Đề thi chọn học sinh giỏi quốc gia
Lớp 12 THPT năm 2005, Môn Vật lý, Bảng A. Ngy thi th nht (10/3/2005)
Bài I. Cho vật nhỏ A có khối lợng m và vật B khối lợng M. Mặt trên của B là một phần mặt
cầu bán kính R (xem hình vẽ). Lúc đầu B đứng yên trên mặt sàn S, bán kính của mặt cầu đi qua
A hợp với phơng thẳng đứng một góc
0

(
0

có giá trị nhỏ). Thả cho A chuyển động với vận
tốc ban đầu bằng không. Ma sát giữa A và B không đáng kể. Cho gia tốc trọng trờng là g.
1. Giả sử khi A dao động, B đứng yên (do có ma sát giữa B và sàn S).
a) Tìm chu kỳ dao động của vật A.
b) Tính cờng độ của lực mà A tác dụng lên B khi bán kính qua
vật A hợp với phơng thẳng đứng một góc
( )
0


.
c) Hệ số ma sát giữa B và mặt sàn S phải thoả mãn điều kiện
nào để B đứng yên khi A dao động?
2. Giải sử ma sát giữa vật B và mặt sàn S có thể bỏ qua.
a) Tính chu kỳ dao động của hệ.
b) Lực mà A tác dụng lên B có giá trị cực đại bằng bao nhiêu?
Bài II. Trong bình kín B có chứa hỗn hợp khí ôxi và hêli. Khí trong bình có thể thông với môi tr-
ờng bên ngoài bằng một ống có khoá K và một ống hình chữ U hai đầu để hở, trong đó có chứa
thuỷ ngân (áp kế thuỷ ngân nh hình vẽ). Thể tích của khí trong ống chữ U
nhỏ không đáng kể so với thể tích của bình. Khối khí trong bình cân bằng
nhiệt với môi trờng bên ngoài nhng áp suất thì cao hơn nên sự chênh lệch của

và
2
C
giống nhau, có cùng điện
dung C. Tụ điện
1
C
đợc tích điện đến hiệu điện thế
0
U
, cuộn dây có độ tự cảm L, các khoá
1
K
và
2
K
ban đầu đều mở. Điện trở của cuộn dây, của các dây nối, của các khoá là rất nhỏ,
nên có thể coi dao động điện từ trong mạch là điều hoà.
1. Đóng khoá
1
K
tại thời điểm t = 0. Hãy tìm biểu thức phụ thuộc thời gian t của:
a) cờng độ dòng điện chạy qua cuộn dây.
b) điện tích
1
q
trên bản nối với A của tụ điện
1
C
.

Tt
=
.
b) Khoá
2
K
đợc đóng ở thời điểm
02
Tt
=
.
3. Tính năng lợng điện từ của mạch điện ngay trớc và ngay sau
thời điểm
2
t
theo các giải thiết ở câu 2b. Hiện tợng vật lý
nào xảy ra trong quá trình này?
Bài IV. Cho hệ trục toạ độ Descartes vuông góc Oxy. Một thấu kính hội tụ, quang tâm
1
O
, đợc
đặt sao cho trục chính trùng với Ox. S là điểm sáng nằm trớc thấu kính. Gọi
'S
là ảnh của S
qua thấu kính.
1.Lúc đầu S nằm trên Oy, cách thấu kính một khoảng
bằng tiêu cự của thấu kính, cách O một khoảng bằng h.
Giữ S cố định, dịch chuyển thấu kính ra xa dần S sao cho
trục chính luôn luôn trùng với Ox.
a) Lập phơng trình quỹ đạo

Chiếu (1) lên trục Os (coi nh vuông góc với bán kính):
smRmgs

=
/

0
2
=+

ss

với
Rg /
=

.
Vậy A dao động điều hoà với
gRT /2

=
b) Chiếu (1) trên phơng bán kính:
RmvmgN /cos
2
+=

.
Theo định luật bảo toàn năng lợng:
( )
0

0
2
mgmgMg
+=
.
Điều kiện để B đứng yên là:
kQN
x

với mọi
0


.
Với

nhỏ:
( )

0
cos23 mgmgN
x

tỷ lệ với

nên có giá trị cực đại khi
0

=
.

