Chuyên đề: LƯỢNG GIÁC
Biên soạn: Trần Hải Nam – Trung tâm luỵện thi Tầm Cao Mới
(tài liệu lưu hành nội bô)
Phần II: CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

-

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Vấn đề 1: Tập xác định, tập giá trị, tính chẵn lẻ
Hàm số y = sinx
Tập xác địng D = R
Tập giá trị T = [-1,1]
Hàm số lẻ

-

Chu kì: T0 = 2

A.
1.
a.
-

π

T0 =

2π
a

-

π

D = R\  + kπ , k ∈ Z 
2


-

Tập xác địng
Tập giá trị T = R
Hàm số lẻ

-

Chu kì: T0 =

-

π

T0 =
•

1

π
a

y = tan(ax + b) có chu kỳ:
1


T0 =
•

y = cot(ax + b) có chu kỳ:

•

y = cot(f(x)) xác định 

π
a

f ( x ) ≠ kπ ( k ∈ Z )

xác định

Lưu ý: y = f1(x) có chu kỳ T1; y = f2(x) có chu kỳ T2 thì hàm số y = f1(x)
kỳ T0 là bội chung nhỏ nhất của T1 và T2

±

f2(x) có chu

Bài tập
Bài 1: Tìm tập xác định và tập giá trị của hàm số sau

a/

 2x 

sin x + 1

sin x
cos( x − π )

f/

y = 2 − sin x


π
y = tan  x − ÷
6


i/ y =

1
tan x − 1

Bài 2: Tìm giá trịn lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

a/ y =

2


π
2 sin  x + ÷+ 1



i/ y =

sin x + 3 cos x + 3

Bài 3: Xét tính chẵn lẻ của hàm số
a/ y = sin2x

b/ y = 2sinx + 3

c/ y = sinx + cosx

d/ y = tanx + cotx

e/ y = sin4x

f/ y = sinx.cosx

g/ y =

cos3 x + 1

sin x − tan x
sin x + cot x

h/ y =

sin3 x

i/ y =


i/

π.

b/ 6

π

h/
c/

π.

x
3

c/

y = cos

y = tan x + cot 3 x

f/

y = cos2 4 x

d/ 4

π


a.

3

π
) + 2 cos 2 x + cos 2 x
6

y = 2sin( x +

b.

π
π
) cos( x + ) + sin 2 x
6
3

3


y = 2sin(2 x +

c.

π
π
) + 4 cos x cos( x + )
3

2 + cos x

y=

c.

4sin 2 x

π
2 + sin(2 x + )
6

.

là số nguyên.

Phương trình lượng giác cơ bản
I. Phương trinh lượng giác cơ bản
B.

1. Phương trình

 x = α + k 2π
sin x = sin α ⇔ 
(k ∈ Z )
 x = π − α + k 2π

a.

b.

4


sin x = 0 ⇔ x = kπ (k ∈ Z )

sin x = − 1 ⇔ x = −

sin x = 1 ⇔ x =

π
+ k 2π (k ∈ Z )
2

π
+ k 2π (k ∈ Z )
2

sin x = ± 1 ⇔ sin 2 x = 1 ⇔ cos2 x = 0 ⇔ cos x = 0 ⇔ x =

2.

a.

b.
c.

d.

e.


2

cos x = 1 ⇔ x = k 2π (k ∈ Z )

cos x = − 1 ⇔ x = π + k 2π (k ∈ Z )

5

5


cos x = ± 1 ⇔ cos2 x = 1 ⇔ sin 2 x = 0 ⇔ sin x = 0 ⇔ x = kπ (k ∈ Z )

3.

a.
b.
c.

d.

e.

