1
MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Có thể nói những nội dung sơ khai về Toán rời rạc (TRR) ra đời từ rất
sớm. Lý thuyết TRR đã được hình thành như một ngành toán học mới vào
thế kỷ 17. Đến nay, với sự hỗ trợ đắc lực của máy tính, TRR đã phát triển
mạnh mẽ, có nhiều ứng dụng có ích cho con người.
Nhiều nhà nghiên cứu đã khẳng định vai trò của TRR trong chương
trình môn Toán ở trường phổ thông:
+ TRR khuyến khích một cách tiếp cận khám phá trong giảng dạy
(Burghes, 1985; DeBellis và Rosenstein, 2004; Dossey, 1991…)
+ TRR được áp dụng cho tình huống hàng ngày (Glidden, 1990;
Perham & Perham, 1995…)
+ TRR giúp giáo viên (GV) có cái nhìn mới so với toán học truyền
thống (DeBellis và Rosenstein, 2004; Kenney, 1996)
+ TRR cung cấp các vấn đề toán học tương đối khó nhưng dễ tiếp cận
cho những HS yêu toán (DeBellis và Rosenstein, 2004, Kenney, 1996…)
+ TRR là một công cụ tuyệt vời cho phát triển tư duy và kỹ năng giải
toán (Burghes, 1985; Hart và cộng sự, 1990; Kenney & Hirsch, 1991;
Rosenstein và cộng sự, 1997).
Nhiều nhà giáo dục học tin tưởng rằng việc đưa TRR vào chương
trình giảng dạy ở trường phổ thông là có thể thực hiện được. Kenney
(1996), Monaghan & Orton (1994), Rosenstein, Franzbalu & Roberts
(1997) đã khẳng định TRR có thể giảng dạy cho tất cả học sinh (HS) các
bậc học. TS. Trần Nam Dũng trong các bài viết của mình cũng cho rằng, ở
Việt Nam, TRR có thể dạy ngay từ bậc trung học cơ sở.
Nhận thức được vai trò của lý thuyết TRR đối với đời sống hiện đại,
nội dung TRR đã được đưa vào chương trình học phổ thông và chiếm một
phần quan trọng trong các kỳ thi toán quốc gia và quốc tế. Nhiều GV phổ
thông trong và ngoài nước đã từng bước tích hợp TRR vào trong các giờ
dạy của mình. Tuy nhiên chưa có tài liệu nào hướng dẫn cụ thể cho họ

Nghiên cứu những tài liệu về Lí luận và Phương pháp dạy học bộ môn
Toán ở trường phổ thông; Nghiên cứu những tài liệu có liên quan đến TRR;
Nghiên cứu chương trình và sách giáo khoa môn Toán ở trường phổ thông.
+ Phương pháp điều tra quan sát:
- Điều tra thông qua sử dụng phiếu thăm dò ý kiến đối với GV và HS
về: Sự cần thiết phải đưa thêm nội dung TRR vào chương trình môn Toán
dành cho HS khá và giỏi ở trường THPT; Những nguyên lí cần đưa thêm
vào chương trình và cách thức tổ chức dạy học những nguyên lí đó; Những
khó khăn và mong muốn của GV, HS trong quá trình dạy và học chủ đề
TRR ở trường phổ thông.


3
- Điều tra kết quả IMO những năm gần đây.
- Phỏng vấn các chuyên gia, GV và HS THPT.
- Điều tra, xử lí các số liệu trước và sau thực nghiệm.
+ Phương pháp nghiên cứu trường hợp:
- Chọn năm HS của lớp chuyên Toán khóa 25, trường THPT Chuyên
tỉnh Thái Nguyên làm đối tượng nghiên cứu trường hợp. Theo dõi sự tiến
bộ của các em trong quá trình thực nghiệm.
+ Phương pháp thực nghiệm sư phạm:
Triển khai thực nghiệm sư phạm trong dạy học những nguyên lí của
TRR ở một số lớp thuộc trường chuyên nhằm kiểm định tính khả thi và hiệu
quả của đề tài.
5. Giả thuyết khoa học
Nếu tiến hành dạy học những nguyên lí của TRR trong chương trình
bồi dưỡng HS khá và giỏi ở trường THPT theo những nội dung và biện
pháp đề xuất trong luận án thì sẽ nâng cao được chất lượng dạy và học chủ
đề này ở trường phổ thông.
6. Những vấn đề đưa ra bảo vệ