=
.
Mặt khác, ta có
minmax
// QNkQNk
xx


0
2
00
min
cos
sincos


mM
m
k
+
=
.
Nếu thay
2/1cos
2
00


và
00

coscos
22

=+
mgR
MVmv
Chú ý rằng
( ) ( )
MmvVvR /1'
+==

(ở đây ký hiệu
dt
d


=

), Với các góc bé, ta có:

( ) ( )
( )
22
0
2
2
222
2
22
2

Đạo hàm hai vế biểu thức trên theo t:, ta đợc:

( )

R
Mmg /1
+
=

.
Vậy hệ dao động điều hoà với
( )
( )
Mmg
R
T
R
Mmg
/1
2
/1
+
=
+
=

.
b) Đối với m:
amgmN


coscos2








+
=
gR
Mm
M
v
Ta đã biết
( )
MmvVv /1
+=
nên khi
0
=

,

cos
và
Vv

cực đại, do đó N cực đại. Vậy

mg
+







+
+=


( )
0
cos/1223

Mmmg
M
m
mgmg
++=
.
Bài II. 1) Lúc cha mở khoá K, khí có áp suất
ghpp

+=
01
. Khi mở khoá K, khí giãn nở đoạn
nhiệt và có áp suất







+








=

(1)
Khi đóng khoá, quá trình là đẳng tích. Khi cân bằng khí có áp suất
202
ghpp

+=
và nhiệt độ
1
T
. Ta có:
)2(1
0
2

1
11
0
1
0
2









+=









p
gh
p
gh


2
H
là 5R/2. Nhiệt dung mol đẳng áp của He là 5R/2, của
2
H
là 7R/2, nên ta hệ
phơng trình:
1
=+
yx

(*)

55,1
5,25,1
5,35,2
=
+
+
=
RyRx
RyRx

(**)
Giải ra ta đợc
68,0

x
. Từ đó ta tính đợc:
( )











=
1
00
1
1 p
pRT
n


=
( ) ( )
0
02
20
00
1
1
1 p
TghnR
ghp

( )
00
0 CUQq
==
và
( )
00 =i
Vào thời điểm t ta có:
)./(sin//
0
LCtLCUdtdqi
==
b)
( )
)/cos()/(cos
00
LCtCULCtQtq
==
2. a) Tại thời điểm
2/34/3
01
LCTt

==
thì
( )
)3(04/3
0
=
Tq

=
.
hay
)5(
4
23
2
cos/
01








=

LC
t
LCUi
Ký hiệu
12
q
là điện tích của tụ ghép và
'q
là điện tích của tụ
2
C

Từ đây suy ra:
)6(
4
23
2
sin
2
'
0








=

LC
t
CU
q
2.b) Nếu đóng
2
K
vào thời điểm
02
Tt
=

Q
này trên tụ
1
C
sẽ phân bố lại cho cả hai tụ điện. Quá trình phân bố này xảy ra rất nhanh trong
khi điện tích cha kịp dịch chuyển qua cuộn dây, vì tại thời điểm này
0
=
i
và sự thay đổi cờng
độ dòng điện qua cuộn cảm bị cản trở do hệ số tự cảm (gây ra cảm kháng), điện tích hầu nh chỉ
truyền qua các khoá và dây nối. Vì hai tụ điện có điện dung nh nhau nên điện tích
0
Q
đợc phân
bố đều cho hai tụ điện.
Sau khi điện tích đợc phân bố đều trên hai tụ điện, trong mạch lại có dao động điện từ với
tần số góc
12
2
1

==
LC
, với điều kiện ban đầu (7) và (8).
Vì vậy ta có: