Tng Long Giang Ngha L - Yờn Bỏi
Nguyên Hàm -Tích phân - ứng dụng
I/ Nguyên hàm
1/ Tính chất nguyên hàm
*
( )
)()(
'
xfdxxf
=

*

=
dxxfadxxfa )(.)(.
*

+=+
dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([
2/ Bảng nguyên hàm
Nguyên hàm của các hàm số sơ cấp th-
ờng gặp
Nguyên hàm của các hàm số hợp
u = u(x)








C
x
dxx
Cxdx
ẽẽ
cot
sin
cos
cossin
sincos
ln
||ln
1
2
2
ã
ã
1



(
1


)
(x
0

)

dx
Cuudx
Cuudx
C
a
a
dxa
Cedxe
Cu
u
dx
C
u
dxu
Cudu
u
u
uu
cot
sin
cos
cossin
sincos
ln
||ln
1
2
2
1


b/

+=







Ctgxxdx
x
x 2cos3
cos
2
sin3
2
c/

+++=
++
Cxxxdx
x
xxx
2
1
3
1
4
3

x
xxdxdxx
5
sin
)(sinsincos.sin
5
44
f/

++=
+
+
=
+
Ce
e
ed
e
dxe
ẽ
ẽ
ẽ
ẽ
ẽ
)1ln(
1
)1(
1
g/


(1-e
-x
)
d/ f(x) = e
x








+

x
e
x
2
cos
2
e/
( )

+
dxx
20
102
f/


là : S = F(b)-F(a) với F(x) là nguyên hàm bất kỳ của s(x) trên [a,b]
2/ Tính chất của tích phân
*
( ) 0
a
a
f x dx =

*
( ) ( )
b a
a b
f x dx f x dx=

*
( ) ( )
b b
a a
kf x dx k f x dx=

*
[ ( ) ( )] ( ) ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx =

Tng Long Giang Ngha L - Yờn Bỏi
*
( ) ( ) ( )
c b c

1
( 1) | | 24
4
x dx x dx dx x x


+ = + = + =

b/
1
2
0
( 3 5)x x dx +

c/
2
3
0
sin cosx xdx


4/ Các ph ơng pháp tính tích phân
a/ Tích phân đổi biến số
Giả sử phải tính
( )
b
a
f x dx

trong đó f(x) liên tục /[a,b]


=

=G(t)|
b
a
Tống Long Giang Nghĩa Lộ - Yên Bái
VÝ dô : TÝnh tÝch ph©n
a/ I =
1
2
0
1 x dx−
∫
§Æt x = sint => dx=costdt
Khi x = 0 => t = 0; x = 1 => t =
2
π
=> I=
2
0
π
∫
cost.cost.dt=
2
0
π
∫
cos
2

dx
x+
∫
§Æt x =tgt => dx =
2
1
dt
cos t
=(1+tg
2
t)dt
Khi x=0 => t = 0; x = 1 => t =
4
π
=>
1
2
0
1
dx
x+
∫
=
4 4
4
2
2
0
0 0
1

§Æt
1 3
2 4
x tgt+ =
=> dx =
2
2
3 1 3
. (1 )
2 2
dt tg t dt
cos t
= +
Khi x = 0 => t =
6
π
; x = 1=> t =
3
π
=>
1
2
0
1
dx
x x+ +
∫
=
2
3

* §æi biÕn sè d¹ng 2
1. §Æt t = v(x), v(x) lµ hµm sè cã ®¹o hµm liªn tôc
2. BiÓu thÞ f(x)dx theo t vµ dt gi¶ sö f(x)dx=g(t)dt
3. T×m mét nguyªn hµm G(t) cña g(t)
Tống Long Giang Nghĩa Lộ - Yên Bái
4. TÝnh
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
v b
v b
v a
v a
g t dt G t=
∫
5. KÕt luËn
( )
( )
( ) ( )
b
v b
v a
a
f x dx G t=
∫
VÝ dô : TÝnh tÝch ph©n
a/
1

x x
∫
§Æt t = lnx => dt = dx/x =>dx = x.dt
Khi x = e => t =1; x =e
2
=> t = 2
=>
2
.ln
e
e
dx
x x
∫
=
2
2
1
1
ln ln 2 ln1 ln 2
dt
t
t
= = − =
∫
c/
2
1
2 1
dx

x
dx
x
+
∫
g/
2
3
0
sin .cosx xdx
π
∫
b/ TÝch ph©n tõng phÇn
NÕu u(x) vµ v(x) lµ hai hµm sè cã ®¹o hµm liªn tôc trªn ®oan [a;b] th× :
( ) '( ) ( ( ). ( )) ( ) '( )
b b
b
a
a a
u x v x dx u x v x v x u x dx
= −
∫ ∫