TÀI LIỆU HỌC TẬP

MÔN TOÁN 11
HK1

Họ và tên HS:…………………………..……….Lớp:….....

Năm học 2014-2015
-Lƣu hành nội bộ-


THPT ERNST THÄLMANN

GV. LÊ QUỐC HUY

MỤC LỤC
Chƣơng 1. PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC .............................. 6
CHỦ ĐỀ 1: HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC. ............................................... 8
Vấn đề 1: Tìm TXĐ của các hàm số lƣợng giác: ............................... 8
Vấn đề 2: Tìm GTLN- GTNN của các hàm số lƣợng giác: ............... 10
CHỦ ĐỀ 2: PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC ................................. 10
Vấn đề 1: Phƣơng trình lƣợng giác cơ bản: .................................... 12
 Vấn đề 2: Phƣơng trình bậc hai hoặc phƣơng trình đƣa về đƣợc bậc hai
theo một hàm số lƣợng giác: ............................................................ 19
 Vấn đề 3: Phƣơng trình cổ điển (bậc nhất theo sin, cos): ................. 20
 Vấn đề 4: [Đọc thêm]Phƣơng trình đẳng cấp bậc hai ...................... 22
 Vấn đề 5: Phƣơng trình đƣa về dạng tích:...................................... 23
 Vấn đề 6: [Nâng cao] Phƣơng trình đối xứng: ................................ 24

Chƣơng 2. TỔ HỢP- XÁC SUẤT ................................................ 25
 CHỦ ĐỀ 1: HAI QUI TẮC ĐẾM- HOÁN VỊ, TỔ HỢP, CHỈNH HỢP.

Chƣơng 4: PHÉP DỜI HÌNH- PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG
MẶT PHẲNG ............................................................................... 54
CHỦ ĐỀ 1: PHÉP TỊNH TIẾN: ....................................................... 55
CHỦ ĐỀ 2: PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC: ............................................. 57
CHỦ ĐỀ 3: PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM:............................................... 59
CHỦ ĐỀ 4: PHÉP VỊ TỰ: ............................................................... 60
CHỦ ĐỀ 5: PHÉP QUAY. ............................................................... 62
BÀI TỔNG HỢP: ........................................................................... 62

Chƣơng 5: QUAN HỆ SONG SONG TRONG KHÔNG GIAN . 64
CHỦ ĐỀ 1: GIAO TUYẾN, GIAO ĐIỂM ......................................... 67
 Vấn đề 1: Giao tuyến của hai mặt phẳng: ...................................... 67
 Vấn đề 2: Các bài tập tìm giao tuyến bằng cách tìm phƣơng giao tuyến:
.................................................................................................... 69
Tài liệu học tập Toán 11-HK1/2014/2015

Lưu hành nội bộ lớp

Trang 3


THPT ERNST THÄLMANN

GV. LÊ QUỐC HUY

 Vấn đề 3: Giao điểm của đƣờng thẳng với mặt phẳng: .................... 69
CHỦ ĐỀ 2: QUAN HỆ SONG SONG .............................................. 72
 Vấn đề 1: Đƣờng thẳng song song với đƣờng thẳng:....................... 72
 Vấn đề 2: Đƣờng thẳng song song với mặt phẳng:.......................... 73
 Vấn đề 3: Mặt phẳng song song với mặt phẳng: ............................. 74

Đề số 3 ...................................................................................... 89
Đề số 4 ...................................................................................... 89
Đề số 5 ...................................................................................... 90
Đề số 6 ...................................................................................... 91
Đề số 7 ...................................................................................... 91
Đề số 8 ...................................................................................... 92
Đề số 9 ...................................................................................... 92
Đề số 10 .................................................................................... 93
Đề số 11 .................................................................................... 94
Phụ lục 4: ĐỀ THI HK1 các năm trƣớc.............................................. 94
Đề thi HK 1 năm 2008- 2009 ....................................................... 94
Đề thi HK 1 năm 2009- 2010 (đề A) ............................................. 95
Đề thi HK 1 năm 2010- 2011 (đề A) ............................................. 95
Đề thi HK 1 năm 2011- 2012 (đề A) ............................................. 96

Tài liệu học tập Toán 11-HK1/2014/2015

Lưu hành nội bộ lớp

Trang 5


THPT ERNST THÄLMANN

GV. LÊ QUỐC HUY

Chƣơng 1. PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG

GIÁC
HỆ THỨC CƠ BẢN


cos

NHẤT CẢ- NHÌ SIN
TAM TAN COT- TỨ COS

cos( x)  cos x;

CUNG ĐỐI
tan( x)   tan x;

sin( x)   sin x;

cot( x)   cot x.

CUNG BÙ

tan(  x)   tan x;

cos(  x)   cos x;
sin(  x)  sin x;

cot(  x)   cot x.

CUNG HƠN KÉM 
tan(  x)  tan x;
cos(  x)   cos x;
cot(  x)  cot x
sin(  x)   sin x;
CUNG PHỤ

GHI NHỚ: cos ĐỐI, sin BÙ, tan cot  , phụ CHÉO.
CÔNG THỨC CỘNG
sin(a  b)  sin a cos b  cos a sin b ;
tan a  tan b
.
tan(a  b) 
1 tan a tan b
cos(a  b)  cos a cos b sin a sin b ;

GHI NHỚ:
Sin thì sincos cossin
Cos thì coscos sinsin dấu trừ
CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI
sin 2a  2sin a.cos a ;
cos 2a  cos 2 a  sin 2 a
2 tan a
 2 cos 2 a  1
;
tan 2a 
2
1  tan a
 1  2sin 2 a.
CÔNG THỨC HẠ BẬC
1  cos2a
1  cos2a
;
;
sin 2 a 
tan 2 a 
2

a b .
sin a  sin b  2cos
sin
2
2

sin a  sin b  2sin

GHI NHỚ:
Cos cộng cos bằng 2coscos; cos trừ cos ngược dấu 2sinsin;
sin cộng sin bằng 2sincos, sin trừ sin bằng 2cossin
CÔNG THỨC TÍCH THÀNH TỔNG

cos a.cos b 

1
 cos(a  b)  cos(a  b)
2

Tài liệu học tập Toán 11-HK1/2014/2015

Lưu hành nội bộ lớp

Trang 7


THPT ERNST THÄLMANN

sin a.sin b 


Tập giá trị : [  1;1] ;

Tập xác định: D= ;
Tập giá trị : [  1;1] ;

Tính chẵn lẻ: Lẻ;
Tuần hoàn với chu kỳ T= 2
Hàm số tan: Hàm số y  tan x

 Tính chẵn lẻ: Chẵn;
Tuần hoàn với chu kỳ T= 2
Hàm số cot: Hàm số y  cot x

Tập xác định:

Tập xác định:



D  R \   k , k  Z  ;
2


D  R \ k , k  Z  ;

Tập giá trị: ;
 Tính chẵn lẻ: Lẻ;
Tuần hoàn với chu kỳ T= 

Tập giá trị: ;

B
B
B 0
i vi cỏc hm s lng giỏc cn chỳ ý thờm min xỏc nh ca
tan, cot.
y

A

xỏc nh B 0 ;

y

Vớ d 1: Tỡm min xỏc nh ca hm s: y
Gii:

3sin x 2
2sin 5x 1

Hm s cú ngha



5 x 6 k
1
2sin 5 x 1 sin 5 x

2

5 x k


Bi 1: Tỡm min xỏc nh ca cỏc hm s:
a. y

1 sin x
;
cos x

d. y = cot ( 3x


);
4

1 sin x
;
1 sin x
2x
);
e.y = sin (
x 1
b. y

Ti liu hc tp Toỏn 11-HK1/2014/2015

c. y tan(2 x
f.y = cot (

Lu hnh ni b lp


);
3

GV. LÊ QUỐC HUY

tan x
;
sin x  1
cot x
l.y =
;
cos x  1

3
;
sin 3x  sin x
sin x  2
m.y =
;
cos x  1

h. y 

j.y =

1 cos x
;
p.y = sin
sin 2 x
2

f.y = 2 cos2x – 3 cos2x;


);
3

g.y = 3 – 2 sin x ;

h.y = cosx + cos ( x -

i.y = sinx – cosx;

j.y = 2 sin2x – cos2x;

k. y  5  2cos 2 x sin 2 x ;

l.y = 3 – 4sinx;

m.y = 2 –

n.y = 2 cos ( x +

o.y = 4 sin

x;

cos x ;


3

 tan u  0  u  k
 sin u  1  u 



2

 k 2

 sin u  1  u  
 cos u  0  u 




2

 k 2

 k

2
 cos u  1  u  k 2

 cos u  1  u    k 2

 tan u  1  u 




Chú ý:
Giải cot u  a (vôùi a  0) ta biến đổi thành tan u  1/ a rồi dùng máy
tính bấm shift tan ( 1/ a ) suy ra góc  ,chuyển thành tan u  tan v . Còn
cot u  0  cos u  0  u   / 2  k
Nếu bấm shift sin, shift cos, shift tan, mà ra giá trị “xấu” thì dùng
arcsin, arcos, arctan.
Chuyển từ sin sang cos, cos sang sin, tan sang cot hay cot sang tan thì
ta sử dụng công thức “PHỤ CHÉO”.
Làm mất dấu trừ:
 sin(...)  sin[  (...)]
 cos(...)  cos[  (...)]
 tan(...)  tan[  (...)]
 cot(...)  cot[  (...)]
Điều kiện của tan, cot:
tan u
cot u
cos u  0  u   / 2  k

sin u  0  u  k

Nhớ: Cô tang thì khác k /Còn tan chẳng phải nghĩ gì mất công/90
cộng với nửa vòng…là xong!
Tài liệu học tập Toán 11-HK1/2014/2015

Lưu hành nội bộ lớp

Trang 11


THPT ERNST THÄLMANN


2


sin u  1  u   k 2

2
sin u   sin v  sin u  sin(v)
Phƣơng trình cos u  cos v .

Cách
giải
Chú ý

u  v  k 2
cos u  cos v  
k  Z 
u  v  k 2
Nếu gặp cos u  a thì tìm v để cos u  a  cos v rồi giải nhƣ
trên
 Nếu góc v không “đẹp”, thì lấy v  arccos a

Đặc biệt

Làm mất
dấu trừ



cos u  0  u  2  k

 k )
2
Nếu gặp tan u  a thì tìm v để tan u  a  tan v rồi giải nhƣ
trên
Nếu góc v không “đẹp”, thì lấy v  arctan a

Đặc biệt


 tan u  0  sin u  0  u  k

 tan u  1  u     k
(k  Z )

4


 tan u  1  u   k

4

Làm mất
dấu trừ

tan u   tan v  tan u  tan(v)
Phƣơng trình cot u  cot v .

cot u  cot v  u  v  k  k  Z 

Cách

Giải:
Tài liệu học tập Toán 11-HK1/2014/2015

Lưu hành nội bộ lớp

Trang 13


THPT ERNST THÄLMANN

GV. LÊ QUỐC HUY





2sin  2 x  300   1  0  sin 2 x  300  

sin  2 x  300   sin(300 )

1

2

 2 x  300  300  k 3600
 2 x  300  300  k 3600



0

  cos 2 x  0

2 

2 

  cos 2 x  0  cos  2 x    cos 2 x  0
3 
3 



2

2

 2 x  3  2 x  k 2
 k
0 x   3  k 2 (vô lý)

.
 x 

6
2
2

2

2 x 


 450  x  3x  k1800
0

45
 2 x  45  k180  x  
 k 900
2
0

0

d. cot 2 2 x  3 (2)
Giải: (2)  cot 2 x   3
TH1:

cot 2 x  3  tan 2 x 

1
3

 tan 2 x  tan300

 2 x  300  k1800  x  150  k 900
Tài liệu học tập Toán 11-HK1/2014/2015

Lưu hành nội bộ lớp

Trang 14




g. sin 2 x  cos   x   0
3





Giải: sin 2 x  cos   x   cos   x   sin 2 x
3

3


 cos    x   cos    2 x   ........
3

2

........


h. (1  2sin 2 x)(3  2 cos x)  0
Giải:

1  2sin 2 x  0
1  2sin 2 x  0

(1  2sin 2 x)(3  2 cos x)  0  



b. 1  2 cos(  2 x )  2 ;
4



3  3tan(3x  600 )  0 ; d. 3  3 cot(4 x  )  4 ;
4


2
e. sin  2 x    
;
6
2

f. cos  x  450  

g. cot  3x  450   3  0 ;

h. tan  3x     1 ;
2

i. 3cot  x  1350    3 ;

j. 2sin  3x     3  0 ;

2



3

4



o. 2sin(2 x  )  1  0 ;
4

3
;
2

3

4

n. 2cos  3x  1  3  0 ;

r. 2cos (3x – 20o ) +

3 0

x
t. 3cot(  20o )  3  0
3
Bài 4:(sinu=sinv, cosu=cosv, tanu=tanv, cotu=cotv)



c. tan(450  x)  tan(3x  450 )  0 ; d. cot( x  )  cot(3x  )  0
3
6
Bài 6: (Phụ chéo)
Tài liệu học tập Toán 11-HK1/2014/2015

Lưu hành nội bộ lớp

Trang 16


THPT ERNST THÄLMANN

GV. LÊ QUỐC HUY



b. cos2 x  sin(  x )  0 ;
4

a. sin( x  1200 )  cos3x  0 ;





c. tan(  2 x )  cot( x  )  0 ;
d. cot(2 x  1350 )  tan( x  1200 )  0
3
4

4

e. sin(3x 

g. tan(

2
 7x)  1;
3

j. cos(5x  300 )  1 ;



c. tan(  x )  0 ;
3

2
)  1;
3

h. cot(2 x  100 )  1 ;



f. cos(  5x )  1 ;
3




a. 3sin(2 x  400 )  2 ;

b. 1  3cos( x  )  0 ;
4




d. 2 cot(2 x  )  4  0 ;
4

c. 4  tan(  3x )  0 ;
3
e. 5cos 2 x  4  0 ;
Tài liệu học tập Toán 11-HK1/2014/2015

f. 3sin  2 x  450   2 ;
Lưu hành nội bộ lớp

Trang 17


THPT ERNST THÄLMANN

GV. LÊ QUỐC HUY

g. 3tan 2 x  5  0 ;

h. 6  3cot( x  1350 )  12





e. 3tan x  3  2sin x  1  0 ;

f.  sin 3x  1 2  sin x   0 ;

g. sin 3x 1  cos 2 2 x   0 ;

h. sin5 2 x  cos x  7  0 ;





i. cos(2 x  300 ) 1  cos2 5x  0 ;

j. (tan2 4 x  1)cos x  0 ;

Bài 13: (Tổng hợp)
a. cos 2 x  cos(1200  2 x)  0 ;

b. cos 4 x  cos3x  0 ;

c. sin 2 x  sin(450  4 x)  0 ;

d. sin 2 x  sin 4 x  0 ;

e. tan 3x.cot 5x  1 ;



Tài liệu học tập Toán 11-HK1/2014/2015







j. cot  2 x   .tan  3 x    1 ;
3
4


l. sin(3x 

5

)  cos( 3x  )  0 ;
6
4

n.sin3x – cos2x = 0;
p.tan (


4

 x)  cot 2 x ;



b. sin2 x  4 cos x  4  0
Giải:  sin2 x  4 cos x  4  0  1  cos2 x  4 cos x  4  0

 cos x  1(nhaän)
  cos2 x  4 cos x  3  0  
.
cos
x

3(loaï
i
)

Ta có cos x  1  x  k 2 .
Bài 14.
a. 3sin 2 3x  5sin 3x  2=0 ;



b. 2cos2 2 x  5cos 2 x  3  0 ;







c. tan2 ( x  )  4 tan( x  )  3  0 ; d. cot 2 x  1  3 cot x  3  0 ;
3


e. sin 2 x  cos x+1=0 ;

f. sin 2 2 x  2cos 2 x 

g. 3cos 2 6 x  8cos3 xsin 3 x 4  0 ;

h. 2cos2 x  3sin x. ;

3
0;
4

i. 6cos2 x  5sin x  2  0 .

Bài 16. (Chứa  cos2u,cos u  ;  cos2u,sin u  ) :
a. cos2 x  4sin x  5 ;
c. 1  cos4 x  cos2 x ;
e. 3cos2 x  sin x  4  0 ;

b. 2cos2 x  1  cos x ;
d. cos4 x  cos2 x  2  0 ;
f. cos2x+9cos x+5=0 ;








a. cos2 x  cos2 x  4sin x  3 ;
Bài 20.
a. 2sin2

x
 3cos2 x  5  0 ;
2

b. cos2 x  sin2 x  1  2cos x
b. 2 cos2

x
 sin2 x  0 .
2

 Vấn đề 3: Phương trình cổ điển (bậc nhất
theo sin, cos):
Dạng: a sin u  b cos u  c .
Điều kiện có nghiệm: a2  b2  c2
Cách giải: Chia 2 vế cho a 2  b2 , ta đƣợc
a
b
c
sin u 
cos u 
(1)
a 2  b2
a 2  b2
a 2  b2
Tài liệu học tập Toán 11-HK1/2014/2015


c
a 2  b2

Ví dụ: Giải phương trình sin(2 x  100 )  3 cos(2 x  100 )  1
Giải:  a  1; b   3; c  1  a 2  b2  12  ( 3)2  4  12  c2
 Chia hai vế cho

a 2  b2  2 ta được:

1
3
1
sin(2 x  100 ) 
cos(2 x  100 ) 
2
2
2
 cos 600 sin(2 x  100 )  sin 600 cos(2 x 100 ) 





0
0
 sin 2 x  10  60 

1
2

360
x

110

k
180


Bài 21 : a. sin x  3 cos x  2 ;

b. 3cos 2 x  3 sin 2 x  3 ;


d. sin(3x  )  1  3 cos(3x  )  0 ;

c.  cos x  sin x   2 ;