1.1.1. Những nghiên cứu về việc đưa TRR vào chương trình môn Toán
ở trường phổ thông một số nước trên thế giới
Năm 1989, Hội đồng Quốc gia giáo viên Toán học (NCTM) của
Mỹ đã công bố Chương trình giảng dạy và các tiêu chuẩn đánh giá cho
môn Toán. Tài liệu này công nhận tầm quan trọng của chủ đề TRR trong
chương trình trung học. Đây là mốc quan trọng cho việc khuyến khích đưa
TRR vào các trường tiểu học và trung học tại Hoa Kỳ. Sau khi tài liệu
này được công bố, nhiều nghiên cứu về TRR đã khẳng định tầm quan
trọng của việc giảng dạy TRR và mô tả nội dung của môn TRR trong các
trường phổ thông. Ngoài ra, một số chương trình đã được xây dụng để
chuẩn bị cho GV trong giảng dạy TRR và thu hút họ lồng ghép TRR trong
các lớp học. Năm 2000, NCTM phát hành bản sửa đổi của Chương trình
giảng dạy và tiêu chuẩn đánh giá môn Toán thành Nguyên tắc và chuẩn
cho toán trường học [PSSM], trong đó không có tiêu chuẩn TRR riêng biệt
như đã có trong bản trước mà chủ đề của TRR được phân bố trên các
chuẩn, từ mẫu giáo đến lớp 12. Tuy nhiên, nhiều nhà nghiên cứu đang nỗ
lực tích hợp TRR vào giáo trình, sách giáo khoa trung học. Nhiều tác giả
đã khẳng định: TRR không chỉ là một tập hợp các chủ đề toán thú vị và
mới; Quan trọng hơn, TRR như là một phương tiện cung cấp cho giáo viên
cách nghĩ mới về các chủ đề toán và các chiến lược mới để thu hút học
sinh của mình học toán.


5
1.1.2. Một số công trình nghiên cứu đề cập tới những nguyên lí trong TRR
a. Ở nước ngoài
b. Ở Việt Nam
Thông qua việc thống kê những nguyên lí (NL) được đề cập tới trong
nhiều tài liệu, chúng tôi nhận thấy có sáu NL được đề cập nhiều nhất trong
các tài liệu là : NL cộng, NL nhân, NL Dirichlet, NL bù trừ, NL quy nạp


6
1.4. Thực trạng dạy học Toán rời rạc ở trường phổ thông Việt Nam
1.4.1. Phương pháp, cách thức điều tra thực trạng
a. TRR trong chương trình môn Toán của Việt Nam

