N , N L im i xng vi N qua P , P L im
i xng vi P qua M. Chng minh rng vi mi im O bt kỡ ta luụn cú:

uuur uuur uur uuur' uuuur' uuur'

ON + OM + OP = ON + OM + OP

Bi 5: Gi G v G Â ln lt l trng tõm ca tam giỏc ABC v tam giỏc AÂB ÂCÂ .
uuur uuur uuuur
uuuur
Chng minh rng AAÂ + BB Â + CCÂ = 3GG Â
Bi 6: Cho tam giỏc ABC , gi M l trung im ca AB, N l mt im trờn AC sao cho NC=2NA,
gi K l trung im ca MN
uuur 1 uuur 1 uuur
a ) CMR: AK= AB +
AC
4
6
uuur 1 uuuur 1 uuur
b) Gọi D là trung điểm của BC, chứng minh : KD=
AB + AC
4
3
uuur uur uuur
Bi 7: a) Cho MK v NQ l trung tuyn ca tam giỏc MNP.Hóy phõn tớch cỏc vộct MN , NP , PM

r


d) Tỡm to im D sao cho t giỏc ABCD l hỡnh Bỡnh hnh
e) Tỡm to im N sao cho B l trung im ca on AN
f) Tỡm to cỏc iờm H, Q, K sao cho C l trng tõm ca tam giỏc ABH, B l trng tõm ca tam
giỏc ACQ, A l trng tõm ca tam giỏc BCK.
g) Tỡm to im T sao cho 2 im A v T i xng nhau qua B, qua C.
uuur
uuur uuur
uuur
h) T ì m toạ độ điểm U sao cho AB = 3BU ; 2 AC = -5 BU
uuur
uuur uuur
uuur uuur
k) Hãy phân tich AB, theo 2 vec tơ AU và CB ; theo 2 vectơ AC và CN
Bi 9: Cho tam giỏc ABC cú M(1,4), N(3,0); P(-1,1) ln lt l trung im ca cỏc cnh: BC, CA,
AB. Tỡm to A, B, C.
Bi 10: Trong mt phng ta Oxy.Chng minh rng cỏc im:
a) A(1;1), B(-1; 7), C(0; 4) thng hng.
b) M(-1; 1), N(1; 3), P(-2; 0) thng hng.
c) Q(-1; 1), R(0; 3), S(-4; 5) khụng thng hng.
Bi 11: Trong h trc ta cho hai im A(2; 1) v B(6; -1) Tỡm ta :
a) im M thuc Ox sao cho A,B,M thng hng.
b) im N thuc Oy sao cho A,B,N thng hng.
www.MATHVN.com

9


MATHVN.COM | www.mathvn.com

CHƯƠNG II. TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VÉC TƠ VÀ ỨNG DỤNG

sin(900 - a ) = cos a
cos(900 - a ) = sin a
tan(900 - a ) = cot a
cot(900 - a ) = tan a
3. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt
00
300

sin(1800 - a ) = sin a
cos(1800 - a ) = - cos a
tan(1800 - a ) = - tan a
cot(1800 - a ) = - cot a
450

600

900

1800

1

0

0

–1

sina


1

3

||

0

cota

||

3

1

3
3

0

||

II/ TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VÉC TƠ
1. Góc giữa hai vectơ
uuur r uuur r
r r r
a
,
b

a
,
b
a
+
= 0 Û , b cùng hướng
r r
r r
+ ( a , b ) = 1800 Û a , b ngược hướng
r r
r r
(
)
(
a
,
b
=
b
,a)
+
2. Tích vơ hướng của hai vectơ
rr r r
r r
(
a
.
b
=
a



