Netschool.edu.vn

TÓM TẮT CÔNG THỨC TÍNH ĐẠO HÀM
1/ Các quy tắc tính đạo hàm (Ký hiệu U=U(x), V=V(x)).
  U  V   U  V



  UV   UV  UV

  U   U.V 2U.V
V
V


{f[U(x)]}/ = f ' u . U x



2/ Các công thức tính đạo hàm:
Teân hàm số
Các hàm số
thường gặp

Công thức đạo hàm

C  =0

(C lµ h»ng sè)

x  =1

u

u/
(u  0)
u 
2 u

 sin x   cos x
/
 cos x    sin x

 sin u   cos u.u /
/
 cos u    sin u.u /

1
 1  tan 2 x
cos 2 x
1
/
 cot x    2   1  cot 2 x 
sin x

 tan u 

 

/

/

x
1
( log a x )’ =
(x>0, 00, 00, 00)
( x ) =
2 x

 tanx 

Hàm lũy thừa



1

1

1

 x dx  ln x  C

 u du  ln u  C

 (ax  b) dx  a ln ax  b  C

1
1
 2 dx    C
x
x
1
 x dx  2 x  C

1
1
 2 dx    C
u
u
1
 u du  2 u  C



1

 sin(ax  b)dx   a cos(ax  b)  C

1

 cos2 (ax  b) dx  a tan(ax  b)  C

1

 sin 2 (ax  b) dx   a cot g (ax  b)  C

1

 cos2 u du  tan u  C

1

 sin 2 u du   cot u  C

 sin 2 x dx   cot x  C

1 amxn
.
 C, m  0
m ln a

 cos(ax  b)dx  a sin(ax  b)  C

 sin u.du   cos u  C


*Trường hợp đặc biệt u  ax  b

1

 cos kx.dx  k sin kx  C
1

 sin kx.dx   k cos kx  C
e

kx dx  1 ekx  C
k

1 (ax  b) 1

 (ax  b) .dx  a .   1  C

1

1

Ví dụ

1

 cos 2 x.dx  2 sin 2 x  C, (k  2)
1

 sin 2 x.dx   2 cos 2 x  C

1
1
du  .2 ax  b  C
a
ax  b
1 axb
axb
C
 e dx  a e
mxn
mxn du  1 . a
a
 C, m  0

m ln a
1
 cos(ax  b)dx  a sin(ax  b)  C







6

1
1
2
du  .2 3x  5  C 


1

1

 cos2 (ax  b) dx  a tan(ax  b)  C
1

1

 cos2 (2 x  1) dx  2 tan(2 x  1)  C

1

1

 sin 2 (ax  b) dx   a cot(ax  b)  C

1

 sin 2 (3x  1) dx   3 cot(3x  1)  C

*Chú ý: Những công thức trên có thể chứng minh bằng cách lấy đạo hàm vế trái hoặc tính bằng phương
pháp đổi biến số đặt u  ax  b  du  .?.dx  dx  .?.du
Ví dụ: Chứng minh  cos(ax  b)dx 

1
sin(ax  b)  C , a  0
a



 xC
ln 3 2

1
a) f ( x)  2 x9 2
b) f ( x)  3x  x  1

2
c) f ( x)  +3
x
d ) f ( x)  2sin x
cos x
e) f ( x) 
3

kq: F ( x)  2ln x  3x  C
kq: F ( x)  2cos x  C
1
kq: F ( x)  sin x  C
3

Bài 2: Tìm nguyên hàm của các hàm số

a. f(x) = x2 – 3x +

1
x

ĐS. F(x) =


ĐS. F(x) =

Netschool.edu.vn

x3
1
 2x   C
3
x


Netschool.edu.vn

e. f(x) =
f. f(x) =
g. f(x) =

x 3 x 4 x

1
2

x 3x
( x  1)2
x

x 1
h. f(x) =
3x




4
3x 3

ĐS. F(x) = x  4 x  ln x  C

5
2
3
3
ĐS. F(x) = x  x  C

kq : F ( x) 

x6
 x3  4 x  C
6

1
5
kq : F ( x)  x 4  x3  x 2  x  C
8
3
2
1
kq : F ( x)   x7  x6  x3  2 x  C
21
2

dx
x2
Bài 4 Tìm

1
kq: F ( x)  x3  x 2  8 x  C
3
1
1
3
kq: F ( x)  x3  x 2  x 2  3x  C
3
2
2
3
2
kq: F ( x)  x  9 x  27 x  C
kq: F ( x) 