3

e. 2 sin    3x   6 cos    3 x   2  0 ;
4



4



g. cos 2 x  3 sin 2 x  2 ;

TH2: cos u  0 : Chia 2 vế cho cos2 u , đƣa phƣơng trình về phƣơng
d
trình bậc hai theo tan u với chú ý
 d 1  tan 2 u 
2
cos u
Xem ví dụ minh họa sẽ rõ hơn.
Ví dụ: Giải các phương trình sau:
a. 5sin2 x  2sin 2 x  3cos2 x  2
Giải:
5sin2 x  2sin2 x  3cos2 x  2  5sin2 x  4sin x cos x  3cos2 x  2

TH1: cos x  0 : sin2 x  1  cos2 x  1  0  1 .
Thay vào phƣơng trình ta có: 5.1  4.sin x.0  3.0  2 (vô lý)
TH2: cos x  0 : Chia cả hai vế phƣơng trình cho cos2 x :
sin2 x
sin x cos x
cos2 x
2
5
4
3

2
2
2
cos x
cos x
cos x cos2 x



6

3

Lưu hành nội bộ lớp

Trang 22


THPT ERNST THÄLMANN

GV. LÊ QUỐC HUY

TH2: cos3x  0 : Chia 2 vế cho cos2 3x ta đƣợc
sin2 3x
sin 3x.cos3x
cos2 3x
4
4
6 3
2

2
2
2
cos 3x
cos 3x
cos 3x cos2 3x


.
3

Bài 22:

a. cos2 x  3sin x cos x  2sin2 x  0 ;

b. sin2 x  (1  3)sin x cos x  3 cos2 x  0 ;

c. 5sin2 x  2sin 2 x  2  3cos2 x  0 ; d. sin2 2 x  sin 4 x  2 cos2 2 x 

1
;
2

e. 3sin2 3x  3 sin3x.cos3x  cos6 x  1  0 ; f. 2sin 2 2x  sin 2x cos 2x  cos2 2x  2
g. 2sin 2 3x  sin3x cos3x  3cos2 3x  0 ;
i. 2cos2 x  3 3 sin 2 x  4sin 2 x  4 ;

h. 4sin 2 x  2sin 2 x  3cos2 x  1 ;
j. 4cos2 x  3sin x cos x  3  sin 2 x ;

 Vấn đề 5: Phương trình đưa về dạng
tích:
Sau những bƣớc biến đổi thích hợp ta có phƣơng trình dạng:

A  0
A.B  0  
.
B



)  cos2 2 x  0 ;

d. 2sin 2 x  2 sin 4 x  0
f. 5cos x  2sin 2x  0 ;

e. sin2 (2 x  )  cos2 3x  1 ;
5
g. tan2 x  2tan x  0 ;

h. 2 cos2 x  cos2 x  2

i. 2sin2 x  3cos2 x  2 ;

j.cos3x – cos4x + cos5x = 0

k. sin 7 x  sin3 x  cos5 x ;

l. cos2 x  sin2 x  sin3x  cos4 x

3x
;
2
o. cos2 x.cos x  1  sin2 x.sin x ;
2

q.sin2(x +
)  sin 2 (2 x  )  0 ;
3


Cách giải: Đặt t  sin x  cos x  2 sin  x 



suy ra t 2  1  2sin x cos x nên ta có sin x cos x 





,  2  t  2
4



t 2 1
.
2

Sau đó thay vào phƣơng trình (1), đƣợc một phƣơng trình theo ẩn t, giải tìm t,
từ đó giải tìm x.
Bài 24:
a. sin x cos x 2sin x.cos x 1 0 ;
b. 3 sin x cos x 4sin x.cos x 0 .
c. 12 sin x cos x

2sin x.cos x 12

e. 3 sin x

3sin x.cos x

Lưu hành nội bộ lớp

1;
1

Trang 24


THPT ERNST THÄLMANN

i. 4 sin x

cos x

GV. LÊ QUỐC HUY

6sin x.cos x

7

0;

Chƣơng 2. TỔ HỢP- XÁC SUẤT
 CHỦ ĐỀ 1: HAI QUI TẮC ĐẾM- HOÁN
VỊ, TỔ HỢP, CHỈNH HỢP.
 Vấn đề 1: Hai qui tắc đếm:
Qui tắc cộng
Một công việc có thể

Giai đoạn n: có mn cách thực

Đặc
điểm

Tổng
số cách

cách thực hiện

hiện

m1 + m2 +… mn

m1 . m2 … mn

TH1

Mô
hình

TH2

Xong công việc

Giai
đoạn
1

Giai