b. Tiến hành điều tra thông qua ý kiến những nhà chuyên môn
Chúng tôi đã tiến hành ba lần điều tra thông qua sử dụng phiếu xin ý
kiến nhằm thu thập thông tin từ phiếu.
- Điều tra lần một vào tháng 8/2012, trong đợt tập huấn chuyên môn
cho các giáo viên cốt cán môn Toán trên toàn quốc. Đối tượng điều tra là
70 giáo viên các trường THPT Chuyên và chuyên viên môn Toán của các
Sở Giáo dục và Đào tạo của các tỉnh trong cả nước.
- Điều tra lần hai vào tháng 12/2013 tại Hải Phòng. Chúng tôi thăm dò
ý kiến của 40 giáo viên cốt cán môn Toán của các trường, Sở Giáo dục và
Đào tạo của 14 tỉnh phía Bắc.
- Điều tra lần ba tại Trại hè Hùng Vương các trường THPT Chuyên
khu vực trung du và miền núi phía Bắc tổ chức tại tỉnh Quảng Ninh. Đối
tượng điều tra là những GV và HS giỏi môn Toán của trường THPT Vùng
Cao Việt Bắc và 16 trường THPT Chuyên khu vực trung du và miền núi
phía Bắc.
Kết quả thu được như sau:
* 100% giáo viên được hỏi nhất trí với 2 nội dung sau:
+ Nội dung TRR hiện có trong sách giáo khoa môn Toán và Tài liệu
giáo khoa chuyên Toán chưa đủ dùng làm tài liệu để bồi dưỡng cho HS khá
và giỏi.
+ Cần thiết phải đưa một số nguyên lí của TRR vào chương trình bồi
dưỡng HS khá và giỏi ở trường THPT.
* Hơn 90% GV đồng ý nên dạy chủ đề TRR cho HS khá và giỏi ở
trường THPT theo trình tự như sau:

HS khá và giỏi ở trường THPT. Bước đầu của công việc này là đưa nội
dung của những nguyên lí trong TRR vào chương trình. Cần phải đề xuất
nội dung và các biện pháp dạy học những nguyên lí này cho HS khá và
giỏi ở trường THPT.
Chương 2
MỤC TIÊU, NỘI DUNG DẠY HỌC NHỮNG NGUYÊN LÍ CỦA
TRR TRONG CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HS KHÁ VÀ GIỎI
Ở TRƯỜNG THPT
2.1. Mục tiêu dạy học những nguyên lí của TRR trong chương trình
bồi dưỡng HS khá và giỏi ở trường THPT
2.1.1. Những đặc điểm cơ bản của HS khá và giỏi ở trường THPT
2.2.2. Mục tiêu dạy học những nguyên lí của TRR trong chương
trình bồi dưỡng HS khá và giỏi ở trường THPT


8
+ Dạy cách suy luận toán học và những kỹ thuật chứng minh cho HS
trong quá trình dạy học những nguyên lí. Phát triển tư duy sáng tạo, tư
duy phản biện, tư duy logic cho HS.
+ Hình thành một số năng lực cho HS như: năng lực giải quyết vấn
đề, năng lực sáng tạo, năng lực tự học, năng lực giao tiếp, năng lực hợp
tác, năng lực tính toán, năng lực sử dụng ngôn ngữ…
+ Bổ sung những nội dung toán học gắn liền với thực tiễn vào
chương trình môn Toán dành cho HS khá và giỏi ở trường THPT. Kích
thích sự say mê nghiên cứu toán học của các em thông qua những chủ đề
thú vị của TRR. Bồi dưỡng và phát triển tri thức TRR của học sinh khá và
giỏi THPT Việt Nam. Trang bị kiến thức chuẩn bị cho các em có thể tiếp
cận được với khoa học kỹ thuật hiện đại của thế giới.
2.2. Chuyển dịch sư phạm
2.2.1. Khái niệm chuyển dịch sư phạm

Theo didactic Toán, tri thức chương trình còn được gọi là tri thức cần
dạy, tri thức dạy học còn được gọi là tri thức được dạy.
Chuyển dịch sư phạm hay chuyển hóa sư phạm (transposition
didactique) là một quá trình bao gồm hai giai đoạn: chuyển hóa từ tri thức
khoa học thành tri thức chương trình và từ tri thức chương trình thành tri
thức dạy học.
Các giai đoạn chủ yếu của quá trình chuyển hóa sư phạm là:
Tri thức khoa học
( thể chế tạo tri thức)

Tri thức chương trình
( thể chế chuyển đổi)

đổich
đổi)

uyển

Tri thức dạy học
( thể chế dạy học)
họcch
uyển
đổi)