1 2
x  5x  C
2

kq: F ( x) 

2 3 5 2
x  x  ln x  C
3
2


kq: F ( x)  x  2 x 2  5 x  C
7
1
2
kq: F ( x)  
  2 x2  x  C
2 x2 x
x3
1
kq: F ( x ) 
 2x   C
3
x
kq: F ( x)  x 2  ln x  x  C

Bài 5: Tìm

a)  (2.3x  4 x )dx
b)  (2.a x  5 x )dx
1
c)  (3e x  5sin x  )dx
x

x
e
d )  e x (2 
)dx
2
cos x


kq: 2e x  x  C
ex
kq:
C
(1  ln 2)2 x

Bài 6 Tính nguyên hàm của các hàm số
x
1
a)  sin 2 dx
kq: F ( x)  ( x  sin x)  C
2
2
x
b)  (2 x  sin 2 )dx
2
x
1
c)  cos 2 dx
kq: F ( x)  ( x  sin x)  C
2
2
x
d )  (2 x 2  cos 2 )dx
2
1  cos2 x
1  cos2 x
HD : sin 2 x 
; cos 2 x 
2

h)  (2 tan x  cot x)2 dx
HD : (a  b)2  a 2  2ab  b2
h) 

1

kq: F ( x)  tan x  cot x  4 x  C
kq: F ( x)  4 tan x  cot x  x  C

kq: F ( x)  tan x  cot x  C

dx
sin 2 x.cos 2 x
cos2 x
h) 
dx
2
sin x.cos 2 x

kq: F ( x)   tan x  cot x  C

HD : sin 2 x  cos2 x  1; cos2 x  cos 2 x  sin 2 x
Bài 7: Tìm hàm số f(x) biết rằng

a) f '( x)  2 x  1; f (1)  5
b) f '( x)  2  x 2 ; f (2) 

c) f '( x)  x 

7

kq: f ( x) 
  2x 
2 x
2
8 x x x 2 40
kq: f ( x) 


3
2
3
kq: f ( x)  x 4  x3  2 x  3
4
3 3 x4
kq: f ( x)  x 
x
4
4
x3
kq: f ( x) 
1
3
kq: f ( x)  ( x  2)3
kq: f ( x) 

x2 1 5
 
2 x 2

5 x3 23

17.
21.

 (2 x

 1) 7 xdx

2

3x 2



5  2x3

 sin

4

dx 10.

x cos xdx

3

 5) 4 x 2 dx
dx




x sin 2 xdx

2x 1
x
8.  2
dx
x 5

x 2  1.xdx

16.

19.

 tan xdx

23.



27.



x 2 1

dx

tan xdx



1 x2
dx
31.  x
e 1

x  1.dx

 x.e

12.

 cot xdx

15.

18.

x



dx



4.

ln 3 x
 x dx

3.

x

32.

x 2  1.dx

3

2. Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần.
Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên I
 u( x).v' ( x)dx  u( x).v( x)   v( x).u' ( x)dx
Hay

 udv  uv   vdu ( với du = u’(x)dx,
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
1.  x. sin xdx
2.  x cos xdx
3.
5.

 x sin 2 xdx

6.

9.

 x ln xdx


3

15.
x2

 5) sin xdx

 x.e dx
ln xdx
11. 
x

xdx

xdx

2

 sin
19.

 2 x ln(1  x)dx

23.

4  ( x 2  2 x  3) cos xdx

x

7.


Netschool.edu.vn

 ln xdx

8.

20.
24.

x

2

2
2

e

x

dx

 1)dx
x

xdx

cos 2 xdx


 1)dx .
x x2

l)  (4 x 3 
2

x 1
dx ;
x

8 3

c) K =


1

1

1
)dx ;
x
1
Bài 3: Tính các tích phân sau:

e) 

1

1

3
a) I =  (2 x  3  cos x)dx ;
x
0,5

a)  (2x  1)3 dx ;

1

1
g)  3 dx ;
x
1

0

1

d) 

8

j)  (e  2)dx ;

3

1
dx ;
x3
2

)
1

3

c) 

b) 

2

7

1
dx ;
2x  1

d)  x  3dx ;
3



dx
;
25  3x

2

1


1
j) 
dx ;
2
cos (1  x)
0

2

k)  (5 x 2  x  e 0,5 x )dx ;
1


2

l)  (2 cos x  2 sin 2 x)dx .
0

3. Tính tích của hàm số có chứa giá trị tuyệt đối
Bài 1:
1

2

3

0

2



h)  x 2  2 x  3 dx .