MATHVN.COM | www.mathvn.com

r r r
a
ã Tớnh cht: Vi , b , c bt kỡ v "kẻR, ta cú:
rr rr
r r r
rr rr
+ a.b = b.a ;
a ( b + c ) = a.b + a.c ;
r
r
r
r
r
r r
( kar ) .b = k ( ar.b ) = ar. ( kb ) ;
a 2 0; a 2 = 0 a = 0 .
r
r r
r r 2 r
rr r
( ar - b )2 = ar 2 - 2ar.b + b 2 ;
+ ( a + b ) = a 2 + 2a.b + b 2 ;
r
r
r r r r
a 2 - b 2 = ( a - b )( a + b ) .


r r
cos(a , b ) =

ã Cho A( xA; yA), B( xB ; yB ) . Khi ú:

a1b1 + a2 b2
a12 + a22 . b12 + b22

;

r r
a ^ b a1b1 + a2 b2 = 0

AB = ( xB - xA)2 + ( yB - yA)2 .

Bi tp
Baứi 1. Tớnh giỏ tr cỏc biu thc sau:
a) a sin 0 0 + b cos 00 + c sin 900

b) a cos 900 + b sin 900 + c sin180 0

c) a 2 sin 90 0 + b2 cos 90 0 + c2 cos1800

d) 3 - sin 2 90 0 + 2 cos2 600 - 3 tan2 450

e) 4a 2 sin2 450 - 3(a tan 450 )2 + (2a cos 450 )2
Baứi 2. Tớnh giỏ tr ca cỏc biu thc sau:
a) sin x + cos x khi x bng 00; 450; 600.
b) 2 sin x + cos 2 x khi x bng 450; 300.

a) Tớnh AB. AC . Chng minh tam giỏc ABC vuụng ti A.
b) Tỡm tõm v bỏn kớnh ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC.
c) Tỡm to trc tõm H v trng tõm G ca tam giỏc ABC.
d) Tớnh chu vi, din tớch tam giỏc ABC.
e) Tỡm to im M trờn Oy B, M, A thng hng.
f) Tỡm to im N trờn Ox tam giỏc ANC cõn ti N.
g) Tỡm to im D ABDC l hỡnh ch nht.
h) Tỡm to im K trờn Ox AOKB l hỡnh thang ỏy AO.
www.MATHVN.com

11


MATHVN.COM | www.mathvn.com

Bổ sung bài tập nâng cao:
(Học sinh ban cơ bản có thể làm)
Bài1: Gọi (P) là đồ thị của hàm số y = x2 - 4x + 3.
a) Cho biết sự biến thiên và vẽ đồ thị ( P ) của hàm số.
b) Tìm giao điểm của (P) với đường thẳng d: y = x - 1.
Bài 2: Cho parabol (P):y = ax2 + 2x + c
a)Tìm parabol (P) biết rằng (P) cắt trục tung tại tung độ y = 2 và qua điểm A(-1;-1)
b)Vẽ parabol (P) vừa tìm được ở câu a).
Bài 3: Gọi (P) là đồ thị của hàm số y = x2 + bx + c.
a) Cho biết sự biến thiên và vẽ đồ thị (P) của hàm số khi a = 4, b = 3
b) Xác định b; c để hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng -1 khi x = 1.
Bài 4: Cho parabol (P): y = ax2 + bx + c ( a ¹ 0 ).
a) Tìm a, b, c biết rằng (P) đi qua điểm A(0;3) và có đỉnh S(2; -1).
b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số tìm được ở câu a.
Bài 5: Cho parabol (P): y = ax2 + bx + c ( a ¹ 0 ).