Phương trình

tan x = tan α

tan x = tan α ⇔ x = α + kπ (k ∈ Z )
tan x = a ⇔ x = arctan a + kπ (k ∈ Z )
tan u = − tan v ⇔ tan u = tan(−v)

cot x = cot α ⇔ x = α + kπ ( k ∈ Z )
cot x = a ⇔ x = arccot a + kπ (k ∈ Z )

Đặc biệt
cot x = 0 ⇔ x =

6

π
+ kπ (k ∈ Z )
2

6


3
2

Ví dụ 1: sinx =

⇔ sin x = sin

π
3

π
π


 x = 3 + k 2π

Ví dụ 3: sin2x =

1
4

k∈Z

π
π
⇔ sin x = sin(− )
3
3

π

 x = 3 + k 2π
⇔
 x = 4π + k 2π

3

1

2 x = arcsin 4 + k 2π
⇔
2 x = π − arcsin 1 + k 2π

4

1

cos(2 x + ) = − cos = cos(π − ) = cos
2 ⇔
4
3
3
3

7


π 2π

2 x + 4 = 3 + k 2π
⇔
2 x + π = − 2π + k 2π

4
3

k∈Z

5π

 x = 24 + kπ
⇔
 x = − 11π + kπ

24

k∈Z


k ∈ Z ⇔ x = 30 0 + k180 0

k∈Z

Ví dụ 8 : tan3x = tanx

Điều kiện

π

3
x
≠
+ kπ

2
k∈Z

π
 x ≠ + kπ

2
⇔


x≠


x ≠

x=m

π

(m

∈Z

)

Ví dụ 9 : tan5x – cotx = 0

8

8


π
π

+k
x ≠
(k ∈ Z )
10
5

 x ≠ kπ
⇔

π

− x)
⇔
2

5x =

π
−x
2

+l

π

∈

(l Z)

∈

(l Z)

Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm của phương trình là:

x=

π
12

+l


3

h. sin(3x- 450) =

x
2

k. (cot -1)(cot +1)= 0

n. sin(2x -150) = 9

e. tan2x = tan

2
2

5π
6

1
2

l. cos2x.cotx = 0

p. sin4x =

π
3


r. cos2x cot(x -

π
4

)= 0

s. cos3x =

π
4

t. tan(

u. cos3x – sin2x = 0

x π
π
− ) = tan
2 4
8

v. sin3x + sin5x = 0

Bài 2: Giải các phương trình sau:
a. sin(2x -1) = sin(x+3)
2

d. 2sinx +


π
cos  2 x + ÷ = 0
6


π
sin  3 x + ÷ = 0
3


sin ( 3 x + 1) =

7)

10)

13)
10

1
2

π

1
cos  − 2 x ÷ = −
2
6



3)

6)
2
2

tan ( 2 x − 1) = 3

π
cot  2 x − ÷ = 1
3


9)

π

cos  − x ÷ = −1
5

π

sin  + 2 x ÷ = −1
6


x π 
3
sin  − ÷ = −
2


7)

9)

sin ( 3 x + 1) = sin ( x − 2 )

cos3x = sin 2 x


π
π
cos  2 x + ÷+ cos  x − ÷ = 0
3
3




π
π
tan  3 x − ÷ = tan  x + ÷
4
6


tan ( 2 x + 1) + cot x = 0

(


4
3



10)

13)

cos x =

15)

1
2

)

(

)

tan x 2 + 2 x + 3 = tan 2

12)

sin2 x =

2


bản.
b. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác: là những phương
trình có dạng a.sin2x+b.sinx+c=0 (hoặc a.cos2x+b.cosx+c=0, a.tan2x+b.tanx+c=0,
a.cot2x+b.cotx+c=0) để giải các phương trình này ta đặt t bằng hàm số LG..

11

11


Daùng

t = sinx

1 t 1

a cos2 x + b cos x + c = 0

t = cosx

1 t 1

a tan2 x + b tan x + c = 0

t = tanx

x

2


cotx 3)(2cosx 1) = 0

cotx = 3



sinx =



x
=
+ k 2

4
(k Z )

x = 3 + k 2
4


Vớ d 2 : 2tanx 5 = 0

3


+ k (k Z )
2

t = sin 2 x hoaởc t = sin x thỡ ủieu kieọn : 0 t 1.