2

2

0

4

Bài 2:
1

2

a) I =



( x  1) 2 dx ;

b) J =



1

4 x 2  4 x  1dx ;



1

e2

3

dx
, đặt t = lnx;
x
ln
x
e

d) D =  xe x dx , đặt t = -x2;

2

2

c) C = 

0

x

e dx
, đặt t = 2 + ex;
x
2

t

1

x
)
1
Bài 2: Tính các tích phân sau:
g) G =  x3 1  x dx ,
1

a)  x(x  1)

2

2007

dx ;



b)

2

1
1

h) H =  (2 sin x  3) cos xdx , đặt t = 2sinx + 3.
0


;

dx ;
2x  1

1

f) 

e)  x 2 8 1  xdx ;
0

x2  x  1

1

dx .

Bài 3: Tính các tích phân sau:




2

4

a)  e cos 2 x sin 2 x dx;


d)  sin 2 x cos 3 xdx ;
0




e

2

ln x
dx ;
x
1
Bài 4: Tính các tích phân sau:

e) 

3
2

a)



f)  sin 5 xdx ;

1

0


d) 
0

dx
4  x2

dx .

5. Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần:
Bài 1: Tính các tích phân sau:
1

2

2

b)  x 2 ln xdx . c)  x cos xdx ;

a)  xe x dx ;
0

1



2

0


Bài 2: Tính các tích phân sau:

ln 2

2

a) A =  x cos 2 xdx ;

b) B =

0

2 x
 xe dx ;
0

1

c) C =  ln( 2 x  1)dx ;
0


3

1

d) D =  ( x  2)e dx ;

e) E =  ( x 2  1)e 2 x dx ;



. x  1dx ;

2

c) K =  (x  sin 2 x) cos xdx ;
0

0

Netschool.edu.vn


Netschool.edu.vn


3

e) M =  [ln( x  1)  ln( x  1)]dx .

d) L =  (e cos x  x) sin xdx ;
0

2

6. Tính tích phân của các hàm phân thức:
Bài 1: Tính các tích phân sau:
2

a) 

dx ;
2x  1
0

1

3

1

2

d) 
0

2

x 1
dx ;
x 1
2

g) 

f) 

1

x2
dx ;

l)
dx
dx
dx
1 x  1
 x 2  1 dx .
0 x  1
 x 1
1
2
Bài 2: Tính các tích phân sau:
1
3
4
1
1
2
dx
a)  (
b) 
c) 
dx ;

)dx ;
dx ;
( x  1)( x  2)
x 1 x 1
x ( x  1)
0
2

2

1

d) L = 
0

dx
;
x  2x  2
2

1

xdx
e)  2
;
x  5x  6
0

x 1
dx ;
x x2
1
0

h) 

2


dx ;
x  4x  3
2

2
dx .
 3x  x  2
2

2

c) K = 
1
2

f) N = 
0

1
dx ;
x  2x 1
2

6x  2
dx .
x  x 1
2


Netschool.edu.vn

.
x 1
Bài 7: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = ex, y = 2 và x = 1.
Bài 8. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = x và y = x + sin2 x với x  [0; ].
Bài 9: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = cosx trên đoạn [0; 2], trục hồnh,
trục tung và đường thẳng x = 2.
Bài 10: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a) y = x3, x + y = 2, y = 0;
b) y = x, y = 0, y = 4 - x;
1
c) y = 2 x , y = e-x, x = 1;
d) x + y = 1, x + y = -1, x - y = 1, x - y = -1.
e
Bài 11: : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số:
a) y = x3 - 1 và tiếp tuyến tại điểm (-1; -2).
b) (P): y = -x2 + 6x - 8, và tiếp tuyến của nó tại giao điểm với trục tung.
1
c) y = x3 - 3x và tiếp tuyến tại điểm có hồnh độ x = - .
2
2. Thể tích vật thể tròn xoay:
Bài 1: Tính thể tích của hình tròn xoay tạo nên do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau khi quay
quanh trục Ox.
a) y = x + 1, y = 0, x = -1, x = 2;
b) y = x3 + 1, y = 0, x = 0, x = 1.
Bài 2: Tính thể tích của hình tròn xoay tạo nên do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau khi quay
quanh trục Ox.
a) y = 5x - x2, y = 0;
b) y = -3x2 + 3, y = 0.
Bài 3: Tính thể tích của hình tròn xoay tạo nên do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau khi quay
quanh trục Ox.