Trong luận án này chúng tôi chú trọng nhiều đến giai đoạn 2 là chuyển
hóa từ tri thức chương trình thành tri thức dạy học.
2.2.2. Sự cần thiết phải chuyển dịch sư phạm từ tri thức khoa học thành
tri thức dạy học môn Toán ở trường phổ thông
Thời đại ngày càng phát triển, để theo kịp sự phát triển của khoa học
công nghệ thì kiến thức môn Toán dành cho học sinh phổ thông phải thay

2.3.3.2. Bài tập vận dụng
2.3.4. Nguyên lí quy nạp toán học
2.3.4.1. Nội dung nguyên lí quy nạp toán học
2.3.4.2. Bài tập vận dụng
2.3.5. Nguyên lí bất biến
2.3.5. 1. Nội dung nguyên lí bất biến
2.3.5.2. Bài tập vận dụng
Nội dung đề xuất ở trên có thể là cơ sở cho các nhà giáo dục, các
nhà chuyên môn và những người làm chương trình môn Toán cho HS khá
và giỏi thực hiện giai đoạn 1 của quá trình chuyển dịch sư phạm. Đó là
chuyển từ tri thức khoa học thành tri thức chương trình đối với sáu nguyên
lí được nêu trong luận án. Với ý tưởng tập trung vào giai đoạn hai của quá
trình chuyển dịch sư phạm, chúng tôi đề xuất những biện pháp dạy học
những nguyên lí của TRR trong chương ba.


11
Chương 3
MỘT SỐ BIỆN PHÁP DẠY HỌC NHỮNG NGUYÊN LÍ
CỦA TOÁN RỜI RẠC TRONG CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG
HỌC SINH KHÁ VÀ GIỎI Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC
PHỔ THÔNG
Định hướng xây dựng các biện pháp:
(1) Các biện pháp cần phù hợp với mục tiêu dạy học, xu thế đổi mới
phương pháp dạy hiện nay, có thể thực hiện được trong điều kiện thực tế
của quá trình dạy học TRR cho HS khá và giỏi ở trường THPT.
(2) Các biện pháp phải đề cao vai trò tự xây dựng kiến thức của HS
dựa trên những vốn kiến thức, kinh nghiệm đã có của HS. Các biện pháp
giúp HS từng bước hình thành năng lực giải quyết vấn đề, năng lực sáng tạo,
năng lực tự học, năng lực giao tiếp, năng lực hợp tác, năng lực tính toán và

Thông qua đó học sinh dễ dàng hiểu được vấn đề được nêu ra trong các
trường hợp cụ thể. Từ đây HS có thể hiểu được vấn đề trong trường hợp
tổng quát.
Kĩ thuật 1: Gợi động cơ, tạo hứng thú cho HS bằng cách sử dụng một số
đồ dùng trực quan trong dạy học những nguyên lí của TRR
Để hỗ trợ cho việc giảng dạy của mình, chúng tôi đã sử dụng những
bộ nam châm gắn vào bảng từ trong dạy học những bài toán về phép đếm
hay những bài toán về trò chơi liên quan đến những hòn sỏi. Thay cho
những viên sỏi trong bài toán thì GV có thể dùng những hạt đậu có sẵn
trong gia đình. Trong những bài toán về ô bàn cờ, chúng tôi có thể sử dụng
bảng phụ có kẻ ô sẵn…Nguyên tắc chung khi sử dụng các đồ dùng trực
quan trong giảng dạy TRR là: sử dụng đúng mục đích, đúng lúc, đúng chỗ,
đúng mức độ và cường độ, vừa phải đảm bảo nguyên tắc thống nhất giữa cái
cụ thể và cái trừu tượng. Trực quan là chỗ dựa để dự đoán khám phá. HS cần
biết tư duy trừu tượng ngay khi và sau khi sử dụng đồ dùng trực quan.
Kĩ thuật 2: Gợi động cơ, tạo hứng thú cho HS bằng cách sử dụng dụng
một số phần mềm công nghệ thông tin trong dạy học những nguyên lí của
TRR
Ngoài việc sử dụng những phần mềm công nghệ thông tin trong hỗ trợ
dạy học, GV khuyến khích, hướng dẫn HS sử dụng một số phần mềm này vào
thiết kế trò chơi, thiết kế bài báo cáo theo nhóm về một chủ đề của TRR.
Ví dụ 3.2: Sử dụng phần mềm Adobe Presenter thiết kết bài giảng Elearning thông qua trò chơi “Cuộc phiêu lưu của Mario vào xứ sở Tổ hợp”.
(Có đĩa kèm theo luận án).
Trong bài giảng có lồng ghép giữa dạy học theo chương trình phân
nhánh với dạy học theo chương trình đường thẳng. Dưới sự hướng dẫn tận
tình của GS.TSKH Nguyễn Bá Kim, bài giảng này đã được lọt vào vòng