(k Z )

tanx =

5
2

x = arctan

5
2

+k





(k Z)

3 cot x 3 = 0 (1)

2 cos x 1 = 0 (2)

cotx = cot


6


Vậy nghiệm của phương trình là:

π

 x = 3 + k 2π

π
 x = − π + k 2π
3
3 ⇔ 

π

 x = 6 + kπ

 x = π + k 2π

3

 x = − π + k 2π

3

(k ∈ Z )

(k ∈ Z )

Ví dụ 4: 2sin2x – sin2x = 0
⇔


(k ∈ Z )
 x = π + kπ

4

Ví dụ 5: 2sin2x – 5sinx – 3 = 0
≤

≤

Đặt t = sinx ( điều kiện -1 t 1) thay vào phương trình ta được:

2t2 – 5t -3 = 0

Với t = 13

1
2

t = 3 (loai )
⇔
t = − 1 (nhân)
2


ta được
13


sinx = -


x =

cot 2 x = 1
2 x = arc cot 1 + kπ
x =
cot 2 x = 3
2 x = arc cot 3 + kπ ( k ∈ Z )
⇔
⇔
⇔ 

Vậy nghiệm của phương trình là:


x =

x =


1
π
arc cot 1 + k
2
2 (k ∈ Z )
1
π
arc cot 3 + k
2
2



* Với sinx = 1

* Với sinx =

⇔

1
2 ⇔

x=

π
+ k 2π (k ∈ Z )
2

sinx = sin

Vậy nghiệm của pt là:

π

 x = 6 + k 2π
(k ∈ Z )

π
 x = 5π + k 2π
6
6 ⇔ 

x=±

Vậy nghiệm của pt là:

π
+ kπ (k ∈ Z )
4

Ví dụ 9: 1+sin2x = 2(cos4x + sin4x)
Ta có: 1 + sin2x

= 2(cos4x + sin4x) = 2[(cos2x + sin2x)2 – 2sin2xcos2x]

=2

 1 2 
 1 − sin 2 x ÷
 2


= 2 – sin22x

Vậy ta được phương trình sin22x + sin2x -1 = 0
Đặt t = sin2x với điều kiện -1 ≤ t ≤ 1 ta được phương trình:

t2 + t – 1 = 0 ⇒ t =
15

−1 ± 5
2




(k ∈ Z )



π 1
−1 + 5

 x = 2 − 2 arcsin  2 ÷
÷+ k π




Ví dụ 10: Giải phương trình sin2x(tanx – 1) = cosx(5sinx – cosx) – 2.
Điều kiện của phương trình là cosx ≠ 0
Chia hai vế của phương trình cho cos2x ta được:
tan2x (tanx – 1) = 5tanx – 1 – 2(1+tan2x)


tan3x – tan2x = 5tanx – 3 – 2 tan2x



tan3x + tan2x – 5tanx + 3 = 0

Đặt t = tanx ta được phương trình.




16


Ví dụ 11: Giải phương trình:

 3 −1

 3 1
2
sin 3 x + cos3 x = sin 2 x 
sin x + 
− ÷
cos
x

÷
3
 2 3
 2


Ta biến đổi phương trình đã cho:
 3 −1

2
3 3−2
sin 3 x + cos3 x − 2sin x cos x 
sin x +




⇔

(1)
sin x + cos x = 0

sin 2 x − 3 sin x cos x + 2 cos 2 x = 0 (2)
3


•

•

Giải phương trình (1) ta được: x =
2

Giải phương trình (2): sin x -

3

3π
4

+kπ, k ∈ Z

sinxcosx +


Vậy phương trình đã cho có các nghiệm x =

 3π
 x 4 + kπ

π

(k ∈ Z )
 x = + kπ
6

 x = arctan + kπ



Bài tập vận dụng
Bài 1: Giải các phương trình sau:
a. 4sinx – 3 = 0

d. 2cos3x + 1 = 0
g. (2cosx +

2

e. sin(3x + 1)=

)(tan(x +100) -

i. 8sinx.cosx.cos2x =
3


2π
5

)=

tan(5x + 200) =0
π
3

h. sin2x.cos3x.(tan4x +1)= 0

j. sin2x +2cox = 0

k. tan(x +1) – 2008=0

m. 4sin2x – sin22x = 0

q. cos2(x – 300) =

3

3
4

n.

3

- 2sin3x = 0

3

)tanx -

3

=0

e. 5cos2x + 7sinx – 7 = 0 f. tan4x – 4tan2x + 3 = 0
g. sin3x + 3sin2x + 2sinx = 0

i. sin22x – 2cos2x +

3
4

h. cos2x + 9cosx + 5 = 0

= 0 j. 4cos42x – 7cos22x + 3 = 0

Bài 4: Giải các phương trình sau:
1) 2sin2x + 5cosx + 1 = 0

2) 4sin2x – 4cosx – 1 = 0

3) 4cos5x.sinx – 4sin5x.cosx = sin24x
5)

4sin 2 x − 2 ( 3 + 1) sin x + 3 = 0


− ( 3 + 3 ) tan x − 3 + 3 = 0

3
cos x

4
2

+ tan x = 9

6) 9 – 13cosx +

1 + tan 2 x

=0
19


7)

1

1

2

cos2 x

sin x


. Tìm các nghiệm của

.