Bài 10: Cho phương trình bậc hai x 2 + ( 2m - 3) x + m 2 - 2m = 0
a) Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
b) Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm và tích của chúng bằng 3? Tìm các
nghiệm trong trường hợp đó.
c) Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa x1 + x2 =

12
5

ì(m - 1) x + (m + 1) y = m
Bài 10: a) Tìm các giá trị của m để hệ phương trình sau có nghiệm: í
î(3 - m) x + 3 y = 2
b) Giải và biện luận hệ phương trình:
ìmx + y = m + 1
ì x + my = 1
ì(m - 1) x + (m + 1) y = m
1) í
2) í
3) í
î x + my = 2
îmx - 3my = 2m + 3
î(3 - m) x + 3 y = 2

www.MATHVN.com

12


MATHVN.COM | www.mathvn.com



x2 - 2 x + 4 = x - 1 - 2

ìx + y = 4
d) í 2
2
î x + y + xy = 13

1 2
x + 2x - 6 = m -1
2

Bài 16: Dùng đồ thị biện luận số nghiệm của phương trình: - x 2 + 4 x - 3 = m + 1
Bài 17: Biện luận số giao điểm của hai parapol y = - x 2 - 2 x + 3 và y = x 2 - m
Bài 18: Không giải phương trình, hãy xét xem phương trình trùng phương sau đây có bao nhiêu
nghiệm: x 4 + 8 x 2 + 12 = 0
Bài 19: Trong mặt phẳng tọa độ cho ba điểm A(3; -1); B( 2; 4 ); C( 5; 3).
a) Chứng minh A, B, C là 3 đỉnh của môt tam giác.
b) Tìm điểm D sao cho ABCD là hình bình hành
c) Tìm tọa độ của M sao cho C là trọng tâm của tam giác ABM
d) Tìm tọa độ điểm N sao cho tam giác ABN vuông cân ở N.
Bài 20: Trong mặt phẳng tọa độ cho hai điểm A(-3; 4); B(1; 2)
a) Tính cosin của góc OAB.
b) Tìm điểm M trên Ox sao cho AM = BM
uuur uuur uuur r
c) Tìm điểm C sao cho O OA + 2OB + 3OC = 0 .
Bài 21: Trong hệ tọa độ Oxy cho 3 điểm A(4; 3), B(2; 7), C(-3; -8).
a) Tìm tọa độ điểm D để ABCD là hình bình hành, tìm tọa độ tâm của hình bình hành ABCD.
b) Tìm tọa độ trực tâm tam giác ABC.
c) Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và tính bán kính đường tròn đó.

1 + sin x ø è
1 + cos x ø sin x cos x
è
Bài 26: Cho tam giác ABC ,các điểm M(1; 0); N(2; 2); P(-1; 3) lần lượt là trung điểm của
www.MATHVN.com

13


MATHVN.COM | www.mathvn.com

các cạnh BC, CA, AB.
a) Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác MNP.
r
uuuur uuur
b) Phân tích véctơ x(4; -3) theo hai véctơ MN , MP .
c) Tìm toạ độ các đỉnh của tam giác ABC và kiểm chứng hai tam giác ABC và tam giác
MNPcó cùng trọng tâm.
µ = 600
Bài 27: Cho tam giác ABC biết AB = 10, AC = 4 và A
a) Tính chu vi tam giác ABC
b) Kẻ đường cao AH. Tính độ dai AH và BH. Tính diện tích tam giác ABC
c) Tính tanC
d) Lấy D trên tia đối của tia AB sao cho AD = 6 và điểm E trên AC sao cho AE = x. Tìm x để
BE là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE
Bài 28: Chứng minh
a öæ b ö æ c ö
æ
a) a4 + b4 ³ a3 b + ab3 ví i mä i a, b Î R. b) ç1 + ÷ç1 + ÷ ç1 + ÷ ³ 8 với a, b, c > 0
b øè c ø è a ø
0 . e) Cho a,b>0 chứng minh (1 + ) 2 + (1 + ) 2 ³ 8
a
b
c
b
a
uuur uuur r
Bài 29: Cho tam giác ABC, gọi P là điểm sao cho PA + PB = 0 , K là một điểm trên cạnh AC sao
uuur

cho KA = 3KC và E là trung điểm của đoạn PK. Chứng minh đẳng thức 4 AE =

5 uuur uuur
AB + BC .
2