13
chung khảo quốc gia cuộc thi “Thiết kế bài giảng điện tử E – learning”

11/2012, báo cáo trong đợt tập huấn cho khoảng 60 giáo viên môn Toán
của tỉnh Thái Nguyên tháng 8/2013. Thông qua báo cáo, chúng tôi cũng


14
trình bày quan điểm đã nêu và nhận được sự ủng hộ của các nhà chuyên
môn, các bạn đồng nghiệp
Tuy nhiên, một cách xuất phát từ thực tiễn tạo chú ý phù hợp nhất
đối với học sinh chính là xuất phát từ những bài toán gắn với những sự
việc xảy ra trong lớp học. Trong quá trình tập dượt sáng tạo ra những bài
toán mới, sáng tạo trò chơi học tập, một nhóm HS lớp chuyên Toán K 25
đã sáng tác được một loạt các bài toán nhắc đến những kỉ niệm đã qua của
lớp, đến những công việc hàng ngày đang xảy ra trong lớp học.
3.2. Biện pháp 2: Vận dụng linh hoạt một số phương pháp dạy học
tích cực trong dạy học những nguyên lí của TRR
a. Mục đích, ý nghĩa của biện pháp
Ngoài mục đích tạo hứng thú cho HS, biện pháp này được xây dựng
với mục đích chính là: phát huy tính tự giác, tích cực, tự lực đạt tới mục
đích dạy học của HS dưới sự hướng dẫn của GV.
b. Cơ sở khoa học của biện pháp
Theo GS. TSKH Nguyễn Bá Kim, PPDH là cách thức hoạt động,
ứng xử của thầy để gây nên những hoạt động và giao lưu của trò nhằm đạt
được mục đích dạy học.
Trong thực tế giảng dạy, không có một PPDH toàn năng phù hợp với
mọi mục tiêu và nội dung dạy học. Vì vậy việc phối hợp đa dạng các
phương pháp và hình thức dạy học trong toàn bộ quá trình dạy học là
phương hướng quan trọng để phát huy tính tích cực và nâng cao chất
lượng giáo dục.
c. Cách thức thực hiện biện pháp
GV khi vận dụng PPDH phải đảm bảo nguyên tắc “HS tự mình hoàn

luật giành chiến thắng. Vì trạng thái cuối cùng khi không còn viên sỏi nào
để bốc có tổng là Nim là 0 nên HS tìm ra chiến thuật: người chiến thắng là
người luôn chuyển từ trạng thái có tổng Nim khác không thành tổng Nim
bằng 0 sau mỗi nước đi của mình.
Trong bài toán đã cho, số lượng sỏi không nhiều nên HS dễ dàng đưa
ra phương án chơi cụ thể cho từng tình huống. HS phát hiện ra rằng khi cả
hai người chơi đã biết chiến thuật thì việc thắng hay thua phụ thuộc vào
trạng thái ban đầu. Nếu trạng thái ban đầu có tổng Nim bằng 0 thì người
thứ hai sẽ có chiến thuật thắng. Nếu trạng thái ban đầu có tổng Nim khác 0
thì người thứ nhất sẽ có chiến thuật thắng.