Bài 7: Cho phương trình cos5x.cosx = cos4x.cos2x + 3cos2x + 1. Tìm các nghiệm
của phươngt trình thuộc

( −π ; π )

Bài 8: Giải các phương trình

.



π
π 5
sin 4 x + sin 4  x + ÷+ sin 4  x − ÷ =

4

4 4

.

III. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx:
Dạng: asinx+bcosx=c. Điều kiện để phương trình có nghiệm là

Cách 1: Chia hai vế phương trình cho a rồi đặt


20

⇔

α

sin(x+ )=

a2 + b2

c
cos α ñaët
= sin ϕ
a

.

, ta được:

20


a
a2 + b2
a

Đặt:

b


b

sin x +

sin ( x + β ) =

a 2 + b2

hay

c
a 2 + b2

ñaët

= sin ϕ

.

.

sinx + cosx = 2
2

Chia hai vế pt trên cho
3
2

⇔



+ k2

π ⇔

x=

π
3

π
6

⇔

+ k2

sin(x + ) = 1
π

Ví dụ 2 cos3x – sin3x = 1
Chia hai vế pt trên cho
1
2

21

12 + (−1) 2

1


π
4

2 ⇔

cos3x - sin sin3x =

π
4

cos(3x +

) = cos

π
4

cos(3x +

π
4

1
2

)=

π π


5

sin2x +
4
5

⇔

cos2x = 1

α

, cos =

sin2x cos

sin(2x +

α

α

= 5 ta được

3
5

ta được
α


2

x =

+k

π

-

α
2

+k
α

π

(với sin =

4
5

α

, cos =

3
5



⇔2

⇔

3

3

sinx + cos2x +

3

sinx + 2cos2x – 1 + 2

sin2x + 3 = 0
3

sinxcosx + 3 = 0

2

sinx(cosx+1) + 2(cosx +1) = 0⇔ 2(cox +1)(

 cos x + 1 = 0

 3 sin x + cos x + 1 = 0

⇔



)-

2

(sin2x + 1) – 2cosx – sinx = 0

(cos2x – sin2x – 1) + sinx(cos2x – sin2x – 1) + 2cos 3x – sin2xcosx – 2cosx = 0

⇔ (cos2x – sin2x – 1) (
⇔ (cos2x – sin2x – 1) (

2

2

+ sinx) + cosx(2cos2x – sin2x – 2) = 0
+ sinx) + cosx(cos2x + 1 – sin2x – 2) = 0

⇔ (cos2x – sin2x – 1)(cosx + sinx +

23

2

2

) =0

23

 
 
π
cos  x − ÷ = −1
4
 

⇔

π
π

 2 x + 4 = ± 4 + k 2π

 x − π = π + k 2π

4

(k ∈ Z)

(k ∈ Z)

Bài tập vận dụng
Bài 1: Giải các phương trình sau:
a. sinx +

3

2


4)

24

cos x + 3 sin x = 2

sin x + cos x = 2 sin 5 x

sin x + cos x =

2)
5)

(

6
2

3)

3 cos3 x + sin 3 x = 2

3 − 1) sin x − ( 3 + 1) cos x + 3 − 1 = 0

24


6)

π


3 sin x = 2 cos  − x ÷
3


cos13x6) (3cosx – 4sinx – 6)2 + 2 = – 3(3cosx – 4sinx – 6)

Bài 4: Giải các phương trình sau:
3

1) 3sinx – 2cosx = 2

2)

cosx + 4sinx –

3) cosx + 4sinx = –1

4) 2sinx – 5cosx = 5

3

=0

Bài 5: Giải các phương trình sau:

1) 2sin


π


Cách 1: + Kiểm tra nghiệm với

π
+ kπ
2

.

+ Giả sử cosx0: chia hai vế phương trình cho cos2x ta được:
atan2x+btanx+c=d(1+tan2x).
25

25