16
Ví dụ 3.5: Sử dụng kĩ thuật bắc giàn ở cấp độ vĩ mô trong dạy học kiến
tạo nhằm giúp HS nắm được bài toán chia kẹo của Euler.
Bài toán: Có n chiếc kẹo giống nhau chia cho m em bé (m, n nguyên
dương). Hỏi có bao nhiêu cách chia kẹo?
Đây là một bài toán hay và có nhiều ứng dụng trong giải toán tổ hợp.
Để giải được bài toán này chỉ cần học sinh đã biết một số kiến thức đơn
giản như:
- Khái niệm tổ hợp chập k của n phần tử.
- Khái niệm dãy nhị phân.
- Số dãy nhị phân có độ dài n, trong mỗi dãy có đúng k thành phần
bằng 1 là: Cnk
Một kinh nghiệm nhỏ giáo viên cần hình thành cho các em trước khi
đưa ra bài toán chia kẹo của Euler là: một bài toán có hai đối tượng chính
có thể đưa về bài dãy nhị phân để giải dễ dàng hơn.
Trước khi tiến hành hoạt động giữa thầy và trò nhằm giúp học sinh
nắm bắt bài toán, giáo viên có thể chuẩn bị trước một số phương án bắc
giàn vĩ mô như sau:

được 3 chiếc kẹo, em thứ 2 không được nhận chiếc kẹo nào còn em thứ 3
nhận 4 chiếc kẹo. Em viết 0111001111.
? Tốt lắm! Vậy bài toán ban đầu em đã biết cách giải?
! Mỗi cách chia kẹo tương ứng với một dãy nhị phân có độ dài (m+n);
trong đó có m thành phần 0, n thành phần 1 và luôn có một thành phần 0
m1

đứng đầu dãy. Do đó kết quả cần tìm là: Cn m1
? Bây giờ nếu gọi xi là số kẹo em thứ i được nhận, i  1, m , em có kết
quả gì?
! Ta có phương trình: x1 + x2 +... + xm= n (1).
? Mỗi nghiệm tự nhiên của phương trình tuyến tính (1) là một bộ số
(x1, x2,..., xm) thỏa mãn (1), với xi  N, i  1, m . Em có tìm thấy có sự liên
quan nào giữa mỗi nghiệm đó với một cách chia kẹo ở trên không?
! Mỗi nghiệm tương ứng với một cách chia kẹo và ngược lại.
? Vậy em rút ra được kết luận gì?
m1

! Số nghiệm tự nhiên của phương trình (1) bằng Cn m1 .
? Em hãy ghi nhớ kết quả này để giải các bài toán tìm số nghiệm tự
nhiên của phương trình dạng (1) với các xi bị chặn. Từ đó áp dụng kết quả
thu được vào giải quyết các bài toán thực tế.
Phương án 2: (Dành cho học sinh có ý tưởng đưa bài toán về bài toán
tìm số nghiệm tự nhiên của một phương trình tuyến tính)
? Giả thiết của bài toán là gì?
! Có n chiếc kẹo giống nhau chia cho m em bé.
? Yêu cầu của bài toán là gì?
! Đếm xem có bao nhiêu cách chia kẹo thỏa mãn yêu cầu bài toán?
? Ý tưởng của em là gì?



m-1

Giáo viên hướng dẫn học sinh giải bài toán phụ:
? Mỗi đường đi thỏa mãn bài toán có đặc điểm gì?
! Chỉ cho phép đi trên cạnh các ô vuông theo chiều từ trái sang phải
hoặc từ dưới lên trên.
? Nghĩa là có 2 yếu tố cơ bản: đi ngang hoặc đi lên trên. Vậy ta có thể
quy về bài toán liên quan đến dãy nhị phân được không?
! Có ạ. Em sẽ mã hóa mỗi đoạn đi lên bởi số 0, mỗi đoạn đi ngang bởi
số 1 (mỗi đoạn có độ dài bằng độ dài của cạnh ô vuông ).
? Vậy mỗi đường đi thỏa mãn tương ứng với một dãy nhị phân. Mỗi
dãy nhị phân đó có những đặc điểm gì?
…….
? Em thử xem kỹ lại giả thiết. Mỗi đường đi thỏa mãn còn có đặc điểm gì?
! Xuất phát từ nút (0, 0), kết thúc ở nút (m-1, n) chỉ được đi sang
ngang từ trái qua phải hoặc đi từ dưới lên trên.
? Từ đặc điểm vừa nêu em có suy luận gì về số đoạn đi ngang và số
đoạn đi lên trong mỗi đường?


19
! Có đúng (m-1) đoạn đi ngang và n đoạn đi lên. Thế thì dãy nhị phân
nêu trên có độ dài (m + n - 1) trong đó có đúng (m – 1) thành phần 0. Vậy
bài toán phụ em đã có lời giải.
? Em hãy nhìn hình vẽ và coi như mỗi đường thẳng đứng lần lượt đi
qua các nút (0,0), (1,0), … ( m – 1, 0) là m em bé thì yếu tố nào vai trò như
những chiếc kẹo các em được nhận? Em thử nhìn vào hình vẽ chúng ta đã
có ở trên xem sao?
! Em bé thứ nhất coi như đường thẳng đứng đầu tiên, vậy trên hình vẽ


20
“truyền thụ một chiều” sang dạy cách học, cách vận dụng kiến thức, rèn
luyện kĩ năng, hình thành năng lực và phẩm chất.
b. Cơ sở khoa học của biện pháp
Theo tác giả Bùi Văn Nghị (2009), năng lực là khả năng, điều kiện
chủ quan hoặc tự nhiên sẵn có để thực hiện một hoạt động nào đó; là phẩm
chất tâm lí và sinh lí tạo cho con người khả năng hoàn thành một loại hoạt
động nào đó với chất lượng cao. Năng lực vận dụng những nguyên lí vào
giải toán bao gồm những kĩ năng cơ bản: kĩ năng nhận diện nguyên lí cần
vận dụng vào giải toán, kĩ năng phân tích để tìm lời giải bài toán, kĩ năng
sáng tạo bài toán mới từ bài toán cũ…
c. Cách thức thực hiện biện pháp
Kĩ thuật 1: Tập luyện cho HS nhận diện ra NL cần vận dụng để từ đó
tìm ra phương pháp giải bài toán
GV hướng dẫn HS nắm chắc nội dung từng NL, nắm chắc các dạng bài tập
cơ bản. Sau đó hướng dẫn học sinh nhận diện ra nguyên lí sẽ sử dụng để
giải qua hệ thống các bài tập.
Kĩ thuật 2: Từng bước phát triển năng lực giải TRR cho HS từ mở
rộng, khái quát hóa đến bài tập lớn.
Xuất phát từ những trường hợp cụ thể mở rộng dần bài toán bằng cách
thêm bớt dữ kiện trong đề bài.
Kĩ thuật 3: Tìm cách giải bài toán tổng quát nhờ xét những trường hợp cụ
thể
Tháng 11/2013 tại tỉnh Thái Bình đã diễn ra hội thảo môn Toán do
các trường Chuyên khu vực các tỉnh Duyên Hải và Đồng bằng Bắc bộ đã
tổ chức. Chủ đề của hội thảo là dạy học TRR như thế nào cho HS THPT.
Kết luận của hội thảo đã khẳng định: Phương pháp tiếp cận nhiều chủ đề
của TRR là từ những trường hợp nhỏ trong thực tế phát triển thành bài
toán tổng quát. Con đường này được thầy giáo Nguyễn Thế Sinh (Trường

- Chữa bài tập trước lớp một cách cẩn thận. GV sưu tầm những lỗi
sai thường gặp, lỗi sai ít gặp, những cách làm hay để giới thiệu cho HS.
Kĩ thuật 2: Sử dụng đánh giá quá trình, đa dạng hình thức kiểm tra
(tạo động lực, cơ hội cho HS)
Chúng tôi đã sử dụng những công cụ đánh giá sau: Các bài kiểm tra
theo phân phối chương trình của Bộ GD&ĐT; Phiếu quan sát sự tích cực
của HS trên lớp; Sản phẩm học tập hoặc hồ sơ học tập điểm hệ số 2.
Kĩ thuật 3: HS tự đánh giá
Trong dạy học những nguyên lí, chúng tôi đề xuất hai hình thức đánh
giá là tự đánh giá và đánh giá đồng đẳng.


22
3.5. Biện pháp 5: Khắc phục và sửa chữa sai lầm trong vận dụng
những nguyên lí của TRR cho HS khá giỏi ở trường THPT.
a. Mục đích, ý nghĩa của biện pháp
Khám phá ra những sai lầm của chính mình hay của người khác sẽ
giúp HS nắm được kiến thức một cách chắc chắn hơn.
b. Cơ sở khoa học của biện pháp
Theo quan điểm của Brousseau:
“Sai lầm không phải chỉ là hậu quả của sự không biết, không chắc
chắn, ngẫu nhiên của những người theo chủ nghĩa kinh nghiệm và chủ
nghĩa hành vi, mà còn có thể là hậu quả của những kiến thức đã có từ
trước, những kiến thức đã từng có ích đối với việc học tập trước kia,
nhưng lại là sai, hoặc đơn giản là không còn phù hợp nữa với việc lĩnh hội
kiến thức mới.”
c. Cách thức thực hiện biện pháp
Kỹ thuật 1: Hướng dẫn HS nắm chắc các khái niệm, nội dung những
nguyên lí và hình thành khả năng suy luận logic qua những bài toán.
Kĩ thuật 2: Tổ chức cho HS hoạt động trong những tình huống có sai

4.2.2. Đối tượng thực nghiệm
a. Đối tượng thực nghiệm của nội dung 1 là hai lớp chuyên Hóa 11,
chuyên Sinh 11 khóa 23 và của trường THPT Chuyên, tỉnh Thái Nguyên.
b. Đối tượng thực nghiệm nội dung 2 là hai lớp chuyên Toán khối 10
c. Đối tượng thực nghiệm nội dung 3: Nghiên cứu năm HS của lớp
chuyên Toán khóa 25, trường THPT Chuyên, tỉnh Thái Nguyên.
4.2.3. Quy trình tổ chức thực nghiệm
4.2.4. Phương pháp đánh giá kết quả thực nghiệm sư phạm
4.3. Tiến trình thực nghiệm sư phạm
4.3.1. Thực nghiệm sư phạm nội dung 1
4.3.2. Thực nghiệm sư phạm nội dung 2
4.3.3. Thực nghiệm sư phạm nội dung 3
Sau khi thực nghiệm, với các kết quả thu được chúng tôi có cơ sở rút
ra những nhận xét:
- Nội dung đề xuất trong mục 2.3 là tương đối phù hợp với đối tượng
HS khá và giỏi ở trường THPT
- Việc sử dụng những biện pháp dạy học đã đề xuất trong chương 3
là có thể thực hiện được và bước đầu có tính hiệu quả; đã góp phần nâng
cao chất lượng dạy và học TRR ở trường phổ thông.
- Nhiều HS của lớp thực nghiệm đã biết cách tự học TRR, biết làm
việc theo nhóm và bước đầu biết sáng tạo những bài toán mới, những trò
chơi mới giúp ích cho việc học TRR.
Trên cơ sở đó, có thể nói luận án đạt được mục đích nghiên cứu.


24
KẾT LUẬN
Luận án đã thu được các kết quả sau đây:
1. Chứng tỏ được nhu cầu và sự cần thiết phải đưa thêm nội dung
một số nguyên lí của TRR vào chương trình bồi dưỡng HS khá và giỏi ở